LA PROIEZIONE STEREOGRAFICA (PARTE II)

Corso di laurea triennale in Scienze Naturali a.a. 2012-2013 LA PROIEZIONE STEREOGRAFICA (PARTE II) «Una proiezione cristallina è un metodo di rappresentazione dei cristalli tridimensionali su di un piano bidimensionale. Sono possibili diversi tipi di proiezioni, tali che per ognuna sono definite regole precise e riproducibili rispetto al cristallo. Il metodo migliore per esprimere la forma di un cristallo ed è generalmente migliore di qualsiasi immagine fotografica di cristalli reali è la proiezione clinografica» Docente: Ernesto Mesto e-mail: ernesto.mesto@uniba.it Website: www.geo.uniba.it/mesto.html Gruppo facebook: http://www.facebook.com/groups/esercitazioni.mineralogia/

INDICIZZAZIONE DELLE FACCE E possibile definire gli indici delle facce di un cristallo come un rapporto di rapporti parametrici. Essi saranno una terna di numeri (h,k,l) primi fra loro (generalmente piccoli). Siano A, B e C i lati di cella della maglia fondamentale o parametrica, mentre A, B e C siano i parametri staccati da una qualunque altra faccia dello stesso cristallo. E allora possibile definire gli indice di una faccia generica come:

Quindi, gli indici saranno inversamente proporzionali alle intercette della faccia (o piano cristallografico) con gli assi. INDICIZZAZIONE DELLE FACCE C c a b c C A B B b A B C : : = h : k : l A' B' C' a A Se ad esempio come in figura A =2, B =3 e C =4 allora avremo: 1 2 : 1 3 : 1 4 x y z Si preferisce, però usare numeri interi, ottenibili tramite il minimo comune multiplo. 1 2 : 1 3 : 1 4 = 6 : 4 : 3 h : k : l

Sistema Monometrico c C a = b = c Nel caso del sistema cubico, poiché il periodo di ripetizione degli assi cristallografici è lo stesso, dall inclinazione della faccia possiamo avere idea dei rapporti degli indici h, k, l, A C B B b 1 2 : 1 3 : 1 4 = 6 : 4 : 3 h : k : l A a Anche se gli indici sono uguali in valore a quelli del caso precedente, il fatto che a=b=c, ci dice che la faccia (643) del cristallo dovrà per forza avere l inclinazione riportata in figura. (Questo tipo di valutazione è possibile solo quando almeno due dei tre periodi di ripetizione sono uguali tra loro.)

Sistema Monometrico Solo per il sistema cubico vale la regola: h > k > l Gli indici sono inversamente proporzionali all intercetta sull asse, quindi: chiamerò h l indice sul cui asse la faccia stacca l intercetta più piccola Chiamerò l l indice sul cui asse la faccia stacca l intercetta più grande Assegnerà l indice k all ultimo asse (QUESTO VALE SOLO PER IL SISTEMA MONOMETRICO)

Piani cristallografici, direzioni e indici I nodi di un reticolo t m = m 1 a + m 2 b + m 3 c, sono caratterizzati da numeri razionali (interi se la cella elementare è primitiva). Le proprietà dei reticoli connesse ai nodi sono quindi dette razionali. Si parlerà di direzioni razionali per intendere direzioni definite da due nodi reticolari e di piani razionali per intendere piani definiti da tre nodi reticolari. Direzioni cristallografiche. Come abbiamo visto, i cristalli sono anisotropi: sarà quindi necessario specificare in modo semplice le direzioni nelle quali si manifestano determinate proprietà fisiche. In un reticolo esistono infiniti filari paralleli, ciascuno definito da due punti nodali, che sono caratterizzati da uno stesso periodo di ripetizione. I filari definiscono una direzione cristallografica. Se un filare passa per l origine la sua direzione sarà definita dai valori m i di uno qualunque dei nodi del filare. La direzione viene indicata con [m 1 m 2 m 3 ]. La stessa direzione è indicata anche da un multiplo del tipo [nm 1 nm 2 nm 3 ].

Direzioni cristallografiche Per una cella primitiva la direzione [222] è quella della diagonale di corpo, ma lo è anche [111]. Per convenzione si dividono i valori m i per il massimo comune divisore, ottenendo così sempre il set più piccolo. La direzione [936] diventa quindi [312]. Filari che non passano per l origine hanno sempre un filare parallelo centrale, passante cioè per l origine. Se la cella non è primitiva i valori m i sono numeri razionali, esprimibili cioè come rapporti di numeri interi. La direzione corrispondente ad una diagonale di faccia in un reticolo F può essere [½½0].

Piani cristallografici L orientazione di un piano cristallografico è definita in termini di indici di Miller (hkl). Tre nodi individuano un piano cristallografico. Se un piano incontra i tre assi cristallografici nei tre nodi (m 1, 0, 0), (0, m 2, 0) e (0, 0, m 3 ), gli indici (m 1, m 2, m 3 ) forniscono l orientazione del piano. Si preferiscono però gli indici di Miller del piano, che sono numeri interi e primi fra loro, inversamente proporzionali alle intercette del piano con gli assi, cioè: h : k : l = m 1-1 : m 2-1 : m 3-1 Esempi di famiglie di piani cristallografici Spesso con la terna di Miller si indica una famiglia di piani. I piani di una stessa famiglia sono: 1. Paralleli tra lori 2. Equalmente spazialti

Piani cristallografici Esiste una interpretazione semplice degli indici di Miller h, k e l. I piani della famiglia (hkl) dividono i lati della cella elementare: a in h parti uguali, b in k parti uguali e c in l parti uguali. L equazione della famiglia di piani è h(x/a) + k(y/b) + l(z/c) = n. Gli indici di Miller (hkl) specificano l orientazione del piano ed n la sua posizione rispetto all origine. Famiglia di piani (2 3 6) a è diviso in 2 parti uguali b è diviso in 3 parti uguali c è diviso in 6 parti uguali Famiglia di piani (100) Famiglia di piani (200)

Piani cristallografici

Determinazione degli indici (hkl) di Gli indici di Miller di un piano cristallino sono definiti come i reciproci delle intersezioni frazionarie (con le frazioni normalizzate a numeri interi) del piano con gli assi cristallografici x, y, z. 1. Scegliere un piano che non passa per l origine (0,0,0) 2. Determinare le intersezioni del piano rispetto agli assi cristallografici, tali intersezioni potrebbero essere anche delle frazioni. 3. Fare i reciproci di queste intersezioni 4. Normalizzare le frazioni agli interi e determinare gli interi più piccoli Miller

Piani cristallografici 010 230 1/3 1/2 100

Famiglie di piani cristallografici 230

Famiglie di piani cristallografici 230

Famiglie di piani cristallografici 23 0

Facce in posizione speciale Per quanto detto sino ad ora è possibile individuare alcune zone all interno del piano di proiezione dove andranno a cadere facce con indici particolari.

Polo della faccia coincidente con l asse x x z y Quando il polo della faccia è attraversata dall asse x, nel caso dei sistemi ortonormali (cubico, tetragonale e ortorombico) si ha che la faccia stessa sarà parallela agli assi y e z (ossia li interceterrà all infinito). Poiché gli indici sono inversamente proporzionali alle intercette della faccia sugli assi, ne risulta che la faccia in questione sia del tipo (h00). A noi comunque interessa il rapporto tra gli indici è possibile quindi divere tutto per h in modo da ottenere: (h/h 0/h 0/h) = (100) Analogamente quando il polo della faccia sarà attraversata dall asse y o z avremo le facce del tipo (010) e (001).

x z y x X (100) y X (010) x y X (001)

Faccia parallela all asse z z y Se immaginiamo di inclinare leggermente la faccia verso l asse y in modo che rimanga ancora parallela all asse z avremo al situazione seguente: x z In questo caso la faccia non sarà più parallela a y ma la sua intercetta con z sarà ancora infinito. Quindi potremo assegnarle i seguenti indici: α<45 y (hk0) o (kh0) Ricordiamo che nel caso del sistema cubico vale la regola h>k>l. L indice h va assegnato all asse su cui la faccia stacca l intercetta minore, in questo caso l asse x. Quindi gli indici giusti saranno (hk0) x

Faccia parallela all asse z z y Se avviciniamo di molto la faccia all asse y in modo che rimanga comunque sempre parallela all asse z avremo al situazione seguente: x z La faccia potrà avere sempre indici del tipo: (hk0) o (kh0) Ma solo nel caso del sistema cubico poiché l indice h va assegnato all asse che ha l intercetta minore con la faccia, che in questo caso è l asse y, dovremo assegnare alla faccia gli indici (kh0) α>45 x y

Faccia parallela all asse z z Se il polo della faccia cade su una linea equidistante dall asse x e y: y x z In questo caso la faccia staccherà le stesse intercette su x e y mentre continuerà ad avere intercetta infinito su z. Quindi essa avrà indici del tipo (hh0) che potremo anche scrivere come: (h/h h/h 0/h) = (110) α=45 x y

z y x z x z y y X (hk0) X (kh0) Da quanto detto è facile capire che la circonferenza del cerchio rappresenta il luogo dove trovare le facce parallele all asse z. Con un analogo ragionamento si può comprendere che sull asse x troveremo le facce parallele all asse y, mentre sull asse y quelle parallele all asse x. X (110)

Altre posizioni speciali Nel caso del sistema monometrico è possibile individuare altre posizioni speciali nella proiezione stereografica. La circonferenza è il luogo dei punti delle facce che hanno il terzo indice uguale a zero (es. hk0, kh0, etc.). L asse X è il luogo dei punti con il secondo indice uguale a zero (es. h0l, l0h, etc.) L asse Y è il luogo dei punti con il primo indice uguale a zero (es. 0kl, 0kl, etc.) I piani a 45 tra due assi saranno le zone dove trovare le faccie con due indici uguali. Ad es. sul piano a 45 tra x e y le facce saranno del tipo (hhk) o (kkh), sul piano a 45 tra x e z le facce saranno del tipo (hkh) o (khk), infine sul piano a 45 tra y e z le facce saranno del tipo (hkk) o (kkh). Se il polo della faccia è attraversato da un asse ternario essa staccherà la stessa intercetta su i tre assi XYZ, quindi sarà del tipo (111).

Sistema Monometrico Regole di permutazioni degli indici per l asse ternario X {klh} X {lhk} X {hkl} {hkl} {lhk} {klh} {hkl} Solo per le facce nel quadrante sud-est ruotate in senso antiorario

Permutazione piano di simmetria a 45 tra l asse X e Y X Y a X {lhk} 2 Y X X {hlk} a 1 Il piano di simmetria a 45 tra l asse X e l asse Y scambia gli indici relativi all asse x e y (il primo e il secondo indice).

Permutazione piani di simmetria obliqui Il piano a 45 tra l asse X e l asse Y scambia gli indici relativi all asse X e all asse Y (il primo e il secondo indice) Il piano a 45 tra l asse Y e l asse Z scambia gli indici relativi all asse Y e all asse Z (il secondo e il terzo indice) Il piano a 45 tra l asse X e l asse Z scambia gli indici relativi all asse X e all asse Z (il primo e il terzo indice)

Permutazione piani di simmetria perpendicolare ad un asse cristallografico Il piano perpendicolare all asse X invertirà il segno dell indice relativo all asse X (il primo indice) Il piano perpendicolare all asse Y invertirà il segno dell indice relativo all asse Y (il secondo indice) Il piano perpendicolare all asse Z invertirà il segno dell indice relativo all asse Z (il terzo indice)

Operazioni per eseguire correttamente una proiezione stereografica 1. Identificare tutti gli elementi di simmetria del solido 2. Determinare la classe di simmetria e quindi il sistema cristallino. Per es. 4 assi ternari = cubico Solo 1 asse quaternario = tetragonale 3 assi binari o piani di simmetria ortogonali tra loro = ortorombico 3. Disegnare il piano di proiezione. Nel caso del sistema cubico riportare tutti i piani di simmetria fittizi (a tratto intermittente). 4. Orientare in maniera opportuna il solido nel piano di proiezione. (N.B. stare attenti a non cambiare l orientazione del solido durante l esercizio) 5. Proiettare gli elementi di simmetria (assi a tratto intermittente e piani a tratto continuo) 6. Proiettare la prima faccia (di solito nel quadrante sud-est) 7. Usare gli elementi di simmetria per ricavare le altre facce 8. Verificare che il numero delle facce proiettate e la loro posizione coincida con quelle del solido correttamente orientato. 9. Indicizzare le facce. Utilizzando le regole di permutazione e gli elementi di simmetria. Per il sistema cubico verificare le intercette delle facce con gli assi per capire quale è l indice maggiore, intermedio e minore in modo da poter correttamente assegnare nel giusto ordine gli indici h,k,l.

Regole di coesistenza degli elementi di simmetria morfologica Un asse di rotazione di ordine pari, un piano di simmetria perpendicolare ad esso ed il centro di simmetria sono elementi di simmetria tali per cui la presenza di due di essi implica la presenza del terzo. Se esiste un asse binario normale ad un asse di ordine N, allora esistono altri N-1 assi binari ad angoli pari a 2p\n. Se su di un piano di riflessione giace un asse di ordine N, allora esistono altri N-1 piani ad angoli 2π\N. Le combinazioni di assi diverse da quelle stabilite al punto b) sono solo di due tipi ed entrambi implicano la presenza di quattro assi ternari disposti ad angoli di 109 28 ; in un caso essi sono combinati con tre assi binari tra loro perpendicolari e nell altro con tre assi quaternari tra loro perpendicolari e sei assi binari.

Permutazione asse ternario su piani di simmetria perpendicolari agli assi a 1, a 2, a 3

Permutazione asse ternario su assi di rotazione coincidenti con agli assi a 1, a 2, a 3

(001) Permutazione asse ternario su facce perpendicolari a due degli assi a 1, a 2, a 3 (100) (001) (010) (010) (100)

Permutazione asse ternario su facce perpendicolari a uno degli assi a 1, a 2, a 3 (0lh) (h0l) (lh0)

Permutazione asse ternario su piani di simmetria obliqui agli assi a 1, a 2, a 3

Permutazione asse ternario su assi di rotazione obliqui agli assi a 1, a 2, a 3

Permutazione asse ternario su alcune facce in posizione speciale (011) (101) (110)

Permutazione asse ternario su alcune facce in posizione speciale (lhh) (hlh) (hhl)

Permutazione asse ternario su facce in posizione generale (khl) (lhk) (hkl)

FORMA CRISTALLINA Una forma semplice consiste di un gruppo di facce di un cristallo tra loro tutte equivalenti (su cui si misurano identici valori di una proprietà fisica), cioè tutte le facce che vengono generate dalla combinazione degli elementi di simmetria presenti nel cristallo. Un cristallo è delimitato da facce appartenenti a forme geometriche semplici: CHIUSE - cubo, ottaedro, rombododecaedro, APERTE - prisma, pinacoide, piramide,.. Un cristallo può essere costituito da una sola o dalla combinazione di più forme semplici Forma semplice + Forma semplice = Forma complessa + =

Sviluppo di una forma semplice nelle classi cristalline 1 e m3m 1 m3m 111 111 111 111 111 c + +a 2 b + 111 +a 3 111 111 111 111 a + +a 1 a 3 111 111 b a 2 c a 1 111 111 Pinacoide {111} a Ottaedro {111}

Forma semplice Il numero delle facce (molteplicità) che appartengono ad una forma semplice viene determinato dalla simmetria della classe Gli indici di Miller vengono anche usati come simboli delle forma semplice, in questo caso sono inclusi tra parentesi graffe come {hkl}, {111}... etc. (si preferisce avere tutti gli indici positivi!). In ognuna delle classi cristalline è presente almeno una forma che tagli tutti gli assi cristallografici con lunghezze differenti, questa è la forma generale {hkl}. Tutte le altre sono forme speciali. Nel sistema triclino, monoclino e ortorombico la forma generale è la {111}, perchè tutti gli assi cristallografici hanno lunghezza differente.

Forma semplice Una faccia (hkl) non sarà mai parallela o perpendicolare ad un asse o ad un piano di simmetria, indipendentemente dalla classe di simmetria. Una forma speciale, invece consisite in facce che sono parallele o perpendicolari a qualcuno degli elementi di simmetria.

I 33 tipi di forme non cubiche Nome* N. Di Facce Nome N. Di Facce Pedione 1 Bipiramide rombica 8 Pinacoide 2 Bipiramide trigonale 3 Doma 2 Bipiramide ditrigonale 6 Sfenoide 2 Bipiramide tetragonale 8 Prisma rombico 4 Bipiramide ditetragonale 16 Prisma trigonale 3 Bipiramide esagonale 12 Prisma ditrigonale 6 Bipiramide diesagonale 24 Prisma tetragonale 4 Trapezoedro trigonale 6 Prisma ditetragonale 4 Trapezoedro tetragonale 8 Prisma esagonale 6 Trapezoedro esagonale 12 Prisma diesagonale 12 Scalenoedro tetragonale 8 Piramide rombica 4 Scalenoedri esagonale 12 Piramide trigonale 3 Romboedro 6 Piramide ditrigonale 6 Bisfenoide rombico 4 Piramide tetragonale 4 Bisfenoide tetragonale 4 Piramide ditetragonale 8 Piramide esagonale 6 Piramide diesagonale 12 *Secondo il sistema di Groth-Rogers

Forme semplici non cubiche Pedione: forma aperta costituita da una sola faccia Pinacoide: forma apera costituita da due facce parallele

Forme semplici non cubiche Doma: forma aperta costituita da due facce non parallele, simmetriche rispetto ad un piano m Sfenoide: forma aperta costituita da due facce non parallele, simmetriche rispetto ad asse binario

Forme semplici non cubiche Prisma: forma aperta composta da 3, 4, 6, 8 o 12 facce, tutte parallele allo stesso asse.

Forme semplici non cubiche Prisma: forma aperta composta da 3, 4, 6, 8 o 12 facce, tutte parallele allo stesso asse.

Forme semplici non cubiche Piramide: forma aperta composta da 3, 4, 6, 8 o 12 facce, non parallele fra loro che si incontrano in un punto.

Forme semplici non cubiche Bipiramide: forma chiusa composta da 6, 8, 12, 16 o 24 facce, non parallele. Si può considerare formata da due piramidi simmetriche rispetto ad un piano di riflessione orizzontale

Forme semplici non cubiche Trapezoedro: forma chiusa costituita da 6, 8 o 12 facce, con le 3, 4, o 6 facce superiori spostate rispetto alla 3, 4, o 6 facce inferiori.

Nome dell forme Scalenoedro: forma chiusa composta da 8 o 12 facce raggruppate in coppie simmetriche.

Forme semplici non cubiche Romboedro: forma chiusa composta da 6 facce, con tre nella parte superiore che si alternano con altre 3 nella parte inferiore. Le due serie sono rotate di 60.

Forme semplici non cubiche Bisfenoide: forma chiusa costituita da due facce superiore alternate rispetto a due facce inferiori, ruotate di 90.

L ABITO di un cristallo è dato dalla forma semplice più sviluppata

Habitus cristallino e aggregati Il primo si riferisce all aspetto che assume il minerale in base allo sviluppo delle forme cristalline che lo compongono. Sappiamo però che i minerali sono quasi sempre costituiti da aggregati di cristalli con morfologia da euedrale a subedrale fino ad anedrale. Se le facce sono ben definite, l'abito è ben riconoscibile e si parla di abito euedrale (o idiomorfo); se le facce, invece, sono parzialmente sviluppate e l'abito è ancora riconoscibile si tratta di abito subedrale (o ipidiomorfo); se, infine, le facce non sono ben sviluppate e l'abito è completamente irregolare, l'abito prende il nome di anedrale (o allotriomorfo).

Ci sono vari tipi di abiti: ABITO CRISTALLINO - abito equidimensionale (o equante, o isometrico): se il minerale ha simmetria cubica (es. granato); - abito colonnare (o prismatico): se il minerale è abbastanza allungato in una dimensione (es. pirosseni, anfiboli, tormalina); - abito aciculare: se il minerale è esageratamente allungato in una dimensione (es. tormalina, anfiboli); - abito tabulare (o "a libro"): se il minerale è abbastanza appiattito in una dimensione (es. feldspati); - abito lamellare: se l'abito è esageratamente appiattito in una dimensione (es. miche); - abito fibroso (o asbestiforme): è una variante dell'abito tabulare (es. Serpentino); - abito a forma di lama (es. cianite); - abito "a barilotto": è poco comune (es. corindone); - abito bipiramidale (es. zolfo): consiste in due piramidi, una sopra l'altra; - cristalli "a tramoggia": quando la velocità di crescita del minerale è molto marcata (es. quarzo); - abito spatico: è caratterizzato da un'ottima sfaldatura, cioè la capacità del minerale di rompersi lungo superfici nette (es. calcite)

Letture consigliate Trattato di mineralogia Carobbi - 3 a edizione Assi Cristallografici Proiezione dei cristalli La simmetria nei cristalli Leggere: pag 21-85

Letture consigliate C. KLEIN - Mineralogia, Zanichelli 2004 Morfologia cristallina Notazione cristallografica per i piani Abito cristallino Forma Nomi delle forme Pag: 180-197