Misure Accelerometriche

Capitolo 4 Misure Accelerometriche 4.1 Considerazioni generali: vibrazioni e comfort Si consideri il caso in cui la vibrazione sia costituita da un moto armonico semplice, di ampiezza A e pulsazione ω: tra spostamento, x, velocità, ẋ, ed accelerazione, ẍ si hanno le relazioni: x(t) = A sin(ωt) ẋ(t) = ωa cos(ωt) (4.1) ẍ(t) = ω 2 A sin(ωt) si nota che mentre la frequenza rimane immutata si ha uno sfasamento di 90 o tra velocità e spostamento, e tra velocità ed accelerazione. Le relazioni tra le ampiezze sono collegate tra loro attraverso la pulsazione ω; se si considera come riferimento l ampiezza relativa alla velocità, indicata con Aẋ = ω A x, si può scrivere: A x = Aẋ /ω lg A x = lg Aẋ lg ω (4.2) Aẍ = ω Aẋ lg Aẍ = lg Aẋ + lg ω quindi, con riferimento all ampiezza in velocità, l ampiezza in spostamento è inversamente proporzionale alla pulsazione ω e quella in accelerazione è direttamente proporzionale ad ω. Per frequenze elevate la misura più facilmente apprezzabile (in ampiezza) da uno strumento di misura è quella in termini di accelerazione mentre per basse frequenze è quella in termini di spostamento; si nota anche che in termini di ampiezza in spostamento si ha una attenuazione delle componenti ad alta frequenza. Un modo classico di presentare spostamento, velocità ed accelerazione in funzione della frequenza è quello di usare un grafico dove sono riportate in ascissa, in scala logaritmica, le frequenze ed in ordinate, sempre in scala logaritmica, le velocità mentre le rette con pendenza a 45 (+1) indicano le linee di spostamento costante e quelle con 97

Figura 4.1: curve caratteristiche di soglia per la vibrazione. pendenza 45 (-1) le linee di accelerazione costante come in Fig. 4.1. In generale si può ritenere che l indice migliore per la valutazione del possibile danno strutturale dovuto alla vibrazione sia legato all ampiezza della velocità, mentre l ampiezza dell accelerazione è la caratteristica a cui risulta più sensibile l uomo. La ISO (International Organization for Standardization) definisce uno standard relativo ai livelli di vibrazione che risultano accettabili in diverse situazioni. Questi standards sono espressi in termini di valori quadratici medi del segnale x(t), con la simbologia in uso RMS (Root Mean Square) definiti dalla: x RMS = [ lim T 1 T T 0 x 2 (t)dt] 1/2 (4.3) L approccio classico per rappresentare questi limiti è con una rappresentazione grafica delle 98

relazioni che legano spostamento, velocità ed accelerazione nel caso di un sistema SDOF (Single Degree Of Freedom). Nel diagramma di Fig. 4.1 sono indicati i limiti per la sensibilità umana, il danno strutturale e la vibrazione di sistemi meccanici. Come esempio e facendo riferimento alla Fig. 4.1 si valuti l effetto che una irregolarità al suolo dell ordine di 0.2 mm ha su di un velivolo in movimento sul terreno, se questo velivolo viene rappresentato con un modello SDOF non smorzato dove le caratteristiche del velivolo sono riportate ad una massa m ed una rigidezza K di valore: m = 10000Kg k = 5 10 6 N/m e se l altezza della irregolarità viene considerata come il valore quadratico medio dello spostamento. Per un sistema ed un grado di libertà si ha: ω = f = ω 2π K m = 5 10 6 10 4 = 500 = 22.36 rad/s = 356 Hz Dal diagramma si vede che per questo valore di frequenza ed un ampiezza di 0.2 mm si ha un punto che risulta all interno della zona di percezione per il passeggero con un livello di accelerazione di circa 0.05m/s. Si vede che per allontanare il punto di lavoro dalla zona disensibilità per il passeggero, una volta fissata l entità della irregolarità al suolo, si deve ridurre la frequenza del sistema: ciò si può ottenere aumentando la massa, che tuttavia è evidentemente legata alla categoria del velivolo, o diminuendo la rigidezza, che dipende dalle caratteristiche della sospensione come la pressione dei pneumatici, così ponendo: m = 10000Kg K = 1 10 6 N/m si ha: K ω = m = 100 = 10 rad/s f = 1.59 Hz Dal diagramma si vede che il punto di lavoro si sposta verso l esterno della zona di sensibilità con un livello di accelerazione di circa 0.01m/s 2. 99

Naturalmente questo procedimento è soltanto indicativo del problema, ma il modello SDOF può essere insufficente per la stima della dinamica del velivolo nel suo movimento al suolo e la variazione delle caratteristiche di rigidezza della sospensione può risultare incompatibile con altre del progetto del velivolo. Per quanto riguarda le ampiezze delle vibrazioni di interesse queste variano di diversi ordini di grandezza a seconda dei problemi: ad esempio possono essere dell ordine di 10 4 mm nel caso di banchi ottici o di strumentazione medica (per frequenza tra.1 ed 1 Hz). Nel campo delle vibrazioni meccaniche le frequenze di interesse variano tra 10 e 10000 Hz e le ampiezze vanno tra qualche decimo di millimetro e diversi centimetri. Riprendiamo il caso del velivolo precedentemente esaminato nel modello SDOF con le caratteristiche: m = 10000Kg K = 5 10 6 N/m a cui si aggiunge un coefficiente di smorzamento viscoso: c = 10 5 Ns/m ed il caso di un altro sistema SDOF, che si riferisce al modello di un giradischi, con i seguenti parametri: m = 1Kg K = 500N/m c = 10Ns/m e si valutano le caratteristiche dinamiche dei due sistemi. Per il velivolo si ha: ω 1 = il coefficiente adimensionale di smorzamento è dato da: K 1 5 10 = 6 m 1 10 4 = 500 = 22.36rad/s (4.4) ζ 1 = c 1 2m 1 ω 1 = e la pulsazione smorzata è quindi: 10 5 2 10 4 = 0.223 (4.5) 22.36 ω s1 = ω 1 1 ζ 2 1 = 21.80rad/s (4.6) Per il secondo sistema si ha: ω 2 = K 2 500 = = 22.36rad/s (4.7) m 2 1 100

il coefficente adimensionale di smorzamento è dato da: ζ 2 = c 2 10 = = 0.223 (4.8) 2m 2 ω 2 2 1 22.36 e la pulsazione smorzata è quindi: ω s2 = ω 2 1 ζ 2 2 = 21.80rad/s (4.9) I due sistemi, fisicamente del tutto diversi, presentano le stesse frequenze naturali e lo stesso coefficiente di smorzamento: ma i due sistemi, anche se equivalenti da questo punto di vista, sono invece diversi dal punto di vista della risposta. L accelerometro, che è il trasduttore base per la valutazione del comportamento dinamico di un sistema, permette di individuare le caratteristiche proprie di un sistema strutturale ed il livello di sollecitazione in un punto della struttura e quindi le caratteristiche di risposta. 4.2 Trasduttore sismico ed accelerometro La misura delle vibrazioni si può eseguire con un trasduttore sismico: che è costituito da un sistema massa, molla, smorzatore collegato ad una struttura, come indicato in Fig. 4.2, l equazione della dinamica risulta in tal caso: mẍ + c(ẋ u) + k(x u) = 0 (4.10) dove m, c, k sono le caratteristiche di massa, smorzamento e rigidezza del sistema, x indica lo spostamento della massa m ed u indica lo spostamento della base di connessione del sistema alla struttura,fig. 4.2. Se si indica con z = x u il movimento della massa m dell accelerometro relativo alla struttura si ha: m z + cż + kz = mü (4.11) ma u(t) indica lo spostamento della base di collegamento e nel caso di moto armonico semplice u(t) = u cos ωt e si ha quindi la classica espressione del sistema smorzato con ingresso armonico. Si indichi con ζ il coefficiente adimensionale di smorzamento, che è il rapporto tra il coefficiente di smorzamento c del sistema ed il valore critico di smorzamento, definito dalla: ζ = c/c c = c/2 mk (4.12) Procedendo come nei paragrafi 1.6.2 e 1.6.3 (caso di ingresso armonico) si ottiene per la equazione del sistema 4.10 la soluzione: z/u = (ω/ω n ) 2 ( 1 (ω/ω n ) 2) 2 + 4ζ 2 (ω/ω n ) 2 (4.13) 101

Figura 4.2: schema funzionale di un acceleromatro. con: [ ( φ = arctan 2ζ(ω/ω n )/ 1 (ω/ω n ) 2)] (4.14) Si ha quindi l andamento di Fig. 4.3 in cui ζ appare come parametro; z/u tende ad 1 all aumentare del rapporto ω/ω n e questo per qualunque valore delle caratteristiche di smorzamento del sistema, che sono rappresentate dal valore del coefficiente adimensionale di smorzamento ζ. Questo significa che all aumentare della frequenza di oscillazione, rispetto alla frequenza propria del sistema di misura, l uscita z si avvicina al valore, indicato con u, dello spostamento della struttura in esame. Se le frequenze in gioco sono legate a problemi strutturali in campo aerospaziale e quindi relativamente basse, ad esempio in un campo di valori compreso tra pochi Hz e qualche centinaio di Hz, la frequenza propria dello strumento di misura deve essere al massimo di qualche Hz e quindi la massa dello strumento deve essere relativamente grande con il rischio di perturbare la misura con errori di inserzione molto grandi. Anche in conseguenza di tali considerazioni, la misura delle vibrazioni viene in genere condotta con la misura diretta di accelerazioni e non di spostamenti, come è stato considerato precedentemente, con l impiego di trasduttori detti accelerometri: ciò consente di utilizzare dei trasduttori costituiti da masse molto piccole, che non influenzano con la loro presenza il comportamento stesso della struttura. Per passare poi dalla misura della accelerazione a quella dello spostamento è necessario eseguire una doppia integrazione sul segnale che si preleva dal sensore. Se si deriva due volte la relazione che fornisce un segnale di ingresso sinusoidale: u = u cos ωt (4.15) 102

Figura 4.3: modulo della curva di risposta di un sensore sismico. si ha: ü = u ω 2 cos ωt (4.16) e quindi dalla 4.13 si ottiene: ω 2 n z/ü = 1 ( 1 (ω/ω n ) 2) 2 + 4ζ 2 (ω/ω n ) 2 (4.17) da questa relazione si vede che lo spostamento relativo z è di fatto praticamente proporzionale alla accelerazione ü del corpo sul quale è fissato l accelerometro. In Fig. 4.4 viene riportato l andamento di ωn z/ü 2 in funzione del rapporto ω/ω n dove ω n indica la pulsazione propria non smorzata dell accelerometro. Si vede che per ω/ω n che tende a zero si ha il rapporto ωn z/ü 2 che tende ad uno per qualunque valore di ζ mentre per ω/ω n che tende all infinito il rapporto ωn z/ü 2 tende a zero sempre per qualunque valore di ζ. Dalla Fig. 4.4 si vede inoltre che z tende al valore di ü quando la pulsazione ω è piu piccola di ω n ed il valore più opportuno per il coefficiente adimensionale di smorzamento risulta ζ = 0.707 = 1/ 2. Si nota che tanto più è elevata la frequenza propria tanto più, a parità di accelerazione, è piccolo lo spostamento; se si deve ottenere una banda passante molto elevata per il trasduttore bisogna aumentare la pulsazione propria ω n e quindi si deve diminuire la massa dell accelerometro ed aumentare la sua rigidezza (per la pulsazione naturale si ha infatti la relazione ω n = k/m). Questa situazione riduce l effetto di perturbazione del trasduttore sulla struttura e limita quindi 103

Figura 4.4: modulo della curva di risposta di un accelerometro. l errore di inserzione, ma riduce anche la sensibilità del trasduttore. Gli accelerometri di tipo piezoelettrico possono presentare delle frequenze naturali molto elevate, ad esempio f n = 10 5 Hz: se si considera una banda passante limitata al 20 % di f n si può avere un impiego fino a f n = 2 10 4 Hz. 4.3 Accelerometri piezoelettrici Si possono realizzare accelerometri piezoelettrici basati sull impiego di cristalli che, sollecitati secondo una direzione presentano delle cariche elettriche che sono proporzionali alla sollecitazione stessa, ma secondo una direzione diversa da quella di sollecitazione. Tutti i trasduttori sono composti da una base che viene collegata alla struttura, un cristallo piezoelettrico, ed una massa che sono contenuti all interno di un involucro di protezione. Si consideri, Fig. 4.5, un cristallo di quarzo sollecitato con una forza F, come conseguenza della applicazione della forza si presentano delle cariche +Q e Q sulle superfici, diverse da quelle di sollecitazione, come indicato in figura 4.5: Q = d ij F (4.18) dove d ij (con valori caratteristici intorno a 10 12 C/N) indica una costante piezoelettrica che fornisce la quantità di carica che il quarzo presenta per effetto della sollecitazione. 104

Figura 4.5: schema elementare di un accelerometro piezoelettrico. Le cariche +Q e Q che sono provocate dalla presenza della forza F sono separate da un dielettrico, che è costituito dal cristallo di quarzo stesso, in questo modo si forma un condensatore definito dalla: dove C indica la capacità del condensatore data dalla: Q = C V (4.19) C = ɛa q /h (4.20) dove A q è la superficie (carica) del quarzo, h è la distanza tra le armature del condensatore, in questo caso è lo spessore del quarzo, ed ɛ è la costante dielettrica. Si ha quindi una tensione: V = d ijf C = hd ijm ɛa q ÿ = K q ÿ (4.21) dove ÿ indica l accelerazione lungo la direzione y (F = mÿ) ed m è la massa solidale al cristallo di quarzo. Si ottiene quindi che la tensione V è proporzionale alla forza di inerzia della massa m e quindi alla sua accelerazione; ma la tensione V richiede la persistenza delle cariche elettriche che tendono invece a scaricarsi attraverso il condensatore, quindi l amplificatore che deve rilevare la tensione V deve presentare una impedenza di ingresso molto elevata. Se si considera allora la capacità del cristallo di quarzo indicata con C q, quella dei cavi di collegamento, C c, e quella dell amplificatore, C a, si ha che la capacità totale è: C T = C q + C c + C a (4.22) 105

Figura 4.6: schema equivalente di un accelerometro piezoelettrico. analogamente per quanto riguarda le resistenze si ha: e quindi 1/R T = 1/R q + 1/R c + 1/R a = (R q R a + R q R c + R c R a ) /R q R a R c (4.23) R T = come indicato nei circuiti di Fig. 4.6. R q R c R a R q R a + R q R c + R c R a (4.24) Quindi si tratta di un condensatore di capacità C T, data dalla 4.22, che si scarica su di una resistenza R T data dalla 4.23 e la tensione varia nel tempo secondo la relazione: V (t) = V 0 e t/r T C T = V 0 e t/τ (4.25) di conseguenza la costante di tempo τ = R T C T deve essere molto più grande del tempo che si impiega per effettuare la misura, questo ultimo tempo è legato al periodo del segnale. Pertanto risulterà critica la misura di segnali con periodi molto lunghi, cioè di segnali che sono lentamente variabili nel tempo. Naturalmente sono anche da tenere in conto diversi effetti dovuti alle caratteristiche del cavo di collegamento, che presenta una capacità piccola e variabile con la lunghezza del cavo stesso ed anche la resistenza può variare a seconda delle condizioni ambientali, come ad esempio la temperatura. Le caratteristiche complessive di un accelerometro piezoelettrico sono legate al prodotto della funzione di trasferimento meccanica e di quella dovuta al circuito elettrico. In Fig. 4.7 viene riportato un andamento indicativo della funzione di trasferimento complessiva, H T (f), in 106

Figura 4.7: banda passante effettiva di un accelerometro piezoelettrico. funzione della frequenza. Come si vede si possono individuare tre regioni di funzionamento: a bassa frequenza fino ad f 1 1 dove la risposta è determinata dal circuito elettrico; tra le frequenze f 1 e f 2 dove la risposta è vicina al comportamento ideale e rappresenta la regione di lavoro dell accelerometro; al di sopra di f 2 dove la risposta è determinata dalla funzione di trasferimento meccanica; si nota il picco di risonanza che corrisponde alla frequenza di risonanza f n dell accelerometro. Dalla Fig. 4.7 si osserva che se l accelerometro invece che piezoelettrico è basato su di un estensimetro a semiconduttore la risposta a bassa frequenza, nel campo 0 f 1, rimane unitaria fino a frequenza nulla. I dettagli costruttivi degli accelerometri piezoelettrici variano secondo i costruttori e gli obiettivi dell accelerometro. Bisogna tener conto degli effetti secondari che riguardano temperatura, pressione acustica, flessione della base, campi magnetici, etc. Il cristallo viene, in genere precaricato in modo da lavorare con caratteristiche lineari e questo precarico serve anche per poter lavorare con accelerazioni positive e negative ma sempre con il cristallo in compressione. Lo sviluppo dei microcircuiti ha permesso di incorporare l amplificatore di carica nell accelerometro stesso. 1 Il valore di f 1 dipende dalle caratteristiche del singolo accelerometro ma è in genere dell ordine di qualche Hz. 107

Figura 4.8: schema di un sensore di rotazione. Si possono impiegare accelerometri miniaturizzati di dimensioni 3 3 3mm e con massa minore di mezzo grammo ed accelerometri triassiali di dimensioni 7 7 7mm con massa inferiore ad un grammo. La sensibilità trasversale è relativamente elevata dell ordine di qualche per cento. Il collegamento con la struttura di misura può avvenire con cera, con dispositivi magnetici o meccanici. Il collegamento porta ad una riduzione della frequenza naturale rispetto a quella che viene indicata per l accelerometro non collegato, la riduzione può essere dell ordine del 50%. 4.4 Misure di accelerazione angolare Per quanto riguarda la misura di accelerazione angolare sono stati proposti diversi metodi, che sono in parte ancora in sviluppo. In genere si fa riferimento ad una coppia di accelerometri posti ad una piccola distanza, fissata e nota, indicata con L in Fig. 4.8. Dalla misura delle accelerazioni dei punti A e B indicate con ẍ A e ẍ B si possono ricavare le accelerazioni ẍ 0 e θ 0, si ha infatti: ẍ 0 = (ẍ A + ẍ B ) /2 (4.26) θ 0 = (ẍ A ẍ B ) /L (4.27) Si osserva che la misura di accelerazione angolare richiede la differenza tra due valori di accelerazione x A e x B che sono molto vicini tra loro; in genere questa differenza è di qualche per cento appena del loro valore (anche soltanto l uno o il due per cento) e quindi l errore che si compie 108

sulla misura di accelerazione angolare è molto grande. Ad esempio la sensibilità alla componente trasversale di accelerazione può essere dello stesso ordine di grandezza della sensibilità della misura e questo giustifica l incertezza che è tuttora presente su questo tipo di misura. Più recentemente si sono sviluppati dei trasduttori, sempre basati su elementi piezoelettrici, che possono misurare insieme accelerazioni lineari ed angolari con elevata sensibilità (dell ordine di 1000 mv/g e 50 mv/rad/s) e banda passante da 0.5 a 2000 Hz. 109