La teoria degli errori

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1 La teoria degli errori TEORIA 1 Errori nelle misure indirette: funzioni lineari Errore medio unitario ed errore relativo 3 Errori nelle misure indirette: funzioni non lineari 4 Errori nella misura della distanza ad angolo parallattico costante 5 Errori nella trasformazione delle coordinate da polari a cartesiane 6 Errori nella riduzione al centro di stazione 7 Errori nella livellazione ecclimetrica 8 Errori nella livellazione geometrica dal mezzo 9 Errori nella livellazione composta RIASSUMENDO AUTOVALUTAZIONE Nell ambito dei rilievi topografici vengono eseguite misure di vario genere, con diversi strumenti e con l impiego di differenti tecniche. Tuttavia esse sono accomunate dalla presenza di errori che devono essere controllati e valutati.

2 FAQ A cosa servono le diverse formule di propagazione degli errori? Consentono di determinare gli errori medi di grandezze che siano funzioni lineari o funzioni non lineari di altre grandezze che siano state misurate direttamente. 1. Errori nelle misure indirette: funzioni lineari Consideriamo una grandezza L espressa mediante una funzione lineare che leghi fra di loro più grandezze indipendenti misurate direttamente. Esempio di una grandezza di questo tipo è il perimetro di un poligono ottenuto come somma dei lati misurati direttamente. La grandezza L, in questo caso, viene espressa mediante un equazione lineare del tipo: L ax by cz l (1) nella quale X, Y, Z,... sono le grandezze misurate più volte direttamente, mentre a, b, c,..., l sono delle costanti. Se indichiamo con mx, my, mz,... gli errori medi delle grandezze X, Y, Z,..., si potrebbe dimostrare che l errore medio della grandezza L è dato da: ml a mx b my c mz... () La () prende il nome di formula di propagazione degli errori per funzioni lineari. Nel caso in cui si ha a b c... 1, come, per esempio, nel caso del perimetro di un poligono, la () diventa: ml mx my mz... (3) Se, poi, la grandezza L è funzione di n grandezze le cui misure sono affette tutte dallo stesso errore, per cui è mx my mz... m, quadrando la (3) si ottiene: da cui si ricava: ml n m ml m n (4) APPLICAZIONI Problema 1 Di un appezzamento di forma rettangolare sono stati misurati la base B e l altezza H. Determinare l errore medio del perimetro dell appezzamento. Siano B 70,3 m H 48,15 m gli elementi misurati e b 0,03 m h 0,01 m i relativi errori medi. Soluzione Il valore del perimetro si calcola con la (1): p B H 70,3 48,15 36,94 m L errore medio di p si calcola con la (): p b h 4 3 0,0 4 0,01 0,063 m Il valore più probabile del perimetro sarà quindi espresso da: p 36,94 0,063 m Problema Lungo l allineamento AC si è fissato un punto B e si sono direttamente misurate più volte le distanze parziali AB e BC. Determinare il più probabile valore del- Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

3 la distanza AC e il suo errore medio. Nelle tabelle che seguono sono riportati i diversi valori delle misure e gli scarti dal valore medio: i AB (m) v i (cm) + v i (cm ) 1 75,48 0,7 0,49 75,5 3,3 10, ,54 5,3 8, ,47 1,7, ,46,7 7,9 6 75,44 4,7, ,50 1,3 1,69 58,41 9,9 9,8 73,43 AB m 58,41/ 7 75,487 m i BC (m) v i (cm) + v i (cm ) 1 10,64,1 4,41 10,71 9,1 8, ,59,9 8, ,60 1,9 3, ,57 4,9 4, ,6 0,1 0, ,60 1,9 3,61 718,33 11,3 11,60 16,87 BC m 718,33/ 7 10,619 m Soluzione Il più probabile valore di AC si calcola con la (1) in cui si ha a b... 1 ed l 0: AC m 75,487 10, ,106 m Gli errori medi di AB m e di BC m si calcolano con la (8) dell unità D3 (volume 1): ABm 73,43 /7 6 1,3 cm BCm 16,87 /7 6 1,74 cm Il più probabile valore dell errore medio di AC m si calcola con la (3): ACm 1,3 1,74,18 cm La distanza AC quindi ha elevate probabilità di essere compresa nel seguente intervallo di valori: AC 178,106 0,018 m. Errore medio unitario ed errore relativo Se misuriamo una grandezza L possiamo sempre immaginarla come somma di un numero L di unità di misura misurate separatamente: la grandezza è allora una funzione lineare dell unità di misura. Si definisce errore medio unitario l errore medio dell unità di misura. Se indichiamo l errore medio unitario con u,l errore medio di L per la (4) è dato da: ml u u... L u (5) Dalla precedente si può agevolmente ricavare l espressione dell errore medio unitario: ml u (6) L Si definisce errore relativo il rapporto tra l errore medio e la grandezza misurata. Se indichiamo l errore relativo con r, si ha: ml r (7) L FAQ Cosa esprime l errore relativo di una grandezza misurata? È l errore medio della grandezza riferito alla sua unità di misura. Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 3

4 APPLICAZIONE Problema La distanza tra due punti A e B è stata misurata 10 volte a mezzo di un nastro d acciaio lungo 0 m, ottenendo i risultati riportati nella tabella seguente. Calcolare l errore medio unitario e l errore relativo. i AB (m) v i (cm) + v i (cm ) 1 135,755 0,5 0,5 135,765 1,5, ,705 4,5 0, ,790 4,0 16, ,770,0 4, ,785 3,5 1, ,745 0,5 0, ,730,0 4, ,735 1,5, ,70 3,0 9, ,500 11,5 11,5 70,50 L m 1357,500/10 135,75 m Soluzione L errore medio di una qualunque misura presa a caso, per la (6) dell unità D3 (volume 1) risulta: 70,5/ 9,8 cm mentre l errore medio dell unità di misura (un metro), per la (6) sarà:,8 u 0,4 cm 135,75 L errore relativo, per la (7), è dato da: 0,08 r 0, , Errori nelle misure indirette: funzioni non lineari Molte grandezze che vengono determinate in Topografia sono funzioni non lineari di altre grandezze misurate direttamente. Per fare un esempio, l area di un triangolo data dall espressione S bh / è una funzione di questo tipo; infatti, se proiettiamo su un sistema di assi le variabili b e h che forniscono il valore costante S, non otteniamo una retta ma un iperbole equilatera, come sappiamo dalla Geometria. Supponiamo allora che una generica grandezza Z sia esprimibile mediante una funzione non lineare che lega tra loro più grandezze X, Y,... indipendenti e misurabili direttamente: Z f (X, Y,...) (8) 4 Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

5 Se indichiamo con gli X, Y,... gli errori medi commessi nella misura di X, Y,... e con f / X, f / Y,... le derivate parziali della funzione f rispetto alle grandezze misurate, si potrebbe dimostrare che l errore medio della grandezza Z è dato da: f Z X f Y X... (9) Y La (9) prende il nome di formula di propagazione degli errori per funzioni non lineari. Nei paragrafi successivi si applicheranno i concetti esposti in questo paragrafo, sia per calcolare il valore più probabile dell errore commesso nelle varie operazioni topografiche, che per confrontare diversi metodi di misurazione in relazione alla loro diversa precisione. APPLICAZIONI Problema 1 Determinare l errore medio del lato c di un triangolo di cui siano stati misurati gli elementi a,, e dei quali si conoscono i relativi errori medi (FIGURA 1). Gli elementi misurati sono: a 64,36 m e i rispettivi errori medi valgono: a 0,04 m 1 0 Soluzione Il valore di c si calcola mediante il teorema dei seni: a sen 64,36 sen 7 14 c 76,9 m sen sen 53 7 L errore medio di c si calcola mediante la (9): Calcoliamo le derivate parziali: c a c c c a c sen sen a c a c a cos c cos ccotg sen sen c a sen cos a sen cos c cotg sen sen sen Sostituendo: c c a c cot g () c cotg () a c a c otg ( ) cotg () a 0,04 76,9 c otg c otg , ,058 m La misura più probabile del lato c è compresa pertanto nell intervallo: c 76,9 0,058 m Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 5

6 FIGURA 1 Triangolo relativo ai problemi 1 e. C γ a b B β c α A Problema Determinare l errore medio del lato c del triangolo di FIGURA 1 di cui siano stati misurati direttamente e più volte il lato a e gli angoli e. I risultati delle misurazioni e gli scarti dal loro valore medio sono riportati nelle seguenti tabelle: i a i (m) v i (cm) + v i (cm ) 1 85,48,4 5,79 85,55 4,6 1, ,51 0,6 0, ,48,4 5, ,50 0,4 0,16 47,5 5, 5, 33,0 a m 47,5/5 85,504 m i i v i v i i i v i v i ,5, ,5 0, ,5 0, ,5 1, ,5, ,5 0, ,50 m / m / ,5 Soluzione Il valore più conveniente del lato c si calcola applicando il teorema dei seni e sostituendo alle grandezze misurate i rispettivi valori medi: a m sen m 85,504 sen ,5 c 94,198 m sen m sen Calcoliamo gli errori medi delle grandezze misurate: v i n (n 1) 33,0 5 4 ma 1,3 cm 0,013 m m 49 1,8 6 5 m 37,5 1, Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

7 Le derivate parziali di c rispetto ad a, e sono le stesse che abbiamo calcolato nell esempio 1. L errore medio del lato c si ottiene applicando la (9), per cui, dopo aver sostituito le derivate parziali con le relative espressioni precedentemente calcolate e aver raccolto il termine c, portandolo poi fuori dal segno di radice, si ha: 0,013 mc 94,198 co tg , 5 1,1 co tg , ,014 m La misura più probabile del lato c è compresa nell intervallo: c 94,198 0,014 m ,8 4. Errori nella misura della distanza ad angolo parallattico costante n Errore medio Consideriamo la nota espressione della distanza: D K S sen Poiché D è una funzione non lineare delle grandezze K, S e, e considerando k 0 in quanto K è una costante strumentale, per la (9) l errore medio della distanza è dato dall espressione: D D D S S (10) Nella (10) S e sono gli errori medi commessi, rispettivamente, nella lettura alla stadia e nella misura dell angolo zenitale. n Errori nella lettura alla stadia Se consideriamo 0, la (10) diventa: D D S D S (11) La derivata parziale della distanza D rispetto alla grandezza S vale: S S D S K sen per cui la (11) si può scrivere: D K sen S (1) L intervallo di stadia S è dato, come sappiamo, dalla differenza tra le letture al filo inferiore e superiore del reticolo: S l inf l sup per cui, se indichiamo con inf sup l errore medio commesso in ogni lettura ai fili distanziometrici, per la (4) si ha: S Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 7

8 FAQ Perché l impiego della lastra pian-parallela riduce notevolmente l errore nella distanza determinata ad angolo parallattico costante? Perché la sua precisione è influenzata per lo più dagli errori commessi nella lettura alla stadia, che possono essere ridotti applicando la lastra al cannocchiale. che, sostituita nella (1), consente di scrivere: D K sen (13) La (13) permette di calcolare l errore medio nella distanza D dovuto all errore medio commesso nelle letture alla stadia necessarie per determinare S. L errore, commesso in ogni lettura ai fili del reticolo, dipende dal metodo di lettura, dalle caratteristiche del cannocchiale e dalla distanza tra lo strumento e la stadia. Per D 100 m il valore di è compreso tra 0, mm e 1 mm, a seconda che la lettura sia eseguita a coincidenza mediante le lastre pian-parallele, oppure direttamente a stima. Per D 100 m, K 100, 100 c, applicando la (13) con 1 mm, si ha: mentre con 0, mm si ha: D ,1 cm D 100 0,,8 cm Quindi, a causa degli errori commessi nelle letture ai fili distanziometrici, l errore medio in una distanza di 100 metri è di circa 14 cm se le misurazioni sono eseguite con i comuni distanziometri a stima, di circa 3 cm se vengono impiegate le lastre pian-parallele. n Errori nella misura dell angolo zenitale Se consideriamo S 0, la (10) diventa: D D D (14) La derivata parziale della distanza D rispetto alla grandezza vale: e la (14) diventa: D KS sen cos D KS sen cos cioè, moltiplicando numeratore e denominatore per sen, si ha: cos D KS sen D cotg (15) sen La (15) permette di calcolare l errore medio nella distanza D dovuto all errore medio commesso nella misura dell angolo zenitale. Se l angolo zenitale viene misurato con l errore medio 0 c,01, facendo variare l angolo si ottengono i seguenti valori di D relativi alla distanza D 100 m: 70 c 75 c 80 c 85 c 90 c 95 c D (cm) 1,6 1,3 1,0 0,75 0,50 0,5 Dalla tabella si evince che gli errori permangono molto piccoli anche in corrispondenza di elevati valori nella inclinazione dell asse di collimazione; quindi la 8 Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

9 precisione della distanza è influenzata solo marginalmente dalla misura dell angolo zenitale. Pertanto nella misura della distanza ad angolo parallattico costante è lecito effettuare le misure angolari con una certa approssimazione utilizzando, per esempio, il tacheometro. n Errore complessivo Oltre che dagli errori commessi nelle letture alla stadia, nella prima unità di questo modulo abbiamo visto che la misura ad angolo parallattico costante è sensibilmente influenzata anche da quelli dovuti alla imperfetta verticalità della stadia, alla parallasse e alla rifrazione. In definitiva, nella misura della distanza D 100 m si possono commettere i seguenti errori medi in relazione alla strumentazione impiegata: 5 30 cm con gli ordinari tacheometri e la stadia verticalizzata con l ausilio della livella sferica; 8 10 cm con la lastra pian-parallela, la stadia di invar verticalizzata con la livella e la misura degli angoli eseguita con l approssimazione di alcuni secondi; in questo caso l errore nella distanza è determinato solamente dall errore di verticalità della stadia e da quello commesso nelle letture ai fili distanziometrici. 5. Errori nella trasformazione delle coordinate da polari a cartesiane Quando le origini O del sistema polare e di quello cartesiano coincidono, per calcolare le coordinate cartesiane di un punto A, misurate le coordinate polari (d, ), si applicano le formule: x A d sen (16) y A d cos (17) Gli errori medi dell ascissa e dell ordinata sono dati dalle espressioni: x x d A x A d y y d A y A d (18) (19) nelle quali d e sono gli errori medi commessi nelle misure di d e. Le derivate parziali delle (16) e (17) rispetto a d e valgono: x A d x A y A y A sen d cos y A cos d sen x A d quindi, sostituendole nelle (18) e (19), si ottiene: x sen d y A (0) y cos d x A (1) Le (0) e (1) consentono di calcolare gli errori medi delle coordinate cartesiane in funzione degli errori medi commessi nella misura delle coordinate polari. Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 9

10 6. Errori nella riduzione al centro di stazione La correzione da apportare alla lettura eseguita in una stazione fuori centro è data dalla nota formula: e sen V rad () D Poiché è una funzione non lineare delle grandezze e, V e D, l errore medio della correzione è dato dall espressione: e V D e (3) D in cui e, V e D sono gli errori medi commessi nella misura delle grandezze e, V e D. Le derivate parziali di rispetto alle grandezze e, V e D valgono rispettivamente: V e sen V e cos V D V D D e sen V D Sostituendo nella (3), si ha: sen V e e cos V V e sen V D D D (4) in cui V e sono espresse in radianti. La (4) consente di calcolare l errore medio della correzione dovuto agli errori medi commessi nella misura di e, V e D. Se, per esempio, le grandezze misurate assumono i valori: D 5000 m; D 50 m; e 3,00 m; e 0,01 m; V 45 ; V / r,00909, applicando la (4), si ottiene: 0,01 3 0, rad, , Possiamo osservare che per ottenere la correzione con l errore medio di 1 occorrerà misurare l eccentricità e con la precisione dell ordine del centimetro, mentre le altre due grandezze possono essere misurate con approssimazioni molto elevate, e quindi anche per via grafica o con collimazioni approssimative. D 7. Errori nella livellazione ecclimetrica n Errore medio Nel determinare la precisione del dislivello tra due punti calcolato con la livellazione ecclimetrica, si trascura l influenza degli errori commessi nella misura dell altezza strumentale h e nella lettura l alla stadia; in pratica queste misure, effettuate senza particolari accorgimenti, sono affette da un errore di 1 3 mm e quindi notevol- 10 Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

11 mente inferiore all approssimazione conseguita con questo tipo di livellazioni. Se, allora, nella (11) dell unità precedente poniamo h l 0, si ottiene: D cotg (5) Poiché è una funzione non lineare delle grandezze D e, l errore medio del dislivello è dato dall espressione: D D (6) in cui D e sono gli errori medi commessi nella misura, rispettivamente, di D e. Le derivate parziali della (5) rispetto a D e valgono: FAQ Perché nella livellazione ecclimetrica è importante curare la precisione della distanza? Perché l errore complessivo del dislivello è determinato esclusivamente dall errore commesso nella misura della distanza. D cotg D sen Sostituendo le precedenti nella (6), si ottiene: cotg D D (7) sen4 La (7) consente di calcolare l errore medio del dislivello, determinato con la livellazione ecclimetrica, dovuto agli errori medi commessi nella misura di D e. n Errori con l impiego del teodolite Se, per esempio, si esegue una livellazione ecclimetrica con un teodolite con le seguenti approssimazioni: D D (5 cm / 100 m, distanza misurata ad angolo parallattico variabile e mira verticale) 0 c,0005 si ottengono, per D 100 m, i seguenti errori del dislivello in corrispondenza dei diversi valori dell angolo zenitale: 60 c 70 c 80 c 90 c (cotg ) D (cm) 3,63,55 1,6 0,80 (D/ sen ) (cm) 0,1 0,10 0,09 0,08 (cm) 3,63,55 1,6 0,80 L errore complessivo è influenzato unicamente da quello commesso nella misura della distanza a causa della elevata precisione con la quale vengono misurati gli angoli impiegando il teodolite. Nella tabella si evidenzia che l errore sul dislivello, per D 100 m, si mantiene sull ordine del centimetro solamente quando si opera su un terreno pianeggiante ( 90 g 100 g ). Quando si opera fra punti posti in terreno mediamente accidentato ( 70 g 80 g ), caso più frequente nella topografia operativa in collina, l errore complessivo si mantiene nell ordine di 1,5 3 cm. n Errori con l impiego del tacheometro Se, per esempio, si esegue una livellazione ecclimetrica con un tacheometro con le seguenti approssimazioni: Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 11

12 D D (15 cm / 100 m, distanza misurata ad angolo parallattico costante e stadia verticale) 0 c,0100 applicando la (7), al variare dell angolo zenitale si ottengono i seguenti errori del dislivello fra due punti posti alla distanza D 100 m: 60 c 70 c 80 c 90 c cotg D (cm) 11,00 7,64 4,87,38 D/ sen (cm),40 1,98 1,74 1,61 (cm) 11,6 7,89 5,17,87 Come si vede dalla tabella, operando su un terreno mediamente accidentato la precisione del dislivello è molto scarsa, in quanto si commettono errori dell ordine di 5 10 cm. Le livellazioni ecclimetriche trovano applicazione quando il dislivello può essere determinato con una precisione non molto elevata, come, per esempio, nei rilievi a scopo cartografico e nella rappresentazione del terreno con piani quotati. 8. Errori nella livellazione geometrica dal mezzo Nell unità precedente abbiamo visto che nella livellazione geometrica dal mezzo il dislivello tra due punti A e B è dato dalla differenza tra la controbattuta e la battuta: AB l A l B (8) Le principali cause d errore nella determinazione del dislivello mediante questo procedimento operativo sono dovute alla lettura alla stadia e al centramento della livella. n Errore di lettura alla stadia L errore 1 che si commette leggendo con un cannocchiale a una stadia posta a una certa distanza D, possiamo ritenerlo coincidente con la minima grandezza nitidamente visibile alla stessa distanza. Se il cannocchiale è provvisto di un certo numero I di ingrandimenti si ha: D 1 I dove è l angolo minimo di visibilità a occhio nudo (grandezza apparente). Poiché il dislivello espresso dalla (8) è una funzione lineare sia della controbattuta l A che della battuta l B, entrambe affette dello stesso errore 1, per la (4) si ha: D 1 1 (9) I La (9) consente di calcolare l errore medio del dislivello dovuto agli errori medi commessi nelle letture alla stadia. Supponiamo di dover determinare il dislivello tra due punti distanti reciprocamente 100 m, in modo che la lunghezza della controbattuta e della battuta sia D 50 m; poniamo 80. Se operiamo con un livello di media precisio- 1 Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

13 ne provvisto di un cannocchiale con I 4 ingrandimenti, applicando la (9), si ottiene: 1 1,14 mm Se utilizziamo un livello di precisione provvisto di un cannocchiale con I 3 ingrandimenti, si ottiene: 1 0,86 mm Per le livellazioni effettuate con livelli di grande precisione, l errore di lettura viene sensibilmente ridotto ricorrendo alla lamina pian-parallela; in questo caso si può avere: 1 0,1 mm FAQ Perché nelle livellazioni di alta precisione è opportuno utilizzare stadie in invar? Perché la precisione del dislivello è influenzata quasi esclusivamente dagli errori di lettura alla stadia, che vengono ridotti impiegando stadie in invar. n Errore di centramento della livella Prima di ogni lettura alla stadia la bolla della livella viene centrata mediante la vite di elevazione; l errore residuo di centramento è direttamente proporzionale alla radice quadrata della sensibilità s della livella ed è dato dalle espressioni: 0,15 s per livelle a graduazione 0,06 s per livelle a coincidenza Per una singola battuta di lunghezza D l errore causa l errore di lettura alla stadia: D Per le stesse considerazioni espresse nel paragrafo precedente, applicando la (4), si ha: D (30) La (30) consente di calcolare l errore medio del dislivello dovuto agli errori medi residui commessi nei centramenti della livella. In una livellazione geometrica dal mezzo fra due punti distanti reciprocamente 100 m, la lunghezza della battuta e della controbattuta vale D 50 m. Se operiamo con un livello di media precisione la cui livella a graduazione ha la sensibilità s 50, applicando le precedenti si ottiene: 1,06 0,36 mm Utilizzando un livello di precisione oppure un livello di grande precisione provvisti di livella a coincidenza con sensibilità s 5, si ottengono i seguenti valori: n Errore complessivo 0,13 0,05 mm L errore medio totale del dislivello, nella livellazione geometrica dal mezzo, per l accidentalità degli errori considerati in precedenza, viene calcolato con l espressione: 1 Nella determinazione, per esempio, del dislivello tra due punti distanti reciproca- Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 13

14 FAQ Che relazione lega l errore totale di una livellazione composta con quelli sui dislivelli dei vari tratti? L errore sul dislivello totale è una funzione lineare degli errori commessi sui dislivelli dei tratti che compongono la linea di livellazione. mente 100 m (D 50 m, lunghezza della battuta), si ottengono i seguenti errori medi totali, calcolati con gli errori ricavati nei due paragrafi precedenti: con un livello di media precisione: con un livello di precisione: con un livello di alta precisione: 1,14 0,36 1,0 mm 0,86 0,05 0,86 mm 0,10 0,05 0,11 mm Nelle livellazioni di precisione e di alta precisione l errore medio totale è influenzato esclusivamente, come risulta dai suddetti valori, dall errore commesso nella lettura alla stadia; pertanto, la lettura alla stadia deve essere effettuata con la massima cura. In questo tipo di livellazioni è opportuno adottare i seguenti accorgimenti tecnici: utilizzare una stadia con nastro in invar a doppia graduazione; assicurare la verticalità e la stabilità della stadia mediante appositi bastoni telescopici; appoggiare la stadia su apposite piastre metalliche che ne assicurino la rotazione senza che affondi sul terreno. 9. Errori nella livellazione composta Per determinare il dislivello tra due punti A e B con la livellazione geometrica composta, si divide la linea di livellazione di lunghezza L in n L /D tratti, in cui D rappresenta la lunghezza della battuta; quindi si determina, mediante livellazioni geometriche dal mezzo, il dislivello relativo agli estremi di ogni tratto. Poiché il dislivello tra i punti A e B è dato dalla somma dei dislivelli determinati per ogni tratto, se indichiamo con i l errore medio del generico dislivello, per la (3) si ha: AB 1... n (31) La (31) consente di calcolare l errore medio del dislivello totale dovuto agli errori medi commessi in ogni singolo dislivello. Se gli errori medi i in ogni dislivello sono uguali tra loro, si ha: e la (31) diventa: 1... n AB n (3) Se consideriamo L 1 km, la precedente relazione consente di determinare l errore medio chilometrico K. Effettuando, per esempio, delle battute di lunghezza D 50 m si ha n 1000 / 50 10, e quindi: K 10 Con i valori determinati al paragrafo precedente, si ottengono, per esempio, i seguenti errori medi chilometrici: livellazione di media precisione: livellazione di precisione: livellazione di alta precisione: K 1,0 10 3,80 mm K 0,86 10,7 mm K 0, ,35 mm 14 Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

15 Riassumendo Errori nelle misure indirette funzioni lineari: sia L una grandezza calcolata con l equazione lineare L ax by cz l in cui X, Y, Z,... sono altre grandezze misurate direttamente e a, b, c,..., l sono delle costanti. Se indichiamo con mx, my, mz,... gli errori medi commessi nelle misure di X, Y, Z,..., l errore medio commesso in L viene calcolato con la formula di propagazione degli errori per funzioni lineari: ml a mx b my c mz... Nel caso in cui si ha: a b c... 1 come, per esempio, nel caso del perimetro di un poligono, la formula di propagazione diventa: ml mx my mz... Se le grandezze misurate X, Y, Z,... sono n e tutte affette dallo stesso errore, per cui si ha: mx my mz... m la formula di propagazione assume la forma: ml m n Errore medio unitario: è l errore medio dell unità di misura di una grandezza. Indicando con ml l errore medio della grandezza L, l errore medio unitario u è dato dal rapporto: u Errore relativo: è il rapporto tra l errore medio ml di una grandezza e il suo valore L: r Errori nelle misure indirette funzioni non lineari: sia Z una grandezza calcolata con la funzione non lineare Z f (X, Y, ) in cui X, Y,... sono altre grandezze misurate direttamente. Se indichiamo con X, Y,... gli errori medi commessi nelle misure di X, Y,... l errore medio commesso in Z viene calcolato con la formula di propagazione degli errori per funzioni non lineari: f Z X f Y... X ml L ml L Y Errori nella distanza ad angolo parallattico costante: sono gli errori commessi nella distanza calcolata con l espressione D KS sen. Indichiamo con l errore medio commesso in ogni lettura fatta ai fili distanziometrici per ricavare S e con l errore medio commesso nella lettura dell angolo zenitale. L errore D1 dovuto alle letture alla stadia e l errore D dovuto alla misura dell angolo sono dati da: D1 K sen D D cotg L errore D è molto piccolo e quindi trascurabile anche in corrispondenza di elevati valori di. L errore preponderante D1 può essere ridotto notevolmente leggendo alla stadia con la lastra pian-parallela anziché a stima. La precisione della distanza D misurata con il metodo ad angolo parallattico costante è influenzata anche dall errore di verticalità della stadia, dalla parallasse e dalla rifrazione. Errori nella trasformazione delle coordinate da polari a cartesiane: sono gli errori commessi nelle coordinate cartesiane di un punto A calcolate con le espressioni x A d sen e y A d cos, in cui d e sono le coordinate polari misurate di A. Se d e sono gli errori medi commessi nelle misure di d e di, gli errori medi in x e in y sono dati, rispettivamente, da: x sen d y A y cos d x A Errori nella riduzione al centro di stazione: sono gli errori che vengono commessi nella correzione rad da apportare a una misura angolare eseguita in una stazione fuori centro. Se e, V e D sono gli errori medi commessi nella misura delle grandezze e, V e D, l errore medio della correzione è dato da: sen V e sen V e e cos V V D D D e sen V D Per ottenere la precisione di 1 nella correzione occorre misurare l eccentricità e con l approssimazione di 1 cm, mentre V e D possono essere misurati graficamente o con collimazioni approssimative. D Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 15

16 Errori nella livellazione ecclimetrica: sono gli errori che si commettono determinando il dislivello tra due punti con una livellazione ecclimetrica in modo da poter applicare la formula: D cotg h l Trascurando gli errori commessi nella misura dell altezza strumentale h e nella lettura alla stadia l, indicando con D e gli errori medi commessi nella misura, rispettivamente, della distanza D e dell angolo zenitale,l errore medio sul dislivello è dato da: cotg D D Se si usa un teodolite,l errore sul dislivello è dovuto in pratica solo a quello commesso sulla distanza D;errore che è comunque elevato, essendo dell ordine di 1 cm / 100 m, anche se la distanza D è misurata con buona precisione. Se si usa un tacheometro, l errore risente anche dell imprecisione nella misura di e quindi assume valori più elevati dei precedenti, circa 5 cm/100 m. Le livellazioni ecclimetriche, a causa della loro scarsa precisione, vengono utilizzate per rilievi particolari quali sono, per esempio, quelli a scopo cartografico. Errori nella livellazione geometrica dal mezzo: sono gli errori che si commettono determinando il dislivello tra due punti A e B distanti fra loro D con una livellazione geometrica dal mezzo così da poter applicare la formula: AB l A l B Gli errori che influenzano il dislivello sono 1 dovuto alla lettura alla stadia e dovuto al centramento della livella. Indicando con I gli ingrandimenti del cannocchiale del livello, con 80 l angolo di minima visibilità a occhio nudo (limite di visibilità), con l errore residuo di centramento della bolla della livella, si ha: 1 sen 4 D I D L errore medio totale che si commette nel dislivello è dato dall espressione: 1 I livelli di media precisione sono provvisti, generalmente, di un cannocchiale con I 4 ingrandimenti e di una livella torica con 1. Con questi valori, per una distanza D 100 m, si ottiene un dislivello con l errore medio totale: 1,0 mm. I livelli di alta precisione sono provvisti, generalmente, di un cannocchiale con I 3 ingrandimenti e di una livella a coincidenza di immagini con 0,13. Con questi valori, utilizzando una lastra pian-parallela che riduce sensibilmente gli errori di lettura alla stadia, per una distanza D 100 m si ottiene un dislivello con l errore medio totale: 0,10 mm. Nelle livellazioni geometriche dal mezzo, che sono le più precise e le più usate nella pratica operativa, è opportuno utilizzare stadie in invar, curare la verticalità della stadia con aste telescopiche e appoggiare la stadia su apposite piastre metalliche in modo che non affondi sul terreno durante la rotazione. Errori nella livellazione composta: sono gli errori che si commettono lungo una linea di livellazione di lunghezza L divisa in n tratti di lunghezza D, per ognuno dei quali si esegue una livellazione geometrica dal mezzo. Il dislivello AB tra gli estremi A e B della linea è dato dalla somma dei dislivelli i relativi a ogni tratto; quindi, indicando AB l errore medio del dislivello totale e con i gli errori medi commessi nei dislivelli di ogni tratto, si ha: AB 1... n Se gli errori medi i in ogni dislivello sono uguali tra loro, si ha 1... n e quindi l errore medio totale è dato da: AB n 16 Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

17 Autovalutazione A. Verifica delle conoscenze QUESITI VERO/FALSO 1 V F L area di un rettangolo è una funzione lineare della base e dell altezza QUESITI A RISPOSTA SINGOLA Scrivere tre grandezze che siano funzioni lineari di altre grandezze misurate direttamente. Scrivere tre grandezze che siano funzioni non lineari di altre grandezze misurate direttamente. AUTOVALUTAZIONE Se nel misurare i lati di un quadrilatero si commette in ciascuno lo stesso errore, quello commesso nel perimetro è dato da 4 L errore medio unitario di una grandezza è l errore medio dell unità di misura Nel passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane l ascissa è una funzione lineare delle coordinate polari misurate Il volume di un parallelepipedo è una funzione non lineare dei tre spigoli Che cos è l errore relativo di una grandezza? Sia G ax by c; qual è la formula di propagazione degli errori per la grandezza G? Sia G f (X,Y); qual è la formula di propagazione degli errori per la grandezza G? Perché è superfluo impiegare un teodolite per determinare una distanza D con il metodo ad angolo parallattico costante? Effettuando una livellazione ecclimetrica con un teodolite, quali grandezze influiscono sulla precisione del dislivello? 6 L intervallo di stadia S è una funzione non lineare delle letture ai fili estremi del reticolo 0 Perché nella livellazione geometrica dal mezzo l errore del dislivello è influenzato esclusivamente da quello commesso nelle letture alla stadia? 7 La precisione della misura della distanza D KS sen è influenzata soprattutto dagli errori commessi nelle letture alla stadia 1 Elenca gli accorgimenti da adottare nelle livellazioni geometriche dal mezzo di alta precisione. Come si determina l errore medio chilometrico di una livellazione geometrica dal mezzo composta? In una stazione fuori centro, la precisione della correzione dipende da quella dell eccentricità e Le precisioni dell altezza strumentale e della lettura alla stadia influenzano notevolmente il dislivello determinato con una livellazione ecclimetrica Nelle livellazioni geometriche dal mezzo il dislivello è una funzione non lineare della battuta e della controbattuta Nelle livellazioni geometriche dal mezzo la precisione del dislivello è influenzata esclusivamente da quella delle letture alla stadia Il dislivello totale determinato con una livellazione geometrica composta è una funzione non lineare dei dislivelli dei singoli tratti che la compongono QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA Se una grandezza G è funzione lineare di n grandezze tutte affette dallo stesso errore m, l errore della grandezza G è dato da a m n b m / n c m n d m / n Una distanza D 13,1 m è stata misurata con l errore medio md,5 cm; ricavare l errore medio per ogni metro di lunghezza a 0,03 mm b 1,4 mm c,5 mm d 0,18 mm Quale grandezza influenza maggiormente l errore D della distanza D determinata con la formula KS sen a b S c K d tutte le suddette grandezze Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 17

18 AUTOVALUTAZIONE L errore che si commette nelle letture alla stadia può essere sensibilmente ridotto a curando la verticalità della stadia b effettuando un ottimo adattamento alla distanza c effettuando più letture d applicando una lastra pian-parallela al cannocchiale Nella trasformazione delle coordinate da polari (d, ) a cartesiane (x, y) l errore medio nella coordinata x è dato da a sen y d b sen d y c d sen y d sen d y Nella riduzione al centro di stazione, per ottenere la correzione (esen V)/D con l errore di 1 occorre a misurare l eccentricità e con l errore del centimetro b misurare D con l errore del centimetro c misurare V con l errore di 1 d commettere tutti i suddetti errori Per annullare l influenza della precisione di su quella del dislivello determinato con una livellazione ecclimetrica è necessario a operare con bassi valori di b operare con elevati valori di c utilizzare un tacheometro d utilizzare un teodolite B. Verifica delle competenze Esercizi e problemi Di un appezzamento di forma triangolare ABC sono state misurate le lunghezze dei lati ottenendo i seguenti valori e i relativi errori medi: AB 7,36 m AB 0,04 m BC 81,74 m BC 0,01 m CA 60,15 m CA 0,03 m Calcolare l intervallo di valori in cui è compreso molto probabilmente quello del perimetro dell appezzamento triangolare. [14,5 0,051 m] Per calcolare la distanza tra due punti A e B, con un ecclimetro provvisto di cannocchiale anallattico con la costante K 100 sono state effettuate letture alla stadia e in corrispondenza del cerchio verticale. Si sono ottenuti i seguenti valori con i relativi errori medi: S 1,5364 m S 0,0008 m 8 c, c,0050 Calcolare il valore della distanza e quello del suo errore medio. [D 154,57 m; D 0,08 m] Di un triangolo ABC sono stati misurati il lato AB a e gli angoli Ĉ e Bˆ. Si sono ottenuti i seguenti valori con i relativi errori medi: a 64,36 m a 0,04 m In una livellazione geometrica dal mezzo, con una livella di errore residuo 1, il relativo errore sul dislivello per D 50 m è a 5,83 mm b,6 mm c 1,31 mm d 0,34 mm 36 Calcolare il lato AC e il suo errore medio. [AC 76,9 m; AC 0,058 m] Di un triangolo ABC sono stati misurati due lati e l angolo compreso. Si sono ottenuti i seguenti valori: 31 In una livellazione geometrica dal mezzo, se gli errori dovuti alle letture e al residuo centramento sono 1 e, totale è AB a 10,60 m a 0,05 m BC b 86,30 m b 0,03 m Bˆ 64 c,75 0 c,0100 a c 1 1 b d 1 1 Determinare l area del triangolo e il suo errore medio. [S 413,3 m ; S,36 m ] 3 Nella livellazione geometrica dal mezzo di alta precisione l errore medio sul dislivello è dovuto esclusivamente agli errori a commessi nel centramento della bolla della livella b commessi nelle letture alla stadia c commessi nella mancata verticalità della stadia d commessi nello stazionamento del livello 37 Di un appezzamento di forma rettangolare sono stati misurati la base b e l altezza a ottenendo i seguenti valori: b 18,10 m b 0,05 m a 8,70 m a 0,03 m Calcolare l area e il suo errore medio. [S ,87 m ; S 5,64 m ] 18 Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669]

19 38 Sono state rilevate le coordinate polari d e di un Determinare il dislivello tra i due punti e il suo errore punto A. Si sono ottenuti i seguenti valori: medio. [ AB 0,7 m; 1,8 cm] d 85,60 m d 0,10 m 41 Per determinare il dislivello tra due punti A e B, distanti 37 c, c,10 reciprocamente 130,00 m, si effettua una livella- zione geometrica dal mezzo mediante un livello di 39 Calcolare le coordinate cartesiane del punto A e il loro errore medio nel caso in cui le origini dei due sistemi coincidono. [X A 47,45 m; Y A 71,4 m; X 0,054 m; Y 0,083 m] Per determinare il dislivello tra due punti A e B, si è stazionato un ecclimetro nel punto A e una stadia nel punto B. Gli elementi misurati sono i seguenti: D 7,8 m D 0,13 m h 1,60 m l,75 m precisione provvisto di 30 ingrandimenti. I valori della controbattuta e della battuta sono i seguenti: l A,754 m l B 1,986 m Sapendo che la livella è a coincidenza con sensibilità s 5, e assumendo per il limite di visibilità il valore 80, determinare il dislivello tra i due punti e il suo errore medio. [ AB 0,768 m; 0,1 cm] AUTOVALUTAZIONE Determinare il dislivello tra i due punti e il suo errore medio. [ AB 4,35 m;,33 cm] 40 Per determinare il dislivello tra due punti A e B, si effettua una livellazione tacheometrica. I dati misurati e i relativi errori medi sono i seguenti: D 87,73 m D 0,18 m h 1,58 m l 1,95 m Risultati dei quesiti vero/falso 1F, F, 3V, 4F, 5V, 6F, 7V, 8V, 9F, 10F, 11V, 1F. Risultati dei quesiti a risposta multipla 3c, 4c, 5b, 6d, 7a, 8a, 9d, 30d, 31c, 3b. Copyright 009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [669] 19