Corso di Laurea in Economia e Finanza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 39
Introduzione Come si è detto, uno dei compiti principali della statistica consiste nel sintetizzare in alcune costanti particolari aspetti del fenomeno oggetto dello studio. Alle distribuzioni di frequenza vanno affiancate le opportune rappresentazioni grafiche che, sebbene non consentano di evidenziare eventuali sfumature del fenomeno oggetto di studio, ne danno una visione immediata. Supponiamo di voler confrontare 4 processi produttivi. Per ogni processo produttivo sono rilevati i costi di produzione mensili per otto anni consecutivi. I grafici che seguono mostrano i relativi istogrammi. 2 / 39
Processo 1 Processo 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 78 79 80 81 82 88 89 90 91 92 Processo 3 Processo 4 0 1 2 3 4 5 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 79.7 79.8 79.9 80.0 80.1 80 90 100 110 120 3 / 39
Consideriamo i costi di produzione del primo processo produttivo. Quali costanti sintetiche possono essere utilizzate per descrivere la distribuzione dei dati? Processo 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 77 78 79 80 81 82 83 4 / 39
Gli aspetti più importanti di una distribuzione di frequenza riguardano: i. la posizione, cioè la misura della sua centralità complessiva in rapporto ai valori e alle rispettive frequenze. La sintesi dovrà essere un valore rappresentativo della variabile nella sua globalità, espresso nella stessa unità di misura del fenomeno in esame e capace di sostituire i valori osservati; ii. la variabilità, ovvero l attitudine del carattere ad assumere diverse modalità. sintesi deve essere capace di graduare più fenomeni in termini di variabilità; iii. la forma, cioè l aspetto complessivo della distribuzione di frequenza rispetto a configurazioni standard. In particolare, la sintesi dovrà misurare 1. l allontanamento dalla condizione di simmetria; 2. l accentuazione o l appiattimento delle modalità più frequenti. Principio Generale della Statistica Poiché ogni misura di sintesi costituisce una perdita d informazione contenuta nei dati elementari, essa va ricercata in modo da minimizzare la perdita d informazione subita. La 5 / 39
Tutti gli indici statistici possono essere suddivisi in tre categorie: i. gli indici assoluti sono misure che possono variare liberamente da un valore minimo ad un valore massimo, anche infiniti, e che sono espressi in una unità di misura che dipende strettamente dall unità di misura della variabile in oggetto; ii. gli indici relativi sono misure svincolate dall unità di misura perché costituiscono rapporto tra indici assoluti, oppure rapporti tra indici assoluti e i loro valori estremi; sono pertanto numeri puri e sono utili per confrontare fenomeni simili; iii. gli indici normalizzati sono particolari indici relativi che variano in un intervallo finito, generalmente in [0, 1] oppure in [ 1, +1]; possono, quindi, essere utilizzati per effettuare sintesi e confronti tra qualsiasi tipo di fenomeni per i quali essi siano logicamente ed analiticamente calcolabili. 6 / 39
I valori medi Per quanto concerne i valori medi è stato scritto che ogni media trae la sua giustificazione dal particolare problema che essa è chiamata a semplificare e risolvere. Questo concetto, molto relativo e generico di valore medio, si ricollega principalmente alla classica definizione proposta da Cauchy. Definizione di Cauchy Si definisce media secondo Cauchy qualsiasi valore compreso tra il più piccolo e il più grande dei valori osservati. La definizione fornita da Cauchy porta alla definizione di infiniti e indistinguibili valori medi a cui è difficile attribuire un qualche significato investigativo. 7 / 39
Istogramma relativo alla distribuzione dei costi del primo processo produttivo Processo 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 77 78 79 80 81 82 83 8 / 39
Medie del Chisini Diventa perciò essenziale la ricerca di qualche criterio che aiuti a raccogliere, nell ambito dei diversi concetti unificatori, i diversi tipi di medie nel tentativo di attribuire ad essi significati coerenti con le informazioni sintetiche contenute nei dati. Da questo punto di vista risulta molto più efficace la definizione data dal Chisini secondo la quale la ricerca di una media ha lo scopo di semplificare una qualche nostra questione sostituendo in essa a due o più quantità date una quantità sola che valga a sintetizzarle senza alterare la visione d insieme del fenomeno considerato. Questa definizione non copre tutta la vasta gamma di medie; essa fa riferimento prevalentemente ad una particolare categoria di medie che trova fondamento teorico sull idea di disporre di valori osservati su n oggetti/soggetti diversi. Le medie che discendono dalla definizione del Chisini sono grandezze che se sostituite ai dati osservati li sintetizzano lasciando inalterata la visione d insieme del fenomeno considerato. 9 / 39
Definizione Sia X una variabile quantitativa e supponiamo di disporre di n valori osservati su oggetti/soggetti diversi. Si indichi con f una generica funzione utilizzata per sintetizzare (aggregare) i valori osservati. Si definisce media secondo Chisini rispetto alla funzione aggregatrice f quel valore M che se sostituito alle x i lascia inalterata l identità f (x 1, x 2,..., x i,..., x n ) = f (M, M,..., M,..., M). } {{ } n volte 10 / 39
La scelta della funzione f utilizzata nella definizione di media secondo Chisini dipende dalla natura del fenomeno che stiamo studiando e in particolare dal modo con cui vengono aggregati i valori rilevati. A tal proposito si distingue tra a) fenomeno con natura additiva: in questo caso ha senso aggregare i dati tramite l operazione algebrica di somma; b) fenomeno con natura moltiplicativa: in questo caso ha senso aggregare i dati tramite l operazione algebrica di prodotto. 11 / 39
Fenomeno con natura additiva Se il fenomeno ha natura additiva la funzione f è la funzione somma quindi l identità iniziale f (x 1, x 2,..., x i,..., x n ) = f (M, M,..., M,..., M) } {{ } n volte può essere riscritta come x 1 + x 2 +... + x i +... + x n = M + M +... + M +... + M } {{ } n volte x i = M x i = n M M = n x i n 12 / 39
La quantità n i=i M = x i, n è chiamata media aritmetica semplice ed è usualmente indicata con il simbolo x a. Il nome deriva dal fatto che la quantità x a assume posizione centrale in una serie aritmetica di ragione k. Esempio Si consideri la seria aritmetica di ragione k = 2 con origine il valore 5 e lunghezza 7, ovvero 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. In questo caso è facile vedere che x a = 11 ovvero il valore di posto quattro. Note: Quando dal contesto è chiaro il riferimento alla media aritmetica semplice, useremo il simbolo x invece di x a. 13 / 39
Proprietà della media aritmetica semplice Si definisce scarto dell i-esimo valore dalla media aritmetica semplice la quantità x i x a. Con riferimento alla seria aritmetica 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. la cui media aritmetica semplice è x a = 11, la corrispondente sequenza di scarti è 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, da cui si osserva che la loro somma è uguale a zero. Questo risultato è formalizzato dal seguente teorema. 14 / 39
Teorema La somma algebrica degli scarti dei valori x i dalla loro media aritmetica semplice è uguale a zero Dimostrazione (x i x a ) = = x i x a = x i n x a = n x i n x i = n x i x i = 0. 15 / 39
Teorema Sia x 1, x 2,..., x i,..., x n una serie statistica di dati e consideriamo la trasformata lineare y i = α + βx i, con i = 1, 2,..., n. Indichiamo con x a la media aritmetica semplice calcolata sul primo campione. Denotata con ȳ a = n y i/n la media aritmetica semplice calcolata sui valori y 1, y 2,..., y i,..., y n, si dimostra che ȳ a = α + β x a. Dimostrazione ȳ a = n y i n = nα + β n x i n n = (α + βx i) = n = nα n + β n x i n n α + n βx i n = α + β x a. = 16 / 39
Esempio Da un sito WEB americano vengono acquistati 10 libri. Il prezzo medio in dollari è 32.5. Sapendo che il tasso di cambio tra dollaro ed euro è di 0.7365, si vuole conoscere il prezzo medio in euro considerando che per l invio di ogni libro ci sono 2 euro di spese postali. Se indichiamo con x i il prezzo del libro in dollari e con y i il prezzo in euro, dal tasto si deduce che è vera la relazione y i = 2 + 0.7365 x i. Applicando il teorema precedente si ricava che ȳ a = 2 + 0.7365 32.5 = 25.94, cioè una spesa media di 25.94 euro per libro. 17 / 39
Teorema La somma degli scarti al quadrato dei valori x i da una generica costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica, ovvero (x i c) 2 è minimo quando c = x a. Dimostrazione Sia c un qualsiasi valore reale e consideriamo l identità (x i c) 2 = = = [(x i x a ) + ( x a c)] 2 = [(x i x a ) 2 + ( x a c) 2 + 2( x a c)(x i x a )] = (x i x a ) 2 + ( x a c) 2 + 2( x a c)(x i x a ) = 18 / 39
(x i c) 2 = = (x i x a ) 2 + ( x a c) 2 + 2( x a c)(x i x a ) = (x i x a ) 2 + n( x a c) 2 + 2( x a c) (x i x a ). Per la prima proprietà della media aritmetica si ricava che 2( x a c) (x i x a ) = 0, } {{ } =0 quindi l uguaglianza precedente si semplifica nel seguente modo (x i c) 2 = (x i x a ) 2 + n( x a c) 2, 19 / 39
da cui si ricava che (x i c) 2 (x i x a ) 2 = n( x a c) 2. Osserviamo che il termine n( x a c) 2 è sempre maggiore o uguale a zero dato che è prodotto di quantità positive o nulle (è nullo quando c coincide con x a ), quindi possiamo scrivere che ovvero (x i c) 2 (x i x a ) 2 = n( x a c) 2 0, (x i c) 2 (x i x a ) 2 0 (x i c) 2 (x i x a ) 2. 20 / 39
La disuguaglianza (x i c) 2 (x i x a ) 2, completa la dimostrazione poiché mostra che il termine n (x i c) 2 è sempre maggiore o uguale al termine n (x i x a ) 2 ; in altre parole la quantità n (x i c) 2 è minima soltanto quando c = x a. 21 / 39
La media aritmetica ponderata In molte applicazioni non si dispone della serie originale dei dati ma soltanto della distribuzione di frequenza. Con riferimento all indagine sui consumi delle famiglie italiane, di seguito viene riportata la distribuzione di frequenza in classi della variabile reddito mensile, rilevata su di un campione di numerosità 99. Reddito n i f i p i ni c fi c pi c 516, 00 775, 00 3 0,03 3,00 3 0,03 3,00 775, 00 1033, 00 6 0,06 6,00 9 0,09 9,00 1033, 00 1291, 00 12 0,12 12,00 21 0,21 21,00 1291, 00 1549, 00 26 0,26 26,00 47 0,47 47,00 1549, 00 2066, 00 18 0,18 18,00 65 0,65 65,00 2066, 00 2582, 00 14 0,14 14,00 79 0,79 79,00 2582, 00 3099, 00 10 0,10 10,00 89 0,89 89,00 3099, 00 3615, 00 4 0,04 4,00 93 0,93 93,00 3615, 00 4132, 00 3 0,03 3,00 96 0,96 96,00 4132, 00 5165, 00 2 0,02 2,00 98 0,98 98,00 5165, 00 6197, 00 1 0,02 2,00 99 1,00 100,00 Totale 99 1,00 100 22 / 39
Supponiamo di voler calcolare il livello medio del reddito mensile rilevato sulle 99 famiglie residenti nel territorio italiano. Dato che non si dispone della serie originale dei dati, si utilizza come rappresentante di ogni classe, il valore centrale denotato con x c. La precedente distribuzione di frequenza viene quindi completata nel seguente modo Reddito n i xi c xi c n i 516, 00 775, 00 3 645,5 1936,5 775, 00 1033, 00 6 904,0 5424,0 1033, 00 1291, 00 12 1162,0 13944,0 1291, 00 1549, 00 26 1420,0 36920,0 1549, 00 2066, 00 18 1807,5 32535,0 2066, 00 2582, 00 14 2324,0 32536,0 2582, 00 3099, 00 10 2840,5 28405,0 3099, 00 3615, 00 4 3357,0 13428,0 3615, 00 4132, 00 3 3873,5 11620,5 4132, 00 5165, 00 2 4648,5 9297,0 5165, 00 6197, 00 1 5681,0 5681,0 Totale 99 191727,0 I questo caso il valore medio verrà calcolato utilizzando la formula k x a = xc i n i k n = 1936, 636 i da cui si ricava che x a = 1936, 636 euro. La media così calcolata prende il nome di media aritmetica ponderata poiché stiamo ponderando i valori centrali di ogni classe con le corrispondenti frequenze assolute. 23 / 39
Il problema dei rifiuti urbani in Italia ha assunto, negli ultimi anni, proporzioni tali da diventare drammatico. Di seguito si riporta una sintesi dei dati rilevati dall Istat nel quadriennio 2011-2014. Anni 2011 2012 2013 2014 chili di rifiuti urbani per cittadino n i n i n i n i 350 450 12 9 5 6 450 550 46 41 49 40 550 650 39 43 40 45 650 750 13 12 13 13 750 850 4 9 7 10 Totale 114 114 114 114 Con riferimento al quadriennio considerato, il candidato calcoli i chili medi di rifiuti urbani. 24 / 39
Calcolo delle media aritmetica ponderata relativa all anno 2011. Quindi x a = 63500 114 = 557.02 chili di rifiuti urbani per cittadino n i x c i x c i n i 350 450 12 400 4800 450 550 46 500 23000 550 650 39 600 23400 650 750 13 700 9100 750 850 4 800 3200 Totale 114 63500 25 / 39
Calcolo delle media aritmetica ponderata relativa all anno 2012. Quindi x a = 65500 114 = 574.56. chili di rifiuti urbani per cittadino n i x c i x c i n i 350 450 9 400 3600 450 550 41 500 20500 550 650 43 600 25800 650 750 12 700 8400 750 850 9 800 7200 Totale 114 65500 26 / 39
Calcolo delle media aritmetica ponderata relativa all anno 2013. Quindi x a = 65200 114 = 571.93. chili di rifiuti urbani per cittadino n i x c i x c i n i 350 450 5 400 2000 450 550 49 500 24500 550 650 40 600 24000 650 750 13 700 9100 750 850 7 800 5600 Totale 114 65200 27 / 39
Calcolo delle media aritmetica ponderata relativa all anno 2013. Quindi x a = 66500 114 = 583.33. chili di rifiuti urbani per cittadino n i x c i x c i n i 350 450 6 400 2400 450 550 40 500 20000 550 650 45 600 27000 650 750 13 700 9100 750 850 10 800 8000 Totale 114 66500 28 / 39
Fenomeno con natura moltiplicativa Esempio Si consideri un bene e si indichi con C il suo costo iniziale. Sapendo che: il primo anno il costo aumenta del 9%; il secondo anno il costo aumenta del 14% del costo dell anno precedente; il terzo anno il costo aumenta del 12% del costo dell anno precedente; il quarto anno il costo aumenta del 10% del costo dell anno precedente. Determinare l aumento percentuale medio. 29 / 39
La descrizione dell esempio fatta in precedenza mostra che il fenomeno ha una natura moltiplicativa dato che il costo del bene in esame cresce secondo le seguenti formule: C 1 = C + Cr 1 = C(1 + r 1 ) C 2 = C 1 + C 1 r 2 = C 1 (1 + r 2 ) = C(1 + r 1 )(1 + r 2 ) C 3 = C 2 + C 2 r 3 = C 2 (1 + r 3 ) = C(1 + r 1 )(1 + r 2 )(1 + r 3 ) C 4 = C 3 + C 3 r 4 = C 3 (1 + r 4 ) = C(1 + r 1 )(1 + r 2 )(1 + r 3 )(1 + r 4 ) dove r 1 = 0.09, r 2 = 0.14, r 3 = 0.12 e r 4 = 0.1. 30 / 39
Se il fenomeno ha natura moltiplicativa la funzione f è la funzione prodotto quindi l identità iniziale può essere riscritta come f (x 1, x 2,..., x i,..., x n ) = f (M, M,..., M,..., M) } {{ } n volte x 1 x 2... x i... x n = } M M... {{ M... M } n volte n x i = n M n x i = M n M = n n x i 31 / 39
La quantità M = n n è chiamata media geometrica ed è usualmente indicata con il simbolo x g. Il nome deriva dal fatto che la quantità x g assume posizione centrale in una serie geometrica di ragione k. Esempio Si consideri la seria geometrica di ragione k = 2 con origine il valore 2 e lunghezza 7, ovvero 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, 2 7. In questo caso è facile vedere che x g = 2 4 ovvero il valore di posto quattro. Note: dalla definizione precedente si ricava che la quantità M è ben definita solo quando x i > 0! x i 32 / 39
Ritornando all esercizio precedente si ricava l uguaglianza C(1 + r 1 )(1 + r 2 )(1 + r 3 )(1 + r 4 ) = C(1 + x g )(1 + x g )(1 + x g )(1 + x g ) = C(1 + x g ) 4, da cui si ricava che 1 + x g = = 4 (1 + r1 )(1 + r 2 )(1 + r 3 )(1 + r 4 ) 4 1.09 1.14 1.12 1.1 = 1.1123, quindi l aumento percentuale medio è uguale a x g = 11.23%. 33 / 39
Esempio Un risparmiatore ha investito 10000 euro nell acquisto di obbligazioni a tasso variabile. I tassi di interesse percentuali ottenuti alla fine di ogni anno sono riportati nella seguente tabella: Anno Tasso di interesse Tasso di interesse (%) Capitale a fine anno I 0.015 1.5 10150.0 II 0.020 2.0 10353.0 III 0.072 7.2 11098.4 IV 0.090 9.0 12097.3 V 0.074 7.4 12992.5 VI 0.045 4.5 13577.1 Il candidato calcoli il tasso di interesse percentuale medio annuo. 34 / 39
Analogamente a quanto fatto nell esercizio precedente, il capitale restituito alla fine del sesto anno è ottenuto tramite la seguente formula 10000 (1 + 0.015) (1 + 0.020) (1 + 0.072) (1 + 0.090) (1 + 0.074) (1 + 0.045) = 13577.1, la quale mostra una crescita moltiplicativa del capitale. Applicando la definizione del Chisini per fenomeni moltiplicativi, si ricava che 1 + x g = 6 1.015 1.020 1.072 1.090 1.074 1.045 = 1.052288, ovvero, il tasso di interesse percentuale medio anno è uguale a 5.23%. 35 / 39
Proprietà della media geometrica Teorema Sia x 1, x 2,..., x i,..., x n una serie statistica di dati, tale che x i > 0. Si dimostra che log( x g ) = 1 log(x i ), n in altri termini, il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica semplice del logaritmo dei valori originali. Dimostrazione n log( x g ) = log n x i = 1 n log ( n ) x i = 1 n log(x i ). 36 / 39
Esempio La tabella che segue riporta il peso medio di un gruppo di embrioni di pulcini dal 6 al 15 giorno di età. 0.029 0.181 0.425 1.130 2.812 0.052 0.125 0.261 0.738 1.882 L accrescimento degli organismi viventi è un fenomeno caratterizzato da variazioni relative di tipo moltiplicativo con tassi di crescita variabili di giorno in giorno. 37 / 39
Il teorema precedente suggerisce che per calcolare la media geometrica occorre: 1. calcolare il logaritmo dei dati; 2. calcolare la media aritmetica semplice del logaritmo dei dati; 3. calcolare l esponenziale della media aritmetica semplice del logaritmo dei dati; La tabella che segue riporta il logaritmo neperiano dei dati -3.540-1.709-0.856 0.122 1.034-2.957-2.079-1.343-0.304 0.632 da cui si ricava che ln(m g ) = 1.1. Quindi x g = e 1.1 = 0.333. 38 / 39
Teorema Sia x 1, x 2,..., x i,... x n una serie statistica di dati ed indichiamo con α 0 una costante reale qualsiasi non negativa e β R. Considerata la trasformata y i = αx β i si dimostra che ȳ g = α x g β, dove x g denota la media geometrica relativa al primo campione. Dimostrazione ȳ g = n n y i = n n (αx β i ) = n α n = α ( n x i ) β n ( n = α x i ) 1 n n β x β i ( n ) β = α n x i = n = α n x i β = a x β g. 39 / 39