FAST FOURIER TRASFORM-FFT

A p p e n d i c e B FAST FOURIER TRASFORM-FFT La tasfomata disceta di Fouie svolge un uolo molto impotante nello studio, nell analisi e nell implementazione di algoitmi dei segnali in tempo disceto. Come si è visto nel capitolo pecedente, è molto conveniente studiae i sistemi nel dominio di Fouie.. La tasfomata disceta di Fouie campiona ad intevalli egolai la tasfomata di Fouie del segnale ogni ω π/, questo implica calcolae punti della tasfomata disceta di Fouie. A livello computazionale queste opeazioni potebbeo isultae molto pesanti,infatti se ad esempio abbiamo campioni, la complessità di calcolo della tasfomata disceta di Fouie è di tipo quadatico nell odine. Pe questo è nata la necessità di avvalesi di algoitmi con complessità minoi, quali la FFT. In ealtà, l aconimo FFT indica una classe di algoitmi efficienti pe il calcolo della tasfomata disceta di una sequenza peiodica. Alcuni di questi algoitmi sono Goetzel,quello di "Decimation in time". B. Tasfomata di Fouie Disceta el capitolo pecedente è stata tattata la appesentazione di sequenze, si può vedee come nel caso in cui la sequenza da appesentae è di duata finita, cioè ha soltanto un numeo finito di valoi non nulli, è possibile sviluppae una appesentazione di Fouie altenativa, chiamata tasfomata di Fouie disceta DFT. La DFT è una appesentazione di Fouie di una sequenza di lunghezza finita cioè che è essa stessa una sequenza anziché una funzione continua, e coisponde a campioni egualmente spaziati in fequenza della tasfomata di Fouie del segnale.

B.. Rappesentazione di sequenze peiodiche la seie di Fouie disceta Si considei una sequenza ~ x n peiodica 8 con peiodo, cioè tale che sia ~ x n ~ x n pe ogni valoe inteo di. E possibile appesentae ~ x n pe mezzo di una seie di Fouie, cioè come somma di sequenze sinusoidali o cosinusoidali o, in modo equivalente, di sequenze esponenziali complesse con fequenze multipli intei della fequenza fondamentale π associata alla sequenza peiodica. A diffeenza della seie di Fouie valida pe funzioni peiodiche continue, esistono soltanto esponenziali complessi distinti il cui peiodo è un sottomultiplo inteo del peiodo fondamentale. Ciò deiva dal fatto che l esponenziale complesso π j n e n e B. è peiodico in con peiodo. Peciò e n e n, e n e ecc., e quindi n l insieme di esponenziali complessi appesentati nella. con,,,,- definisce tutti gli esponenziali complessi distinti con fequenze che sono multipli intei π di. Petanto, pe la appesentazione in seie di Fouie di una sequenza peiodica, ~ x n, bastano soltanto di questi esponenziali complessi e quindi essa può scivesi nella foma ~ x n ~ X e π j n B. La costante moltiplicativa è stata inseita pe convenienza e non ha nessun effetto ~ impotante sulla natua della appesentazione. I coefficienti X dalla sequenza peiodica ~ x n si ottengono: 8 Il simbolo indica sequenze peiodiche, è impotante pe distinguee inseguito le sequenze peiodiche da quelle apeiodiche

π j n, pe m, minteo e, altove n B.3 Peciò moltiplicando entambi i membi della elazione B. pe da n a n-, otteniamo π j n e e sommando e n π j n n ~ X e π j n j n x n e X n ~ π ~ n e π j n pe cui usando la.3 isulta n ~ x n e π j n ~ X ~ Peciò i coefficienti X nella B. sono dati da ~ X n ~ x n e π j n ~ La sequenza X appesentata dalla elazione B. è peiodica con peiodo, cioè ~ ~ ~ ~ X X, X X ecc. atualmente, ciò è in accodo col fatto che gli esponenziali complessi appesentati nell espessione B. sono distinti soltanto pe

,,,,-, e peciò nella appesentazione di una sequenza peiodica in seie di Fouie possono essevi solo coefficienti distinti. I coefficienti della seie di Fouie possono essee consideati come una sequenza di lunghezza finita, data dall espessione B. pe,,,,- e zeo pe valoi divesi di, o come una sequenza peiodica definita pe ogni dalla elazione B.. Le due intepetazioni sono equivalenti. In geneale è più conveniente intepetae i ~ coefficienti della seie di Fouie X come una sequenza peiodica. Le elazioni B. e B. possono essee consideate una coppia di tasfomate e costituiscono la appesentazione di una sequenza peiodica in seie di Fouie disceta DFS. Pe comodità di appesentazione queste espessioni saanno genealmente scitte in temini di definito come e π j Quindi le fomule di analisi e sintesi della DFS si scivono come ~ ~ n X x n B. n ~ ~ n x n X B.5 ~ X che ~ x n sono sequenze peiodiche. B.. Rappesentazione di Fouie pe sequenze di duata finita la tasfomata di Fouie disceta el paagafo pecedente si è consideata la appesentazione di sequenze peiodiche in temini della seie di Fouie disceta. La stessa appesentazione può essee

applicata a sequenze di duata finita, puché la si intepeti coettamente. La appesentazione di Fouie che ne isulta veà indicata come la tasfomata di Fouie disceta DFT. Consideiamo una sequenza di duata finita xn di lunghezza in modo che xn eccetto nell intevallo n. Anche se la sequenza è di lunghezza M minoe di, può essee consideata di lunghezza con gli ultimi -M punti dell intevallo aventi valoe zeo. la coispondente sequenza peiodica di peiodo, di cui xn è un peiodo, saà indicata ~ x n ed è data da ~ x n x n B.6a Poiché xn è di lunghezza finita, non vi è sovapposizione ta i temini xn pe valoi di diffeenti. Peciò la elazione B.6 a può essee scitta nella foma altenativa ~ x n x n modulo B.6 b La sequenza di duata finita xn si icava da ~ x n estaendone un peiodo, cioè ~ x n, x n, n altove L impulso ettangolae disceto R n è definito come: ~ x n, R n, n altove La elazione pecedente può essee espessa come: x n ~ x n R n B.7

~ Da quanto visto nel paagafo pecedente, la elazione ta X ~ x n ~ ~ n X x n n ~ x n ~ X n Poiché le somme nelle due elazioni pecedenti B. e B.5 iguadano solo l intevallo ta e -, segue: X n x n n, altove n X n x n n B.9, altove La coppie di tasfomate B.8 e B.9 è chiamata tasfomata disceta di Fouie DFT, la B.8 è l equazione di analisi e la B.9 è l equazione di sintesi della sequenza xn. B. Algoitmo FFT el paagafo pecedente si è vista la tasfomata disceta di Fouie, questa icope un uolo impotante nell analisi, nel pogetto e nella ealizzazione di algoitmi e sistemi di elaboazione numeica dei segnali. elle elazioni B.8 e B.9 sia xn che X possono essee complesse. Poiché xn è in geneale complessa si può scivee

X n n n n n {Re[ x n]re[ ] Im[ x n]im[ ] jre[ x n]im[ ] Im[ x n]re[ ]},,,..,. Dall espessione pecedente isulta che il calcolo dietto di X ichiede moltiplicazioni eali e - addizioni eali pe ogni valoe di. Poiché occoe valutae X pe divesi valoi di, il calcolo dietto della tasfomata di Fouie disceta di una sequenza xn ichiede addizioni eali ovveo, in alti temini, moltiplicazioni eali e moltiplicazioni complesse e addizioni complesse.olte alle moltiplicazioni e alle addizioni contenute nella B. l esecuzione del calcolo della DFT su un calcolatoe numeico d impiego geneale o con dispositivo ad essa dedicato implica la necessità di memoizzae e di leggee i valoi della sequenza d ingesso xn e dei coefficienti n. Poiché negli algoitmi di calcolo numeico la quantità di opeazioni di lettua e scittua è popozionale al numeo di opeazioni aitmetiche, il numeo di moltiplicazioni e addizioni sono una misua significativa della complessità dell algoitmo tempo di ichiesto pe eseguie un algoitmo di calcolo. Quindi, pe il calcolo dietto della tasfomata di Fouie disceta, l efficienza del metodo si può valutae sulla base del fatto che sono necessaie moltiplicazioni eali e addizioni eali, Poiché la quantità e quindi il tempo dei calcoli è appossimativamente popozionale a gandi di il numeo di opeazioni pe calcolae la DFT diventa enome., pe valoi La maggio pate delle tecniche usate pe miglioae l efficienza del calcolo della DFT sfuttano una delle seguenti popietà delle quantità n. n n. n n n Pe esempio sfuttando la pima popietà, cioè la simmetia delle funzioni seno e coseno, si possono nella B. agguppae dei temini come

Re[ x n]re[ n ] Re[ x n]re[ Re[ x n] Re[ x n]re[ n ] n ] e Im[ x n]im[ n ] Im[ x n]im[ ] Im[ x n] Im[ x n] Im[ n n ] Analoghi agguppamenti si possono fae pe gli alti temini della B.. In questo modo si iesce a idue il numeo di moltiplicazioni cica di un fattoe. Si può anche sfuttae il fatto che pe ceti valoi del podotto n le funzioni seno e coseno valgono e, e non è quindi necessaio eseguie moltiplicazioni coispondenti. Tuttavia, dopo iduzioni di questo genee, esta sempe un numeo esiguo di calcoli da effettuae dell odine di complessa. Usando la seconda popietà, cioè la peiodicità della sequenza n, si ottiene una iduzione dei calcoli notevolmente maggioe. Algoitmi di calcolo che sfuttano sia la simmetia che la peiodicità della sequenza n eano noti già da molto tempo pima dell avvento dei calcolatoi numeici veloci. Runge e più tadi Danielson e Lanczos hanno descitto algoitmi la cui complessità ea all incica popozionale a log invece che a. Questa diffeenza non ea peò di gande impotanza, la possibilità di idue notevolmente il tempo di calcolo si ebbe soltanto veso il 965, quando Cooley e Tuey pubblicaono un algoitmo pe il calcolo della tasfomata di Fouie disceta che vale quando è un numeo composto, cioè il podotto di due o più intei. La pubblicazione di questo lavoo povocò un fioie di applicazioni della tasfomata di Fouie disceta all elaboazione dei segnali ed diede luogo alla scopeta di numeosi algoitmi di calcolo che divenneo noti come algoitmi pe la tasfomata di Fouie veloce o semplicemente FFT. Il pincipio fondamentale su cui si basano tutti questi algoitmi è la scomposizione del calcolo del tasfomata di Fouie disceta di una sequenza lunga in tasfomate di Fouie discete di dimensioni via via più piccole. Il modo in cui questo pincipio è

applicato dà luogo a una vaietà di algoitmi divesi, tutti caatteizzati da miglioamenti cica della stessa entità nella velocità di calcolo. Si esamineanno due classi di algoitmi, la pima, detta a decimazione nel tempo, la seconda, detta a decimazione in fequenza. La pima pende il nome dal fatto che nello scompoe il calcolo in tasfomate di dimensioni più piccole, la sequenza xn viene suddivisa in sequenze sempe più cote. ella seconda classe, la sequenza che viene scomposta in sottosequenze sempe più cote è quella dei coefficienti della tasfomata di Fouie disceta. Saanno esposti divesi tipi di algoitmi con divese complessità, il pimo ta questi saà l algoitmo di Goetzel con complessità popozionale a. B.. Algoitmo Goetzel L algoitmo di Goetzel è un pocedimento più efficiente del metodo dietto ed è un esempio di come si possa sfuttae la peiodicità della sequenza n pe idue i calcoli. Più pecisamente, vedemo che la tasfomata di Fouie disceta può essee consideata come la isposta i un filto numeico la cui stuttua può essee pogettata in modo da idue il numeo delle opeazioni aitmetiche. Pe icavae l algoitmo di Goetzel: n e π j e jπ Questa è una conseguenza immediata della peiodicità di n. In base alla B. possiamo moltiplicae il secondo membo della elazione B.8 pe alteae l uguaglianza. Quindi senza X x x

Intoducendo, pe comodità, la sequenza n n x y Dalle B. e B.3 segue che X y n n La elazione B.3 è la convoluzione disceta della sequenza di duata finita xn, n, con la sequenza. Di conseguenza, n n y n a un ingesso xn. In paticolae, X è il valoe pe n. Un sistema con isposta all impulso fig.. n è appesentato in Figua. Gafo di flusso pe un sistema del pimo odine pe il calcolo icosivo di X Poiché sia l ingesso xn ce il coefficiente sono complessi, il calcolo di ogni nuovo valoe di y n ichiede moltiplicazioni eali e quatto addizioni eali. Siccome poi occoe calcolae tutti i valoi intemedi y, y,... y pe

ottenee, l uso dello schema in fig. - ichiede moltiplicazioni eali e addizioni eali pe icavae X pe un paticolae valoe di. Peciò questo schema è lievemente meno efficiente del metodo dietto L aspetto positivo dello schema è che non ichiede né la memoizzazione né il calcolo dei coefficienti vengono calcolati attaveso il pocedimento icosivo. n, in quanto questi E possibile mantenee questa semplificazione e idue la complessità. di un fattoe. La funzione di tasfeimento del sistema di fig.. è H B. z z Moltiplicando numeatoe e denominatoe pe il fattoe z, si ottiene z H z B.5 z z z π cos z z Pe ealizzae i poli del sistema coispondente alla B.5 sono necessaie solo due moltiplicazioni, in quanto i coefficienti sono eali e il coefficiente - non deve essee contato come moltiplicazione; il numeo di addizioni è invece sempe quatto. Poiché basta potae il sistema in uno stato in cui sia possibile calcolae y n la moltiplicazione complessa pe, coispondente allo zeo, non deve essee eseguita ad ogni iteazione dell equazione alle diffeenze, ma solo dopo l -esima. Quindi l ammontae totale di opeazioni è di moltiplicazioni eali e addizioni eali pe i poli, più quatto moltiplicazioni eali e quatto addizioni eali pe lo zeo. Il peso complessivo dei calcoli è di moltiplicazioni eali e addizioni eali, cioè cica la metà del numeo di moltiplicazioni eali ichieste pe il metodo

dietto. Putoppo usando l algoitmo di Goetzel, pe il calcolo di tutti gli punti la complessità è ancoa popozionale a come pe il calcolo dietto. el metodo dietto o in quello di Goetzel non occoe icavae tutti gli divesi valoi di X. Anzi, in geneale si può valutae X su M qualsiasi valoi di K. In questo caso il peso totale dei calcoli è popozionale a M. Queste tecniche sono convenienti quando M è piccolo; sono peò disponibili algoitmi più sofisticati pe i quali il numeo popozionale di opeazioni è popozionale a una potenza di. Quindi, quando M è minoe di quello dietto sono più efficienti. log log quando è, il metodo di Goetzel o B.. Algoitmi di FFT basati sulla decimazione nel tempo Pe ottenee un aumento di efficienza è necessaio scompoe il calcolo della DFT in calcoli di DFT di dimensioni sempe più piccole. Si sfutta sia la simmetia che la peiodicità dell esponenziale complesso π j n n e Gli algoitmi nei quali il pocedimento di scomposizione si attua suddividendo la sequenza xn in sottosequenze via via più piccole, si chiamano algoitmi a decimazione nel tempo. Consideiamo il caso paticolae di potenza intea di, cioè ν Poiché è un inteo pai, possiamo pensae di calcolae X dividendo xn in due sequenze di punti campioni ciascuna, costituite l una dai punti che hanno indice pai in xn, e l alta da quelli con indice dispai. Se nell espessione di X

,,...,, n n n x X B.6 n dispai n pai n n n x n x X ponendo n pe n pai e n pe n dispai, x x x x X B.7 Ma è! j j e e π π Di conseguenza la.7 può essee iscitta come H G x x X Questa espessione è composta da due sommatoie entambe da punti, la pima sommatoia è una DFT lunga dei punti con indice pai della sequenza oiginaia. la seconda dei punti con indice dispai. Anche se l indice può assumee valoi,

,,,-, occoe calcolae ogni somma solo pe ta e -, in quanto sia G che H sono peiodiche in con peiodo. Dopo che sono state calcolate le due DFT coispondenti alle due sommatoie della.8, esse devono essee combinate pe ottenee la DFT su punti,x. La fig.. illusta il tipo di calcoli ichiesto pe ottenee X in base alle.8 pe una sequenza di 8 punti, cioè pe 8. In questa figua, i ami che entano in un nodo si sommano pe podue la vaiabile nodo. Quando manca l indicazione del coefficiente di tasmissione del amo, il coefficiente è unitaio, negli alti ami il coefficiente di tasmissione è una potenza intea di. Figua. Gafo di flusso pe la scomposizione del calcolo di una DFT di / punti, con il metodo della decimazione nel tempo

Dalla fig... si vede che vengono calcolate due DFT di punti: G indica la DFT lunga quatto dei punti con indice pai e H indica la DFT lunga quatto dei punti dispai. X si ottiene poi moltiplicando H pe X si ottiene moltiplicando H pe ottiene moltiplicando H pe e sommando il isultato a G. e sommando il isultato a G. X si e sommando il isultato a G. Siccome peò G e H sono entambe peiodiche in con peiodo, isulta HHe GG. Peciò X si ottiene moltiplicando H pe e sommando il isultato a G. La B.8 ichiede il calcolo di due DFT su che a sua volta ichiede moltiplicazioni complesse e cica addizioni complesse. Le due DFT su punti devono poi essee combinate come indicato.8, il che ichiede alte moltiplicazioni complesse, coispondenti al podotto della seconda sommatoia pe, ed alte addizioni complesse, coispondenti alla somma di quel podotto con la pima sommatoia. Di conseguenza il calcolo della.8 pe tutti i valoi di ichiede, cioè complesse., moltiplicazioni complesse e addizioni L espessione B.8 coisponde a spezzae il calcolo oiginaio su punti in due calcoli su punti. Se è pai alloa il calcolo di ciascuna DFT su punti nella B.8 si può effettuae mediante il calcolo e la successiva combinazione di due DFT su punti. Petanto G e H della B.8 veebbeo calcolate così:

l l l l l g l g g G oppue l l l l l g l g G B.9 Analogamente l l l l l h l h H B. Figua.3 Gafo di flusso pe la scomposizione del calcolo di una DFT di / punti, con il metodo della decimazione nel tempo. 8 Pe il caso paticolae della fig..3, se ne deduce che, se le due DFT su punti vengono calcolate seguendo le B.9 e B., i loo schemi di calcolo coispondenti

vengono ad essee come quelli indicati nella figua.. Quindi il calcolo di tasfomata disceta di Fouie su 8 punti si è idotto al calcolo di due DFT su punti. nella figua.5 si può vedee il gafo di flusso completo. Figua. Gafo che si ottiene intoducendo nella figua. gli schemi della figua.3 Pe il caso più geneale in cui è una potenza di due con esponente maggioe di 3, si pocede componendo le tasfomate su punti delle B.9e B. in tasfomate su, e così di seguito finché non si iduce tasfomate su punti.. Ciò ichiede ν stadi 8 di calcolo, dove ν log. Pimo si è visto come la scomposizione di una tasfomata punti in due tasfomate su punti, ichieda ta moltiplicazioni e addizioni complesse. Quando le tasfomate su punti vengono

scomposte in tasfomate su ", così che il calcolo complessivo ichiede ν moltiplicazioni e addizioni complesse. Se, Ciò può essee al massimo ν log volte, quindi si conclude che dopo ave iteato al massimo la scomposizione, il numeo di moltiplicazioni e addizioni complesse diventa log. B..3 Algoitmi di FFT basati sulla decimazione in fequenza Gli algoitmi di FFT basati sulla decimazione nel tempo sono stati sviluppati componendo il calcolo della DFT attaveso la fomazione di sottosequenze della sequenza di ingesso xn sempe più piccole. In altenativa si può pensae di dividee in modo analogo la sequenza di uscita, X, in sottosequenza sempe più piccole. Gli algoitmi FFT oiginati da questo pocedimento si dicono basati sulla decimazione in fequenza. Pe deivali, nel caso in cui è una potenza di, si può innanzitutto dividee la sequenza di ingesso nella pima metà e nella seconda metà dei suoi punti, in modo da scivee X n x n n n x n n oppue n n n X x n x n n

La B. contiene due sommatoie su, ciascuna di esse non è una DFT su punti, in quanto nelle sommatoie appae n e non n. Mettendo insieme le due sommatoie nella. e utilizzando il fatto che, si ottiene X n x n xn n Dividendo in pai e dispai, si ottiene; n X x n xn n n n X x n xn n con,,, Queste due espessioni dono due DFT su punti, nel caso della B.3 si tatta della DFT della somma della pima metà e della seconda metà della sequenza di ingesso, e nel caso della. si tatta della DFT del podotto di n con la diffeenza fa la pima metà e la seconda metà della sequenza di ingesso. Diffeentemente dal caso della B., le sommatoie nelle B.3 e B. coispondono a delle DFT su punti in quanto n n

Petanto, sulla base delle B.3 e B., ponendo g n x n x n e h n x n x n, la DFT può essee calcolata fonendo innanzitutto le sequenze gn e hn, poi calcolando hn n e infine calcolando la DFT su punti di queste due sequenze, icavandone ispettivamente i valoi di uscita di posto pai e quelli di posto dispai. In figua.5 è illustato il pocedimento nel caso di una DFT su 8 punti. Figua.5 Gafo di flusso pe la scomposizione del calcolo di una DFT di punti in due DFT di / punti, con il metodo della decimazione in fequenza 8 Pocedendo in modo simile a quello usato pe deivae gli algoitmi basati sulla decimazione del tempo, dato che è una potenza di, è pai quindi la DFT su punti possono essee effettuate calcolando sepaatamente pe ciascuna di esse i valoi di uscita di posto pai e quelli di posto dispai. Come nel caso della B.3 e B.,

ciò si ealizza combinando la pima metà dei punti e la seconda metà dei punti di ingesso pe ognuna delle DFT su punti e calcolando quindi delle DFT su punti. Lo schema di flusso isultante nel caso dell esempio su 8 punti è mostato in fig..6. In questo paticolae caso il calcolo si è idotto a quello di alcune DFT su punti, le quali si calcolano sommando e sottaendo i punti di ingesso. Petanto le DFT su punti della figua.6 possono essee sostituite con lo schema di calcolo mostato in fig..7, così che il calcolo complesso della DFT su 8 punti diventa quello mostato in fig..8. Figua.6 Gafo di flusso pe la scomposizione del calcolo di una DFT di 8 punti nel calcolo di DFT di punti, con il metodo della decimazione in fequenza.

Figua.7 Gafo di flusso su punti del tipo ichiesto all ultimo stadio di calcolo di una scomposizione basata sulla decimazione in fequenza. Figua.8 Gafo di flusso

Contando il numeo di opeazioni aitmetiche nella fig..8, e genealizzando al caso ν, il calcolo della DFT ichiede log moltiplicazioni complesse e log addizioni complesse. Petanto il numeo complessivo di opeazioni è lo stesso pe gli algoitmi basati sulla decimazione in fequenza e sulla decimazione nel tempo. B. Esempi In questo paagafo si popoanno alcuni esempi sull utilizzo della FFT, fonendo anche spiegazioni sull utilizzo di tale algoitmo in Matlab. All inteno di Matlab, l algoitmo è gia implementato nella funzione y fftx,n la funzione accetta anche alti paameti, ma a noi non inteessano, dove: x è il segnale d ingesso n è il numeo di punti utilizzati del calcolo della DFT; se n è maggioe del numeo di campioni del segnale, si effettua lo zeo padding su x, mente se n è minoe x viene tagliato y appesenta la DFT del segnale d ingesso x La funzione invesa della fft, ossia quella che calcola il segnale a patie dalla DFT, è la y ifftx,n, dove:

x appesenta la DFT del segnale calcolata attaveso la FFT n è il numeo di punti utilizzati del calcolo della IDFT y appesenta la IDFT del segnale di x In questo caso, se il segnale iniziale è eale, l opeazione ifftfftx può dae alcune componenti complesse, quindi è conveniente consideane la sola pate eale. Il umoe viene geneato sotto Matlab con la funzione awgn; un esempio di chiamata pe questa funzione è: x awgnx, SR, measued dove: x è il segnale da sommae con umoe gaussiano bianco a media nulla SR è il appoto segnale umoe da impostae espesso in db measued è la stinga che passata come paameto indica alla funzione di calcolae la potenza di x pima di sommae il umoe Si considea il segnale xt sin.t 3sin.5t 5sin.t sin.t

appesentato in figua. Il segnale è scelto appositamente complesso pe dimostae le potenzialità dell algoitmo FFT. Figua.6. Segnale xt pima e dopo l'applicazione del umoe Come appae evidente, il segnale cootto da umoe SR 5dB semba non ave più niente a che vedee con il segnale oiginaio. Vogliamo vedee se applicando l algoitmo FFT è possibile estapolae qualche infomazione utile. I test vengono eseguiti al vaiae del numeo di campioni della FFT; in paticolae si utilizzeanno ispettivamente 8, 56, 5 campioni.

I isultati ottenuti sono evidenziati in tabella: Fequenze eali ad/sec.5... Fequenze stimate ad/sec con punti FFT 8.53.5.. Fequenze stimate ad/sec con punti FFT 56.9.98.963.397 Fequenze stimate ad/sec con punti FFT 5.9.98.963.5 Sebbene ad occhio nudo non si iesca più nemmeno ad associae il segnale umooso a quello oiginaio, mediante la FFT è possibile icostuie il segnale ipulito dal umoe. Utilizzando un numeo di punti pe la FFT pai alla lunghezza del segnale in modo da avee la IDFT pai alla lunghezza del segnale oiginaio, in questo caso 5, la icostuzione è quasi pefetta: #$

Appae evidente come la FFT possa essee utilizzata con successo in molti campi dove si ichiede la cancellazione del umoe su un segnale anche fotemente cootto. In patica, pe aivae al isultato della figua sopa, sono possibili almeno due stade: La pima possibilità consiste nel pecoee i seguenti passi: a calcolae la FFT ad punti del segnale di patenza, ottenendo l uscita y b calcolae lo spetto, valutando pe ogni campione la potenza come y.* conjy / c conoscendo il numeo di componenti fequenziali p di cui è composto il segnale di patenza p componenti, identificae le fequenze coispondenti ai p picchi in potenza più elevati d nel vettoe y, annullae tutte le componenti tanne quelle elative alle fequenze ottenute e calcolae la IDFT di y come iffty, ottenendo il segnale icostuito La seconda stada pecoibile consiste in: a come nel punto -a, calcolae la FFT ad punti del segnale di patenza, ottenendo l uscita y b come nel punto -b, valutae la potenza spettale c impostae una soglia s, il cui valoe dipende dall influenza del umoe sul segnale d pe il vettoe y, azzeae tutte le componenti che pesentano potenza infeioe a s*p max, dove P max è la potenza massima e calcolae il segnale icostuito mediante la funzione iffty

La funzione FFT è stata utilizzata all inteno di questa tesi ponendo il numeo di punti pai al numeo di campioni ottenuti dalla simulazione.