Il mercato assicurativo: selezione avversa, fallimenti del mercato, menù di contratti, assicurazione obbligatoria Esercizio 1 Ci sono 2000 individui ciascuno con funzione di utilità Von Neumann-Morgestern U = W 1=2, dove W è la ricchezza dell individuo. Ognuno ha una ricchezza iniziale W = 100, costituita per 20 di contante e per la parte restante di un singolo immobile il cui valore è oggi pari a 80. Ci sono due tipologie di immobili, di tipo I e di tipo II, in uguale numero (quindi 1000, per ciascun tipo). Ogni immobile è soggetto all eventualità di subire un danno, veri candosi il quale il suo valore si riduce di 64: la probabilità di tale evento è 1/10 per ogni immobile di tipo I e 1/2 per ogni immobile di tipo II. Esiste un unica compagnia di assicurazione. I suoi costi consistono dei risarcimenti dovuti al veri carsi del danno nonché di costi amministrativi di vario genere (compresi i costi-opportunità) legati alla gestione delle pratiche di risarcimento, pari a 15 centesimi per ogni euro da risarcire. Supponiamo poi che che la compagnia, pur sapendo dell esistenza di due tipologie di immobili con le caratteristiche e nelle proporzioni sopra descritte, non sappia riconoscere la tipologia di ogni particolare immobile (e quindi l esposizione al rischio dell individuo che lo possiede). In ne, supponiamo che la compagnia concepisca solo contratti di assicurazione che prevedano un integrale risarcimento in presenza del danno. In questo esercizio: (a) Determiniamo il premio massimo che ogni individuo è disposto a pagare per assicurare completamente il proprio immobile. (b) Dimostriamo che un mercato assicurativo non si forma. (c) Dimostriamo che l esito in (b) dipende dall esistenza di asimmetrie informative e costituisce un "fallimento del mercato": vale a dire, laddove tali asimmetrie non vi fossero, diverrebbero concretamente possibili miglioramenti paretiani (allocazioni tali che ognuno stia meglio che in (b)). RISPOSTE (a) Dato che ogni individuo possiede un solo immobile, possiamo parlare di individui di tipo I (i proprietari degli immobili di tipo I) e di individui di tipo II (i proprietari degli immobili di tipo II). Per un individuo di tipo I l utilità attesa non assicurandosi è EU (I) NA = (9=10) 1001=2 + (1=10) (100 64) 1=2 = (9=10)10+(1=10)6 = 9; 6. Il premio massimo che egli è disposto a pagare per assicurarsi (il suo "prezzo di riserva" per un contratto di assicurazione) è, per de nizione, il premio pagando il quale la sua utilità assicurandosi è pari all utilità attesa non assicurandosi. Esso è perciò la soluzione dell equazione U (I) A = (W P r (I) ) 1=2 = EU (I) NA ; cioè, nell esempio, dell equazione (100 P r (I) ) 1=2 = 9:6; vale a dire, P r (I) = 7; 84: Per un individuo di tipo II, l utilità attesa non assicurandosi è EU (II) NA = (1=2)1001=2 +(1=2)(100 64) 1=2 = (1=2)10+(1=2)6 = 8. Il suo "prezzo di riserva" per un contratto di assicurazione è la soluzione dell equazione U (II) A = (W P r (II) ) 1=2 = EU (II) NA ; cioè dell equazione (100 P r (II) ) 1=2 = 8; vale 1
a dire, P (II) r = 36: (b) La compagnia deve decidere se o rire una polizza assicurativa e, se sì, quale premio richiedere per la polizza. La compagnia deve scegliere tra ssare il premio ad un livello su cientemente basso, tale da indurre anche gli individui di tipo I ad assicurarsi, oppure ad un livello su cientemente alto, tale da indurre ad assicurarsi solo gli individui di tipo II. Ricordiamo che gli individui di tipo I sono disposti ad assicurarsi ntantoché il premio non superi 7,84. Pertanto, per P 7; 84, il costo atteso per assicurato sostenuto dalla compagnia è EAC jp 7;84 = (1=2) (1=10) 64 (1 + 0; 15) + (1=2) (1=2) 64 (1 + 0; 15) = [(1=2) (1=10) 64 + (1=2) (1=2) 64] (1 + 0; 15) = 22; 08, quindi in ogni caso maggiore del premio (anche laddove questo fosse 7; 84). La compagnia avrebbe perciò una perdita attesa (un pro tto atteso negativo). Se invece la compagnia ssa il premio ad un livello P 2 (7; 84; 36], si assicureranno tutti e solo gli individui di tipo II. Pertanto, per un premio compreso in tale intervallo, il costo atteso per assicurato sostenuto dalla compagnia è EAC jp 2(7;84;36] = (1=2) 64 1; 15 = 36; 8: il costo atteso per assicurato risulta anche stavolta maggiore del premio (anche laddove questo è ssato a 36). In conclusione, un mercato assicurativo non può formarsi in quanto non esiste alcun premio che permetta alla compagnia di coprire i costi: quale che sia il premio, il ricavo totale risulta sempre inferiore al costo totale atteso della compagnia. Vale la pena notare come il costo atteso per assicurato sostenuto dalla compagnia aumenta quando la compagnia innalza il premio da un livello non superiore 7,84 a un livello compreso nell intervallo (7; 84; 36]: Questo aumento del costo unitario atteso all aumentare del prezzo di vendita è il fenomeno che va spesso sotto il nome di "selezione avversa". All aumentare del ricavo unitario il costo unitario atteso qui aumenta perché l aumento del prezzo ha un e etto "avverso", per la compagnia, sulle caratteristiche (di esposizione al rischio) di coloro che, nella popolazione, decidono di acquistare il prodotto: per premi su cientemente bassi, si assicurano anche soggetti che hanno una esposizione al rischio relativamente bassa, per premi alti si assicurano solo soggetti che hanno una esposizione al rischio elevata. Pertanto, il costo atteso per assicurato sostenuto dalla compagnia tende ad aumentare all aumentare del premio. Tenuto conto di questo, potrebbe accadere - proprio come illustrato da questo esercizio - che la compagnia non riesca a coprire i costi né ssando il premio ad un livello basso né ssando il premio ad un livello elevato. (c) Per comprendere come l esito in (b) dipenda dalle asimmetrie informative, supponiamo ora invece che la compagnia sappia riconoscere, senza sostenere costi per questo, la tipologia di ciascun immobile (e quindi di ciascun individuo) In tali circostanze un mercato assicurativo si formerebbe, con vantaggi per alcuni e senza che nessuno ne subisca uno svantaggio (rispetto alla situazione di assenza di un mercato). La compagnia potrebbe, per esempio, far pagare un premio pari a P I = 7; 5 per l assicurazione di immobili di tipo I. In tal modo, il costo atteso per assicurato sostenuto dalla compagnia sarebbe 2
EAC = (1=10) 64 1; 15 = 7; 36, e quindi essa avrebbe un pro tto totale atteso positivo, pari a E = 1000 (P I EAC) = 1000 (7; 5 7; 36) = 1000 0; 14 = 140. Si noti anche come, nell esempio, non convenga alla compagnia o rire polizze assicurative per gli immobili di tipo II: infatti, il premio massimo che ciascun soggetto di tipo II è disposto a pagare è 36, minore del costo atteso per assicurato di tipo II che la compagnia verrebbe a sostenere, pari a EAC = (1=2) 64 1; 15 = 36; 8. Ad ogni modo, vediamo che, in assenza di asimmetrie informative, alcuni starebbero meglio e nessuno starebbe peggio che in presenza di asimmetrie informative. Esercizio 2 Ci sono due tipologie di immobili, di tipo I e di tipo II, in uguale numero (1000 per ciascun tipo). Il valore di ciascun immobile è 80. Ogni immobile è soggetto all eventualità di subire un danno, veri candosi il quale il suo valore si riduce di 64: la probabilità del danno è 1/10 per un immobile di tipo I e 1/4 per un immobile di tipo II. Ogni immobile è di proprietà di un singolo individuo. La ricchezza iniziale di ciascuno è W = 100, costituita per 20 di denaro contante e per 80 del valore dell immobile. Le preferenze di ogni individuo sono rappresentate dalla funzione di utilità U = W 1=2 dove W è la sua ricchezza. Esiste per ipotesi una singola compagnia di assicurazione. La compagnia sa dell esistenza di due tipologie di immobili con le caratteristiche e la numerosità sopra speci cate; non sa però riconoscere la tipologia dell immobile in possesso di ogni particolare individuo (e quindi l esposizione al rischio del proprietario di quell immobile). I costi della compagnia consistono, oltre ai risarcimenti dovuti al veri carsi del danno, in costi amministrativi di vario genere (compresi costi-opportunità) pari a 15 centesimi per ogni euro di risarcimento. In questo esercizio: (a) Determiniamo il premio massimo che l individuo di ciascuna tipologia è disposto a pagare per assicurare completamente il proprio immobile. (b) Determiniamo l esito del mercato assicurativo (quale premio viene ssato dalla compagnia, quali individui si assicurano a quel premio e qual è il pro tto atteso della compagnia). (c) Dimostriamo che l esito in (b) dipende dall esistenza di asimmetrie informative e costituisce un "fallimento del mercato": vale a dire, laddove tali asimmetrie non vi fossero, diverrebbero concretamente possibili miglioramenti paretiani (allocazioni tali che ognuno stia meglio che in (b)). RISPOSTE (a) Per ogni individuo di tipo I l utilità attesa non assicurandosi è EU (I) NA = (9=10)100 1=2 +(1=10)(100 64) 1=2 = (9=10)10+(1=10)6 = 9; 6: Il premio massimo che egli è disposto a pagare per assicurarsi è la soluzione dell equazione U (I) (I) A = (W P r ) 1=2 = EU (I) NA ; cioè dell equazione (100 P r (I) ) 1=2 = 9; 6; vale a dire, P r (I) = 7; 84: Per ogni individuo di tipo II, l utilità attesa non assicurandosi è 3
EU (II) NA = (3=4) 1001=2 + (1=4) (100 64) 1=2 = (3=4) 10 + (1=4) 6 = 9. Il premio massimo che egli è disposto a pagare per assicurarsi è la soluzione dell equazione (100 P (II) r ) 1=2 = 9; vale a dire, P r (II) = 19: (b) La compagnia non può di erenziare il premio tra le due tipologie di assicurati in quanto non sa riconoscere la tipologia di ogni particolare individuo. La compagnia si rende poi conto che, per P 7; 84, si assicurano individui di entrambe le tipologie. Pertanto, il costo atteso per assicurato sarebbe: EAC jp 7;84 = [(1=2)(1=10)64+(1=2)(1=4)64]1; 15 = 31; 28. Ne segue che, per P = 7; 84 (e a maggior ragione per P < 7; 84) la compagnia avrebbe una perdita attesa essendo il ricavo per assicurato (il premio) inferiore al costo atteso per assicurato. Vediamo ora se la compagnia riuscirebbe a coprire i costi per un premio superiore a 7; 84. Se il premio viene ssato ad un livello P 2 (7; 84; 19], allora si assicureranno tutti e solo gli individui di tipo II. Il costo atteso per assicurato sarebbe EAC jp 2(7;84;19] = (1=4)641; 15 = 18; 4. Quindi, alla compagnia conviene ssare P = 19 essendo il ricavo per assicurato maggiore del costo atteso per assicurato: il pro tto atteso totale è E jp =19 = Ricavo totale Costo Atteso T otale = 100019 100018; 4 = 1000[19 18; 4] = 10000; 6 = 600: (c) Laddove la compagnia sapesse riconoscere la tipologia di ciascun individuo (in assenza cioè di asimmetrie informative), sarebbero possibili miglioramenti paretiani rispetto alla situazione che si determina in (b). La compagnia potrebbe, per esempio, far pagare un premio pari a P r (II) = 19 per ogni polizza assicurativa di immobili di tipo II e un premio pari a 7; 5 per ogni polizza assicurativa di immobili di tipo I. Si noti che il costo atteso per ciascuna polizza assicurativa per immobili di tipo I è (1=10)641; 15 = 7; 36, quindi la compagnia otterrebbe un pro tto atteso positivo anche sulle polizze assicurative degli immobili di tipo I. Quindi, la compagnia incrementerebbe il suo pro tto atteso rispetto alla situazione in (b); al tempo stesso gli individui di tipo I ora avrebbero un surplus positivo in quanto si assicurano pagando un premio inferiore al loro premio di riserva. Esercizio 3: Menu di contratti nel mercato assicurativo Ci sono due tipologie di immobili, di tipo I e di tipo II. Il valore di ciascun immobile è 80. Per un immobile di tipo I, vi è una probabilità di 1/10 di subire un danno, veri candosi il quale l immobile subisce una perdita di valore pari a 15. Per un immobile di tipo II la probabilità del danno è di 1/4 e il danno comporta una perdita di valore di 64. Ogni individuo possiede solo un immobile e la ricchezza attuale di ogni individuo è W = 100, costituita per 20 di denaro contante e per 80 del valore dell immobile. Ogni individuo ha la funzione di utilità Von Neumann Morgenstern U = W 1=2, dove W è la sua ricchezza..ci sono 20 000 immobili di tipo I e 100 immobili di tipo II. Vi è una sola compagnia di assicurazione. I suoi costi consistono dei risarcimenti dovuti in presenza di perdite nonché in costi amministrativi di vario genere (compresi i costi-opportunità) pari a 2 centesimi per ogni euro di risarcimento. La compagnia sa dell esistenza di due tipologie di immobili con le caratteristiche e la 4
numerosità sopra speci cate; non sa però riconoscere la tipologia dell immobile in possesso di ogni particolare individuo. In questo esercizio: (a) Determiniamo il premio massimo che l individuo di ciascuna tipologia è disposto a pagare per assicurare completamente il proprio immobile. (b) Determiniamo l esito del mercato assicurativo nel caso in cui la compagnia o ra solo polizze che prevedano un integrale risarcimento dell eventuale perdita di valore. (c) Dimostriamo che la compagnia di assicurazione ottiene un pro tto atteso maggiore (rispetto al caso considerato in (b)) se o re un menù di contratti come per esempio il seguente: il contratto ""; che prevede un risarcimento dell eventuale perdita no ad un massimo R = 10 e il pagamento di un premio P = 1; 04 e un contratto "" che prevede un premio P = 16; 5 e un integrale risarcimento dell eventuale perdita. RISPOSTE (a) Per ogni individuo di tipo I l utilità attesa non assicurandosi è EU (I) NA = (9=10) 100 1=2 + (1=10) (100 15) 1=2 = 9; 92195: Il prezzo di riserva di un contratto di assicurazione per tale individuo è la soluzione dell equazione (100 P r (I) ) 1=2 = 9; 92195; da cui si ricava P r (I) = 1; 554819. Per ogni individuo di tipo II, la sua utilità attesa non assicurandosi è EU (II) NA = (3=4)1001=2 +(1=4)(100 64) 1=2 = 9. Il suo prezzo di riserva di un contratto di assicurazione è la soluzione dell equazione (100 P r (II) ) 1=2 = 9; vale a dire, P r (II) = 19: (b) La compagnia non può di erenziare il premio tra le due tipologie di assicurati in quanto non sa riconoscere la tipologia di appartenza di ogni particolare individuo. Essa si rende poi conto che, per P 1; 554819, si assicurerebbero gli individui di entrambe le tipologie cosicché il costo atteso per assicurato sarebbe EAC jp 1;554819 = [(2000=20100)(1=10)15+(100=20100)(1=4)64]1; 02 = 1; 6035. Quindi, per P = 1; 554819 (e a maggior ragione per P < 1; 554819) la compagnia avrebbe una perdita attesa. Vediamo ora se i ricavi superano i costi attesi per un premio più elevato. Per P 2 (1; 554819; 19], si assicurano tutti e solo gli individui di tipo II e il costo atteso per assicurato è perciò EAC jp 2(1;554819; 19] = (1=4) 64 1; 02 = 16; 32. Quindi, alla compagnia conviene ssare P = 19: così facendo, ottiene un pro tto atteso totale E jp =19 = Ricavo totale Costo Atteso T otale = 100 19 100 16; 32 = 100 [19 16; 32] = 100 2; 68 = 268. (c) Dimostriamo che, davanti a questo menu di contratti, i soggetti di tipo I scelgono il contratto "" e i soggetti di tipo II scelgono il contratto "". Consideriamo i soggetti di tipo I. L utilità attesa scegliendo la polizza "" è EU (I) = (9=10) (100 1; 04) 1=2 + (1=10) [100 1; 04 (15 10)] 1=2 = 9; 9224, maggiore dell utilità attesa non assicurandosi. Inoltre, l utilità attesa con la polizza "" è maggiore dell utilità attesa con la polizza "", quest ultima essendo EU (I) = (100 16; 5) 1=2 = 9; 1378 (quindi addirittura minore dell utilità attesa non assicurandosi). Per contro, per un soggetto di tipo l utilità attesa con 5
la polizza "" è EU (II) = (100 16; 5) 1=2 = 9; 1378, che è maggiore della sua utilità attesa non assicurandosi così come della sua utilità attesa con la polizza ""; quest ultima essendo EU (I) = (3=4) (100 1; 04) 1=2 + (1=4) [100 1; 04 (64 10)] 1=2 = 9; 1372: La compagnia di assicurazione ottiene un pro tto atteso totale maggiore di quello ottenibile con l o erta di un solo tipo di contratto. Infatti, dai contratti di tipo la compagnia trae un pro tto atteso totale E = 100 16; 5 100 (1=4) 64 1; 02 = 100 [16; 5 (1=4) 64 1; 02] = 100 [16; 5 16; 32] = 100 0; 18 = 18: Il pro tto atteso totale dalle polizze "" è E = 20000 [1; 04 (1=10) 10 1; 02] = 20000 [1; 04 1; 02] = 400: Quindi, il pro tto atteso totale della compagnia o rendo questi due tipi di polizze ammonta a 418, maggiore di 268 (il massimo pro tto totale ottenibile o rendo solo un contratto di assicurazione completo). Notiamo ancora come l o erta di un menù di contratti, oltre ad avvantaggiare la compagnia di assicurazione, ha comportato un miglioramento della posizione di entrambe le tipologie di proprietari di immobili. Esercizio 4: Assicurazione obbligatoria Sulla base dei dati dell esercizio 1, si supponga che il governo imponga l obbligo di assicurarsi a tutti i proprietari di abitazioni. Supponiamo anche che il premio venga ssato da un agenzia pubblica sulla base dei costi della compagnia di assicurazione, in particolare, ad un livello tale che questa abbia un pro tto atteso nullo. (a) Qual è il premio ssato dall agenzia governativa? (b) Rispetto alla situazione che si determina quando ogni individuo sceglie liberamente se assicurarsi oppure no (punto (b) dell esercizio 1), chi migliora la propria posizione e chi la peggiora? RISPOSTA (a) Quando tutti si assicurano il costo atteso per assicurato sostenuto dalla compagnia di assicurazione è EAC jass:obbl: = f(1=2) [(1=10) 64] + (1=2) [(1=2) 64]g 1; 15 = 22; 08 (come si era già visto, in un altro contesto, nel punto (b) dell esercizio 1). Quindi, è questo il premio ssato dall agenzia governativa. Ogni individuo di tipo I ha un surplus netto negativo, pari a P r (I) P = 7; 84 22; 08 = 14; 24: Ogni individuo di tipo II ha invece un surplus netto positivo, pari a P r (II) P = 36 22; 08 = 7; 92: Quindi, rispetto alla situazione di assenza del mercato che si determina quando ogni individuo sceglie liberamente se assicurarsi oppure no (vedi punto (b) dell esercizio 1), migliorano la propria posizione i soggetti maggiormente esposti al rischio e la peggiorano quelli meno esposti al rischio; la compagnia mantiene invariata la propria posizione. 6