LA CARATTERISTICA DI EULERO

LA CARATTERISTICA DI EULERO Triangolazioni Definizione. Una triangolazione di una superficie compatta S è data da una famiglia finita di suoi sottospazi chiusi {T 1,..., T n } che ricoprano S e da una famiglia (finita) di omeomorfismi {φ i } i=1,..., n dove φ i : T i T i e T i è un triangolo in R2 (ovvero l inviluppo convesso determinato da tre punti non allineati del piano). I T i sono detti triangoli. Le immagini tramite tali omeomorfismi di vertici e lati dei T i si dicono vertici e lati della triangolazione. Si richiede inoltre che, per i j, sia verificata una e una soltanto delle seguenti affermazioni: (1) T i e T j sono disgiunti. (2) T i e T j hanno in comune un solo vertice. (3) T i e T j hanno in comune solo due vertici e il lato che li connette. Vale il seguente teorema, che ci limitiamo ad enunciare. Teorema 1. Ogni superficie compatta ammette una triangolazione. Poichè due triangoli distinti non possono avere gli stessi vertici una triangolazione è completamente definita una volta assegnati i vertici dei triangoli e specificando quali terne di vertici concorrono a formare un triangolo. Osservazione. Segue anche dalla definizione che ogni lato è lato esattamente di due triangoli Sia v un vertice, i triangoli di vertice v possono essere riordinati in sequenza T 0,..., T n 1, T n = T 0 in modo che triangoli consecutivi abbiano esattamente un lato in comune e triangoli non consecutivi abbiano in comune soltanto il vertice v. Ecco alcuni esempi di superfici triangolate, rappresentate come poligoni topologici con identificazione, i numeri si riferiscono ai vertici, le lettere ai lati identificati. 1

2 LA CARATTERISTICA DI EULERO Figura 1. Toro. Questa triangolazione ha 16 vertici, 48 lati e 32 facce. Figura 2. Sfera. La triangolazione ha 32 vertici, 66 lati e 32 facce. Figura 3. Una triangolazione del piano proiettivo reale: 6 vertici, 15 lati e 10 facce.

LA CARATTERISTICA DI EULERO 3 Figura 4. La superficie orientabile di genere due, ovvero la somma connessa di due tori (ottenuta come poligono topologico con identificazione da un ottagono): la suddivisione ha 2 vertici, 12 lati e 8 facce. Per la triangolazione il calcolo è più faticoso (soprattutto contare i lati!) Figura 5. (a sinistra) La somma connessa di due piani proiettivi ovvero la bottiglia di Klein: 16 vertici, 48 lati e 32 facce. Figura 6. (a destra) Il nasto di Möbius (superficie topologia compatta con bordo): 19 vertici, 52 lati e 32 facce.

4 LA CARATTERISTICA DI EULERO La caratteristica di Eulero Definizione. Sia S una superficie compatta triangolata da T = {T 1,..., T n }. Definiamo le seguenti quantià (numeri interi) v= numero di vertici e= numero di lati f= numeri di triangoli La caratteristica di Eulero di S (a priori dipendente dalla triangolazione) è data da χ(s) = v e + f. Teorema 2. La caratteristica di Eulero così definita non dipende dalla triangolazione. Cenno di dimostrazione. Consideriamo suddivisioni di S in poligoni arbitrari, con n 1 lati e vertici, quindi non necessariamente triangoli. Inoltre ammettiamo che un lato possa non suddividere una regione in due regioni distinte. Richiediamo che la parte interna di ogni regione poligonale sia omeomorfa a un disco aperto del piano, che ogni lato privato dei vertici sia omeomorfo a un intervallo aperto della retta euclidea e che la chiusura di ogni tale lato sia omeomorfa a [0, 1] oppure S 1. Infine si richiede che sia finito il numero di vertici, lati e regioni poligonali. In particolare quindi le condizioni elencete sono soddisfatte se si ha a che fare con una triangolazione. Definiamo come in precedenza la caratteristica di Eulero come χ(s) = v e + f. Osserviamo che le seguenti trasformazioni lasciano invariata la caratteristica di Eulero (1) Suddividere un lato aggiungendo un nuovo vertice in un punto interno: infatti aumenta di uno il numero dei lati ma anche il numero dei vertici. (2) Se due soli lati si incontrano in un dato vertice, eliminando tale vertice e fondendo i lati la caratteristica di Eulero non cambia. (3) Suddividere un n-agono connettendo tra loro due vertici: infatti il numero delle regioni aumenta di uno e così anche il numero dei lati. (4) Fondere tra loro due regioni aventi un lato in comune eliminando tale lato: sia il numero di regioni che il numero di lati diminuiscono di uno.

LA CARATTERISTICA DI EULERO 5 (5) Introdurre all interno di una regione un nuovo vertice e un nuovo lato, ma in modo che la regione resti connessa, in questo caso aumentano di uno il numero di lati e il numero di vertici. (6) eliminare vertici e lati del tipo descritto appena sopra: il numero di vertici e il numero di lati decrescono di uno. Se adesso proviamo che si può passare da una suddivisione di S a un altra suddivisione in un numero finito di operazioni tra quelle descritte ne seguirà l invarianza della caratteristica di Eulero. Questo si prova facilmente nel caso in cui, date due triangolazioni T e T, i lati delle due si intersechino in un numero finito di punti e in un numero finito di intervalli chiusi. Supponiamo di sovrapporre infatti le due triangolazioni (per avere un idea qualitativa del procedimento si può osservare la figura 7). Modifichiamo dapprima T aggiungendo nuovi vertici laddove i lati di T sono intersecati dai lati di T e non vi sia già un vertice di T (sequenza finita di mosse di tipo (1)). Poi, per ogni vertice di T che si trovi all interno di una regione di T aggiungiamo (mossa di tipo (5)) il vertice stesso e un lato (corrispondente a un lato o una porzione di lato di T ), che lo connetta a un vertice preesistente. Infine, completiamo la sovrapposizione delle due triangolazioni aggiungendo i lati mancanti (corrispondenti a lati o porzioni di lati di T, mosse di tipo (3)). Successivamente eliminiamo dalla suddivisione ottenuta per S vertici e lati in modo da ottenere T. Eliminiamo dapprima i lati che appartengono a T ma non a T e che suddividono in due parti una regione (mossa di tipo (4)). Si eliminano poi quei lati e vertici che non suddividono alcuna regione e che appartengono a T ma non a T (mossa di tipo (6)).

6 LA CARATTERISTICA DI EULERO Figura 7 Restano allora da eliminare quei vertici in cui i lati di T intersecano quelli di T in punti distinti dai vertici di T (mossa di tipo (2)). Il caso in cui un lato di T e e uno di T si intersechino in un numero infinito di punti (si pensi al caso dei due insiemi nel piano euclideo [ 1, 1] {0} e {(x, x sin( 1 x )) x [ 1, 1] \ {0}} {(0, 0)}) è più complicato. Si può dimostrare che è sempre possibile deformare una

LA CARATTERISTICA DI EULERO 7 delle due triangolazioni, ma facendo in modo che il numero di vertici, lati e facce rimanga invariato, affinchè tale tipo di intersezione non avvenga. Proposizione 3. Se S 1 e S 2 sono due superfici compatte e denotando con S 1 S 2 la loro somma connessa, allora χ(s 1 S 2 ) = χ(s 1 ) + χ(s 2 ) 2. Dimostrazione. Supponiamo che S 1 e S 2 siano triangolate. Fare la somma connessa equivale a privare ciascuna superficie della parte interna di uno dei triangoli, prenderne l unione e identificare a due a due vertici e lati di tali triangoli. Perciò, se denotiamo rispettivamente con v 1, e 1, f 1 e v 2, e 2, f 2 vertici lati e triangoli della prima e seconda superficie, la superficie ottenuta dalla somma connessa avrà v = v 1 + v 2 3 vertici, e = e 1 + e 2 3 lati e f = f 1 + f 2 2 triangoli. Da cui segue la formula. Solidi platonici Un poliedro che sia chiuso e convesso è detto essere un poliedro semplice. Ogni poliedro semplice è omeomorfo a una sfera, pertanto la somma a segni alterni dei suoi vertici, lati e facce è sempre uguale a 2. Quanto affermato segue dal fatto che l immagine dei vertici, spigoli e facce del poliedro tramite un omeomorfismo dota la sfera di una suddivisione del tipo preso in considerazione nel teorema 2. Un poliedro è detto regolare se ogni sua faccia è congruente allo stesso poligono regolare. Vogliamo ora determinare condizioni per poter costruire poliedri regolari. Denotiamo con E il numero di spigoli del poliedro, con F il numero delle sue facce e con V il numero dei suoi vertici. Quindi V E + F = 2. Supponiamo che un poliedro regolare sia formato da n-agoni regolari e che in ogni vertice si incontrino f facce (n-agoni). Poichè ogni spigolo appartiene a due facce e connette due vertici vale da cui segue 2E = nf = fv (1) E( 2 f 1 + 2 n ) = 2 1 E + 1 2 = 1 f + 1 n. Osserviamo poi che il minimo numero di facce che si incontrano in un dato vertice è tre, e così anche il minimo numero di spigoli di un poligono regolare, perciò f 3, n 3. Inoltre se f e n fossero entrambi strettamente maggiori di 3 la (1) non potrebbe valere perchè si otterrebbe 1 E 0. Esaminiamo quindi il caso f = 3. Deve essere n 5 per soddisfare (1) altrimenti nuovamente si avrebbe 1 E 0. Se n = 3 allora le facce del poliedro sono trinagoli equilateri e si ha che E = 6, F = 4, V = 4. Il solido così ottenuto è il tetraedro. Se n = 4, le facce del poliedro sono dunque quadrati, E = 12, F = 6, V = 8 e si ottiene il cubo (esaedro). Se infine n = 5 risulta E = 30, F = 12, V = 20. Il solido così ottenuto è il dodecaedro le cui facce sono pentagoni regolari.

8 LA CARATTERISTICA DI EULERO Figura 8. Nell ordine: tetraedro, ottaedro, icosaedro, cubo, dodecaedro. Sia ora n = 3, 3 < f 5 (quest ultima condizione segue da un analisi analoga alla precedente), quindi cerchiamo ulteriori poliedri regolari le cui facce siano triangoli equilateri. Se f = 4 si ottiene E = 12, F = 8, V = 6. Il solido così ottenuto è l ottaedro. Se f = 5 allora E = 30, F = 20, V = 12 e si ottiene un icosaedro. Non ci sono altre possibilità, per cui abbiamo determinato la totalità dei poliedri regolari. Colorabilità Definizione. Data una superficie S si definisce mappa sulla superficie il dato di un numero finito di vertici e archi (lati) a due a due non intersecantesi che li connettano, disposti in modo tale da suddividere la superficie in regioni semplicemente connesse. La mappa è detta inoltre regolare se (1) ogni vertice ha ordine (è il numero di lati che contengono tale vertice) non inferiore a 3, (2) ogni arco connette due vertici distinti, (3) ogni arco separa due regioni distinte. Figura 9. mappa Figura 10. mappa regolare

LA CARATTERISTICA DI EULERO 9 Quanti colori sono necessari per colorare una mappa regolare in una porzione limitata del piano o su una sfera in modo tale che regioni adiacenti non abbiano mai lo stesso colore? Si osserva facilmente che tre colori sono insufficienti (per esempio osservando la figura 12). Si definisce numero cromatico (o costante cromatica) di una superficie S il minimo numero di colori α tale che ogni mappa regolare su S possa essere colorata con al più α colori in modo che regioni confinanti abbiano sempre colori diversi. In questa analisi, una porzione limitata di piano è equivalente a una sfera, infatti si può passare da una rappresentazione all altra tramite la proiezione stereografica, considerando il complementare della porzione limitata di piano come una calotta sferica contenente il polo di proiezione (come in figura 11). Figura 11 Si può definire anche per una mappa su una superficie la caratteristica di Eulero come somma a segni alterni di vertici, lati e regioni determinati dalla mappa. Ovviamente la caratteristica di Eulero non dipende dalla particolare mappa ma è invariante e coincide con la caratteristica di Eulero della superficie (nella dimostrazione dell invarianza infatti si utilizzano suddivisioni di una superficie più generali, tra le quali rientrano le mappe regolari). Consideriamo una superficie avente caratteristica di Eulero χ(s) > 0. Allora v e + f > 0 (qui f denota il numero delle regioni). Dalle condizioni (1) e (2) della definizione segue che 2e 3v per cui 6f 2e > 0 Se denotiamo con f i il numero di regioni la cui frontiera è formata esattamente da i lati con l ovvia condizione che i 1 si può scrivere 6 i f i i if i > 0 ovvero (6 i)f i > 0. i

10 LA CARATTERISTICA DI EULERO Figura 12 Deve pertanto esistere qualche regione la cui frontiera consista in i lati con i < 6. Possiamo adesso dimostrare per induzione il seguente teorema Teorema 4 (dei sei colori). Sia S una superficie con caratteristica di Eulero χ(s) > 0, allora il numero cromatico di S è non maggiore di 6. Dimostrazione. Procediamo per induzione sul numero di regioni f. Se f 6 la tesi è ovvia. Sia ora f > 6 e supponiamo che il risultato sia vero per f 1. Come osservato in precedenza esiste una regione f la cui frontiera è formata da meno di sei lati. Contraendo a un punto (un vertice) tale regione otteniamo una mappa regolare con f 1 regioni, che per ipotesi induttiva può essere colorata con al più sei differenti colori in modo tale che regioni confinanti abbiano sempre colori diversi. Ripristinando la regione f, poichè le regioni con essa confinanti sono al più cinque, è possibile assegnare a questa regione un colore in modo che la tesi sia soddisfatta. Di validità più generale è il seguente Teorema 5. Ogni mappa regolare su una superficie S con caratteristica di Eulero χ(s) = χ può essere colorata con al più γ colori, dove per γ vale (2) γf > 6(f χ) f > γ. Dimostrazione. Procediamo per induzione sul numero di regioni f. Supponiamo quindi che per γ soddisfacente la disuguaglianza dell enunciato si abbia per qualche f, se f f, che ogni mappa regolare su S avente f regioni possa essere colorata con al più γ colori (in modo che regioni contigue abbiano sempre colori differenti). In particolare questo è ovvio per f γ. Poichè vale χ = v e + f, 2e 3v, allora 6(f χ) = 6(e v) 2e,

LA CARATTERISTICA DI EULERO 11 e quindi da (2) anche γf > 2e. Quindi (ragionando in modo analogo a quanto fatto per il teorema 4), almeno una regione deve avere frontiera costituita da meno di γ lati. Contraendo a un punto tale regione χ rimane invariata e per l ipotesi induttiva la mappa così ottenuta può essere colorata con al più γ colori. Ripristinando tale regione, poichè le regioni ad essa contigue sono al più γ 1, è sempre possibile assegnare ad essa un colore in modo che la tesi risulti soddisfatta. Vogliamo ora determinare per alcuni valori di χ il più piccolo intero γ soddisfacente (2). Si può riscrivere la dusuguaglianza come γ > 6(1 χ f ) Se χ = 2 o χ = 1, al crescere di f il secondo membro tende al valore 6. Quindi per χ = 1, f > 6 si ha γ = 6 e per χ = 2, f > 12, γ = 6. È anche immediato vedere che γ = 7 per χ = 0. Se χ < 0, ponendo f = γ + 1 e sostituendo nella disuguaglianza si ottiene γ > 6(1 χ γ + 1 ). ovvero γ 2 5γ > 6 6χ (γ 5 2 )2 > 49 4 6χ. quindi γ > 5 49 24χ 2 + 2 e γ è la parte intera superiore dell espressione a secondo membro nel caso questa non sia un intero, altrimenti γ = 5 2 + 49 24χ 2 + 1. Figura 13. Nel caso del toro la costante cromatica è in effetti esattamente uguale a 7 = γ, come si evince da questa mappa.

12 LA CARATTERISTICA DI EULERO Si ottiene così per esempio che per la bottiglia di Klein (somma connessa di un toro e un piano proiettivo, quindi χ = 1) γ = 7 e quindi la costante cromatica della bottiglia di Klein è al più 7. Per la superficie orientabile di genere 2 (il 2-toro) χ = 2 la costante cromatica è al più 8 mentre per il 3-toro è al più 9 così come quella della superfici non orientabili di genere 5 e 6 e così via. Vogliamo ora dimostrare che, nel caso di mappe regolari su una sfera o su una porzione limitata di piano la costante cromatica è in realtà non maggiore di 5. Teorema 6 (dei cinque colori). Ogni mappa regolare su una sfera o su una porzione limitata di piano può essere colorata con cinque colori in modo che regioni confinanti abbiano sempre colori distinti. Dimostrazione. Procediamo per induzione sul numero di regioni come nel teorema dei sei colori. Se la mappa ha cinque regioni o meno la tesi è evidente. Supponiamo di aver dimostrato il teorema per mappe con f 1 regioni. Abbiamo già provato che ogni mappa regolare su una superficie con caratteristica di Eulero positiva deve possedere almeno una regione f la cui frontiera sia formata al più da cinque archi. Nel caso la frontiera di tale regione f sia formata da meno di cinque archi è evidente la possibilità di colorare la mappa con al più cinque colori distinti. Contraendo infatti a un punto f si utilizza l ipotesi induttiva come fatto in precedenza per mostrare che la mappa così ottenuta può essere colorata con al più cinque colori. Si ripristina poi f e, avendo la sua frontiera meno di cinque lati, è sempre possibile scegliere uno dei cinque colori in modo che la tesi sia soddisfatta. Nel caso la frontiera di f consista esattamente di cinque archi, bisogna osservare che (si confronti con la figura 14) necessariamente almeno una coppia di regioni confinanti con f non hanno frontiera comune. Se per esempio A e C hanno frontiera comune, allora B e D necessariamente sono disgiunte e anche B ed E, per cui le cinque regioni confinanti con f possono essere colorate scegliendo tra soli quattro colori. Anche contraendo f a un punto le considerazioni fatte continuano a valere. Procedendo quindi come sopra, il teorema è dimostrato. In effetti è stato dimostrato che la costante cromatica della sfera è 4, ma tale risultato è decisamente più laborioso da ottenere.

LA CARATTERISTICA DI EULERO 13 Figura 14