SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI 1 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Definizione di sisema Sisema: Da un puno di visa fisico e un disposiivo ce modifica un segnale x(, deo ingresso, generando il segnale y(, deo uscia. Da un puno di visa formale il segnale d ingresso x( viene manipolao ramie un generico operaore maemaico indicao con O[.]. Il risulao delle operazioni maemaice eseguie sull ingresso e il segnale d uscia y(. Scema a blocci x( Sisema O[ x( ] y( 2 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Sisemi Lineari Tempo-Invariani (LTI) Lineare: quando l uscia generaa dalla combinazione lineare di due o piu ingressi e uguale alla combinazione lineare delle uscie generae dai singoli ingressi ax 1 (+bx 2 ( Sisema Lineare O[ax 1 (+bx 2 (]=ao[x 1 (]+bo[x 2 (] ay 1 (+by 2 ( Tempo Invariane: quando l uscia generaa da un segnale riardao e uguale all uscia generaa dal segnale originale, riardaa della sessa quania. x( ) Sisema Tempo Invariane O[x( )] y( ) 3 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Un semplice esempio (1) Un esempio di circuio lineare e invariane nel empo e mosrao in figura, insieme all equazione differenziale ce ne regola il legame ingresso-uscia x( R dy( d C y( y( + RC = x( y( ) = 0 Noa: si semplifica l analisi se si impongono condizioni iniziali nulle al empo meno infinio; cio riciede di conoscere x( su uo l asse dei empi e rende impossibile sudiare sisemi insabili, in cui la risposa a condizioni iniziali non nulle diverge. Per i nosri scopi quese non sono limiazioni imporani. Linearia : se y 1 ( e y 2 ( sono le soluzioni con ingressi x 1 ( e x 2 ( e evidene ce y(=y 1 (+y 2 ( e la soluzione con ingresso x(=x 1 (+x 2 (. Invarianza nel empo: se y ( e la soluzione con ingresso x ( e evidene ce la soluzione con ingresso x(- 0 ) e y(- 0 ). (in enrambi i casi basa sosiuire nell equazione differenziale e verificare ce sia soddisfaa) 4 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Un semplice esempio (2) Per capire meglio cosa sia la linearia, ciediamoci come la si puo perdere. Ad esempio l equazione differenziale conenga y 2 ( anzice y(. Poice il quadrao della somma non e uguale alla somma dei quadrai, y(=y 1 (+y 2 ( non soddisfa (in generale) l equazione con ingresso x(=x 1 (+x 2 ( e la linearia e persa. Per capire cosa sia l invarianza nel empo, supponiamo ad esempio di avere una capacia C( variabile nel empo. Se y( e la soluzione dell equazione dy( y ( + RC( = x( d x(- 0 ) e y(- 0 ) non soddisfano (in generale) l equazione dy( 0) y( 0) + RC( = x( 0) d e l invarianza e persa (domani i componeni del circuio poranno avere valore diverso da oggi; e come se fosse un circuio diverso!) 5 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Risposa all impulso Risposa all impulso: e l uscia del sisema quando l ingresso e l impulso. Viene soliamene indicaa con il simbolo ( [ δ ( )] ( = O δ( Sisema O[δ(] ( Se il sisema e empo-invariane, la forma della risposa all impulso non dipende dall isane in cui si applica l impulso. Quando l ingresso e un impulso anicipao o riardao l uscia e uguale ad ( anicipaa o riardaa: Se il sisema e ance lineare, noa la risposa all impulso e possibile calcolare l uscia del sisema quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi: y( = Oa = a [ δ ( + bδ ( ) + cδ ( )] ( + b( ) + c( ) 1 [ δ ( )] ( ) = O 6 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC 1 2 2 =
Rappresenazione di un segnale come combinazione lineare di impulsi Un qualsiasi segnale x( puo essere rappresenao come somma inegrale di impulsi ( ) d x( ) x ( ) δ = 2 1 0-1 x( ) δ ( ) -2-200 -100 0 100 200 7 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Abbiamo viso ce: La convoluzione 1 - Noa la risposa all impulso, e possibile calcolare l uscia di un sisema LTI quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi 2 - Un qualsiasi segnale x( puo essere rappresenao come somma inegrale di impulsi Ne segue ce: y( [ ( ] = O x( ) δ ( ) d = x( ) O[ δ ( )] d = = Ox = ( ) ( ) d ( ) x( ) d x = simbolo della convoluzione uscia = convoluzione ra ingresso e risposa all impulso del sisema LTI 8 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC = = x ( * ( 1444444444444 2444444444444 3 inegrale di convoluzione (o semplicemene convoluzione)
Un semplice esempio (3) La risposa all impulso del nosro semplice circuio si deermina facilmene, con conoscenze elemenari di eleroecnica. Basa applicare all ingresso un impulso! o meglio, una forma d onda (reangolare) di area uniaria e duraa da far endere a zero: ( e il limie delle rispose a ingressi sempre piu brevi. L impulso reangolare di ensione (di area uniaria) produce un impulso di correne di area 1/R. Quesa e la carica immagazzinaa nel condensaore, ce raggiunge quindi la ensione 1/RC in un empo ce al limie ende a zero. Noa: al limie la ensione finia a cui si carica il condensaore e ininfluene sulla correne (infinia) nel circuio. Poi la ensione all ingresso orna a zero e il condensaore si scarica con cosane di empo RC, come ben noo: ( = 1/RC exp(- /RC) (per > 0). 1/RC ( RC 9 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Calcolo dell inegrale di convoluzione L inegrando ( ) x ( ) y( = x( ) e il prodoo ra il segnale x() e la risposa all impulso () ribalaa in raslaa di (verso desra se >0, verso sinisra se <0) ( ) d x( ) ( ) x( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 1 2 3 10 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Esempi di calcolo della convoluzione (1) y( = x( ) ( ) d x( ( = = rec(2 rec( 1/ 2) 1 1 x( ( -0.25 0.25 1 11 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Esempi di calcolo della convoluzione (2) inegrando x( ) ( ) x ( ) x( = rec(2 ( = rec( 1/ 2) Inegrale y( = x( ) ( ) d ( ) = -1/4 = 0-0.25 ( ) -0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25 = +1/4 = +1/2 = +3/4 = +1 = +5/4 y( 1/2 12 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC 0.25 0.75 1.25
Esempi di calcolo della convoluzione (3) y( = x( ) ( ) d x ( = ( = rec( 1 x( 1 ( -0.5 0.5 13 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Esempi di calcolo della convoluzione (4) Inegrando x( ) ( ) x ( ) x ( = ( = rec( Inegrale y( = x( ) ( ) d ( ) -1-0.5 0.5 1 ( ) = -1 = -2/3 = -1/3 14 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC = 0 = +1/3 = +1/3 = +1-1 +1 y( 1
Causalià dei Sisemi L.T.I. (1) Definizione: Un sisema L.T.I. è deo causale se l uscia y( per un =, dipende dai valori dell ingresso x( solo per valori della variabile. La condizione di causalià è molo imporane se la variabile indipendene è il empo: in queso caso un sisema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infai il sisema sarebbe in grado di predire il fuuro. x( Sisema y( Condizione da rispeare per garanire la causalià: ( = 0 per < 0 15 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Causalià dei Sisemi L.T.I. (2) Spesso nel seguio uilizzeremo rispose all impulso del ipo: ( Quesa risposa all impulso non è causale: puo essere resa causale araverso opporuni roncameni (nel empo, se ( si esende da - a ) e riardi. 1 ( Uilizzare ( invece ce 1 ( significa rascurare (cioe soinendere) i riardi necessari a rendere causale la risposa all impulso. 16 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Effei della convoluzione (filro passa-basso) x( Le componeni del segnale rapidamene variabili nel empo (ad ala frequenza) vengono eliminae dalla convoluzione con una risposa all impulso lenamene variabile nel empo (filro passa-basso) Simbolo della convoluzione ( y( = x( ( 17 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC
Effei della convoluzione (filro passa-alo) x( Le componeni del segnale lenamene variabili nel empo (a bassa frequenza) vengono eliminae dalla convoluzione con una risposa all impulso rapidamene variabile nel empo (filro passa-alo) Simbolo della convoluzione ( y( = x( ( 18 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC