LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI 8 Per rcordare H Scomporre un polnomo sgnfca scrverlo come prodotto d altr polnom. Nella scomposzone d un polnomo non devono qund comparre operazon d addzone o sottrazone fra polnom. Per esempo: ax x eá una scomposzone del polnomo ax 4a xa ya non eá una scomposzone del polnomo ax x ay y Un polnomo ce non s puoá scrvere n nessun modo come prodotto d altr polnom s dce rrducble. I fattor ce compaono nella scomposzone d un polnomo devono essere tutt polnom rrducbl. H I metod ce s utlzzano per scomporre un polnomo s basano sulle propretaá delle operazon e sulle regole de prodott notevol; ess possono essere cosõá sntetzzat: raccoglmento a fattor comune totale: s applca quando tutt termn del polnomo anno un dvsore comune ed utlzza la propretaá d raccoglmento ab 6a bx 9ab ˆ ab b ax raccoglmento a fattor comune parzale: s applca quando alcun termn del polnomo anno un dvsore comune e altr termn anno un altro dvsore comune, n modo peroá ce, al termne del raccoglmento parzale, s ottengano de fattor comun a tutto l polnomo e s possa operare un raccoglmento totale xy 6x {z } by b {z } fattore comune x fattore comune b ˆ x y by {z } fattore comune y ˆ y x b rconoscmento d prodott notevol: rentrano n quest cas ± l quadrato d un bnomo ( termn) a 6a 9 ˆ a ± l quadrato d un trnomo (6 termn) a 4x 9y 4ax 6ay xy ˆ y x a ± l cubo d un bnomo (4 termn) 8x 7a 6ax 54a x ˆ x a ± la dfferenza d quadrat ( termn) 9x ˆ x x trnomo caratterstco: eá un trnomo d secondo grado del tpo x a b x ab nel quale l termne noto puoá essere vsto come prodotto d due numer a e b tal ce la loro somma sa uguale al coeffcente del termne d prmo grado; n questo caso l polnomo s scompone nel prodotto x a x b : x 7x! ˆ 4 e 7 ˆ 4! x 7x ˆ x x 4
8 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA regola d Ruffn: s applca quando s resce ad ndvduare un dvsore della forma x a; numer a sono da rcercars fra dvsor del termne noto del polnomo e le frazon ce anno al numeratore un dvsore del termne noto e al denomnatore un dvsore del coeffcente del termne d grado massmo x x 5x possbl numer a :, essendo P ˆ 0, l polnomo eá dvsble per x 5! x x 5x ˆ x x x 0 H Rsultano po utl le seguent consderazon: a n b n eá sempre dvsble per la dfferenza della bas e, se n eá par, eá dvsble ance per la somma delle bas a n b n eá dvsble per la somma delle bas solo se n eá dspar e non eá ma dvsble per la dfferenza delle bas. D conseguenza bnom del tpo a n b n con n par sono sempre rrducbl. Dalle precedent relazon s deducono due comode regole per scomporre la somma e la dfferenza d due cub: a b ˆ a b a ab b a b ˆ a b a ab b Il trnomo nella seconda parentes delle due scomposzon s rcorda con l nome d falso quadrato perceá la sua forma rcorda lo svluppo del quadrato d un bnomo pur non essendolo (c'eá l prodotto delle bas e non l doppo prodotto). H Il M:C:D: elm:c:m: fra due o puá polnom s trova con la stessa regola ce s applca a numer e a monom; prma peroá occorre scomporre cascun polnomo n fattor rrducbl. ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO Scompon seguent polnom n fattor medante raccoglment total. ESERCIZIO GUIDATO ax a x abx a x Il M:C:D: fra termn del polnomo eá ax ce eá qund l fattore da raccoglere; all'nterno della parentes s scrve l quozente fra l polnomo dato ed l fattore comune: ax ::::: ::::: :::::: ::::: ax x ax b a
Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI 8 ax y axy 4 ax y axy axy x y xy a b 6ab a b 8ab ab ab a 4b 4 abx abx ab aby ab x x y 5 x y x x x y x y x xy 6 x y 6y 4 xy 4x y y x y x x 7 x y x y xy 5 xy 4 xy xy x x y y 8 ax y ay ay a y a y ay x y ay a 9 ab c a b c 8 b c a b c 4 ab c b c a a c 4 c a ac 0 a b ax aa b xa b a b ax a x x ax ay x x x x yx x ax ay x x y a b ax a b y 5 a b a b ax y 5 a b x ax a b ax a b xa b ax a 4 xx b ab x b x b bx b x b ab x b bx b 5 x a b a b x a b aa b a b x x a 6 Scompon seguent polnom n fattor medante raccoglment parzal e po total. xb x ab a Raccoglamo x fra prm due termn e a fra second due: xb ab ˆ b x a 7 a x b axb a ax a b 8 x a ax a x x a ax 9 a x a ax a ax 0 a b a b a b a b a x a ax a ax x x x x x mx 8my nx 4ny m n x 4y 4 x x x x x
84 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA 5 x y xy x y x y x y 6 ax bx by ay a b x y 7 abx abz x z ab x z 8 ax xb b c xc a x a b c 9 6xy y xy x x y xy x y 0 4a b 4ab a b ab a b a x b y b a y a b x a b x y xa xb ya yb a b a b x y 6x y x y 6ax y ax y x ya x Scompon rconoscendo ne seguent trnom ance l quadrato d un bnomo. 4 a x ax a x axb b ax ; ax b 5 x axb b a x 4 a x a 4 x ab ; x a 6 9 4 a x ax 9 9 4 x4 x y 4 y4 ax ; x y 7 ax 4 ax 4 9 a 9 4 y y z y z 6 a x ; y z 8 a x 8ax 8 x 6bxy b y ax ; x by 9 4 bx b x 9 b 9 4 a b a ab 4 b x b ; a a b 40 a 4 x a 4 xy a 4 y 4a 4 8a b 4b 6 a 4 x y ; 4 a b 4 x 4n x n y y x m 4a n x m 4a n ; x n y x m a n Scompon rconoscendo ne seguent polnom ance l quadrato d un trnomo. 4 x 4xy 4x 4y 8y 4 x y 4 4 x ax bx a 4 ab 4 9 b x a b 44 4 ax axy ax ay ay a a x y 45 4 x xy x y y xy 4 x y x y xy 46 9 a x abx a x b x abx 9 4 a x x a b ax Scompon rconoscendo ance dfferenze d quadrat. 47 4x z x z x z
Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI 85 48 4 8 x4 y 9 x y 9 x y 49 a 5 b4 a 5 b a 5 b 50 y 4 4 x y x y x 5 z y 9 z z y y 5 4x y y y x x 5 9 4 ay ax 4 a y x y x 54 b a b a b a 55 ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO b 4 x ax a Rscrv dapprma l polnomo raccoglendo l segno fra gl ultm tre termn: b 4 x ax a Il polnomo fra parentes eá adesso l quadrato d un bnomo: b 4 x a Puo applcare adesso la regola della dfferenza d quadrat. b a x b a x 56 a 4 a a a a a a 57 x 4 4x 4 9z 4 x z x z 58 9x 6xy y 9 y x y x 59 9a b 4a b 4a 4 a b a a b a 60 4 x x 4 9 9 y x y x y 6 4x y 0xy 5 6z 4 xy 5 4z xy 5 4z 6 9x m z x m z x m z 6 y 9x m y x m y x m 64 9a n 6a n x m a n x m a n x m 65 4x 4 4x 6y n x 4y n x 4y n Scompon rconoscendo ne seguent polnom ance l cubo d un bnomo. 66 8x x 6x x
86 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA 67 a 6a x ax 8x a x 68 7x 9x x 7 x 69 a b 6a b ab 8 ab 70 x y x y xy xy 7 8xz 6xz xz 8 x x z 7 4a b a b c abc 4 4c 6 4 ab c 7 8 x4 x y x y 8 7 xy x x y 74 Scompon n fattor seguent trnom caratterstc. x 4x Dobbamo trovare due numer ce anno come prodotto e come somma 4. PoceÁ ˆ 7 ˆ7ma solo la seconda coppa daá per somma 4, l polnomo s scompone n x x 7. 75 x 9x 0 x 8x 5 x 5 x 4 ; x x 5 76 x 6x 8 x 4x x x 4 ; x x 77 x 4x 5 x x x x 5 ; x x 78 y 4y x x 5 y y 6 ; x x 5 79 b ab 6a x bx 4b b a b a ; x b x 4b 80 x 5xy 4y x 7ax 6a x y x 4y ; x a x 6a 8 ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO x 5x Il coeffcente del termne d secondo grado non eá ; dobbamo qund trovare due numer ce abbano come somma 5 e come prodotto ˆ6; ess sono 6e, qund scrvamo l termne d prmo grado 5x come somma d 6x ed x: x 6x x Proced adesso con un raccoglmento parzale e po totale. x x 8 x x 4x 5x x x ; 4x x 8 b b x x b b ; x x
Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI 87 84 x x x 7x x x ; x x 85 4x 7x 5x 6x x 4x ; x 5x 86 4x x 4x x x 4x ; 4x x 87 4x 5bx b x 5xy y x b 4x b ; x y x y 88 y 4ay a 5a 6ax x y a y a ; a x 5a x 89 Scompon n fattor seguent polnom applcando l metodo d Ruffn. x x 0x 8 Ipossbl dvsor del polnomo sono bnom x a dove a puoá essere uguale a,, 4, 8. Applcamo l teorema d Ruffn e calcolamo rest delle dvson: P ˆ 0 8 ˆ8 Abbamo trovato l prmo dvsore: x P ˆ 0 8 ˆ 0 Eseguamo la dvsone 0 8 8 8 0 Una prma scomposzone del polnomo eá qund x x x 8 Per scomporre l trnomo nella seconda parentes possamo usare la regola del trnomo caratterstco; n defntva: x x 0x 8 ˆ x x 4 x 90 x 4x x 6 x x x 9 x x x x x x 9 x x x x x x 9 x x 5x x x x 94 4x 7x x x x 95 y by 0b y 8b y b y b y 4b (Suggermento: possbl valor d a sono b, b, 4b, 8b) 96 x bx b x 6b x b x 4b x b 97 x 5ax 4a x a x a x a x a 98 x 6x y xy 0y x 5y x y x y 99 x 4 4x y x y 4xy y 4 x y x y x 6y x y
88 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA 00 Scompon n fattor seguent polnom rcordando le regole sulla somma e dfferenza d cub. 7 a 8x Il prmo monomo eá l cubo d a, l secondo eá l cubo d x, qund, tenendo presente la regola: 7 a 8x ˆ a x 9 a ax 4x {z } {z } dfferenza delle bas falso quadrato 0 8a y ay 4a y ay 0 7x 64y x 4y 9x xy 6y 0 x 6 8 x x 4 x 4 04 05 64 a 5 c 4 a 5 c 6 a 0 ac 5 c x y x y 4 x xy 4y x y 06 a x a ax a a x ax a x a a 07 8 b a b a 4 b a b b a 4 4a 4 08 a y a y y a y 09 ax ax ax a x ax 7 0 x x 4 xx 48 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO Scompon n fattor seguent polnom. x y x 4 y x 5 y x 6 x x y x x 8x x x a b 6a b ab 5 ab a b 4 x4 y x y x y xy xy x 5 x x a x a x x a x a x
Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI 89 6 7x 5x 6 x 5x 9 5x 5x 7 4ay 6 6a y 6a y 4 4ay y a 8 x 4 a x x ax ax 9 x y 8 x z x y z y yz 4 z 0 a b a b ab ab ab 9 x b x xy x b 4 x b y x b x y 4a 5 x 8a x 4ax 4ax a a x 4b a x 4ab x x a b 4 8 b6 b 9 b 6 b b b 4 5 x 4 x x x 4 x x 6 a b 5 a bc a bb c b c 7 a 6b a b a b a 4b a b a 5b 8 xa xb ya yb a b x y a b 9 x 4 y 4 x y 4 xy xy x y 4 0 6x 5x x 0 x 5 x x x x ax a x 4ax 4 ax x abx x ab x ab x y 8x y xy y y x x x 4 x 5 4x 4 y 6x 4x y x y 9x x xy x 5 y 6 6x y 9x 4 y y x y y x y 6 x xx x x 4 x x 7 x 8 4 x x 4 x x x 4 8 ax 6 4ax 6a a x x x x 9 ax y a x 6 byx ba 6 b ax a xy 0 y ya 6yb a 4b 9y 4 y 6y a b z 4 z 5z z 6 z z z
90 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA x 4a x x a x 4ax x x a x x y x 4xy 4x y xy x x 4 x 5 x x 4 x x 4 x x x 5 abx ax bx 6 ax bx 6 x 4 x x x x x x 7 9 x 4 x 9 x 9 8 4a 6b ax bx 4a ab 9b a b x a b 9 x y xy 5 a x 5 a y xy 5 a x y 40 abx abx ab x x x ab x x 4 a a x 4x 8ax a x ax 4 x a 4 4x z 4 y xz 4x z y xy xz y xz y x 4 y 5 6y 4 y 8y y y 44 x y xy x yz xyz xy x y z y z 45 4 9 x 4xy 8y 4 x y 9 x 6y 46 x 4 x x x x x x 47 x x x 4 4 x x 8 4 48 6 x xx x x x 49 ab x 4b a 5x 0 b x 5a b a b x 50 ab x b xa bx bx ab b 5 8 x4 8xy x x y 4 x xy 9y 5 x x x 8 x 4 x x 5 ab ab ab b b ab ab 54 x 4 ax a x a x x x a x a x a 55 x 4 y 4x y 5y yx x x 5 56 ay by a b a b y ab a b 57 x n x n x n x n
Q Re Frascn - Grazz, Atlas SpA 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI 9 58 x n ax n a x n a x n a 59 a x n a 4 a x n a x n a 60 x n 8y m x n y m x n x n y m 4y m 6 Dopo aver scomposto seguent polnom, determna l loro M:C:D: e l loro m:c:m:: 4x 8x 4 x x x ax a x Scomponamo cascun polnomo: 4x 8x 4 ˆ 4 x x ˆ 4 x x x x ˆ x x x ˆ x x ˆ x x x ax a x ˆ ax x ˆ a x Il solo fattore comune alle tre scomposzon eá l bnomo x ; qund: M:C:D: ˆ x m:c:m: ˆ 4 x x x a 6 x x x x x M:C:D: ˆ x ; m:c:m: ˆ x x x 6 a 9a 7a 7 a a a 9 M:C:D: ˆ a ; m:c:m: ˆ a a a 64 a a 8a 6 8a 8 M:C:D: ˆ a ; m:c:m: ˆ 8 a a a 65 x x x 6x x 8 4x 8 M:C:D: ˆ x ; m:c:m: ˆ x 66 x y x 6 y 6 x y M:C:D: ˆ x y; m:c:m: ˆ x y x y xy x y x xy y 67 y by b y b y by b M:C:D: ˆ y b; m:c:m: ˆ y b y b y b y b 68 x 4 x x x ax ax ax 4 x x M:C:D: ˆ xx ; m:c:m: ˆ ax x x 69 bx bx 4b x 4b x b x x x M:C:D: ˆ ; m:c:m: ˆ b xx x 70 4x 7x 4x x 4x 6x 8x 5x 9 M:C:D: ˆ 4x ; m:c:m: ˆ 4x x x