ESECIZI 2 UN C SFEIC DI AGGI =10 cm è UNIFMEMENTE CAIC CN DENSITA DI CAICA ρ=10 6 C/m 3 IN TUTT IL VLUME, TANNE IN UNA CAVITA INTENA SFEICA DI AGGI r 1 =/2. IL CENT DELLA CAVITA SI TVA A DISTANZA d=r 1 DAL CENT DEL C SFEIC. A) LA CAICA TTALE Q SUL C Il problema ci presenta un corpo sferico carico con una densità uniforme, che presenta al proprio interno una cavità (assenza di cariche) anch essa sferica, ma decentrata rispetto al corpo carico. Il centro della cavità dista dal centro della sfera carica esattamente della metà del raggio del corpo carico. La figura che segue mostra il corpo in questione e la posizione della cavità interna: Corpo sferico carico r 1 Cavità sferica decentrata er calcolare la carica totale Q possiamo utilizzare la definizione di densità di carica volumetrica: da cui
Quindi la carica totale Q possiamo calcolarla moltiplicando la densità di carica volumetrica per il volume su cui è distribuita. In figura si evince che nel nostro caso la carica è distribuita sul volume V colorato in blu. (1) Tale volume è ricavabile geometricamente sottraendo all intero volume del corpo carico il volume della cavità: Quindi: ( ) ( ) dove si è utilizzato il fatto che. Sostituendo nella (1): B) L ESESSINE DEL CAM ELETTSTATIC IN TUTTI I UNTI DELL SAZI rima di analizzare il problema, ricaviamo l espressione del campo elettrico generato da una distribuzione di carica a simmetria sferica, utilizzando la legge di Gauss. Considero una sfera carica con carica Q. Vogliamo determinare il campo elettrico generato. Individuiamo due zone differenti in cui andare a valutare il campo elettrico: all interno della sfera (regione I) e esternamente alla sfera (regione II). Campo elettrico all interno della sfera di raggio (regione I). Fissiamo arbitrariamente un generico punto all interno della sfera, distante r (con r<) dal centro della sfera.
r Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico lungo una qualunque superficie chiusa passante per è pari al rapporto tra la carica contenuta all interno della superficie chiusa considerata e la costante dielettrica. oiché vale per qualunque superficie chiusa passante per, allora prendo una sfera passante per e concentrica con la sfera carica: r Detto il campo elettrico nel punto ; la carica totale contenuta all interno della sfera passante per l elemento di carica infinitesimo il teorema di Gauss afferma che: (2)
Consideriamo l integrale lungo la superficie. Se supponiamo che anche il campo elettrico abbia una simmetria sferica così come la distribuzione di carica, allora su ogni superficie sferica, sarà costante (in altre parole, supponiamo che dipenda solo da r, quindi, se fisso una superficie sferica, r è costante su tutta la superficie). Di conseguenza possiamo portare fuori dal segno di integrale, e quindi: Qual è la direzione di? Con l ipotesi fatta, il campo elettrico sarà radiale: detto il versore parallelo alla direzione individuata da r, Detta ρ la densità di carica volumetrica del corpo carico, allora possiamo scrivere: Sostituendo queste ultime 3 espressioni nella (2), si ottiene: da cui ricaviamo l espressione del campo elettrico nel punto : oiché (r è il modulo del vettore, e il suo versore), allora: (A) r r E int
Campo elettrico all esterno della sfera di raggio (regione II). Fissiamo arbitrariamente un generico punto all esterno della sfera, distante r (con r>) dal centro della sfera. Il procedimento è identico a quello visto per il caso del punto interno alla sfera. Consideriamo una sfera passante per e concentrica con la sfera carica, ipotizziamo che il campo elettrico sia costante su una superficie sferica fissa e quindi che abbia una direzione radiale, e applichiamo la legge di Gauss: E ext r r La carica elettrica contenuta all interno della sfera passante per è pari alla carica totale Q contenuta nella sfera carica, quindi: Combinando queste ultime espressioni si ottiene: da cui: (B)
oiché anche in questo caso posso utilizzare la relazione l espressione precedente diviene:, moltiplicando e dividendo per r Notiamo che sia che hanno una direzione radiale, ovvero direzione che va dal centro della distribuzione di carica sferica sino al punto considerato. Torniamo al problema. La distribuzione di carica non è a simmetria sferica per via della presenza della cavità decentrata. Sarebbe comodo lavorare con distribuzioni di cariche a simmetria sferica. Come si può procedere? Supponiamo che il corpo carico di raggio NN abbia la cavità, e sia quindi uniformemente carico con densità ρ in tutto il volume: La carica contenuta all interno del volume della sfera sarebbe: Supponiamo ancora che ESATTAMENTE al posto della cavità ci sia una distribuzione di carica negativa (con centro in ) con densità di carica ρ ( identica alla distribuzione delle cariche positive), e raggio r 1. La carica negativa totale contenuta sarà pari a : In figura è riportata la situazione ricreata:
r 1 Cosa abbiamo ottenuto? Con questa nuova schematizzazione, laddove prima c era la cavità, ora coesistono cariche positive (con simmetria sferica centrata in ) e cariche negative (con simmetria sferica centrata in ) in EGUAL NUME (perché abbiamo supposto che la densità sia la stessa). Quindi è come se non ci fossero cariche nella zona blu in figura, in quanto le cariche positive controbilanciano le cariche negative. Ne segue che la schematizzazione fatta è del tutto IDENTICA a quella originale del problema. Il vantaggio è che lavoriamo con DUE DISTIBUZINI DI CAICHE A SIMMETIA SFEICA. Il problema ci chiede di determinare l espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio. Dal disegno individuiamo tre zone differenti. egione II r 1 egione I egione III egione I: regione in cui coesistono le cariche positive e le cariche negative egione II: regione in cui ci sono solo cariche positive egione III: regione in cui non ci sono cariche
egione I Considero un generico punto nella regione I. Questo punto è INTEN alla distribuzione di cariche negative con centro in e INTEN alla distribuzione di cariche positive con centro in. Quindi il campo elettrico risultante in sarà la somma vettoriale di due contributi, uno derivante dalla distribuzione di cariche positive e l altro dalla distribuzione di cariche negative. oiché entrambe le distribuzioni sono sferiche, possiamo utilizzare i risultati ottenuti precedentemente applicando la legge di Gauss ad una distribuzione di carica sferica generica. Sia per il contributo dato dalla distribuzione di cariche positive che per il contributo dato dalla distribuzione di cariche negative utilizziamo l espressione (A), in quanto il punto è interno ad entrambe le distribuzioni: r egione II s r 1 egione I egione III Nell utilizzare l espressione (A) per entrambe le distribuzioni di carica, ricordiamoci che la direzione del campo generato da una distribuzione di carica sferica è sempre radiale, ovvero spiccata dal centro della distribuzione. Quindi, il vettore relativo al contributo al campo dato dalla distribuzione di carica positiva nel punto deve essere spiccato da ; il vettore relativo al contributo dato dalla distribuzione di carica negativa nel punto deve essere spiccato da. Utilizzando la (A), otteniamo che il contributo al campo elettrico nel punto dovuto alla distribuzione di carica positiva avrà la forma: e che il contributo al campo elettrico nel punto dovuto alla distribuzione di carica negativa avrà la forma:
Il campo elettrico nel punto sarà la somma di questi due contributi ( ) Dalla figura si evince che la differenza tra i due vettori è pari a: e quindi: Il campo elettrico all interno della cavità è costante. egione II Considero un generico punto nella regione II. Questo punto è INTEN alla distribuzione di cariche positive con centro in e ESTEN alla distribuzione di cariche negative con centro in. Quindi il campo elettrico risultante in sarà la somma vettoriale di due contributi, uno derivante dalla distribuzione di cariche positive e l altro dalla distribuzione di cariche negative. oiché entrambe le distribuzioni sono sferiche, possiamo utilizzare i risultati ottenuti precedentemente applicando la legge di Gauss ad una distribuzione di carica sferica generica. er il contributo dato dalla distribuzione di cariche positive utilizziamo l espressione (A), in quanto il punto è interno ; per il contributo dalla distribuzione di cariche negative dobbiamo utilizzare l espressione (B) in quanto il punto è esterno a tale distribuzione: s r egione II r 1 egione I egione III
Anche in questo caso, il vettore relativo al contributo al campo dato dalla distribuzione di carica positiva nel punto deve essere spiccato da ; il vettore relativo al contributo dato dalla distribuzione di carica negativa nel punto deve essere spiccato da. Il contributo al campo elettrico nel punto dovuto alla distribuzione di carica positiva avrà la forma: mentre il contributo al campo elettrico nel punto dovuto alla distribuzione di carica negativa avrà la forma (il raggio della distribuzione di carica sferica negativa è pari a ) data da (B) Il campo elettrico nel punto sarà la somma di questi due contributi ( ( ) ) egione III Considero un generico punto nella regione III. Questo punto è ESTEN alla distribuzione di cariche negative con centro in e ESTEN alla distribuzione di cariche positive con centro in. Quindi il campo elettrico risultante in sarà la somma vettoriale di due contributi, uno derivante dalla distribuzione di cariche positive e l altro dalla distribuzione di cariche negative. oiché entrambe le distribuzioni sono sferiche, possiamo utilizzare i risultati ottenuti precedentemente applicando la legge di Gauss ad una distribuzione di carica sferica generica. Sia per il contributo dato dalla distribuzione di cariche positive che per il contributo dato dalla distribuzione di cariche negative utilizziamo l espressione (B), in quanto il punto è esterno ad entrambe le distribuzioni: egione II r s r 1 egione I egione III
Nell utilizzare l espressione (B) per entrambe le distribuzioni di carica, ricordiamoci che la direzione del campo generato da una distribuzione di carica sferica è sempre radiale, ovvero spiccata dal centro della distribuzione. Quindi, il vettore relativo al contributo al campo dato dalla distribuzione di carica positiva nel punto deve essere spiccato da ; il vettore relativo al contributo dato dalla distribuzione di carica negativa nel punto deve essere spiccato da. Utilizzando la (B), otteniamo che il contributo al campo elettrico nel punto dovuto alla distribuzione di carica positiva avrà la forma (il raggio della distribuzione di carica sferica negativa è pari a ): e che il contributo al campo elettrico nel punto dovuto alla distribuzione di carica negativa avrà la forma (il raggio della distribuzione di carica sferica negativa è pari a ): Il campo elettrico nel punto sarà la somma di questi due contributi ( ( ) ( ) )