Elettronica dello Stato Solido Lezione 11: Statistica dei portatori Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 2 Outline Densità di portatori in Metalli Semiconduttori/isolanti Densità di stati in approssimazione parabolica (1D, 2D, 3D) Statistica di particelle Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann Conclusioni
Introduzione Per calcolare la densità di corrente di elettroni = -qnv nei semiconduttori/metalli abbiamo bisogno di: Velocità v = mf Densità di portatori n che partecipano al trasporto banda di conduzione La densità di portatori si ottiene come prodotto di densità di stati per probabilità di occupazione, da integrare sull energia n g( E) f ( E) de E C D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 3
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 4 E E Metalli E E C E F k E V g(e) f(e) Il livello di Fermi (potenziale chimico degli elettroni nel solido, funge da confine tra stati occupati e vuoti) è allineato con una banda la banda è parzialmente piena alta conducibilità elettrica e termica
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 5 Semiconduttori/isolanti E E E E C E F k E V g(e) f(e) Il livello di Fermi (potenziale chimico degli elettroni nel solido, funge da confine tra stati occupati e vuoti) è allineato con un gap la banda è completamente piena (valenza) o vuota (conduzione) a T = 0 K, bassa conducibilità elettrica e termica
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 6 Outline Densità di portatori in Metalli Semiconduttori/isolanti Densità di stati in approssimazione parabolica (1D, 2D, 3D) Statistica di particelle Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann Conclusioni
Struttura a bande reale D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 7
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 8 Approssimazione parabolica Dato che i fenomeni di trasporto e ottici avvengono normalmente in corrispondenza del fondo/apice della banda di conduzione/valenza, è legittimo adottare l approssimazione parabolica E E k C per ricavare una formula analitica per la densità di stati g(e) 2 2m e 2
-p/a E Densità di stati 1D k +p/a Condizioni periodiche al contorno: ( Na) ( 0) ikna ikna 2p u( Na) e u( 0) e 1 k n Na n 0, 1, 2,..., N 2 2p k Na Due stati sull asse k distano pertanto e la densità è Lunghezza tra k e k+dk 1 2 1 2 ( ) dk dk g k dk g 2 2 / s dk k p Na Na p Spin Volume cristallo D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 9
Densità di stati 1D E E -p/a k +p/a E C E V g(e) Densità in energia: Relazione E-k: g( E) de g( k) dk de E E k k C 2 2 2 2m e dk me Quindi g 2 1 2 1 ( E ) g ( k dk me me D ) de p 2 k p E E D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 10 C
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 11 E k 1 k 2 k 2 Densità di stati 2D dk k=(k 12 +k 22 ) 1/2 k 1 Condizioni periodiche al contorno: 2p 2p k n, k n 1 1 2 2 N1a1 N2 a2 Volume associato allo stato k: 2 2p 2p k N a N a 1 1 2 2 2 2 Quanti stati tra k e k+dk? g( k) dk Area tra k e k+dk 2p kdk 1 2 2 / Spin p 2 k dk p Volume (area) del cristallo
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 12 Densità di stati 2D E E E k 2 k 1 -p/a 1 Relazione E-k: Quindi: de E EC k k E k k 2m 2m dk m k 1 +p/a 1 2 2 2 2 2 2 1 2 C e e e k m m g( E) de g( k) dk g ( E) p k p E C E V e e 2D 2 2 g(e)
k 1 k 3 k 1 k 2 k 3 Densità di stati 3D Condizioni periodiche al contorno: 2p 2p 2p k n, k n, k n 1 1 2 2 3 3 N1a1 N2a2 N3a3 Volume associato allo stato k: 3 2p 2p 1 1 2 2 3 3 3 3 k N a N a N a Quanti stati tra k e k+dk? k 2 g( k) dk Volume tra k e k+dk 4p k dk 1 2 2 p / Spin Densità per area unitaria D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 13 k p 2 2 3 2 dk
k 3 Densità di stati 3D E E k 1 k 2 -p/a 1 k 1 +p/a 1 E C E V g(e) Relazione E-k: Quindi: de E EC k k k E k k 2m 2m dk m 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 C e e e 2 32 / me 2 k me g( E) de g( k) dk g3d( E) E E 2 2 2 3 p k 2p D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 14 C
Massa efficace DOS Banda di conduzione: Banda di valenza: 2 32 / mn gc( E) E E 2 3 2p 2 32 / mp gv( E) E 2 3 V E 2p C E E C E V g(e) Le masse m* n e m* p sono chiamate masse efficaci DOS (density of states) Per minimi/massimi unici (G) e isotropi le masse DOS coincidono con la massa del portatore, e.g. m* n = m* e per la banda di conduzione del GaAs D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 15
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 16 Casi degeneri/anisotropi k z k z k y k y k x k x Per casi degeneri (e.g. valli multiple in banda di conduzione) e/o anisotropi (e.g. masse trasversali e longitudinali), dobbiamo ricavare una massa DOS tale che la sfera di Fermi equivalente (m* n isotropa) contenga lo stesso numero di stati degli ellissoidi (m* t, m* l ) di Fermi reali stesso volume (k equidistribuiti)
Casi degeneri/anisotropi k z 2 2 k k k k E EC 1 2m k eff n 2m E E n 2 2 2 1 2 3 2 keff C k x k y 3 4 2 3 4 E EC p eff p2 n 2 vol k m 3 3 k z k k k k E EC 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k1 2 3 k1 2 3 2 2 ml mt 2m E E 2m E E, l C t C k x k y 1 4 2 4 2 2 E EC vol g p g p mlmt 2 2 3 3 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 17 3 2
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 18 Massa DOS di Si e Ge Ponendo uguali i volumi (pari numero, e quindi densità, di stati per ogni energia) si ottiene: 3 1 2 1 2 m g m m m g m m 2 2 2 3 3 3 n l t n l t In banda di valenza, si deve tenere conto della degenerazione hh/lh: basta sommare le densità di stati (g V =g hh +g lh ), ottenendo: 2 3 3 3 2 2 p hh lh m m m
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 19 Masse DOS in Ge, Si, GaAs Masse DOS in banda di conduzione: Ge: m* n /m 0 = 4 2/3 1.59 1/3 0.0815 2/3 = 0.553 Si: m* n /m 0 = 6 2/3 0.916 1/3 0.19 2/3 = 1.06 GaAs: m* n /m 0 = m* e /m 0 = 0.067 Masse DOS in banda di valenza Ge: m* p /m 0 = (0.347 3/2 +0.0429 3/2 ) 2/3 = 0.357 Si: m* p /m 0 = (0.537 3/2 +0.153 3/2 ) 2/3 = 0.59 GaAs: m* p /m 0 = (0.51 3/2 +0.082 3/2 ) 2/3 = 0.532
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 20 Massa di conduzione Si impiega ai fini del calcolo della mobilità Le diverse masse danno contributi in parallelo alla conduzione: dato che la conducibilità è inversamente proporzionale alla massa, la media deve effettuarsi sull inverso delle masse k x k z k y 2 2 2 1 ml mt mt 3 m c m 6 1 2 c m m m* c /m 0 =0.26 (Si) m* c /m 0 =0.12 (Ge) l t
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 21 Outline Densità di portatori in Metalli Semiconduttori/isolanti Densità di stati in approssimazione parabolica (1D, 2D, 3D) Statistica di particelle Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann Conclusioni
E 3 E 2 E 1 g 4 E 4 g 3 g 2 g 1 N Statistica di particelle N 4 = 3 N 3 = 4 N 2 = 3 N 1 = 4 Problema: sistema con N particelle identiche e debolmente interagenti, volume costante Livelli in energia discreti che raggruppiamo in gruppi di g stati a energia E Occupazione (0/1) degli E equiprobabile g = degenerazione N = numero di particelle sul livello E (distribuite sui g stati) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 22
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 23 Numero di configurazioni Quante sono le possibili configurazioni di un particolare stato del sistema? Numero di configurazioni = W Lo stato del sistema con il massimo numero di configurazioni rappresenta il più probabile stato di equilibrio Il massimo numero di configurazioni coincide con il massimo dell entropia: S k logw
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 24 Statistica di Fermi-Dirac 1 Particelle indistinguibili: dalla meccanica quantistica, lo scambio di due particelle tra i rispettivi stati non è rilevabile da nessuna misura fisica In ogni stato è possibile collocare una sola particella (principio di esclusione di Pauli) Nota: gli stati sono sempre a coppie, spin Stato del sistema = N particelle sul livello E
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 25 Statistica di Fermi-Dirac 2 In quanti modi posso collocare N palline in g stati? La prima in g modi, la seconda in g -1, la terza in g - 2.. l ultima in g -N +1 Particelle indistinguibili il numero è da ridurre per le permutazioni di N particelle Estendendo alla sequenza di livelli energetici W FD E g N g g g! N! N! g N!! g! N! g N!
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 26 Formula di Stirling Calcoliamo il logaritmo logw FD : logw log g! log N! log g N! FD Formula di Stirling logx!=xlogx-x 120 100 80 60 40 20 0 logm! Stirling 0 10 20 30 40
Condizione di massimo vincolato D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 27 Quindi: logw g logg g N logn N Massimizziamo logw FD : FD g N g N g N ( )log( ) ( ) g g N N g N g N log log ( )log( ) logw FD logw N FD N 0 Con i vincoli: N U E N N 0 0
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 28 Moltiplicatori di Lagrange Se devo trovare il massimo di una funzione a 2 variabili f(x,y) sottoposto al vincolo g(x,y)=c, cerco le soluzioni tra i punti di stazionarietà della funzione f ( x, y ) g( x, y ) c Nel nostro caso quindi impongo: logw FD logwfd a N bu a be N N Ma data l indipendenza dei N, la soluzione è che ogni termine nella sommatoria si annulli: logw N FD a be 0 0
Metodo MDL Funzione f(x,y) valutata sulla curva g(x,y)=c Nel punto di massimo vincolato, il contour di f e la curva g(x,y)=c sono tangenti Equivalentemente, in quel punto il gradiente di f(x,y) e quello di g(x,y)-c sono paralleli, i.e. proporzionali, con coefficiente di proporzionalità D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 29
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 30 Risultato Sostituendo logw g logg N log N ( g N )log( g N ) FD Trovo: E quindi logw N g FD logn 1 log( g N ) 1 a be N abe g e N abe N e 1 Ricavo una probabilità di occupazione: Significato di a, b? serve supporto dalla teoria termodinamica f N 1, FD abe g e 1
Prima legge della termodinamica L energia in un processo termodinamico si conserva (non può essere creata o distrutta, ma solo trasformata) du Q L Dove U = energia interna (energia immagazzinata nel sistema), Q = calore (trasferimento di energia da sorgente calda) e L = lavoro fatto dal sistema Tradotto in differenziali esatti: du TdS PdV mdn Dove si è incluso anche lo scambio di energia sotto forma di materia, con m = potenziale chimico delle particelle N La variazione di entropia a volume costante è quindi: ds du T m dn T D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 31
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 32 Interpretazione termodinamica Confrontiamola con l espressione: dove logw a N bu 0 S k logw FD ds bkdu akdn,quindi du m ds dn m T T a kt e la distribuzione Fermi Dirac diventa: N 1 abe E e g e g m kt 1 b 1 kt m E F Energia di Fermi = potenziale chimico degli elettroni
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 33 Argomento semplificato Dal risultato della massimizzazione con i moltiplicatori di Lagrange, posso adottare i seguenti argomenti: La distribuzione f deve essere pari a ½ in E F = m = potenziale chimico degli elettroni 1 1 f ( E ) a be 0 a be abef e 1 2 FD F F F La distribuzione deve tendere alla Maxwell- Boltzmann per E grande b=1/kt f 1 ( E) kt e FD E E F 1
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 34 Fermioni e bosoni Entrambe le particelle sono indistinguibili tra loro, cioè: non è possibile etichettare le particelle, oppure lo stato con particella 1 in a e la particella 2 in b non è distinguibile dallo stato con particella 1 in b e la particella 2 in a) Funzione d onda: Simmetrizzazione: Bosoni Fermioni ( x1, x2) a ( x1) b ( x2) NO! 1 ( x1, x2) a( x1) b( x2) a( x2) b( x1) 2 1 ( x1, x2) a( x1) b( x2) a( x2) b( x1) 2
Fermioni e bosoni Conseguenza 1: funzione pari (bosone) o dispari (fermione) rispetto all operazione di scambio di particelle Conseguenza 2: la funzione d onda di due fermioni nello stesso stato è identicamente nulla 1 ( x1, x2) a( x1) a( x2) a( x2) a( x1) 0 2 impossibile per due fermioni condividere lo stesso stato principio di esclusione di Pauli Nessuna restrizione per bosoni condensazione di Bose (tutte le particelle nello stesso stato a 0 K) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 35
Statistica di Bose-Einstein Particelle indistinguibili (come FD) In ogni stato è possibile collocare un numero illimitato di particelle In quanti modi posso collocare N palline in g stati? g =12 N =16 Il problema equivale a permutare N palline e g -1 barriere tra stati Da ridurre per le permutazioni di N particelle e g -1 barriere N N N g 1! g 1! g 1!! Estendendo a tutti gli E D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 36 W BE N N g 1! g 1!!
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 37 Massimizzazione di W BE 1 Calcoliamo il logaritmo logw BE : 1 1 logw log N g! log N! log g! BE N g 1logN g 1 N logn g 1logg 1 Condizione di massimo vincolato: logw N BE U E N N logw 0 0 N BE N 0
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 38 Massimizzazione di W BE 2 Moltiplicatori di Lagrange: logw BE logwbe a N bu a be 0 N N Che per l indipendenza dei N diventa: Quindi: N log logw N BE a be N g 1 logn a be g 1 g g e 1 e 1 kt e a be a be E m 0 1
Fermi-Dirac Passaggio al continuo N e E g m kt 1 g( E) de n( E) de E m kt e 1 Bose-Einstein N e E g m kt 1 g( E) de n( E) de E m kt e 1 Maxwell-Boltzmann N g e n( E) de g( E) dee La distribuzione FD si applica a fermioni (particelle a spin semi-intero, e.g. elettroni), quella di BE ai bosoni (particelle a spin intero) La distribuzione di MB/semiclassica si usa come limite di FD e BE per E>>m D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 39 E m kt E m kt
Applicazione: gas di fotoni/fononi D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 40 L applicazione tipica della statistica di BE è ai gas atomici (elio) Più in generale si può applicare ad ogni particella (o quasi particella) dotata di spin intero fotone (quanto di radiazione elettromagnetica) e fonone (quanto di vibrazione reticolare in un cristallo) In entrambi i casi (fotone/fonone) è necessario introdurre una modifica: sia i fotoni sia i fononi non si conservano, ma possono essere creati o distrutti il vincolo N=0 viene meno, quindi m=akt=0
Densità di energia nella cavità Dalla trattazione di Rayleigh-Jeans, la densità di modi è [m -3 3 ]: L energia è legata alla frequenza da E h, 3 quindi scriviamo d p 2 2 Allora la densità di fotoni è: n( E) g( E) f ( E) La densità di energia è: 2 p c 2 g( ) d d g( E) g( ) 3 E de h c BE u( E) Eg( E) f ( E) BE 2 8p E 1 3 3 E hc e kt 1 3 8p E 1 3 3 E hc e kt 1 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 41
f [1] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 42 Distribuzioni a confronto 2,5 2 1,5 FD BE MB 1 0,5 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Energia [ev]
f [1] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 43 Distribuzione di Fermi 1,2 1 0,8 1 100 300 600 0,6 0,4 0,2 N e E g m kt 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Energia [ev] La curva impiega circa 5kT per andare dal 90% al 10% alle basse temperature è praticamente un gradino
D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 11 44 Conclusioni La densità di portatori in solidi (metalli o semiconduttori/isolanti) all equilibrio richiede di conoscere: Densità di stati. In approssimazione parabolica, la densità in 3D cresce con la radice dell energia. Si adotta un opportuna massa (DOS). Probabilità di occupazione degli stati distribuzione statistica di Fermi Dirac