Funzione Operativa Caratteristica per la media Se X N(µ 0, σ 0 ) allora il processo all istante t è considerato sotto controllo se calcolata x t risulta µ 0 z 1 α/2 σ 0 n < x t < µ 0 + z 1 α/2 σ 0 n Denotiamo con A t tale regione. Supponiamo che la media del processo sia passata da µ 0 a µ. Non ci si accorge di questo cambiamento con una probabilità data da (probabilità di mancato allarme) ( ) ( ) n µ β(µ) = P (A t µ) = Φ 0 µ n µ + z 1 α/2 Φ 0 µ z 1 α/2 Posto δ = µ µ 0 σ Per la carta a 3-sigma la curva operativa caratteristica è σ 0 β(δ, n) = OC(δ, n) = Φ(3 δ n) Φ( 3 δ n) σ 0 1
Il grafico rappresenta le OC al variare di n e per diversi valori di scostamento della media dal valore dato per multipli di σ. OC curves for xbar chart Prob. type II error 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n = 2 n = 5 n = 10 n = 15 n = 20 0 1 2 3 4 5 Process shift (std.dev) 2
La relazione β(δ, n) = OC(δ, n) = Φ(3 δ n) è invertibile. Denotato con z β il quantile di una Z per un fissato valore di β si ha 3 δ n = z β, da cui ( 3 zβ ) 2, n = δ che va approssimato con l intero più vicino. Questo permette per fissati sregolamenti δ della media di determinare la numerosità del campione che assicura valori di β adeguatamente bassi. Esempio Per δ = 1.5 e β = 0.36 troviamo z β = 0.3584 e quindi n = 5.0129 da cui n = 5. (Vedi più avanti). Si osservi infine che β dipende anche dal valore di α e che in generale β sarà tanto più grande quanto più α è piccolo. 3
Funzioni operative caratteristiche per σ Nei problemi di controllo statistico in corso di produzioni si è interessati a verificare l ipotesi che la variabilità del processo non aumenti. Ciò equivale alla verifica dell ipotesi H 0 : σ σ 0 contro H 1 : σ > σ 0 L ipotesi H 0 viene rifiutata quando un punto si colloca al disopra della linea UCL. L aumento della variabilità viene espresso da λ = σ σ 0. Per una carta di controllo a 3-sigma abbiamo β(λ) = P ( S < B 4 σ 0 σ = λσ 0 ) È possibile risalire alla distribuzione di S e calcolare quindi il valore di β(λ) per diversi valori di n e di λ 4
Tempi di Attesa per segnali di Fuori Controllo Se α è la probabilità di avere un falso segnale di fuori controllo e se indichiamo con T r la variabile casuale che indica il numero di campioni da estrarre prima di avere r falsi allarmi, la T r è una variabile casuale di Pascal e la sua distribuzione è ) α r (1 α) k r k = r, r + 1,... P (T r = k) = ( k 1 r 1 Poichè nella pratica un processo si arresta al primo segnale di fuori controllo la distribuzione di T 1 risulta P (T 1 = k) = α(1 α) k 1 k = 1, 2,... Il tempo medio per aver un falso allarme è dato da E(T 1 ) = 1 α (= ARL 0) Ad esempio per la carta per la media a 3-sigma avremo un falso allarme ogni 1/α = 1/0.0027 = 370 campioni 5
Quando il valore del parametro del processo (ad esempio la media o la varianza) si sposta da θ 0 a θ il processo è andato fuori controllo. Se β è la probabilità di avere un mancato allarme, la probabilità di dover attendere k campioni per osservare r punti fuori controllo (allarmi autentici) è data da P (T r = k θ) = ( k 1) (1 β(θ)) r β(θ) k r k = r, r + 1,... r 1 La distribuzione dei tempi di un segnale di fuori controllo quando il processo è fuori controllo è P (T 1 = k θ) = (1 β(θ))β(θ) k 1 k = 1, 2,... La probabilità di avere un segnale di fuori controllo entro i primi k campioni è data da 1 β k+1 e tende a 1 al crescere di k per qualunque valore di θ. Il tempo medio di attesa di un segnale di fuori controllo quando il processo è fuori controllo è dato da E(T 1 θ) = 1 1 β(θ) (= ARL 1) 6
Esempio. Vogliamo individuare uno scostamento pari a 1.5σ dalla media del diametro degli anelli con campioni di numerosità n = 5 con una carta a 3-sigma. Dalla OC deduciamo che β = 0.36. La probabilità che lo scostamento venga individuato al primo campionamento è 1 β = 0.64. Che venga individuato al secondo campionamento è β(1 β) = 0.23. Il tempo medio di attesa risulta ARL 1 = 1 β 1 = 2. OC curves for xbar chart Prob. type II error 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 Process shift (std.dev) 7
Va osservato che la lunghezza media delle sequenze (ARL) diminuisce come β. Una diminuzione dell ARL è quindi legata all abbassamento della OC. Questo abbassamento avviene solo con un aumento della numerosità campionaria e quindi con un aumento dei costi di controllo. Quindi, per un prefissato scostamento della media di kσ, se si fissa n si ottiene il valore di β e quindi il valore dell ARL. Se si fissa l ARL si ricava β = 1 1 ARL e quindi il valore di n che garantisce quel valore di β. Esempio. Se vogliamo ARL=2 per una carta 3-sigma per la media per individuare uno scostamento dalla media pari a 1σ, allora β = 0.5 e dalla OC deduciamo n = 15. 8
Capacità produttiva Le carte di controllo permettono di fornire indicazioni sulla capacità del processo produttivo. Se il processo è sotto controllo si può ammettere che la caratteristica X del prodotto sia distribuita come una N( x, ˆσ). Siano T U e T L rispettivamente i limiti superiore e inferiore di specifica (USL e LSL) Il livello effettivo di non conformi del processo è dato da ( ) ( ) TL x TU x p e = P (X < T L ) + P (X > T U ) = Φ + 1 Φ ˆσ ˆσ Il valore minimo di p e lo si ha quando la media coincide con il centro dell intervallo di tolleranza m e = T ( ) U + T L TL T p min = 2Φ U 2 2ˆσ Il livello effettivo di non conformi deve essere tale che p e < p T dove p T è il livello di difettosità tollerabile. Se si verifica che p e > p T occorre distinguere due casi: se p min < p T si ricorre ad una taratura della macchina per riportare la media del processo vicino al valore m e. Se p min > p T il processo è inadeguato. 9
Riassumendo p e < p T processo ok p T < p e processo non ok p min < p T < p e taratura macchina per riportare p e vicino a p min. p T < p min < p e riprogrammare carta (aumentare n e ricalcolare ˆσ) L indice di capacità è definito da Il valore C p = USL LSL 6σ la cui stima Ĉ p = USL LSL 6ˆσ P = 1 C p 100% rappresenta la percentuale di specifica usata dal processo. 10
Carte per campioni di diversa ampiezza Quando gli m campioni raccolti hanno numerosità n i diverse si costruiscono le carte x e S. I limiti a 3 sigma e di probabilità per tali carte variano da campione a campione e si basano sulla stima ponderata della media e dello scarto quadratico medio. x = mi=1 n i x i mi=1 n i S = mi=1 (n i 1)Si 2 mi=1 n i m I limiti per ognuno degli m campioni della carta x e della carta S sono dati da UCL i = x + A 3,i S CL = x LCL i = x A 3,i S UCL i = B 4,i S CL = S LCL i = B 3,i S 11
Carte di controllo per misure singole Queste carte si utilizzano quando tutti gli m campioni sono costituiti da una sola osservazione. Questo può verificarsi per vari motivi, ad esempio se il processo lavora con cadenza troppo lenta se la misurazione da effettuare su un unità ne comporta la distruzione se la produzione avviene in lotti all interno dei quali la variabilità è praticamente nulla Un campione unitario non fornisce nessuna stima per σ quindi non possiamo utilizzare le carte x, R e S. 12
Date le m osservazioni singole x 1, x 2,..., x m si costruiscono gli m 1 range mobili RM i = x i x i+1, i = 1, 2,..., m 1 Si calcolano quindi il range medio e la media RM = 1 m 1 m 1 m x i i=1 RM i x = 1 i=1 m Si utilizzano i valori D 3 e D 4 per n = 2 della carta R a 3 sigma per ottenere la carta di controllo per le escursioni campionarie per le osservazioni singole UCL = D 4 RM = 3.267RM CL = RM LCL = D 3 RM = 0 Mentre i limiti per la carta di controllo per la media risultano, osservato che ˆσ = RM d = RM 2 1.128 UCL = x + 3ˆσ = x + 2.66RM CL = x LCL = x 3ˆσ = x 2.66RM 13
Carte di controllo CUSUM Le carte a somme cumulate risultano utili quando occorre individuare scostamenti dal valore centrale di piccola entità. Le carte Shewhart utilizzano le informazioni solo dell ultimo campione osservato. All istante t non tengono conto dell informazione contenuta nelle osservazioni effettuate agli istanti t 1, t 2,... Le carte CUSUM si basano sull idea di sommare gli scostamenti (positivi o negativi) dal valore centrale e quindi risultano più sensibili ad un aumento o ad una diminuzione della caratteristica che si sta monitorando. Consideriamo i dati simulati in cui le prime 20 osservazioni sono estratte da una popolazione N(10, 1) mentre le ultime 10 osservazioni sono estratte da una popolazione N(11, 1). 14
Le prime due colonne riportano i dati simulati da N(10, 1). La terza colonna riporta i dati simulati da N(11, 1). 1 2 3 1 9.84 10.03 12.68 2 11.08 9.39 11.65 3 8.61 9.32 13.64 4 9.57 9.92 12.97 5 9.20 10.42 11.37 6 10.71 10.90 10.78 7 10.40 8.41 11.85 8 11.82 9.57 9.94 9 9.92 10.86 12.12 10 12.17 9.10 13.25 15
Il grafico riporta la carta di controllo Shewart ottenuta con tali osservazioni. Si osserva come nessun punto sia fuori controllo. UCL xbar.one Chart for x Group summary statistics 8 10 12 14 LCL 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Group Number of groups = 30 Center = 10.71619 LCL = 7.106894 StdDev = 1.203099 UCL = 14.32549 Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 16
Si noti come sapendo il momento in cui si è verificato il cambio di livello un semplice boxplot mette in evidenza tale cambiamento. 9 10 11 12 13 1 2 17
La carta cusum per il controllo della media di un processo si basa sulla costruzione di due statistiche che cumulano gli scarti delle osservazioni da un valore obiettivo. Siano µ 0 e σ il valore della media e dello s.q.m. quando il processo è sotto controllo. µ 0 è il valore obiettivo. σ è supposto noto. Siano x i la i-esima osservazione del processo. Le carte cusum sono utilizzate principalmente per osservazioni singole per cui vediamo prima questo caso. Le due statistiche dette rispettivamente CUSUM unilaterale superiore e CUSUM unilaterale inferiore sono definite come segue C + i C i = max ( 0, x i (µ 0 + K) + C + i 1 = max ( 0, (µ 0 K) x i + C i 1 Dove C 0 + = 0, C 0 = 0 e K, detto valore di tolleranza, è solitamente posto pari a K = µ 1 µ 0 2 se µ 1 è il valore di fuori controllo che si vuole sia individuato quanto prima. ) ) 18
Si noti che le due statistiche cumulano le deviazioni del processo che si scostano dal valore obiettivo µ 0 di almeno un ampiezza K. Se x i si discosta da µ 0 per meno del valore di tolleranza K allora i valori cumulati scendono fino ad azzerarsi se dovessero diventare negativi. Il processo è considerato sotto controllo fino a quando una delle due statistiche non supera il livello di decisione H. Tale valore viene solitamente posto pari a H = 5σ. Nelle pagine seguenti riportiamo la tabella con i conti per il calcolo dei valori C + i e C i per i dati simulati e la rappresentazione grafica di tali valori. Abbiamo posto µ 0 = 10 e K = 0.5. Come si vede segnala un punto di fuori controllo per il 23-esimo campione. Dal grafico si può osservare come l inizio del tratto ascendente che porta alla situazione di fuori controllo abbia avuto inizio con il 20-esimo campione. 19
x i x i (µ 0 + K) C + i (µ 0 K) x i C i 1 9.84 0.66 0.00 0.34 0.00 2 11.08 0.58 0.58 1.58 0.00 3 8.61 1.89 0.00 0.89 0.89 4 9.57 0.93 0.00 0.07 0.83 5 9.20 1.30 0.00 0.30 1.13 6 10.71 0.21 0.21 1.21 0.00 7 10.40 0.10 0.11 0.90 0.00 8 11.82 1.32 1.43 2.32 0.00 9 9.92 0.58 0.85 0.42 0.00 10 12.17 1.67 2.53 2.67 0.00 11 10.03 0.47 2.05 0.53 0.00 12 9.39 1.11 0.95 0.11 0.11 13 9.32 1.18 0.00 0.18 0.28 14 9.92 0.58 0.00 0.42 0.00 15 10.42 0.08 0.00 0.92 0.00 16 10.90 0.40 0.40 1.40 0.00 17 8.41 2.09 0.00 1.09 1.09 18 9.57 0.93 0.00 0.07 1.02 19 10.86 0.36 0.36 1.36 0.00 20 9.10 1.40 0.00 0.40 0.40 21 12.68 2.18 2.18 3.18 0.00 22 11.65 1.15 3.33 2.15 0.00 23 13.64 3.14 6.47 4.14 0.00 24 12.97 2.47 8.94 3.47 0.00 25 11.37 0.87 9.81 1.87 0.00 26 10.78 0.28 10.09 1.28 0.00 27 11.85 1.35 11.44 2.35 0.00 28 9.94 0.56 10.87 0.44 0.00 29 12.12 1.62 12.50 2.62 0.00 30 13.25 2.75 15.24 3.75 0.00 20
CUSUM Chart Cumulative Sum 5 0 5 10 15 0 5 10 15 20 25 30 Index 21
Lunghezza media delle sequenze Il calcolo dell ARL per le carte CUSUM presenta notevoli difficoltà. Nella seguente tabella si riportano i valori dell ARL per quando K = µ 1 µ 0 2 = δσ 2, avendo posto µ 1 = µ 0 + δσ, per diversi valori di δ e per valori di H = hσ con h = 4 e h = 5. δ h = 4 h = 5 0 168 465 0.25 74.2 139 0.50 26.6 38.0 0.75 13.3 17.0 1.00 8.38 10.4 1.50 4.75 5.75 2.00 3.34 4.01 2.50 2.62 3.11 3.00 2.19 2.57 4.00 1.71 2.01 La prima riga rappresenta il tempo medio per un falso allarme ARL 0. Si osservi che si ha ARL 0 = 370 per h = 4.77. Il tempo medio per la segnalazione di un F.C. quando si è verificato uno scostamento pari 1σ è 10.4, mentre per la carta Shewart per misure singole è 43.96. 22
Carte di controllo CUSUM standardizzate A volte è preferibile standardizzare i valori delle osservazioni prima di procedere al calcolo di valori della carta CUSUM. I valori standardizzati sono I valori delle statistiche sono C + i C i z i = x i µ 0 σ = max ( 0, z i k + C + i 1 = max ( 0, k z i + C i 1 Con le carte CUSUM standardizzate i valori di H e K non dipendono più da σ e risultano quindi confrontabili. ) ) Carte di controllo CUSUM per le medie Quando si hanno n osservazioni in ogni gruppo i valori delle statistiche nelle carte CUSUM si calcolano sostituendo a x i la media del gruppo x i e a σ lo s.q.m. della media del gruppo σ/ n 23
Carte di controllo CUSUM a risposta iniziale accelerata Questo tipo di carte sono molto utili nelle applicazioni quando un processo pensato sotto controllo parte con una situazione di fuori controllo. La procedura consiste nel porre un valore iniziale fittizio di C + 0 e di C 0 uguale in genere ad H/2. In questo modo se il processo è sotto controllo il valore penalizzante delle statistiche viene riportato a valori nulli in pochi istanti. Se invece il processo è fuori controllo la segnalazione avviene in tempi molto più rapidi rispetto alle carte CUSUM tradizionali. 24