Esercizi del Corso di Statistica Parte I - Variabili Aleatorie Continue 1. Costruire la variabile uniforme U sull intervallo [a, b], con a IR e b IR. 2. Sia X una variabile aleatoria tale che: 0 x < 1 (x+1) F X (x) = 0 x < 1 2 1 x 1 (a) X è continua? (b) Calcolare P (X = 0). (c) Calcolare P ( 4 < X 1 2 ). 3. Sia X una variabile aleatoria tale che: 0 x < 1 F X (x) = 1 a exp( λ(x + 1)) x 1 (a) Per quali valori di a, F X è una funzione di distribuzione? (b) Calcolare P (X = 0), P (X = 1), P (X 0) e P ( 2 < x 2) 4. Sia X una variabile aleatoria continua a valori in IR, la cui funzione di distribuzione F è strettamente crescente. (a) Definendo Y = F (X), determinare la legge di Y. Di che variabile aleatoria si tratta? (b) Sia U una variabile aleatoria uniforme in [0, 1]. Determinare la legge della variabile aleatoria Z = F 1 (U). (c) ( ) Sia U una variabile aleatoria uniforme in [0, 1] e X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ. Determinare una trasformazione h tale che X = h(u). 5. Sia X n una variabile aleatoria discreta tale che P (X n = k) = p(1 p) k con k = 0, 1,..., 0 < p < 1 e Y n = Xn. Calcolare il limite di F n Y n (x) per n + nel caso in cui p = λ con λ > 0. n 6. Sia Z N(0, 1) e X = Z 2. Determinare la densità di X e dire a quale famiglia di variabili aleatorie appartiene. 7. Sia Z N(0, 1) e X = σz + µ, con σ > 0 e µ IR. Determinare la densità di X. 1
8. Sia f(x) = (λ+1) x > r 0 x r con r > 0, λ > 0. Determinare c tale che f(x) risulti una densità e scrivere la corrispondente F X (x). Determinare quindi la legge di Y = log X r. 9. Siano X,Y variabili aleatorie uniformi in Q = (x, y) IR 2 1 x 1, 1 y 1}: 0 (x, y) / Q f (X,Y ) (x, y) = 1 (x, y) Q. 4 Dire se X e Y sono indipendenti. 10. Siano X e Y variabili uniformi in D = (x, y) IR x 2 + y 2 1}: Dire se X e Y sono indipendenti. 0 (x, y) / D f (X,Y ) (x, y) = 1 (x, y) D. π 11. Sia X exp(λ), con λ > 0. Dimostrare che P (X < s + t X < s) = P (X < t), s, t < 0. 12. Siano X e Y variabili aleatori e indipendenti. Calcolare la funzione di distribuzione di U = min(x, Y ) e V = max(x, Y ) 13. Il tempo di vita di un componente elettronico dipende dalla concentrazione di silicio nel materiale di cui è fatto: piú precisamente esso ha legge esponenziale di parametro λ, dove λ è appunto il valore di tale concentrazione. Una macchina produce questi componenti, ma nel processo produttivo non è possibile controllare la concentrazione di silicio che pertanto si puó considerare una variabile aleatoria, che indicheremo con Λ, uniformemente distribuita su [0, 1]. Indichiamo con Y il tempo di vita del componente prodotto. Qual è la legge di Y? 14. Il numero di richieste di accesso ad un server segue la legge di Poisson, X Poisson (Θ), con Θ variabile aleatoria, Θ exp(λ)), λ > 0. (a) Determinare la densità marginale di X. (b) Determinare la densità di Θ condizionata a X=k, cioè f Θ X (θ k) 15. Siano X, Y exp(λ) variabili aleatorie indipendenti. (a) Determinare la densità di X + Y. (b) Estendere al caso di n variabili esponenziali di parametro λ indipendenti. 2
16. Sia U variabile aleatoria uniforme nell intervallo ( π, π ). Determinare la funzione 2 2 di distribuzione e la densità della variabile aleatoria Y = tan(u). Esiste la media di Y? 17. Sia X N(0, 1). Determinare la funzione di distribuzione e la densità della variabile aleatoria Y = exp(x). 18. Sia (a) X Uniforme [a, b] (b) X exp(λ) (c) X N(µ, σ 2 ). Calcolare IE[X] e var(x). 19. Sia X n } n 1 una successione di variabili aleatorie indipendenti di legge esponenziale di parametro λ = 1, X n exp(1). Sia e Y n = maxx 1,..., X n } Z n = Y n log n. Determinare la funzione di distribuzione di Z n ed il limite (se esiste) per n +. 20. Si consideri la funzione seguente: F (x) = 0 x 0 1 e ( x b )c x > 0 per fissati parametri b, c > 0. Verificare che si tratta di una funzione di distribuzione e determinarne la densità. Indicando con X la corrisponedente variabile aleatoria, calcolare P (X b). Cosa rappresenta b? [N.B. Si tratta di una distribuzione (o legge) di Weibull] 21. Sia X una variabile aleatoria di densità 0 x < a f X (x) = x a c ac x c+1 c > 0. Determinare la funzione di distribuzione e calcolare P (X a). Calcolare IE[X] e var[x]. Data una variabile uniforme U in [0,1], determinare una trasformazione h : [0, 1] IR tale che X = h(u). 22. Sia X una variabile aleatoria positiva, ovvero tale che P (X 0) = 0 e sia µ = IE[X]. Si dimostri che P (X 2µ) 1 2 3
23. Siano X 1, X 2,..., X n variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con media µ e varianza σ 2 finita. Sia S n = 1 n ni=1 X i, con i = 1,..., n: (a) determinare n in modo tale che la probabilità che S n differisca dalla sua media al piú η sia almeno il 95%. (b) determinare un intervallo [l, d] di ampiezza η in modo tale che µ [l, d] con una probabilità del 95%. 24. Data la variabile aleatoria X, di definisce funzione generatrice dei momenti la funzione M X (t) = IE[exp(tx)] = IR exp(tx)f X(x)dx, per ogni t in IR tale che IE[exp(tx)] < +. (a) Dimostrare che M (0) = d dt M(t) t=0 = IE[X] e M (0) = IE[X 2 ] e quindi var(x) = M (0) (M (0)) 2 (b) Date X, Y variabili aleatorie indipendenti, dimostrare che M X+Y (t) = M X (t)m Y (t) (c) Determinare la funzione generatrice dei momenti di una variabile gaussiana X N(µ, σ 2 ) e di una gamma X Γ(α, λ). Parte II - Stime Puntuali 1. Sia X 1, X 2,..., X n un campione di densità: f(x; θ) = (θ+1) x 1 0 altrimenti, dove θ > 0. Determinare la stima di massima verosimiglianza ˆθ per il parametro θ. Cosa si può dire del limite di ˆθ(X 1,..., X n ) per n +? 2. Dato un campione X 1, X 2,..., X n con densita f(x) = θ x 2 1I [θ,+ (x), θ > 0, si determini lo stimatore di massima verosimiglianza per il parametro θ. 3. Sia U 1, U 2,..., U n un campione di variabili aleatorie uniformi sull intervallo [0, θ]. (a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆθ del parametro θ. (b) Calcolare il valore atteso di ˆθ. 4. Sia X N (µ, σ 2 ), Y = exp(x) e sia Y 1,..., Y n un campione dalla densità f Y. Supponendo σ 2 noto (p.e. σ 2 = 1), determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per il parametro µ. 4
5. Data X una variabile aleatoria di densità f(x) = (λ+1) x > r 0 x r λ > 0, r > 0, sia Y = log(x/r). Determinare uno stimatore di max-verosimiglianza per il parametro λ, basato su un campione Y 1, Y 2,..., Y n. 5