Calcolo delle Probabilità 203/4 Foglio di esercizi 3 Probabilità condizionale e indipendenza. Esercizio. Per rilevare la presenza di una certa malattia, si effettua un test. Se la persona sottoposta al test è malata, il test dà sempre esito positivo (non ci sono dunque falsi negativi ). Se invece la persona sottoposta al test è sana, il test dà (erroneamente) esito positivo con probabilità 0.0. Indichiamo con α (0, ) l incidenza della malattia nella popolazione (cioè la frazione di persone malate). Si determini, in funzione di α, la probabilità p α che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata. Si calcoli il valore trovato per α 0., 0.0, 0.00 e se ne descriva il comportamento asintotico per α 0. Esercizio 2. Ho una moneta A regolare e una moneta B truccata, per cui la probabilità di ottenere testa vale 3 4. Scelgo una moneta a caso, con uguale probabilità, e la lancio. Se esce testa, qual è la probabilità che la moneta scelta sia stata B? Esercizio 3. Durante la notte, un taxi ha causato un incidente. In città operano due compagnie di taxi, una con i taxi gialli (che sono l 85% del totale) l altra con i taxi bianchi. Un testimone ha dichiarato che il taxi coinvolto nell incidente era giallo. La probabilità che un testimone, di notte, identifichi correttamente il colore del taxi è pari a 0.8. (a) Sulla base di queste informazioni, qual è la probabilità che il taxi coinvolto nell incidente fosse in realtà bianco? (b) Supponiamo che un secondo testimone abbia dichiarato che il taxi era giallo, e che la correttezza dell identificazione del colore da parte di questo testimone sia indipendente da quella del primo. Sulla base di questa ulteriore informazione, qual è ora la probabilità che il taxi coinvolto nell incidente fosse in realtà bianco? Esercizio 4. Infilo in una busta tre carte: una ha entrambe le facce rosse, una le ha entrambe nere, una ha una faccia rossa e una nera. Con gli occhi chiusi, pesco una carta a caso e la depongo sul tavolo su una faccia a caso, quindi apro gli occhi. Se la faccia che vedo è rossa, qual è la probabilità che anche l altra faccia sia rossa? Esercizio 5. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che ciascun figlio possa essere maschio o femmina con la stessa probabilità, indipendentemente dal sesso dell altro figlio. (a) Sapendo che il primogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il secondogenito lo sia? (b) Sapendo che il secondogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il primogenito lo sia? (c) Sapendo che almeno un figlio è maschio, qual è la probabilità che anche l altro lo sia? Il sabato pomeriggio la madre esce a passeggio con uno dei due figli, mentre il padre resta a casa con l altro. Supponiamo che la madre scelga il figlio con cui uscire in modo casuale. (d) Se incontro la madre a passeggio con un figlio maschio, qual è la probabilità che anche l altro figlio sia maschio? Ultima modifica: 22 ottobre 203.
2 (e) Come cambia la risposta al quesito precedente se invece la madre avesse una particolare predilezione per i figli maschi e pertanto decidesse sempre di uscire con un figlio maschio (quando ne ha uno; altrimenti esce con una delle due figlie)? Esercizio 6. Da un urna contenente n palline di cui k rosse e n k verdi, con k n, si estrae una pallina e quindi, senza reimmetterla nell urna, si estrae una seconda pallina. Si calcoli la probabilità degli eventi A : la prima pallina estratta è rossa e A 2 : la seconda pallina estratta è rossa. Essi sono indipendenti? Esercizio 7. Quante volte n è necessario lanciare un dado regolare a N facce, affinchè la probabilità di ottenere almeno una volta il numero sia superiore al 90%? Si calcoli esplicitamente il valore di n per N 6, 00, 000. Esercizio 8. Ho a disposizione n N monete: la i-esima moneta dà testa con probabilità, per i n. Scelgo una moneta a caso e la lancio k N volte. i n (a) Qual è la probabilità p n,k che esca sempre testa nei k lanci? (b) Supponendo che sia effettivamente uscita sempre testa nei k lanci, qual è la probabilità (condizionata) q n,k che esca testa anche al lancio successivo? (c) Si calcoli il limite per n (con k fissato) dei risultati ottenuti. Esercizio 9. Siano assegnati tre numeri: α, α 2 [0, ] e β (0, ). (a) Si mostri che esiste uno spazio di probabilità contenente due eventi A, B tali che P(B) β, P(A B) α, P(A B c ) α 2. [Sugg. Si consideri Ω {ab, a b, āb, ā b} {a, ā} {b, b}, definendo A : {ab, a b}, B : {ab, āb} e mostrando che esiste un unica probabilità P su Ω che soddisfa le specifiche richieste.] (b) Si mostri che come spazio di probabilità per il punto precedente si può prendere (Ω (0, ), A B((0, )), P Leb), con B : (0, β) e definendo opportunamente A. Esercizio 0. Un commerciante acquista certe componenti elettriche in egual misura da due fornitori A e B. Viene a sapere che il 5% delle componenti provenienti da B è difettosa, cioè si rompono dopo poche ore di utilizzo, contro solo il 3% di quelle provenienti da A. Il commerciante è in procinto di mettere in vendita una confezione tali componenti, tutte provenienti dallo stesso fornitore, ma di cui non ha registrato la provenienza. Per conoscerne la provenienza ne testa 20, di cui 2 risultano difettose. Con quale grado di confidenza può ritenere che la partita gli sia stata fornita da B?
3 Soluzione. Introducendo gli eventi A : l individuo è malato e B : il test dà esito positivo, si ha P(A) α, P(B A) e P(B A c ) 0.0. Per le formule di Bayes e delle probabilità totali si ha dunque p α P(A B) P(B A)P(A) P(B) P(B A)P(A) P(B A)P(A) + P(B A c )( P(A)) α α + 00 ( α) α + 99α 00α( 99α + O(α2 )). 00 Si ha dunque lim α 0 p α 0; per α 0., 0.0, 0.00 si ottiene p α 0.92, 0.50, 0.09. Soluzione 2. Il problema è isomorfo a quello delle urne discusso a lezione. Introducendo gli eventi B : scelgo la moneta B e T : esce testa, si ha pertanto P(B T ) P(B) 2, P(T B) 3 4, P(T Bc ) 2, 3 P(T B)P(B) P(T B)P(B) + P(T B)P(B c ) 3 4 2 4 2 + 2 2 3 5. Soluzione 3. (a) Consideriamo gli eventi: A il taxi coinvolto è bianco, B il testimone dichiara di aver visto un taxi giallo. Sappiamo che P(A) 0.85 7 20, P(B A) 0.2 5, P(B Ac ) 0.8 4 5. Perciò, usando la Formula di Bayes, 7 P(B A)P(A) P(A B) P(B A)P(A) + P(B A c )P(A c ) 5 20 7 3 7 29. 5 20 + 4 5 20 (b) Sia C il secondo testimone dichiara di aver visto un taxi giallo. Per ipotesi P(B C A) P(B A)P(C A) (0.2) 2.04 25 e, analogamente, P(B C Ac ) P(B A c )P(C A c ) (0.8) 2 0.64 6 25. Allora P(B C A)P(A) P(A B C) P(B C A)P(A) + P(B C A c )P(A c ) 7 7 25 20 25 20 + 6 3 25 20 7 65. Soluzione 4. Indichiamo le tre carte rispettivamente con α (rossa-rossa), β (nera-nera) e γ (rossa-nera). Uno spazio campionario per l esperimento è Ω {α, α2, β, β2, γ, γ2}, dove α significa che pesco la carta α e il lato scoperto è il primo (rosso), γ2 significa che pesco la carta γ e il lato scoperto è il secondo (nero), ecc. Come σ-algebra scegliamo naturalmente P(Ω), essendo Ω <. Mostriamo che la probabilità corretta su Ω per descrivere l esperimento è quella uniforme. Introduciamo gli eventi A : pesco la carta α {α, α2}, B : pesco la carta β {β, β2}, C : pesco la carta γ {γ, γ2}. Dato che la carta è scelta a caso si deve avere P(A) P(B) P(C) 3. Inoltre, dato che anche il lato su cui la carta è deposta è scelto a caso, si deve avere P({α} A) P(α2 A) 2, da cui si ottiene P({α}) P({α} A) P({α} A)P(A) 2 3 6. Con analoghi argomenti si ottiene P({α2}) P({β}) P({β2})P({γ}) P({γ2}) 6, cioè P({ω}) 6 per ogni ω Ω. La probabilità P deve dunque essere quella uniforme. Introduciamo infine gli eventi R s : il lato scoperto è rosso {α, α2, γ} e R c : il lato coperto è rosso {α, α2, γ2}. Per definizione di speranza condizionale P(R c R s ) P(R c R s ) P(R s ) R c R s R s 2 3.
4 Soluzione 5. Consideriamo lo spazio di probabilità Ω {M M, M F, F M, F F } munito della probabilità uniforme. Introduciamo gli eventi A : il primogenito è maschio {MM, MF } e B : il secondogenito è maschio {MM, F M}. Allora dobbiamo calcolare: (a) P(A B A) P(A B) P(A) (b) P(A B B) P(A B) P(B) A B A 2 ; A B B 2 ; (c) P(A B A B) P((A B) (A B)) P(A B) P(A B) P(A B) A B A B 3. Per la seconda parte dell esercizio occorre ingrandire lo spazio campionario, in modo da descrivere con quale figlio esce la madre. Scegliamo dunque Ω : Ω {, 2} {MM, MM2, MF, MF 2, F M, F M2, F F, F F 2}. Si noti che gli eventi prima introdotti A : il primogenito è maschio e B : il secondogenito è maschio diventano ora A {MM, MM2, MF, MF 2} e B {MM, MM2, F M, F M2}. Inoltre è naturale richiedere che P({MM, MM2}) P({MF, MF 2}) P({F M, F M2}) P({F F, F F 2}) 4 (le probabilità dei sessi dei figli presenti nella famiglia sono le stesse di prima). Queste richieste non determinano P completamente. (d) Se il figlio con cui esce la madre è scelto a caso, si ha P({MM} {MM, MM2}) 2, da cui segue che P({MM}) P({MM, MM2})P({MM} {MM, MM2}) 4 2 8 ; analogamente si mostra che P({ω}) 8 per ogni ω Ω. In altre parole, P è la probabilità uniforme su Ω. Introducendo infine il nuovo evento C : la madre esce a passeggio con un figlio maschio {MM, MM2, MF, F M2}, otteniamo P(A B C) A B C C A B C 2 4 2. (e) In questo caso possiamo la probabilità da considerare non è più quella uniforme. In effetti si deve avere P({MF } {MF, MF 2}), P({MF 2} {MF, MF 2}) 0 e analogamente P({F M} {F M, F M2}) 0, P({F M2} {F M, F M2}) (quando i figli sono un maschio e una femmina, la madre esce sempre con il maschio), mentre quando i figli sono dello stesso sesso la scelta della madre è casuale: in altri termini P({MM} {MM, MM2}) P({MM2} {MM, MM2}) 2 e P({F F } {F F, F F 2}) P({F F 2} {F F, F F 2}) 2. Da ciò si ricava la probabilità: P({MM}) P({MM2}) P({F F }) P({F F 2}) 8, P({MF }) P({F M2}), P({F M}) P({MF 2}) 0. 4 Introducendo come nel punto precedente l evento C : la madre esce a passeggio con un figlio maschio {MM, MM2, MF, F M2}, otteniamo infine P(A B C) P(A B) ω A B P(A B C) P({ω}) P(C) P(C) ω C P({ω}) P({MM}) + P({MM2}) P({MM}) + P({MM2}) + P({MF }) + P({F M2}) /8 + /8 /8 + /8 + /4 + /4 3. Soluzione 6. Si deve avere P(A ) k n. Inoltre P(A 2 A ) k n mentre P(A 2 A c ) k n, da cui P(A 2 ) P(A 2 A )P(A ) + P(A 2 A c )P(Ac ) k k n n + k n ( k n ) k2 k+kn k 2 n(n ) k n. Dato che P(A 2 A ) P(A 2 ) gli eventi A e A 2 non sono indipendenti.
5 Soluzione 7. La probabilità di ottenere almeno un successo in n prove ripetute e indipendenti con probabilità di singolo successo p è pari a p n : ( p) n, quindi p n > 9 0 ( p) n < 0 Nel problema in esame p N, pertanto log 0 n > n 0 : log N N n > n 0 :, log 0 log. p che per N 6, 00, 000 dà rispettivamente n 0 2, 229, 230. Si noti che log 0 n 0 log( + N ) log 0 (log 0)N, N ossia il valore di n 0 cresce all incirca linearmente con il numero di facce N del dado. Soluzione 8. (a) p n,k n n i ( i n )k ; (b) q n,k n (c) p n,k n i ( i n )k+. n n i ( i n )k n 0 xk dx k+ ; q n,k n 0 xk+ dx 0 xk dx k+ k+2. Soluzione 9. (a) Basta definire la densità discreta p(ω) : P({ω}). Se devono valere le relazioni P(B) β, P(A B) α, P(A B c ) α 2, (0.) si deve avere necessariamente p(ab) P({ab}) P(A B) P(B) P(A B) β α. Con analoghi calcoli, si ricavano tutti i valori di p: p(ab) α β, p(a b) α 2 ( β), p(āb) ( α )β, p(ā b) ( α 2 )( β). Dunque la densità discreta p è univocamente determinata dalle richieste del problema (0.). Viceversa, è immediato verificare che la funzione p definita come sopra è una densità discreta, ossia p(ω) 0 per ogni ω Ω e ω Ω p(ω), e valgono le proprietà richieste (0.). (b) Basta definire A (0, α β) [β, β + α 2 β), così che A B (0, α β) e A B c [β, β + α 2 β). Si verifica facilmente che le proprietà richieste (0.) sono soddisfatte. Soluzione 0. Si considerino gli eventi A la confezione proviene dal fornitore A, B la confezione proviene dal fornitore B A c e C di 20 pezzi testati 2 sono difettosi. Sappiamo che P(C A) ( ) 20 (0.5) 2 (0.85) 8 0.23, P(C B) 2 ( ) 20 (0.03) 2 (0.97) 8 0.099, 2 mentre P(A) P(B) /2. Per concludere basta applicare la formula di Bayes: P(B C) P(C B)P(B) P(C B)P(B) + P(C A)P(A) 0.30.