RILEVAMENTO ALTIMETRICO

Capitolo 8 RILEVMENTO LTIMETRICO 8.1 DEFINIZIONE DI QUOT E DISLIVELLO L altimetria é la parte della Topografia che studia i mezzi, gli strumenti e le metodologie per conoscere la posizione dei punti del terreno rispetto alla superficie di riferimento. TEORI DINMIC d ogni posizione dei punti si può associare un valore detto quota o livello. Le quote dei punti insieme alla loro reciproca posizione sul piano di riferimento consentono di avere una descrizione completa del territorio e di permettere infine di risalire al territorio dalla descrizione, attraverso la scala di rappresentazione. superficie equipotenziale e superficie di livello q P = W P P R q R= W R P ' R ' Fig. 1.8 bbiamo già visto che la superficie di riferimento é una particolare superficie equipotenziale passante per un prefissato punto della Terra. Pertanto la posizione di un punto, non appartenente alla superficie di rife-

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 93 rimento, può essere definito attraverso la superficie equipotenziale o di livello passante per esso ossia attraverso il valore del potenziale W p nel punto P. Per dislivello tra due punti P e R si intende la differenza di quota tra R e P ossia: PR = q R q P = W R W P Un tale modo di procedere molto rigoroso, riesce in pratica piuttosto difficoltoso, in quanto le superfici di livello non sono parallele tra loro perché risentono della reale distribuzione delle masse terrestri (fig. 1.8). TEORI ORTOMETRIC Un modo di procedere più speditamente e concettualmente più facile é di considerare le superfici di livello (equipotenziali) parallele tra loro e di continuare a ritenere la direzione della verticale in ogni punto ortogonale alla superficie di livello. Il concetto di quota per un punto P in questo caso prescinde dal valore del potenziale e coincide semplicemente con la distanza ortogonale del punto P dalla superficie di riferimento (fig. 2.8). P P 1 1 q P = PP 1 q = 1 Fig. 2.8 I risultati che si ottengono con la Teoria ortometrica sono molto buoni e l approssimazione che si ha nel determinare le quote é quella voluta ossia del millimetro, tranne in casi particolari in cui si ha forte variazione della gravità. In compenso i problemi altimetrici vengono affrontati mediante considerazioni geometriche ovvero diventano problemi prettamente geometrici. bbiamo già visto nel definire la superficie di riferimento che se vogliamo continuare ad operare nel campo topografico e perciò ritenere la superficie di riferimento piana, dalle formule di Puiseux-Weingarten le osservazioni non devono andare oltre i 100 m nel definire le quote con l approssimazione

94 TEORI DEL RILIEVO TOPOGRFICO del millimetro; altrimenti si deve considerare il campo sferico o geodetico (fig. 3.8). superficie di livello P R superficie di riferimento P' R' Fig. 3.8 Inoltre considerato la ristrettezza del campo di osservazione (100 m) le direzioni delle verticali possono considerarsi parallele e coincidenti con le normali al piano topografico (fig. 4.8). piani di livello D verticale piano topografico 1 1 Fig. 4.8 dove: - per quota di si intende la distanza 1; 1 = q - per quota di si ha : 1 = q - per dislivello di rispetto a : = q q = q q ( ) = Le operazioni topografiche necessarie per valutare i dislivelli tra punti del terreno prendono il nome di livellazioni. La determinazione delle quote dei punti avviene mediante la relazione di definizione di dislivello: = q q purché sia nota almeno la quota di un punto (caposaldo di livellazione). 8.2 CLSSIFICZIONE DELLE LIVELLZIONI Le livellazioni possono essere eseguite con differenti strumenti e diverse metodologie inoltre nelle relazioni che definiscono il valore del dislivello tra due punti può intervenire o meno il valore della distanza dei due punti.

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 95 LE LIVELLZIONI DIPENDENTI DLL DISTNZ DEI PUNTI - Trigonometrica, per determinare dislivelli o quote fra due punti molto distanti mediante teodolite. - Ecclimetrica, eseguita fra punti con rilevante pendenza con l ecclimetro. - Clisimetrica, analoga alla precedente, con l impiego del clisimetro che misura le pendenze. LE LIVELLZIONI INDIPENDENTI DLL DISTNZ - La livellazione barometrica, poco precisa, si basa sulla misura della pressione e della temperatura sapendo che la pressione é in correlazione con l altitudine (quota) e con la temperatura dell aria; - La livellazione geometrica che consiste nell impiego di strumenti (livelli) capaci di individuare mediante i loro cannocchiali piani orizzontali (superfici di livello) e di mezzi (stadie) idonei a valutare le distanze (dislivelli) tra i piani di livello. - Subacquea, consente di determinare le quote del fondo di un lago o del mare mediante l ecoscandaglio che emette degli impulsi. Infatti nota la velocità di trasmissione dell impulso nell acqua e il tempo intercorso fra emissione dell impulso e la sua ricezione dopo la riflessione; facendo il prodotto della velocità per il tempo diviso due, si ottiene la profondità cioè la quota. - La coltellazione, può essere considerata un tipo particolare di livellazione in quanto ci consente di rilevare l andamento di una sezione di un fosso o pendio, come abbiamo già visto. 8.3 LIVELLZIONE GEOMETRIC Le livellazioni geometriche possono essere semplici o composte. Esse sono semplici quando consentono di determinare il dislivello cercato tra due punti con una sola stazione. Sono composte quando richiedono due o più stazioni servendosi di punti ausiliari, il dislivello totale é dato dalla somma di due o più dislivelli parziali. La livellazione geometrica prende anche il nome di: - raggiante, quando si propone di determinare il dislivello di più punti del terreno rispetto ad un punto S, in cui si fa stazione, in posizione centrale (fig. 5.8);

96 TEORI DEL RILIEVO TOPOGRFICO 1 2 3 10 S 4 9 8 5 7 6 Fig. 5.8 - longitudinale, quando si propone di determinare l andamento altimetrico del terreno lungo una linea detta linea longitudinale di livellazione (fig. 6.8); G I C E F H D Fig. 6.8 - trasversale, quando si propone di determinare l andamento altimetrico trasversalmente ad una assegnata linea o spezzata (fig. 7.8); C E G D F H Fig. 7.8 Le livellazioni semplici possono essere eseguite con diverse modalità: LIVELLZIONE D UN ESTREMO Per determinare il si fa stazione in un punto estremo per esempio ed in si pone la verticale (fig. 8.8). verticale livello visuale orizzontale h L d Fig. 8.8

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 97 L altezza h chiamasi altezza strumentale, mentre la lettura fatta alla chiamasi battuta. Il dislivello tra e é dato da: = q q = h L LIVELLZIONE DL MEZZO O D UN PUNTO INTERMEDIO Per determinare il dislivello si fa stazione con il livello in un punto i intermedio tra e ed in e vengono collocate due stadie in posizione verticale (fig. 8.8). L i L Fig. 8.8 Supposto che la lettura alla in sia L e quella in sia L il dislivello é dato dalla formula: = q a q = L L Se facciamo una livellazione lungo la linea CD nel verso che va verso D, la lettura fatta in chiamasi contro battuta o lettura indietro o battuta indietro mentre la lettura fatta in chiamasi lettura in avanti o battuta in avanti.

98 TEORI DEL RILIEVO TOPOGRFICO + CONSIDERZIONI La livellazione dal mezzo rispetto a quella da un estremo ha i seguenti vantaggi: - L errore di sfericità e di rifrazione é nullo data la piccola distanza; - Permette livellazioni con distanze fra i punti e due volte maggiori delle livellazioni semplici da un estremo; - Permette di determinare un dislivello massimo di 4 metri (lunghezza della ), mentre nel caso di livellazione semplice da un estremo il dislivello massimo misurabile é pari ad h cioè all altezza strumentale, per dislivelli positivi e a circa 2,5 m per dislivelli negativi; - La messa in stazione é molto più rapida in quanto il punto di stazione non deve coincidere con nessun punto del terreno prefissato ma deve essere circa equidistante da e da ; - Il dislivello é determinato con l approssimazione del millimetro in quanto tale é la lettura alla, mentre nella livellazione da un esterno con l approssimazione del centimetro, perché tale é l approssimazione che si ha nella determinazione dell altezza strumentale; - il dislivello calcolato é esente dagli effetti di un possibile errore dovuto alla non perfetta orizzontalità dell asse di collimazione (fig. 10.8). x ε ε x L L i Fig. 10.8 Infatti supposto: - l angolo di altezza o di inclinazione dell asse di collimazione sia e nella battuta indietro e in quella in avanti. - lo strumento sia equidistante da e da, si ha che X = X, per cui sapendo che il dislivello é dato dalla differenza delle letture alla una volta in e un altra in si ottiene: = L ind L av = L + X L + X ( ) = L L per cui il dislivello risulta essere esente da errore di inclinazione. Si può concludere che il metodo della livellazione dal mezzo é sempre da preferire nei casi in cui é possibile eseguirla.

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 99 LIVELLZIONE RECIPROC La livellazione reciproca tra i punti e consiste in due livellazioni da un estremo: una prima volta si fa stazione in e in, una seconda volta facendo stazione in e in (fig. 11.8). ε ε x x h L L h ' " Fig. 11.8 Il valore del dislivello tra e è il valore medio dei due valori trovati: = + 2 dove: é il dislivello trovato facendo stazione in : = h ( L + x ), é il dislivello trovato facendo stazione in : = = h [ ( L + x )] = L + x ( ) h I due valori e possono (nella maggioranza dei casi) essere diversi tra loro nel caso in cui la visuale o l asse di collimazione non sia perfettamente orizzontale. La livellazione reciproca da il valore di esente da errore. LIVELLZIONE COMPOST Se i punti e di cui si vuole conoscere il dislivello sono: - a notevole distanza, - non sono visibili tra loro, - hanno un grande dislivello, - sono ad elevata pendenza, occorre eseguire una livellazione composta mediante la scelta di punti intermedi che costituiscono i vertici di una opportuna spezzata fra i punti e. I punti ausiliari vengono scelti in modo tale che possa eseguirsi una livellazione semplice da un estremo o dal mezzo.

100 TEORI DEL RILIEVO TOPOGRFICO Supponiamo di volere determinare il dislivello tra e e la situazione sia quella di figura (fig. 12.8). i 1 i 2 i 3 i 4 punti ausiliari Fig. 12.8 La posizione dei punti ausiliari è stata scelta in modo tale che si possano eseguire successive livellazioni da un estremo o livellazione dal mezzo. Nel 1 caso, livellazione composta da un estremo (fig. 12.8) si ha: = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = h L 1 da cui = h i L i ( ) + ( h 1 L 2 ) +... + ( h 4 L ) ; Dove h i ed L i sono rispettivamente il valore dell altezza strumentale e della lettura alla o battuta in ogni singola livellazione da un estremo. Nel 2 caso, livellazione composta dal mezzo (fig. 13.8) ' i 1 i 1 ' i 2 i 2 ' i 3 punti ausiliari da cui = Fig. 13.8 = 1 + 2 + 3 = L L 1 L ind L av ( ) + ( L 1 L 2 ) + ( L 2 L ) ; dove: L ind e L av sono rispettivamente la lettura alla indietro ed in a- vanti in ogni singola livellazione dal mezzo. Nel caso di livellazione composta bisogna tenere conto delle seguenti precauzioni onde evitare errori. + - La distanza massima tra stazione e per ogni singola livellazione non deve superare i 100 m (campo topografico per l altimetria); - per evitare errori di lettura, la va tenuta verticale sulla testa del picchetto che materializza il punto. Nella rotazione della (caso di livellazione composta dal mezzo) si fa in modo che questa non cambi il punto di appoggio.

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 101 COMPENSZIONE Per avere un controllo del dislivello tra e la livellazione va eseguita in andata ed in ritorno, cioè da verso e da verso. Si ha così una linea di livellazione chiusa ed il dislivello totale dovrebbe risultare zero cioè in formula: + = 0 In realtà i valori trovati saranno affetti da errori per cui la relazione precedente diventa: + = δ Naturalmente se interessa ottenere soltanto il dislivello dei due punti estremi della linea livellata, nel ritorno si può scegliere un altro percorso ossia un altra linea che abbia sempre come estremi e. ffinché gli errori commessi nella determinazione dei dislivelli e siano imputabili a cause accidentali il valore dell errore di chiusura altimetrica d non deve superare il valore limite ammissibile fissato dalla tolleranza. L espressione che viene data per la tolleranza é: T = ± K D dove K chiamasi errore medio chilometrico. La costante k espressa in millimetri dipende dalla precisione dello strumento, dal metodo di livellazione e dallo scopo cui deve servire la livellazione; essa ha un valore compreso tra 1 e 10 mm. D è la lunghezza totale della linea livellata espressa in chilometri. Se l errore di chiusura d risulta inferiore alla tolleranza (in caso contrario si ripetono le misure) si esegue la compensazione. Se si vuole conoscere solo il dislivello tra e si fa la media tra : e, cioè: + ( ) = 2 Se invece interessa conosce i dislivelli dei punti intermedi la compensazione può essere fatta in diversi modi: - dividendo l errore d per il numero n dei dislivelli ed ad ognuno di questi si dà una correzione uguale; - dividendo l errore d in parti proporzionali alle lunghezze dei tratti di livellazione compresi tra i punti.

102 TEORI DEL RILIEVO TOPOGRFICO Possiamo avere livellazioni con differente precisione, a seconda dello scopo cui devono servire. - Le livellazioni di alta precisione sono le livellazioni fatte con strumenti molto precisi e con un errore medio chilometrico K 1 mm; - le livellazioni di precisione sono quelle fatte con un valore di K = 2 mm; - le livellazioni medie con valore di K= 3 mm; - le livellazioni tecniche con valore di K= 4 5 mm; - le livellazioni comuni con valore di K= 5 10 mm. Le livellazioni di alta precisione e quelle di precisione hanno spesse volte lo scopo di determinare la quota di punti stabili del terreno chiamati capisaldi di livellazione. Queste livellazioni si eseguono con livelli che garantiscono l orizzontalità della visuale e con mire speciali (stadie) esattamente campionate. I capisaldi di livellazione possono essere orizzontali o verticali a seconda che sono segnati su un piano orizzontale o verticale (fig. 14.8). 453,27 s.l.m. Fig. 14.8 I capisaldi orizzontali vengono materializzati con dischetti di zinco piombati sulla superficie orizzontale di manufatti (gradino di una chiesa, una soglia di edificio pubblico). I capisaldi verticali vengono materializzati con una lastrina rettangolare di marmo o da una piastrina metallica con un tratto orizzontale, che fa da linea di fede, murata su una parete verticale ad una altezza di m. 1,40 da terra. 8.4 LIVELLI Si è detto che per poter eseguire una livellazione geometrica è necessario disporre di una visuale orizzontale; uno strumento atto a tale scopo deve possedere questa caratteristica. Un livello moderno può essere schematizzato come in fig. 15.8. Esso é costituito da: - un basamento a viti calanti

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 103 - un asse di collimazione - orizzontale - un asse di rotazione - verticale intorno al quale può ruotare - L asse di collimazione - di un cannocchiale ha lo scopo di individuare la visuale orizzontale. asse di rotazione viti calanti cerchio orizzontale basamento Fig. 15.8 Sul cerchio orizzontale e sul basamento é collocata una livella sferica che permette di posizionare l asse - verticalmente. L asse di collimazione -, per costruzione orizzontaleggiante, é dotato di una vite di elevazione (vite micrometrica), affinchè possa essere perfezionata l orizzontalità mediante una livella torica solidale al cannocchiale. La condizione di esattezza del livello é che l asse della livella torica solidale al cannocchiale sia parallelo all asse di collimazione. La verifica di una tale condizione di esattezza si fa tramite due livellazioni: a) dati due punti e sul terreno si determini il dislivello tramite u- na livellazione da un estremo. b) Si determini di nuovo di dislivello con una livellazione dal mezzo. Se = la condizione di esattezza dello strumento è soddisfatta perché il dislivello determinato con la livellazione geometrica dal mezzo è esente dall errore e di inclinazione della visuale o asse di collimazione. Se, poiché rappresenta il valore vero del dislivello tra e, significa che è affetto dall errore X dovuto alla non perfetta o- rizzontalità dell asse di collimazione ossia dall errore di inclinazione e sebbene si sia operato con la bolla della livella torica centrata. La rettifica si esegue operando sulla vite di elevazione o micrometrica del livello facendo la livellazione a) da un estremo, sino a leggere alla il valore L tale che h L = cioè sino ad ottenere il dislivello esente da errore, determinato precedentemente con la livellazione dal mezzo.

104 TEORI DEL RILIEVO TOPOGRFICO In corrispondenza di tale lettura L alla, l asse di collimazione del cannocchiale sarà sicuramente orizzontale, si centra la bolla della livella torica solidale al cannocchiale tramite le viti di rettifica della livella. Ogni qualvolta si centri la bolla della livella, l asse di collimazione risulterà orizzontale. Le operazioni di verifica o rettifica possono ottenersi anche con: - livellazioni dai due estremi e ; - livellazioni dal mezzo e da un punto intermedio definito; - livellazioni da due punti intermedi simmetrici (livellazioni porro). 8.5 LIVELLZIONE ECCLIMETRIC La livellazione ecclimetrica viene eseguita mediante uno strumento dotato di cannocchiale e cerchio verticale per la lettura degli angoli di inclinazione; detto strumento si chiama ecclimetro. Questo tipo di livellazione viene eseguito su terreni dotati di una certa pendenza (fig. 16.8). Operativamente é simile alla livellazione geometrica da un estremo con la differenza che l asse di collimazione é inclinato e le misurazioni sono le seguenti: - lettura alla, L ; - misura diretta della distanza, D; - misura dell angolo di inclinazione, α ; - misura dell altezza strumentale h. h1 verticale ζ L O α h piani di livello D Fig. 16.8

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 105 Da facili considerazioni geometriche possiamo scrivere che : + L = h + h 1 dove: h 1 = Dtgα = Dcot ζ pertanto sostituendo si ha: = h + Dtgα L = h +Dcot gζ L 8.6 LIVELLZIONE TCHEOMETRIC Nel caso in cui il cannocchiale sia dotato di reticolo distanziometrico (Tacheometro), la distanza D può essere misurata indirettamente ossia: D = KHcos 2 α = KHsen 2 ζ con noto significato dei simboli. In questo caso si parla più propriamente di livellazione tacheometrica e sostituendo nella relazione della livellazione ecclimetrica, per il dislivello tra e si ha: = h + KH cos 2 α tgα L = h + KH sen 2 ζ cot ζ L oppure: = h + KHcosαsenα L = h + KHsenζcosζ L Il dislivello in questi ultimi due tipi di livellazioni viene a dipendere dalla distanza D. La precisione é la stessa nei due casi, essa viene a dipendere dalla distanza D e dall angolo di inclinazione. Infatti ricordando quanto detto nella teoria degli errori per le grandezze non lineari per la funzione: = h L + Dcotg ζ ritenendo h e L delle costanti si ha: σ 2 = D 2 σ 2 D + α 2 D 2 σ α 2 σ 2 = cotg 2 ζ σ 2 D + sen 4 ζ σ ζ 2

106 TEORI DEL RILIEVO TOPOGRFICO + Ponendo nella precedente D=100 m, σ D = ± 0,15 m e σ ζ = ± 1 e facendo i relativi calcoli con ζ diversi, si hanno i seguenti valori: ζ 90 80 70 60 σ (cm) ± 2,9 ± 4,0 + 6,4 ± 9,5 Nella formula della livellazione ecclimetrica la quantità tgα esprime anche la pendenza p esistente tra i due punti e, per cui impiegando uno strumento con cerchio verticale che fornisce direttamente il valore p = tg α anziché α, il dislivello é dato da: = h L + p D Lo strumento così fatto prende il nome di clisimetro e la livellazione chiamasi clisimetrica. 8.7 LIVELLZIONI TRIGONOMETRICHE Vengono eseguite generalmente tra punti molto distanti quali possono essere i punti trigonometrici, per cui bisogna tener conto della curvatura della superficie di riferimento e della rifrazione. Operativamente vengono e- seguite con teodoliti molto precisi e si può operare in diversi modi: MISUR DEGLI NGOLI ZENITLI PPRENTI CON OSSERVZIONI RECIPRO- CHE SIMULTNEE (fig. 17.8): visuale ϕ t t ϕ O' h z ε ε z h O" H Q 0 D 0 Q H R ω O Fig. 17.8

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 107 H H = D 1 + Q m tg ϕ ϕ R 2 Dtg ϕ ϕ 2 dove: H, H, sono le quote dei punti di osservazione; D, la distanza tra i punti; j 1, j 2, gli angoli zenitali apparenti; Q m, quota media tra i due punti; R, il raggio della sfera locale. OSSERVZIONE D UN ESTREMO CON MISUR DI UN SOLO NGOLO ZENITLE PPRENTE. H H = D 1 + Q m cotg ϕ + 1 K R 2R D2 dove: K é la costante di rifrazione; 1 K 2 2K D2, é il coefficiente correttivo della sfericità e della rifrazione. 8.8 RPPRESENTZIONE LTIMETRIC DEL TERRENO Come abbiamo già detto, le livellazioni consentono di determinare i dislivelli tra punti del terreno, pertanto le quote dei punti potranno essere determinate mediante la relazione di definizione del tipo: = q q purché sia nota una quota. Nel caso dell Italia l I.G.M. ha eseguito su tutto il territorio italiano delle livellazioni di alta precisione, che costituiscono la rete fondamentale di cui sono state determinate le quote assolute di punti detti capisaldi. i capisaldi si deve sempre fare riferimento per determinare le quote assolute di altri punti del terreno. I capisaldi assumono in altimetria la stessa funzione che hanno in planimetria i vertici trigonometrici. Per determinare la quota assoluta di un punto si fa un collegamento al più vicino caposaldo di livellazione mediante una livellazione geometrica. Determinata la posizione planimetrica dei punti e le loro quote, la rappresentazione completa dei punti del terreno può essere fatta nei seguenti due modi: a) rappresentazione a piano quotato; b) rappresentazione a curve di livello.

108 TEORI DEL RILIEVO TOPOGRFICO Nella rappresentazione del terreno a piano quotato (fig. 18.8) a fianco ad ogni punto (che rappresenta la proiezione sul piano topografico) viene scritto tra parentesi la sua quota. 2 (86,53) 1 (98,20) 3 (92,31) 5 (99,15) 9 (95,67) 4 (92,31) 7 (94,70) 6 (87,23) 8 (90,19) Fig. 18.8 Con la rappresentazione a piano quotato la superficie del terreno viene ad essere assimilata ad una superficie poliedrica a facce triangolari piane u- nendo a tre a tre i punti contigui; si ipotizza che l andamento del terreno tra punti contigui ci sia una variazione di tipo lineare (fig. 19.8). 13 (80,3) 1 (77,2) 11 (81,4) 12 (81,4) S (80) 3 (77,7) 10 (80,7) 4 (77,8) 8 (76,9) 6 (79,1) 9 (80,1) 7 (78,8) 5 (76,68) Fig. 19.8 Nella rappresentazione del terreno a curve di livello, ogni curva di livello, detta anche isoipsa, unisce punti del terreno ad uguale quota e può essere considerata come la proiezione delle intersezioni di un fascio di piani orizzontali tra di loro equidistanti (equidistanza) con la superficie del terreno (fig. 20.8).

CPITOLO 9: RILEVMENTO LTIMETRICO 109 50 equidistanza e 30 equidistanza e 10 piano topografico Fig. 20.8 Generalmente l equidistanza e é espressa in metri pari ad un millesimo del denominatore della scala planimetrica. + Ne conseguono le seguenti considerazioni sulle curve di livello o isoipse: - due isoipse non si incontrano mai; - ogni isoipsa si chiude da qualche parte; - zone con isoipse più fitte rappresentano un terreno con maggiore pendenza e viceversa: p = e/d; - isoipse crescenti indicano terreno in salita e isoipse decrescenti terreno in discesa. nalizzando le isoipse possiamo avere una molteplicità di informazioni del terreno: linee di displuvio, compluvio, esposizione, acclività. Pertanto la rappresentazione del terreno mediante curve di livello, riesce ad essere più suggestiva e possiamo avere una immediata percezione dell andamento altimetrico.