Regime finanziario dell interesse composto Il regime dell interesse composto si caratterizza per la capitalizzazione periodica degli interessi che genera ulteriori interessi. La differenza rispetto al regime dell interesse semplice che non consente capitalizzazione è dunque chiara. 35
Regime finanziario dell interesse composto Regime dell interesse semplice t=0 t=1 t=2 K M Fattore di montante = [1+i(2)] Regime dell interesse composto t=0 t=1 t=2 K M M(1) = K(1+i) M = M(1)(1+i) = K(1+i) 2 36
Regime finanziario dell interesse composto 2 37
Regime finanziario dell interesse composto 2 38
Regime finanziario dell interesse composto: formule inverse t=0 t=1 t=2 K M K= M(1)/(1+i) M(1) = M/(1+i) M 39
Regime finanziario dell interesse composto: formule inverse Un semplice esempio può essere d aiuto. Il capitale disponibile tra due anni (m) è 108,64, il tasso di attualizzazione è l 8%, il valore attuale in regime di capitalizzazione composta (K) è 100. t=0 t1=1 t2=2 M 118,64 M(1) 108=118,64/(1+0,08) K 100=108/(1+0,08) 40
Regime finanziario dell interesse composto: formule inverse 41
Regime finanziario dell interesse composto: formule inverse 42
Regime finanziario dell interesse composto: formule inverse 43
Regime finanziario dell interesse composto: formule inverse Se l incognita è il tasso di interesse, i: Dati i valori del capital K, del montante M e del tempo t, è possibile stimare il tasso i: Esempio Dati: M=130; K=99,92; t=3 anni e 5 mesi; i=? 44
Montante ed Interesse Avendo ottenuto il montante unitario e l interesse unitario è semplice definire le leggi di formazione del montante e dell interesse. M,I K M=M(t) I=I(t) Nel grafico è rappresentato l andamento nel tempo del Montante e dell interesse nel regime dell interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18). t 45
Sconto e Valore attuale In base alle relazioni intercorrenti tra le grandezze equivalenti si possono ricavare: Fattore di attualizzazione (o valore attuale unitario) Sconto unitario Inoltre possiamo ottenere: Valore attuale Sconto 46
Sconto e Valore attuale Nel grafico è rappresentato l andamento nel tempo del valore attuale e dello sconto nel regime dell interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18). K,D M D(t) K t 47
Sconto e Valore attuale M Per durate inferiori all anno gli interessi prodotti dall investimenton nel regime dell interesse semplice sono maggiori di quelli prodotti nel regime dell interesse composto. 1+i 1 Per durate superiori all anno gli interessi prodotti nel regime dell interesse semplice sono minori di quelli prodotti nel regime dell interesse composto. Per durate pari ad 1 anno i due regimi Finanziari producono lo stesso ammontare di interesse unitario (1+i). 0,0 1,0 2,0 t 48
I TASSI EQUIVALENTI Argomenti Tassi equivalenti, tasso nominale, tasso istantaneo 49
I Tassi equivalenti In un assegnato regime finanziario, due tassi di interesse, riferiti ad orizzonti temporali diversi, si dicono equivalenti se i corrispondenti fattori di capitalizzazione per un operazione finanziaria della stessa durata t risultano uguali. i i 1/m Tasso di interesse annuo Tasso di interesse periodale (riferito ad 1/m di anno) Esempio i 1/2 i 1/4 i 1/12 Tasso di interesse semestrale Tasso di interesse trimestrale Tasso di interesse mensile 0 1 Anni 0 1 2 m 1 m Periodi 50
Tassi equivalenti Se in corrispondenza del tasso di interesse annuo consideriamo la durata di una determinata operazione t espressa in anni, allora, in corrispondenza di un tasso periodale i 1/m la durata della medesima operazione sarà pari a m t, espressa in frazioni di anno. ESEMPIO: Operazione finanziaria di durata pari ad 1 anno 51
Tassi equivalenti Regime dell interesse semplice 1+ i t = 1+ i m t 1 m i = i m i = 1 m 1 m con m 0 i m 52
Tassi equivalenti Regime dell interesse composto t (1 + i) = (1 + i ) m 1 + i = (1 + i ) i = (1 + i ) 1 m (1 + i) = 1 + i i = (1 + i) 1 1 m 1 1 m 1 m 1 m m t m 1 m 1 m 53
Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un tasso di interesse quadrimestrale (i 1/3 ) pari a 4,65%, nel regime dell interesse composto, calcolare i tassi di interesse annuo (i) e mensile (i 1/12 ) ad esso corrispondenti. (1 + i ) = (1 + i ) 12 3 1 12 1 3 1 + i = (1 + i ) i 1 12 1 3 3 12 3 12 1 12 = (1 + i1 3) 1 i 1 12 = + = = 0,25 (1 0, 0465) 1 0, 0114 1,14% (1 + i) = (1 + i ) 1 3 13 3 i = (1 + i13) 1 i = + = = 3 (1 0, 0465) 1 0,1461 14, 61% 54
Esercizi Riprendendo i dati dell esercizio precedente calcoliamo gli stessi tassi incogniti ipotizzando di trovarci nel regime dell interesse semplice. 1+ i 12 = 1+ i 3 1 12 1 3 3 i1 12 = i1 3 i1 12 = 0,0465 0,25 = 1,16% 12 1+ i= 1+ i 3 13 13 i = i 3 i = 0, 0465 3 = 13,95% 55
Tasso di interesse nominale Ipotizziamo di trovarci nel regime dell interesse composto e che il capitale iniziale (K) sia investito ad un tasso annuo di interesse (i). L interesse via via generato viene però corrisposto all investitore a periodicità prefissate, ad esempio m volte l anno. Dopo la prima frazione (1/m) di anno verrà quindi reso disponibile all investitore l interesse maturato. Questo interesse non viene automaticamente capitalizzato, al termine della seconda frazione di anno (2/m) il capitale fruttifero sarà ancora pari a K, di conseguenza anche alla fine di questo periodo l investitore riceverà una cedola di interesse pari a: 56
Tasso di interesse nominale Graficamente la situazione può essere così rappresentata M K+Ki 1/m K 1/m 2/m 3/m 4/m t Ipotizzando che l investimento duri un anno, alla fine di questo periodo l investitore avrà ricevuto per ogni euro investito m cedole di pari importo (i 1/m ). 57
Tasso di interesse nominale TASSO DI INTERESSE NOMINALE Il tasso nominale annuo di interesse convertibile m volte nell anno equivalente al tasso di interesse annuo effettivo (i), indicato con j(m), è la somma aritmetica delle cedole corrisposte all investitore per ogni euro investito. j m mi m i 1/ m ( ) = 1/ m = (1 + ) 1 Non ha un significato finanziario diretto, in quanto somma aritmetica di capitali disponibili ad epoche diverse. i 1/ m 1 = j ( m ) m m jm ( ) i = 1+ 1 m 58
Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un tasso di interesse annuo effettivo (i) del 10,25%, nel regime dell interesse composto, determinare l equivalente tasso di interesse nominale convertibile 3 volte l anno (j(3)). j( m) = m (1 + i 1) j 1 m 13 (3) = 3 (1 + 0,1025) 1 = 0,99185 = 9,92%
Tasso di interesse istantaneo Se il tasso di interesse nominale j(m) è convertibile infinite volte nell anno, ossia è convertibile istante per istante, si può giungere al seguente risultato tramite le proprietà dei limiti notevoli. 1/ lim j( m) = lim m (1 + i) m 1 = = ln(1 + i) m + m + Dove la quantità = ln(1 +i) è definita tasso istantaneo di interesse corrispondente al tasso di interesse effettivo annuo (i). Ricavando il tasso di interesse effettivo annuo dalla relazione appena enunciata si avrà: i = exp( ) 1 60
Confronto tra tassi equivalenti jm ( ) Il tasso di interesse nominale annuo è: i Minore di quello effettivo annuo se m>1; Maggiore di quello effettivo annuo se m<1 Uguale a quello effettivo annuo se m=1 Al crescere di m tende al valore del tasso di interesse istantaneo 1 2 3... m 61
Confronto tra tassi equivalenti L andamento dei tassi equivalenti rappresentato graficamente è validato dalla seguente tabella dove sono evidenziati i valori dei tassi equivalenti a determinati tassi di interesse effettivi annui per diversi valori di m, nonché i relativi tassi istantanei di interesse. 62
Alcune relazioni notevoli = ln(1 + i) e = e ln(1 + i) e = 1+ i t e = (1 + i) = r( t) r( t) = (1 + i) = e t t t 63
Tasso istantaneo di interesse -Capitalizzazione- Dalle relazioni precedenti risulta evidente che, nell operazione di capitalizzazione, utilizzare il tasso effettivo annuo (i) o il corrispondente tasso istantaneo (δ) conduce agli stessi risultati. ESEMPIO Dato un capitale iniziale di 100 investito nel regime dell interesse composto ad un tasso di interesse effettivo annuo del 20% determinare il montante generato alla fine del terzo anno di investimento. = ln(1 + i) = ln(1, 20) = 0,1823 64
Tasso istantaneo di interesse -Attualizzazione- Ricordando che: vt () = 1 rt () Allora possiamo esprimere anche il fattore di attualizzazione tramite il tasso istantaneo di interesse: t v( t) = (1 + i) = exp( t) Si può di conseguenza affermare che anche per quanto riguarda l operazione di attualizzazione è indifferente che essa venga svolta per mezzo del tasso effettivo di interesse annuale o tramite il tasso di interesse istantaneo corrispondente. 65
Tasso istantaneo di interesse -Attualizzazione- ESEMPIO Dato un tasso di interesse effettivo annuo del 15% determinare il valore attuale di un capitale finale di 100 disponibile tra due anni. = ln(1 + i) = ln(1,15) = 0,1398 CK = M (1 + i) t = 100 (1,15) = 75,61 2 K C = M exp( t) = 100 exp( 0,1398 2) = 75,61 66
Esercizi ESERCIZIO 1 Determinare il valore attuale di un capitale di 3000 disponibile tra un anno e mezzo investito nel regime dell interesse composto ad un tasso nominale convertibile semestralmente (j(2)) pari al 15%. K C = M (1 + i) 2 m jm ( ) i = 1+ 1 m 0,15 i = 1+ 1 = 0,155625 2 K C t = + = 1,5 3000 (1 0,155625) 2414,88 67
Esercizi ESERCIZIO 2 Determinare il valore attuale di un capitale di 5000 disponibile tra due anni e nove mesi investito nel regime dell interesse composto ad un tasso di interesse istantaneo (δ) pari al 12,5%. K C = M exp( t) K C = 5000 exp( 0,125 33 12) = 3545,53 68
Esercizi ESERCIZIO 3 Determinare il tasso di interesse istantaneo (δ) in base al quale un capitale di 2400 genera un montante di 3000 dopo un anno e mezzo. M M = CK exp( t) = exp( t) K C M ln = ln exp( t) C K M 1 M ln = t = ln K C t K C 1 3000 = ln = 0,1488 = 14,88% 1,5 2400 69
Esercizi ESERCIZIO 4 Dato un tasso istantaneo di interesse (δ) pari al 10% calcolare il tasso semestrale di interesse equivalente (i 1/2 ). exp( ) = 1+ i i= i i i 12 12 12 = + 12 (1 i) 1 = + exp( ) 1 12 (1 exp( ) 1) 1 = exp( 2) 1 = exp(0,10 2) 1 = 0, 0513 70