PROBLEMA 15 E dato il stema di piani inclinati della figura qui sotto dove α = 35,0, β = 40,0, AB =,00 m e BC = 1,50 m. Un corpo di massa m =,00 kg è posto in A e tra il corpo e il pia, lungo tutto il tratto ABC, c è attrito (coefficiente di attrito statico 0,500; coefficiente di attrito dinamico = 0,300). tabilire (a) se il corpo scivola lungo il pia inclinato; (b) se il corpo riesce a salire lungo il tratto C e in caso affermativo a che altezza arriva; (c) in che punto il corpo ferma definitivamente. ATTENZIONE: nelle figure gli angoli e i segmenti n so in scala con i valori assegnati, ma ciò n pregiudica la soluzione. 1
OLUZIONE Poiché il problema è abbastanza complesso ed è bene fare u schema della soluzione: - 1 - Il corpo ha un peso sufficiente a vincere la forza di attrito statico con il pia? - - Il corpo n muove. Fine problema - 3 - tudio del moto nel tratto AB e calcolo della velocità in B. - 4 - tudio del moto nel tratto BC. Il corpo arriva in C? - 6 - etermi la velocità in C e studio del moto nel tratto C. etermi l altezza a cui arriva. - 5 - etermi il punto in cui ferma. - 7 - In il peso è sufficiente a vincere la forza di attrito statico con il pia? - 11 - etermi il punto in cui ferma. - 8 - Il corpo ferma. - 9 - Il corpo scende lungo il tratto C. Calcolo della velocità in C. - 1 - etermi la velocità in B e studio il moto nel tratto BA. etermi l altezza a cui arriva. Riprendo dal punto 3 fi a quando n riesce a determinare il punto in cui il corpo ferma. Non è necessario ripetere i punti 1 e 7 in quanto sappiamo che so soddisfatte le condizioni di scivolamento. - 10 - tudio del moto nel tratto CB. Il corpo arriva in B? Risolviamo quindi punto per punto.
1) Vediamo se la massa ha un peso sufficiente per vincere la forza di attrito statico con il pia inclinato; affinché ciò avvenga deve essere P fa, da cui segue, essendo P = mg senα e f = µ mg cos α, A, mg senα µ mg cos α e quindi la condizione tgα µ. Essendo tg35,0 0,7 il corpo inizia a scivolare lungo il tratto AB. 3) Applicando il secondo principio della dinamica ha F = P fa da cui segue: ma = mg senα µ mg cos α a = senα µ cos α g = 3, 1 m/s. Lungo il tratto AB il moto è uniformemente accelerato e scegliendo un stema di riferimento la cui l origine coincida con A e il verso a da A verso B, han le seguenti equazioni del moto 1 s = at s = 1, 61t da cui. = at v = 3, 1t Posto s uguale alla lunghezza del tratto AB, dalla prima equazione ricava = 1, 61t e quindi il tempo per arrivare in B: t = 1,1 s. Quando la massa arriva in B, dalla seconda equazione, ricava che la sua velocità è: vb = 3,1t = 3,1 1,1 = 3,60 m/s. 4) ul tratto orizzontale BC il moto è decelerato per effetto dell attrito e applicando il secondo principio della dinamica ha che F = fa da cui segue: ma = µ mg a = µ g =, 94 m/s. cegliendo un stema di riferimento la cui l origine coincida con B e il verso a da B verso C, han le seguenti equazioni del moto 1 s = vbt + at x = 3, 60t 1, 47t da cui. = vb + at v = 3, 60,94t Quando il corpo arriva nel punto C, s = 1,50 m, quindi la prima equazione diventa: 1,5 = 3, 60t 1, 47t, ovvero (*) risolvendo 1, 47t 3, 60t + 1,5 = 0 3,60 ± 3,60 4 1,47 1,5 t = = 1, 47 t 1 = 0, 534s t = 1,91s 3
i osservi che la seconda soluzione n è accettabile perché quando il corpo arriva in C, cioè dopo 0,534 s, il moto cambia e quindi le equazioni utilizzate perdo di gnificato. Per t = 0,534 s ha: vc = 3, 60,94 0,534 =, 03 m/s.[ 1 ] Poiché in C il corpo ha ancora una velocità, inizierà a salire su per il secondo pia inclinato. 6) Applicando il secondo principio della dinamica al tratto C, ha che F = P fa da cui segue: ma = mg senβ µ mg cosβ a = senβ + µ cosβ g = 8,55 m/s. Lungo il tratto C il moto è quindi uniformemente decelerato e scegliendo un stema di riferimento la cui l origine coincida con C e il verso a da C verso, han le seguenti equazioni del moto 1 1 s = vct + at x =, 03t 8,55t da cui. = vc + at =,03 8,55t,03 Il corpo ferma quando v = 0, quindi dopo un intervallo di tempo t = = 0, 37 s, ed ha 8,55 percorso 0,41 m. L oggetto arriva quindi ad un altezza h = s senβ = 0, 41 sen40 = 0,155 m. 7) A questo punto il corpo potrebbe fermar se la componente parallela del peso n superasse la forza di attrito statico, ma ripetendo il ragionamento del punto 1) ed essendo tg40, 0 = 0,839 > µ = 0, 500, deduce che esso scende. 9) Applicando il secondo principio della dinamica al tratto C, ha che F = P f da cui segue: A ma = mg senβ µ mg cosβ a = senβ µ cosβ g = 4, 05 m/s. Lungo il tratto C il moto è quindi uniformemente accelerato e scegliendo un stema di riferimento la cui l origine coincida con e il verso a da verso C, han le seguenti equazioni del moto 1 1 s = at s = 4, 05t da cui. = at = 4, 05t [ 1 ] L equazione (*) è una equazione di secondo grado in t e quindi o ammette due soluzioni reali e distinte, o due soluzioni reali e coincidenti o nessuna soluzione. Nel primo caso la massa arriva in C con velocità maggiore di zero ed inizia a salire lungo il pia inclinato, nel secondo caso arriva in C e ferma, nel terzo caso NON arriva in C e quindi ferma prima. In quest ultimo caso bisogna risolvere l equazione 0 = v + at per determinare l istante in cui la massa 1 ferma e sostituendo il valore di t nell equazione s = vbt + at ha la distanza da B in cui la massa ferma. B 4
Posto s uguale alla lunghezza del tratto C, ovvero s = 0, 41 m (vedi punto 6), dalla prima equazione ricava il tempo che il corpo impiega, per arrivare in C, un tempo t = 0,345 s. In C, dalla seconda equazione, esso ha una velocità vc = 4,05t = 4,05 0,345 = 1,40 m/s. Il corpo prosegue quindi il suo moto verso B. 10) Per stabilire se arriva in B applichiamo il secondo principio della dinamica nel tratto CB, ma quello che ottiene anche intuitivamente è che l accelerazione è la stessa di quando la massa sta attraversando il tratto BC in senso opposto, cioè a = µ g =, 94 m/s. Per determinare se il corpo arriva in B dobbiamo utilizzare le equazioni del moto: 1 s = vct + at s = 1, 40t 1, 47t da cui = vc + at v = 1, 40,94t Quando arriva al punto B, s = 1,50 m, quindi la prima equazione diventa: ovvero 1, 47t 1, 40t + 1,5 = 0 risolvendo 1,40 ± 1, 40 4 1, 47 1,5 1,06 ± 6,86 t = = che è imposbile. 1,47,94 Ciò gnifica che il corpo NON arriva in B (vedi ta 1). 1,5 = 1, 40t 1, 47t, 11) Per determinare il punto X in cui ferma la massa nell equazione v = vc + at poniamo v = 0. 1, 40 i ottiene t = = 0, 476 s. ostituendo nella prima equazione del stema otteniamo,94 s = 1, 46 0, 476 1,47 0, 476 = 0,333 m. Ovvero il corpo ferma a 0,333 m da C. 5