Modelli di PL: allocazione ottima di risorse Un esempio Modelli a risorse condivise Modelli a risorse alternative Modelli multi-periodo
Allocazione ottima di robot Un azienda automobilistica produce tre diversi modelli di autovettura: economico (E), normale (N), lusso (L) ogni autovettura viene lavorata da tre robot: A, B disponibili 8 ore al giorno e C disponibile 5 ore al giorno durate della lavorazione (min) di ciascun robot su ciascuna vettura: economica normale lusso A 20 30 62 B 31 42 51 C 16 81 10 il numero di autovetture L non deve superare il 20% del totale, mentre il numero di E deve essere almeno il 40% tutte le vetture vengono vendute e il profitto netto ammonta rispettivamente a 1000, 1500, 2200 Euro per ciascuna autovettura di tipo E,N e L Formulare il problema di PL che permetta di elaborare un piano di produzione che massimizzi il profitto
Formulazione variabili decisionali: x E, x N, x L numero di autovetture del modello risp E, N, L da produrre in un giorno funzione obiettivo: profitto dalle vendite vincolo sulla capacità produttiva vincoli sulle percentuali di vetture vincoli di non negatività max 1000x E + 1500x N + 2200x L 20x E + 30x N + 62x L 480 31x E + 42x N + 51x L 480 16x 1 + 81x N + 10x L 300 x L 02(x E + x N + x L) x E 04(x E + x N + x L) x E 0, x N 0, x L 0
Modello di PL max 1000x E + 1500x N + 2200x L subject to 20x E + 30x N + 62x L 480 31x E + 42x N + 51x L 480 16x 1 + 81x N + 10x L 300 x L 02(x E + x N + x L ) x E 04(x E + x N + x L ) x E, x N, x L 0 Osservazione Le variabili sono continue ma rappresentano quantità indivisibili (numero di autovetture) Dovremmo imporre che x E, x L, x N fossero intere, perdendo la linearità del problema
Variante Una riorganizzazione del processo produttivo permette ora di produrre un autovettura (di qualsiasi tipo) utilizzando un solo robot le nuove durate delle operazioni sono (adesso i valori di una colonna sono in alternativa!): economica normale lusso A 80 50 102 B 41 95 71 C 36 109 40 nuove variabili decisionali: x ij, i = A, B, C; j = E, N, L numero di autovetture del modello j costruite dal robot i
Formulazione funzione obiettivo max 1000(x AE+x BE+x CE)+1500(x AN +x BN +x CN )+2200(x AL+x BL+x CL) vincolo sulla capacità produttiva 80x AE + 50x AN + 102x AL 480 41x BE + 95x BN + 71x BL 480 36x CL + 109x CN + 40x CL 300 vincoli sulle percentuali di vetture x AL + x BL + x CL 02 vincoli di non negatività x AE + x BE + x CE 04 i=a,b,c j=e,l,n i=a,b,c j=e,l,n x ij x ij x ij 0, i = A, B, C; j = E, N, L
Modello di PL max 1000(x AE + x BE + x CE ) + 1500(x AN + x BN + x CN )+ +2200(x AL + x BL + x CL ) subject to 80x AE + 50x AN + 102x AL 480 41x BE + 95x BN + 71x BL 480 36x CL + 109x CN + 40x CL 300 x AL + x BL + x CL 02 x AE + x BE + x CE 04 i=a,b,c j=e,l,n i=a,b,c j=e,l,n x ij 0, i = A, B, C; j = E, N, L x ij x ij
In generale m risorse R 1,, R m n prodotti P 1,, P n la produzione di una unità di P j richiede una quantità a ij di risorsa i P 1 P j P n R 1 a 11 a 1j a 1n R i a i1 a ij a in R m a m1 a mj a mn le risorse sono limitate: si dispone di b i unità della risorsa R i i = 1,, m profitto dalla vendita p j di una unità di P j, j = 1,, n (equivalentemente, un ricavo se p j è il prezzo)
Caso 1: risorse condivise variabili decisionali: x 1,, x n quantità da produrre di ciascun prodotto funzione obiettivo: profitto (proporzionalità, additività) z = p 1 x 1 + + p n x n vincoli sulla capacità produttiva a 11 x 1 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n b 2 a m1 x 1 + + a mn x n b m vincoli di non negatività x j 0, j = i,, n
Caso 2: risorse alternative variabili decisionali: x ij quantità di prodotto j da produrre con la risorsa i funzione obiettivo: profitto (proporzionalità, additività) z = p 1 m i=1 x i1 + p 2 m i=1 vincoli sulla capacità produttiva x i2 + + p n n i=1 x in = n m p j x ij j=1 i=1 a 11 x 11 + + a 1n x 1n b 1 a 21 x 21 + + a 2n x 2n b 2 a m1 x m1 + + a mn x mn b m vincoli di non negatività x ij 0, i = 1,, m; j = i,, n
Modelli multi-periodo Un industria manifatturiera fabbrica due tipi di prodotti P 1 e P 2 ogni prodotto finito richiede 4 Kg di materiale grezzo e l utilizzo di due macchine: una per la levigatura e una per la pulitura la disponibilità massima settimanale della levigatrice è 80 ore mentre quella della pulitrice è 60 ore il numero di ore di lavorazione necessarie su ciascuna macchina per ciascun prodotto finito è il seguente P 1 P 2 levigatura 4 2 pulitura 2 5
Modelli multi-periodo si deve programmare la produzione nelle due successive settimane nella prima si potranno vendere al più 12 prodotti P 1 e 4 prodotti P 2, mentre nella seconda al più 8 prodotti P 1 e 12 prodotti P 2 i prodotti fabbricati nella settimana 1 possono anche essere tenuti in magazzino e venduti nella settimana 2, al costo unitario di 2 Euro (indipendente dal tipo) l industria dispone settimanalmente di 75 Kg di materiale grezzo il profitto netto ottenuto dalla vendita di una unità di prodotto P 1 e P 2 è rispettivamente di 10 e 15 Euro Costruire un modello lineare che permetta di massimizzare il profitto complessivo ottenuto dalla vendita dei prodotti nelle due settimane
Formulazione variabili decisionali: x ij quantità di prodotto P i, i = 1, 2 fabbricato nella settimana j, j = 1, 2; y 1, y 2 quantità di prodotto risp P 1 e P 2 immagazzinato qtitàdi prodotto fabbricato x 11, x 21 qtitàdi prodotto fabbricato x 12, x 22 sett 1 magazzino y 1, y 2 sett 2 qtitàdi prodotto venduto qtitàdi prodotto venduto funzione obiettivo: ricavo prima settimana: 10(x 11 y 1 ) + 15(x 21 y 2 ) ricavo seconda settimana: 10(x 12 + y 1 ) + 15(x 22 + y 2 ) costo magazzino: 2(y 1 + y 2 )
Formulazione vincoli sulla capacità produttiva 4x 11 + 2x 21 80 2x 11 + 5x 21 60 4x 12 + 2x 22 80 2x 12 + 5x 22 60 vincoli sulla disponibilità di materia prima 4x 11 + 4x 21 75 4x 12 + 4x 22 75
Formulazione vincoli sulla domanda x 11 y 1 12 x 21 y 2 4 x 12 + y 1 8 x 22 + y 2 12 vincoli di non negatività x ij 0, i = 1, 2; j = 1, 2 y 1 0, y 2 0