Trisections of 4-manifolds

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1 Università di Pisa Corso di Laurea Magistrale in Matematica A.A. 2015/2016 Trisections of 4-manifolds Candidato Agnese Barbensi Relatore Prof. Paolo Lisca 15 Luglio 2016 Controrelatore Prof. Bruno Martelli

2 1 Introduzione 2 Trisezioni 3 Dimostrazione Teorema di esistenza 4 Il caso con bordo

3 Introduzione Tutte le varietà e le mappe sono lisce e orientate. In topologia è comune studiare le varietà a partire da pezzi semplici: n-varietà: Decomposizione in manici 3-varietà: Decomposizione di Heegaard 4-varietà: Diagrammi di Kirby

8 Trisezioni Nel 2013 David Gay e Robion Kirby introducono una nuova descrizione per 4-varietà lisce chiuse. Definizione: Dati due interi 0 k g, una (g, k)-trisezione per una 4-varietà X è una decomposizione X = X 1 X 2 X 3 tale che: 1 X i = k (S 1 D 3 ) per ogni i = 1, 2, 3; 2 H i,j := X i X j = g (S 1 D 2 ) per ogni i j; 3 Σ g = X 1 X 2 X 3 è una superficie chiusa di genere g. Chiameremo g il genere della trisezione.

14 Definizione: Dati due interi 0 k g, una (g, k)-trisezione per una 4-varietà X è una decomposizione X = X 1 X 2 X 3 tale che: 1 X i = k (S 1 D 3 ) per ogni i = 1, 2, 3; 2 H i,j := X i X j = g (S 1 D 2 ) per ogni i j; 3 Σ g = X 1 X 2 X 3 è una superficie chiusa di genere g. Chiameremo g il genere della trisezione. Nella tesi utilizziamo la definizione più generale di trisezione unbalanced, in cui i tre handlebody 4-dimensionali X i non hanno necessariamente lo stesso genere.

15 Rappresentazione schematica di una trisezione

16 H i,j H l,i è una decomposizione di Heegaard di genere g per X i = k (S 1 S 2 )

19 Osservazione Se una 4-varietà X ammette una (g, k)-trisezione, la sua caratteristica di Eulero è uguale a: χ(x) = 2 + g 3k

20 Diagrammi di trisezione Definizione Un (g, k)-diagramma di trisezione è una 4-upla (Σ g, α, β, γ) tale che ognuna delle triple (Σ g, α, β), (Σ g, β, γ), e (Σ g, γ, α) è un diagramma di Heegaard di genere g per k S 1 S 2. Da un diagramma di trisezione si ottiene una 4-varietà chiusa X(Σ g, α, β, γ)

21 Diagrammi di trisezione Definizione Un (g, k)-diagramma di trisezione è una 4-upla (Σ g, α, β, γ) tale che ognuna delle triple (Σ g, α, β), (Σ g, β, γ), e (Σ g, γ, α) è un diagramma di Heegaard di genere g per k S 1 S 2. Da un diagramma di trisezione si ottiene una 4-varietà chiusa X(Σ g, α, β, γ)

22 Da un diagramma di trisezione si ottiene una 4-varietà chiusa X(Σ g, α, β, γ) attaccando 3g 2-manici 4-dimensionali al prodotto Σ g D 2 lungo le α, β e γ con framing indotti da Σ g e tappando con 3- e 4-manici la varietà ottenuta.

23 Un diagramma di trisezione per S 4. In rosso le curve α, in blu le beta β e in verde le γ.

24 Cancellando le curve γ otteniamo un diagramma di Heegaard di genere 3 per S 1 S 2.

25 Tramite handle slides, ognuno tra (Σ g, α, β), (Σ g, β, γ), e (Σ g, γ, α) può essere trasformato nel diagramma standard di Heegaard di genere g per k S 1 S 2. In figura, un diagramma di trisezione in cui (Σ g, α, β) è reso standard. Solo una delle curve γ è disegnata.

26 Tramite handle slides, ognuno tra (Σ g, α, β), (Σ g, β, γ), e (Σ g, γ, α) può essere trasformato nel diagramma standard di Heegaard di genere g per k S 1 S 2. In figura, un diagramma di trisezione in cui (Σ g, α, β) è reso standard. Solo una delle curve γ è disegnata.

27 Grazie a questa osservazione, possiamo produrre un diagramma di Kirby per X(Σ, α, β, γ).

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29 Le varietà che ammettono trisezioni con genere g 2 sono state classificate: Teorema g = 1 (Gay Kirby, 2013) Se X ammette una trisezione di genere 1, allora è diffeomorfa a una tra: CP 2, CP 2 e S 1 S 3 ; g = 2 (Meier Zupan, 2014) Se X ammette una trisezione di genere 2, allora è diffeomorfa a S 2 S 2, o somma connessa di CP 2, CP 2 e S 1 S 3.

32 Stabilizzazioni Data una trisezione per X, ne possiamo ottenere infinite altre tramite mosse di stabilizzazione. Definizione La stabilizzazione di una trisezione per X con diagramma (Σ g, α, β, γ) è la trisezione che ammette per diagramma la somma connessa di (Σ g, α, β, γ) con il diagramma di genere 3 rappresentante S 4.

33 Stabilizzazioni Data una trisezione per X, ne possiamo ottenere infinite altre tramite mosse di stabilizzazione. Definizione La stabilizzazione di una trisezione per X con diagramma (Σ g, α, β, γ) è la trisezione che ammette per diagramma la somma connessa di (Σ g, α, β, γ) con il diagramma di genere 3 rappresentante S 4.

34 Teorema di esistenza e unicità Teorema, (Gay Kirby, 2014) Ogni 4-varietà liscia, chiusa e orientabile ammette una trisezione; Due trisezioni di una stessa 4-varietà X sono isotope a meno di stabilizzare entrambe un numero finito di volte.

35 Teorema di esistenza e unicità Teorema, (Gay Kirby, 2014) Ogni 4-varietà liscia, chiusa e orientabile ammette una trisezione; Due trisezioni di una stessa 4-varietà X sono isotope a meno di stabilizzare entrambe un numero finito di volte.

37 2-funzione di Morse Una 2-funzione di Morse su una 4-varietà X è una mappa liscia G : X R 2 che localmente può essere pensata come (t, p) (t, g t (p)) con g t omotopia generica tra funzioni di Morse g 0, g 1 : M 3 [0, 1].

38 Dimostrazione del Teorema di esistenza Costruiamo una 2-funzione di Morse G 1 sull unione X 1 di 0- e 1-manici di X. X 1 = i 1 S 1 D 3 = I ( i 1 S 1 D 2 ), prendiamo G 1 come il prodotto della funzione di Morse standard su i 1 S 1 D 2, con un solo minimo e i 1 punti critici di indice 1. In figura, sul lato destro del disco, ritroviamo una decomposizione di Heegaard di genere i 1 per i 1 S 1 S 2, con superficie Σ.

39 Per estendere G 1 ai 2-manici, proiettiamo il link di attaccamento L su Σ, ottenendo una curva immersa con solo incroci per singolarità. Risolviamo ogni incrocio stabilizzando Σ, come in figura, poi attacchiamo i 2-manici. Abbiamo esteso G 1 a una funzione G 2 sull unione X 2 di 0-, 1- e 2-manici.

40 Procediamo sull unione X 3 di 3- e 4-manici come su X 1, producendo una 2-funzione di Morse G 3 su X 3. Le due funzioni danno due funzioni di Morse su X 2 = X3, che connettiamo con un grafico di Cerf.

41 A questo punto, modifico la 2-funzione di Morse definita su tutto X fino a ottenerne una come in figura. Le controimmagini dei settori circolari sono gli handlebodies 4-dimensionali X i, e verificano le condizioni di trisezione.

43 Il caso con bordo (work in progress, Nick Castro e Juanita Pinzon-Caicedo) Consideriamo Y k = k (S 1 S 2 ), e sia (Σ, H 1, H 2 ) il suo diagramma di Heegaard standard di genere g. Sia P Σ una superficie compatta di genere minore o uguale al genere di Σ \ int(p ). Se chiamiamo N(P ) := I P e Y k (P ) := Y k \ int(i P ), vale Y k = Y k (P ) Id N(P )

44 Una (g, k)-trisezione per una 4-varietà compatta X è una decomposizione X = X 1 X 2 X 3 come in figura, dove X i = k (S 1 D 3 ), e S, P sono superfici compatte. Ogni arco rosso è il prodotto N(P ) = I P. Ogni coppia di linee verdi rappresenta un Heegaard splitting per Y k (P ) := Y k \ int(i P ).

45 Grazie per l attenzione!