PP ', stessa direzione e stesso verso.

1 ISOMETRIE Trasformazione geometrica: corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa un altro punto P' dello stesso piano. Se il punto trafformato P' (immagine del punto P) coincide con il punto P si dice tale punto unito. Identità: trasformazione che ad ogni punto associa se stesso, ovvero una trasformazione per la quale tutti i punti sono uniti. Le trasformazioni possono essere applicate a singoli punti o a intere figure. Se una data figura F coincide con la sua trasformata F' essa si dice figura unita ed è formata solo da punti uniti. Invarianti: proprietà delle figure geometriche che non cambiano nelle trasformazioni. Isometrie o congruenze: le trasformazioni che hanno come invariante la distanza fra punti, per cui se un segmento misura AB ed il segmento trasformato misura A' B' allora segue l'uguaglianza AB = A' B'. Esempi di isometrie sono le traslazioni, le simmetrie e le rotazioni. Composizione di trasformazioni: date le due trasformazioni t1 e t, la prima applicata alla figua F determina la figura F' e la seconda applicata alla figura F' determina la figura F'' si definisce composizione di t1 e t t t 1 che applicata alla figua F associa la figura F''. la trasformazione Le isometrie hanno le proprietà di trasformare: a. rette incidenti in rette incidenti; b. rette parallele in rette parallele; c. angoli in angoli congruenti. 1.1 TRASLAZIONE Traslazione di vettore v (Fig.1) : trasformazione che ad agni punto P associa un altro punto P' tale che il vettore PP' è equipollente a v. In simboli PP' v. Vettore: classe di segmenti orientati equipollenti ovvero l'insieme di segmenti PP' aventi lo stesso modulo o lunghezza PP ', stessa direzione e stesso verso. La proprietà di equipollenza (Fig.) fra vettori si dice che è una relazione di equivalenza perchè gode delle seguenti proprietà: Riflessiva: ogni vettore è equipollente a se stesso; Simmetrica: se un vettore v1 è equipollente ad un secondo vettore v, allora il secondo vettore è equipollente al primo. In simboli v1 v v v1. 1

Transitiva: se un vettore v1 è equipollente ad un secondo vettore v e questo è a sua volta equipollente ad un terzo vettore v3 allora anche il primo vettore è equipollente al terzo. In simboli v 1 v v v3 v1 v3. La figura seguente si riferisce alla compoizione di due traslazioni applicate ad una figura geometrica rappresentata da un triangolo di vertici ABC. Il vettore somma v di due dati vettori v1 e v, relativamente ad un dato punto P a cui viene applicato, viene costruito geometricamente con la regola del parallelogramma: si "trasportano i due vettori, ad esempio i vettori AB v1 e CD v nello stesso punto di applicazione P come nella figura seguente. Quindi dai loro estremi terminali si tracciano due rette, rispettivamente a parallela a v1 e b parallela a v. Essi si incontrano in uno stesso punto Q che definisce il vettore somma v = v1 + v = PQ. L'opposto di un vettore v è il vettore v tale che la somma dei due vale il vettore nullo nullo: v + ( v) = 0. Il vettore nullo non sposta nessun punto e, quindi, è associato alla trasformazione identità.

Se un dato vettore v è associato ad una traslazione t il vettore opposto v v è invece associato alla traslazione inversa t 1 v : la loro composizione è l'identità. La differenza fra due vettori v = v 1 v è definita come la somma fra il primo vettore e l'opposto del secondo v = v 1 + ( v ). La traslazione (Figura in basso) è una isometria diretta e ha come invarianti: - le distanze fra punti e la congruenza fra segmenti; - l'allineamento fra punti e l'orientamento delle figure (isometria diretta) - gli angoli ed il parallelismo fra le rette; - incidenza fra rette. 3

1. ROTAZIONE Rotazione di centro O e angolo orientato α : trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P il punto P' tale che: - l'angolo POP ' è congruente ad α ed ha lo stesso orientamento; - OP OP' La rotazione di angolo nullo ( α = 0 ) oppure di un angolo multiplo di un angolo giro ( α = n 360 0, n = 0, 1,, 3,... ) è l'identità che associa ogni punto a se stesso: in simboli scriviamo r( ) : P P O ; n 360. In ogni altra rotazione di angolo non nullo ( α 0 ) l'unico punto unito è il centro O della rotazione ma esistono alcune figure che sono unite, cioè che vengono trasformate in se stesse: Il cerchio di centro O (figura seguente) viene trasformato in se stesso a seguito di una rotazione di centro O ed angolo qualsiasi. Il quadrato (figura seguente) si trasforma in se stesso a seguito di una rotazione di centro O, coincidente con punto di incontro delle diagonali, ed angolo multiplo di un angolo retto ( α = n 90 0, n = 0, 1,, 3,... ). La rotazione è una isometria diretta ha per invarianti: - distanze e congruenze - l'orientamento fra punti ed il loro allineamento; - - angoli ed il parallelismo fra rette. 4

Composizione di due rotazioni con lo stesso centro O : date due rotazioni con lo stesso centro, rispettivamente la prima r( O;α ) di angolo α e la seconda r( O ;β ) di angolo β, la composizione delle due rotazioni è una nuova rotazione dello stesso centro O ed angolo α + β : r ( O ; β ) r ( O ; α ) = r ( O ; α + β ). Composizione di due rotazioni con centri diversi, r( O 1 ;α ) e r( O ;α ) : in genere non è una rotazione e, di conseguenza, l'operazione di composizione non è, in questo caso, una operazione interna all'insieme delle rotazioni. 5

1.3 SIMMETRIA CENTRALE La simmetria centrale ( s o : P P' ) rispetto ad un dato centro O è l'isometria che associa ad ogni punto P il punto P' tale che O è il punto medio del segmento PP': La simmetria centrale, che può anche essere pensata come una rotazione con centro O di una angolo piatto, ha come unico punto unito lo stesso centro O. Figure simmetriche (figura seguente) : sono quelle che hanno un proprio centro di simmetria O tale che il punto simmetrico di un loro qualunque punto P, appartenga ad esse. Esempi di figure notevoli dotate di un centro di simmetria sono: -il segmento rispetto al suo punto medio; -il parallelogramma rispetto al punto di incontro delle diagonali e e, in particolare, rettangolo, quadrato e rombo sono figure simmetriche; - il cerchio rispetto al suo centro. La retta ha invece, in ogni suo punto, un centro di simmetria. 6

La composizione di due simmetrie centrale di centri diversi O1 e O equivale ad una traslazione di vettore v = O1O pari al doppio del vettore congiungente i due centri O 1O. La dimostrazione si basa su di un teorema, derivato dal teorema di Talete, che afferma che il segmento congiungente i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed è congruente alla sua metà: pertanto, dalla figura sopra, il segmento O1O congiunge i punti medi dei lati AA1 e AA del triangolo AA 1 A e, quindi, è parallelo al terzo lato AA3 ed è cogruente alla sua metà. Questo è come dire che il vettore v = AA3 vale il doppio del vettore OO 1. La simmetria centrale è una isometria diretta perchè mantiene l'orientamento dei punti delle figure, come si nota dalle figure precedenti. La simmetria centrale è detta trasformazione involutoria perchè componendola con se stessa equivale ad una identità: infatti, se viene applicata ad una qualunque figura due volte rispetto allo stesso centro, restituisce la figura stessa. 7

1.4 SIMMETRIA ASSIALE La simmetria assiale ( s a : P P' ) rispetto ad una data retta a (detta asse di simmetria) è una isometria che ad ogni punto P a fa corrispondere il punto P' da parte opposta tale che PP' a ed il suo punto medio H a. Inoltre, ad ogni punto dell'asse a corrisponde a se stesso unito: s a : P a P e, pertanto, l'asse di simmetria è l'insieme dei punti uniti nella trasformazione. Nella figura che segue sono rappresentate due coppie di figure simmetriche rispetto ad un asse a dove, in base alla definizione di simmetria assiale data sopra, i punti segnati lungo tale asse rappresentano i punti medi dei segmenti che congiungono tra punti simmetrici. Ad esempio L è punto medio di CC '. La simmetria assiale, come si vede dalla figura a destra, inverte l'orientamento delle figure e per questo è detta trasformazione indiretta. La simmetria assiale è una trasformazione involutoria poichè, quando viene applicata due volte allo stesso punto, il trasformato coincide con il punto stesso. Asse di simmetria di una figura è una retta, che esiste in alcune figure, dette figure simmetriche, per il quale la figura è unita nella simmetria assiale. Le figure seguenti si riferiscono alle simmetrie più comuni. 8

La retta e la circonferenza hanno entrambe infiniti assi di simmetria: la prima ammette come asse qualunque retta perpendicolare ad essa e la seconda tutte le rette a passanti per il centro: 9

Composizione di due simmetrie assiali. Si dimostra, in generale, che ogni isometria equivale alla composizione di due simmetrie assiai. Esaminiamo due notevoli composizionei di simmetrie assiali illustrate sotto. Le simmetrie assiali con due assi paralleli (figura sinistra) equivalgno ad una traslazione di un vettore avente lunghezza pari al doppio della distanza fra il primo asse ed il secondo. Le simmetrie assiali con due assi perpendicolari (figura destra) equivalgono 0 ad una rotazione di angolo di 180 con centro O nel loro punto di incontro. La composizione di due simmetrie assiali con assi incidenti in un punto O formanti un angolo di ampiezza ω equivale ad un rotazione di centro O e di ampiezza pari al doppio: 10

1.4 ISOMETRIA DELLE TRASFORMAZIONI Di seguito sono riportate le dimostrazioni della proprietà di isometria relativa alle quattro trasformazioni trattate nei precedenti paragrafi. 11

TEOREMA DI TALETE Teorema: dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, il rapporto fra due segmenti AB e CD individuati su una trasversale è uguale al rapporto fra i loro corrispondenti A'B' e C'D' individuati sull'altra trasversale. Il teorema di Talete si dimostra suddividendo i segmenti AB e CD rispettivamente in m ed in n segmenti di misura pari ad u (di valore razionale o irrazionale); su una trasversale r ; per il piccolo teorema di Talete, sull'altra trasversale rimangono individuati altrettanti corrispondenti segmenti, congruenti fra loro, di misura v e i rapporti fra i segmenti AB/CD sono uguali a A'B'/C'D'. Teorema inverso del teorema di Talete: se un insieme di rette determina su due trasversale classi di segmenti proporzionali allora le rette sono parallele. Fissiamo sulla prima trasversale il segmento AB e mandiamo dai suoi estremi due rette parallele a e b che incontrano sull'altra trasaversale r nei punti A'B'. Consideriamo ora i punti C e C' per i quali valga la proporzione AB: BC=A'B':B'C'. Quindi dal punto C tracciamo la retta c', parallela alle rette a e b, che interseca la trsversale s in C''. Essendo le rette a,b, c' parallele fra loro deve valere il teorema di Talete per cui vale la proporzione AB: BC=A'B':B'C''. Dunque, dovendo entrambe le proporzioni essere valide, necessariamente si ha: B'C' B'C''. In questo modo, il punto C' coincide con il punto C'' e, di conseguenza, CC' coincide con CC'' ed è parallea alle altre, per cui è dimostrata la tesi. 1

. 1 Conseguenze del teorema di Talete sui triangoli Teorema della parallela: una retta parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati o i loro prolungamenti in parti proporzionali. Dimostrazione: tracciando la retta s parallela al lato AB possiamo applicare il teorema di Talete (figura sinistra) al fascio di rette AB, r ed s tagliate dalle due trasversali BC e AC. Nei prolungamenti dei lati AC e BC (figura destra) le rette r e t parallele ad AB li intersecano nei puni D ed E dalla parte opposta di AB e nei punti F e G dalla stessa parte di AB: applicando anche in questo caso il teorema di Talete al fascio di rette r, s, t e AB, tagliate dalle trasversali AC e BC si hanno le relazioni di proporzionalità sotto scritte. Teorema inverso della parallela: se un retta divide due lati di un triangolo in parti proporzionali allora essa è parallela al terzo lato. Il teorema si dimostra direttamente con il teorema inverso di Talete. Ulteriori relazioni(figura seguente): se dal punto E e dal vertice B mandiamo le rette parallelele ad AC, rispettivamente r ed s poi applichiamo il teorema di Talete al fascio di rette r, s, AC tagliate dalle trasversali sovrapposte ai lati AB e BC si ottengono le relazioni di proporzionalità: AB:DE=BE:BC=AD:CD. 13

Teorema dei punti medi: il segmento che ha per estremi i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato ed è congruente alla sua metà. Teorema del baricentro: le tre mediane di un triangolo passano per uno stesso punto che divide ciascuna di esse in due parti di cui contenente il vertice è doppia dell'altra. Si considerino le due mediane AN e BM che si incontrano nel punto G. Per il teorema dei punti medi si ha: 1 MN AB e MN = AB. Detti P e Q i punti medi delle mediane AN e BM, relativamente al triangolo ABG si ha, per lo stesso teorema, 1 PQ AB e PQ = AB. Pertanto, per la proprietà transitiva, si ha anche MN AM e MN PQ. Il quadrilatero PQNM avendo due lati opposti paralleli e congruenti è un quadrilatero e, quindi, dovendo le sue diagonali intersecarsi nel loro punto medio G valgono le relazioni: PG GN e GQ GM. Essendo però P e Q i punti medi dei lati del triangolo ABG, valgono le relazioni AG = PG e BG = GQ. Ne consegue: AG = GN e BG = GN. Ripetendo il ragionamento per le mediane CL e AN si ottiene pure AG GN e CG GL. Pertanto è così dimostato che le tre mediane si incontrano nello stesso punto che le divide in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell'altra. 14

Teorema della bisettrice: la retta bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in due parti direttamente proporzionali agli altri due lati. 15

3 OMOTETIA Omotetia di centro O e rapporto k 0, è la trasformazione che ad ogni punto P associa un punto P' tale che OP' = k OP. OP' Il numero reale k può considerarsi come un rapporto fra vettori: k = OP Se k > 0 si ha l'omotetia diretta con i due punti P e P'dalla stessa parte rispetto al centro O, se invece k < 0 si ha l'omotetia inversa con i due punti da parti opposte rispetto a tale centro. Applicando una omotetia ad una qualunque figura si ha, a seconda dei valori: Identità ( OP' OP ) OP' = se = 1 Riduzione ( OP' OP) k ; simmetria centrale ( OP' OP ) OP < per 0 < 1 = se k = 1; < k, un ingrandimento ( OP' OP) OP > se k > 1. 16

La composizione di due omotetie, rispettivamente di centro O1 e fattore k1 applicata al segmento AB e di centro O con fattore k applicata al segmento A'B', è una omotetia che applicata al segmento AB determina il segmento A'' B'' = k1k AB ed il cui centro O si determina geometricamente prolungando i segmenti che AA'' e BB'', come mostrato nella figura seguente: Con lo stesso procedimento si determina il centro O della composizione di due omotetie, di cui la prima applicata ad una figura e la seconda applicata alla figura trasformata (come, ad esempio, il quadrato della figura successiva) ed il fattore associato è sempre dato dal prodotto dei numeri: k = k 1 k. 17

Proprietà delle omotetie. Invarianti: - l'allineamento dei punti; -l'incidenza fra le rette ed il parallelismo. Per la dimostarzione è sufficiente considerare le omotetie dello stesso centro applicate a due segmenti paralleli secondo rapporti diversi: i segmenti trasformati sono paralleli ai primi per il teorema di Talete ed essendo per ipotesi anche paralleli tra loro, essi sono tutti paralleli, come mostrato in figura. -l'ampiezza degli angoli; -l'orientamento delle figure. Come mostrato nella figura seguente: i vertici dei triangoli omotetici ABC, A'B'C' e A''B''C'' si succedono sempre nello stesso ordine. L'unico punto unito (si trasforma in sè stesso) è il suo centro O. Qualunque retta passante per il centro O di una omotetia è unita. Lomotetia non è una trasformazione involutoria poichè, se viene applicata consecutivamente a partire da un dato punto, non associa mai lo stesso. 18

Rapporti fra le misure di segmenti omotetici. Ricordiamo che il numero di omotetia k rappresenta il rapporto fra due vettori associati agli estremi dei segmenti AB e A'B': A' B' = K AB. Essendo le lunghezze dei vettori niente altro che le misure dei segmenti associati ad essi, Il numero k senza segno, è invece associato al rapporto fra le misure dei segmenti stessi: A' B' = K AB. Triangoli omotetici. Il rapporto fra i perimetri di due triangoli omotetici nel fattore k vale k. Infatti il perimetro di un qualunque triangolo ABC è dato dalla somma delle misure dei suoi lati: p = AB + BC + AC ; d'altra parte il perimetro di un triangolo A'B'C' omotetico di ABC secondo il fattore k è analogo al precedente: ( AB + BC AC ) p ' = A' B' + B' C' + A' C' = k AB + k BC + k AC = k + ; Sostituendo p = AB + BC + AC, si può scrivere p' = k p oppure p ' : p = k. Il rapporto fra le aree di due triangoli omotetici nel fattore k vale k. Per dimostrarlo consideriamo due triangoli associati da una omotetia di centro O 1 ω ( O ; k) : ABC A' B' C'. L'area del triangolo ABC è data da: S = AB CH dove CH rappresenta la misura dell'altezza CH rispetto al lato AB. La misura della base A'B' è A' B' = K AB mentre la misura dell'altezza relativa al lato A'B'' è invece C' H' = k CH. Pertanto, l'area del triangolo omotetico A'B'C' vale 1 1 1 S' = A' B' C' H' = k AB k CH = k AB CH. Come dire S ' : S = k. 19