Il teorema nella storia - Esempi d'uso Applicazioni matematiche - Il teorema è basilare per il calcolo delle lunghezze, aree, volume delle figure. Alcuni esempi: - In un quadrato di lato x, la diagonale è pari a x*radq(2). - In un rettangolo di lati x e y, la diagonale è pari a RADQ(x2+y2) - In un parallelepipedo con spigoli x,y e z, la diagonale e pari a RADQ(x2+y2 + z2) - In un cono di altezza h e raggio alla base r, la generatrice è pari a RADQ(h 2+y2) - In un piano cartesiano il teorema serve per calcolare la distanza d tra due punti M(x1,y1) ed N(x2,y2). - Applicando il teorema abbiamo che d(m,n)=radq((x2-x1)2+(y2-y1)2) - Il teorema si cela anche In trigonometria. Nel triangolo rettangolo ABC, come in figura, si ha che sen(b)=b/a mentre cos(b)=c/a, per tanto il teorema di Pitagora in termini trigonometrici corrisponde alla relazione sen2(b)+cos2 (B)=1. page 1 / 5
- Il teorema è determinante per i calcoli di topografia, le misurazione di terreni, l elaborazione di carte geografiche, nei problemi di navigazione marittima o aerea, in architettura, in ingegneria e in tutti i tipi di professioni legate alle misure. - Prendiamo in considerazione al seguente figura: - Qui abbiamo le relazioni tra il cerchio e il triangolo rettangolo che ha per cateti il seno ed il coseno. Da qui si ricava la tangente (seno/coseno), la secante (1/coseno), la cosecante (1/seno) e la cotangente (1/tangente). page 2 / 5
- Grazie al teorema di Pitagora e alla presenza di diversi triangoli rettangoli, possiamo ottenere in modo immediato una lunga serie di rapporti interessanti fra queste funzioni trigonometriche, tra cui: - L interesse per la trigonometria scaturisce dalla geometria, dal bisogno di misurare. La sua applicazione è in misure di architettura, agrimensura e astronomia. Il matematico statunitense Elisha Scott Loomis disse in proposito: La trigonometria esiste perché esiste il Teorema di Pitagora". - Le origini della trigonometria risalgono alla Babilonia e Egitto. Nata sia per fare calcoli derivati da osservazioni astronomiche, sia per risolvere problemi pratici. Procedendo alla divisione della circonferenza in 360, il greco Ipparco (II sec. a.c.), e più tardi Claudio Tolomeo e Menelao di Alessandria, eseguirono laboriosi calcoli delle lunghezze delle corde in un cerchio, corrispondenti agli angoli centrali principali. - Indiani e arabi svilupparono tavole trigonometriche proprie da usare per calcoli astronomici. - I valori delle tavole trigonometriche si sono perfezionati nel tempo. Sul loro sviluppo influirono personaggi come Fibonacci (1170-1250), Regiomontano (1436-1476), François Viète (1540-1603), Nicolò Copernico (1473-1543) e molti altri. - Al discepolo di Copernico, Georg Joachim Rheticus, viene attribuita la definizione esplicita delle funzioni trigonometriche, non più in relazione alle corde, ma ai rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo. Un po più tardi, con lo sviluppo della geometria cartesiana, si sviluppò la trigonometria analitica, dove furono studiate le funzioni sen(x), cos(x), tan(x) - Tornando al Teorema, si può affermare che questo è alla base di ogni misurazione in quanto qualunque superficie può essere divisa in triangoli ed ogni triangolo può essere diviso in due triangoli rettangoli. Questo consente di stabilire altezze o distanze, altrimenti inaccessibili, a partire dalle misure di alcuni lati ed angoli. Grazie alla conoscenza di queste relazioni, gli agrimensori egiziani effettuavano così calcoli che ai più apparivano divini. Ed è per questo che venivano venerati e considerati sacerdoti. Distanza dall orizzonte page 3 / 5
- Fino a che distanza può spingersi lo sguardo, da una montagna? - Supponiamo di essere ad un altezza h=1000 m dal mare e osserviamo la seguente figura - Dal Teorema di Pitagora possiamo scrivere d2 = (R+h)2-R2 - Sviluppando, d2 = h(h+2r), ma poiché 2R è molto maggiore di h, possiamo approssimare 2R+h a 2R per cui d=radq(2rh), sostituendo ad R il raggio della terra pari a 6371 km e all altezza h, pari ad 1 km, l orizzonte O sarà a d=radq(12.742)=112,88 Km Pitagorismo di strada - Nelle città molto spesso ci si riferisce alle distanze tra un punto e l altro come se si attraversassero i palazzi (in linea d aria) e non all effettivo tragitto da percorrere. - Questa situazione, che può sembrare di poco conto, può avere anche implicazioni legali. Nel 2002 un cittadino americano fu arrestato all angolo tra due strade, con l aggravante di spacciare droga a meno di 1000 piedi da una scuola. La polizia usò il teorema di Pitagora per stabilire la distanza, che risultava così effettivamente <1000 (in linea d aria). Ma nella realtà la distanza da percorrere era maggiore > 1000. Il giudice però diede ragione comunque alla polizia. page 4 / 5
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