Un modello per la valutazione della qualità del verde Consideriamo il nostro sistema ambientale come un area di verde naturale, ecologicamente protetta, in presenza di un ridotto numero programmato di zone edificate (dette nel seguito zone grigie ) Supponiamo, inoltre, che vi siano, nel territorio considerato, anche zone biologicamente poco attive (che per semplicità chiameremo bianche ), che non possono essere considerate né zone propriamente verdi né zone grigie Una simile suddivisione può essere effettuata sulla base dell energia biologica sviluppata da ciascuna unità paesistica Infatti, un area residenziale grigia (o area edificata) è generalmente considerata biologicamente inattiva, mentre le zone, che abbiamo chiamato bianche, hanno un medio o medio-basso livello di energia sviluppata, assumendo che l energia venga prodotta e scambiata dagli organismi vegetali Le zone verdi sono quelle dominate da vegetazione naturale, come alberi o filari di aree boschive, caratterizzate da una alta o medio-alta produzione di energia biologica, mentre le aree bianche, in genere, sono quelle caratterizzate da seminativi, oppure da terreni collegati a corridoi fluviali da bassi arbusti, o anche da alberi di origine antropica L obiettivo del modello che andiamo a costruire consiste, quindi, nello studiare, come indice di qualità del verde stesso, l evoluzione nel tempo dell estensione delle aree verdi sia, parzialmente, nelle aree destinate a insediamenti abitativi sia in quelle che abbiamo definito bianche In un primo momento studieremo un modello che non preveda nel territorio la presenza di residenze, ma solo di aree verdi e aree bianche che potenzialmente, nel tempo, verranno ricoperte dal verde Si può scegliere come variabile di stato il rapporto V (t) tra la superficie di zone verdi effettivamente esistenti al tempo t e la superficie totale del territorio Pertanto, avremo che la variabile V (t) assumerà valori nell intervallo [0, 1], intendendo quindi che quando si avrà V = 1 l intero territorio sarà occupato dal verde e che la superficie delle aree verdi è misurata in valori percentuali rispetto all area totale Nel costruire il modello matematico si può ipotizzare che, in assenza di insediamenti umani, la variazione di superficie verde nel tempo (cioè la derivata di V rispetto al tempo) sia proporzionale sia alla quantità stessa di verde V (t) sia alla percentuale 1 V (t) di zone non ancora ricoperte dal verde stesso; in formule V (t) = V (t)[1 V (t)] In altre parole, l incremento di verde risulterà tanto più grande quanto più sarà esteso il verde stesso (si pensi, ad esempio, al fenomeno dell impollinazione, tanto più rilevante in presenza di una elevata percentuale di verde) Contemporaneamente, l incremento di verde sarà tanto più piccolo quanto più ridotta sarà la percentuale di zone 1 V (t) a cui il verde non si sarà ancora esteso Il parametro, che supporremo maggiore di zero, è un parametro dipendente dal tipo di vegetazione presente nella regione territoriale considerata, ed è proporzionale all energia biologica accumulata dalle varie unità paesistiche che costituiscono il territorio Tale energia è espressa in megacalorie per anno ed è generalmente chiamata biopotenzialità territoriale Questo parametro, quindi, tiene conto della rapidità di espansione delle zone verdi L ultima equazione può essere riscritta nella forma V (t) = V (t) V 2 (t) (1) Quest ultima è facilmente riconoscibile come un equazione logistica dove a = b = 1
Se a essa si associa la condizione iniziale V (t = 0) = V 0 < 1 si otterà V (t) = k o e t + bt, k o = V 0 V 0 Si può subito notare che k o = (1 V 0 )/V 0 è certamente una quantità positiva, perché V 0 è sempre minore dell unità, e quindi la soluzione V (t) sarà una funzione monotòna crescente Per t +, V (t) convergerà al valore V = 1, cioè, in assenza di insediamenti umani, il verde si estenderà più o meno rapidamente (in ragione del valore di ) all intero territorio Questo risultato cambia sensibilmente qualora sia previsto che una parte della superficie del territorio sia riservata ad aree residenziali Se chiamiamo con U o il rapporto costante tra la superficie programmata di zone abitative e la superficie totale del territorio, allora al secondo membro dell equazione (1) è necessario sottrarre un termine che si può presumere essere proporzionale sia alla percentuale di verde V (t), presente nel territorio al tempo t, sia alla percentuale di superficie abitativa U o In formule scriveremo dunque V (t) = V (t) V 2 (t) h R V (t)u o, h R > 0 (2) Il termine h R V (t)u o può essere interpretato come un termine di impatto ambientale tra le aree verdi e le aree abitate, nel senso che è tanto più grande quanto più elevate sono le superfici percentuali U o e V (t) In altre parole, l impatto sarà più grande in ragione sia, ovviamente, dell estensione degli insediamenti abitativi, sia della quantità complessiva del verde al tempo t, tenendo presente che maggiore è la quantità di verde più grande risulta l intensità dell impatto stesso Il parametro h R dipenderà da vari fattori, tra cui l accessibilità delle zone stesse del verde da parte dell uomo e, in una qualche misura, dai suoi comportamenti, cioè dall effettivo contatto tra zone verdi e insediamenti abitativi Potremo pensare che questo parametro sia dato dal rapporto tra la somma dei perimetri delle aree residenziali e il perimetro esterno dell ecomosaico considerato In altre parole, h R dipenderà dalle morfologie del territorio stesso e dall armatura insediativa Per esempio, l impatto ambientale risulterà sicuramente molto maggiore se le aree residenziali saranno disposte rispetto al verde con una configurazione a pelle di leopardo L equazione (2) può essere anche riscritta nella forma V (t) = ( h R U o )V (t) V 2 (t) = V (t)[ h R U o V (t)], (3) che risulterà avere la struttura generale di un equazione logistica dove a = h R U o e b = In questo modello, dunque, la quantità h R U o potrà anche assumere valori negativi Le soluzioni di equilibrio dell equazione (3), eguagliando come al solito a zero il suo secondo membro, sono date da V e (1) = 0, e V e (2) = h R U o Imponendo la condizione iniziale V (t = 0) = V 0 possiamo esprimere la soluzione della (3) nel seguente modo 2
V (t) = h R U o k o e ( h R U o )t + bt, (4) dove k o = h R U o V 0 V 0 Anticipiamo che questa soluzione permette di ottenere per il modello quattro differenti scenari I primi tre sono determinati dalla condizione h R U o > 0, il quarto da h R U o < 0 Nei primi tre casi il limite per t + di V (t) è dato da V = lim t + h R U o k o e ( h R U o )t + = h R U o < 1, perché l esponenziale a denominatore della (4) tenderà a zero per via dell esponente negativo Pertanto, si può subito notare come V sia una quantità sempre minore dell unità, e che, quindi, il modello (3) non preveda, a differenza di quello espresso dalla (1), che il verde possa estendersi a tutto il territorio considerato Quando, invece, h R U o < 0, l esponente a denominatore della (4) diventa positivo e quindi il denominatore stesso diverge e, di conseguenza, la funzione V (t) tende asintoticamente a zero Possiamo notare che, in ogni caso e indipendentemente dal dato iniziale, purché questo sia positivo, le soluzioni tendono asintoticamente a quelle di equilibrio Nei primi tre scenari si ha nel quarto V (2) e = V = h R U o, V (1) e = V = 0 Di conseguenza, V e (1) è stabile nel quarto scenario, mentre V e (2) lo sarà nei primi tre scenari: infatti, per il secondo membro dell equazione (3), cioè per f(v ) = ( h R U o )V V 2, avremo df = h R U o 2 V df (1) (V e ) = h R U o df (2) h R U o (V e ) = h R U o 2 = + h R U o 3
Pertanto, nei primi tre scenari risulterà df df (2) (V e ) sarà positivo e df Di conseguenza, l equilibrio V e (2) lo è nel quarto V (1) e (1) (V e ) negativo (2) (V e ) negativo e df (1) (V e ) positivo, mentre nel quarto è asintoticamente stabile nei primi tre scenari mentre l equilibrio Occupiamoci ora del comportamento generale del modello e del significato di ogni scenario Come già notato in precedenza, l andamento di V (t), dato da una funzione del tipo della (4), è determinato dal segno della quantità k o : se si impone k o > 0, cioè h R U o V 0 > 0, si ha h R U o < (1 V 0 ) h R U o = V (2) e > V 0 (5) viceversa k o < 0 implica h R U o > (1 V 0 ) h R U o = V (2) e < V 0 (6) Nel primo caso (k o > 0) la funzione V (t) sarà monotòna crescente per ogni t, mentre nel secondo caso (k o < 0) risulterà monotòna decrescente Inoltre, quando la V (t) è monotòna crescente possiamo distinguere due sottocasi: nel primo si avrà V + U o > 1, nel secondo la situazione opposta, cioè V + U o < 1 Pertanto, nel primo sottocaso, il valore asintotico V raggiunto dalla percentuale di aree verdi sommate alla percentuale di aree residenziali supera l unità, cioè la superficie dell intero territorio Questo significa che il verde, oltre ad aver ricoperto le aree bianche, si è esteso perfino in parte delle aree residenziali Vale la pena di sottolineare, come già visto, che questa estensione è comunque solo parziale perché il valore asintotico V si mantiene sempre al di sotto dell unità Nel secondo sottocaso, invece, il fatto che risulta V + U o < 1 sta a significare che, pur in presenza di crescita di aree verdi, nel territorio permarranno aree bianche a bassa produzione di energia biologica Resta quindi da verificare quale condizione implica il caso V + U o > 1 e quale il suo opposto Si ha V + U o > 1 h R U o + U o > 1 > h R Quindi, se > h R allora il verde potrà estendersi anche alle zone residenziali; nel caso contrario, invece, il verde non riuscirà a ricoprire interamente le zone bianche D altra parte, se > h R è facile verificare che risulterà sempre h R U o < (1 V 0 ) U o < h R (1 V 0 ), cioè che k o > 0; infatti, /h R sarà un numero maggiore di uno e di conseguenza si avrà U o 1 V 0 < h R (1 V 0 ) La prima disequazione è sempre vera, perché la superficie iniziale del verde V 0 sommata a quella delle zone residenziali U o non potrà mai superare la superficie totale del territorio, posta eguale 4
all unità (U o + V 0 1) In conclusione, > h R implica automaticamente che k o > 0 (si confronti l ultima disequazione con la (5)) Siamo ora in grado di riassumere i quattro scenari previsti dal modello (3) Scenario 1 Questo è lo scenario più favorevole (aree verdi che si estendono tra gli insediamenti abitativi) ed è realizzato quando h R U o > 0, > h R Scenario 2 Questo si ottiene quando h R U o > 0, < h R, h R U o < (1 V 0 ) V (2) e > V 0 Lo scenario prevede che le aree verdi aumentino di estensione, in quanto il termine di impatto h R U o è superiormente limitato da (1 V 0 ); tuttavia, siccome è minore di h R, risulterà che nel territorio saranno ancora presenti aree a bassa biopotenzialità Scenario 3 Il terzo scenario è ottenuto nel caso in cui h R U o > 0, h R U o > (1 V 0 ) V (2) e < V 0 e prevede una diminuzione delle aree verdi con conseguente aumento delle aree bianche, in quanto il termine di impatto h R U o, questa volta, non è superiormente limitato Scenario 4 Questo scenario è quello più sfavorevole e corrisponde al caso in cui h R U o < 0 Tale scenario rappresenta il caso catastrofico in cui le aree verdi tendono a estinguersi con conseguente decadimento del valore ecologico delle aree che circondano gli insediamenti abitativi 5