Dario D Amore Corso di Elettrotecnica (AA 08 09)
Si dice campo scalare uno scalare funzione del punto, per es. la temperatura in una stanza, la densità della materia in una regione dello spazio Un campo vettoriale è un vettore funzione del punto, per es. la velocità dell acqua in una regione di mare rispetto a un punto fisso sul fondo, il valore della forza agente su di una particella di ferro nei pressi di una calamita fissa 2
Come per tutti i vettori, il vettore che rappresenta un campo vettoriale in un punto può essere scomposto nelle sue componenti rispetto ad un sistema di coordinate. In funzione del tipo di problema affrontato sarà conveniente usare coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche. Esistono operatori che permettono di ottenere campi vettoriali da campi scalari e vice versa. 3
Rappresentazione di un campo scalare, per es. quota in ogni punto di una regione montagnosa: La funzione: h = h(x, y) descrive la quota in ogni punto della regione. In questa figura i diversi colori sono proporzionali al valore della quota. 4
campo vettoriale, per es. il vettore che indica la pendenza in ogni punto di una regione montagnosa DalDal campo scalare quota : h = h(x, y) con l operatore gradiente ottengo il campo vettoriale pendenza : P = h(x, y) x i + h(x, y) y j 5
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Nasce una forza di attrazione o repulsione: La forza elettrica 7
I fenomeni elettrici trovano origine nella struttura della materia neutralità Nel SI la carica elettrica si misura in coulomb [C] La carica elettrica è quantizzata: multiplo della carica elementare di un elettrone: e =1, 60206 10 19 C 8
F = 1 4πɛ 0 qq 0 r 2 u ɛ 0 =8, 88542 10 12 C2 Nm 2 ε 0 : Permettività del vuoto 9
La misura della carica elettrica può essere effettuata con l elettroscopio a lamelle 10
Campo Elettrostatico creato da una carica isolata q 0 posta in P F = 1 q 1 q 0 4πɛ 0 r 2 u E = F q 0 [ N C ] Campo Elettrostatico creato da una coppia di cariche (sovrapposizione) F = F 1 + F 2 = 1 q 1 q 0 4πɛ 0 r1 2 u 1 + 1 q 2 q 0 4πɛ 0 r2 2 u 2 E = F q 0 11
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Tangente e concorde in ogni punto con il campo elettrostatico in quel punto Non si incrociano mai (il campo è definito univocamente) Hanno origine nelle cariche positive e terminano nelle cariche negative Linee di forza del campo elettrostatico creato da una carica isolata a) Carica positiva b) Carica negativa 13
Linee di forza del campo elettrostatico creato da una coppia di cariche di ugual valore Q A) di segno opposto B) di segno uguale 14
Se la forza che agisce su una carica è di natura diversa da quella elettrostatica (ad esempio è dovuta a processi chimici o ad azioni meccaniche) possiamo comunque definire un campo Elettromotore E = F q 0 F = q 0 E Una forza che causa uno spostamento della carica di Δ s compie un lavoro ΔW W = F s = q 0 E s s 15
Il lavoro compiuto lungo una linea orientata C 1 si ottiene sommando i singoli contributi ΔW i Operando un passaggio al limite la sommatoria diventa un integrale di linea (b) 16
Il lavoro compiuto dalle forze del campo elettromotore per spostare una carica unitaria lungo la linea C1 orientata da A a B si chiama Tensione elettrica tra A e B lungo C1: V (A B lungo C 1 )=V C1 = C 1 E ds V C1 La tensione ha orientamento opposto a quello della linea C1 La tensione si misura in volt [V], il campo elettrico si misura in [V/m] piuttosto che in [N/C] 17
W = F ds = F ds + F ds = C 1 C2 F ds F ds = W 1 W 2 C 1 C2 W = C F ds = q 0 C E ds = q 0 fem fem = C E ds 18
Quando il lavoro compiuto dalle forze del campo in un percorso chiuso è nullo, allora il campo di forze di dice Conservativo Il campo elettrostatico è un campo conservativo. fem = E ds =0 C Il lavoro compiuto dalle forze del campo su una carica dipende soltanto dai punti estremi del percorso e non dalla particolare linea Anche la tensione dipende soltanto dai punti estremi e non dalla particolare linea 19
In un campo elettrostatico la tensione diventa indipendente dalla linea considerata W 1= C 1 F ds = C2 F ds = W 2 V C2 = V C2 = V AB V AB 20
Flusso attraverso un elemento di superficie dφ(e) =E u s dσ = EcosθdΣ = E s dσ Flusso attraverso una superficie φ(e) = Σ E u s dσ Flusso attraverso una superficie chiusa φ(e) = Σ E u s dσ 21
φ(e) = Σ E u s dσ = q tot ɛ 0 Legge di Gauss nel caso di cariche discrete Legge di Gauss nel caso di una distribuzione di carica 22
Nel caso particolare di una carica puntiforme possiamo verificare la Legge di Gauss φ(e) = Σ E u s dσ = q 4πɛ 0 r 2 u r u s dσ = q 4πɛ 0 r 2 dσ = q 0 ɛ 0 23
Possiamo applicare la legge di Gauss per calcolare il campo elettrico prodotto da un piano indefinito uniformemente carico (σ: densità di carica superficiale [C/m 2 ]) φ(e) =EΣ + EΣ =2 EΣ = q ɛ 0 = σσ ɛ 0 E = σ 2ɛ 0 24
Il campo elettrico all interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico è nullo La tensione tra due punti qualsiasi di un conduttore è sempre nulla V C1 = V C2 = E ds =0 C 1 E ds =0 C 2 25
Il campo elettrostatico creato da un conduttore carico ha le linee di forza sempre perpendicolari alla superficie Il campo elettrostatico creato da un conduttore carico si può calcolare con la legge di Gauss dφ(e) =E u n dσ = EdΣ φ(e) =EΣ = q ɛ 0 = σσ ɛ 0 E = σ ɛ 0 u n 26
Campo elettrico creato da un conduttore sferico carico con densità di carica superficiale σ: E = σ ɛ 0 u n = q 4πɛ 0 R 2 u n 27
Il campo creato dalla bachelite agisce sulle cariche libere presenti nel conduttore, spostandole. Queste si disporranno in modo da rendere nullo il campo all interno. 28
Il campo elettrostatico creato da una coppia di lastre piane indefinite cariche con densità di carica superficiale ±σ è nullo nello spazio non compreso tra le due lastre Nello spazio tra le lastre il campo ha valore doppio di quello calcolato per una singola lastra E = σ ɛ 0 29
Dati due conduttori con carica rispettivamente +q e q, si dice capacità il rapporto tra la carica depositata sul conduttore e la tensione V che si stabilisce tra di essi. Il verso della tensione è da intendersi come in figura. C = q V La capacità nel SI si misura in Farad (F) 1 Farad = 1Coulomb/1Volt 30
Le armature distano h ed hanno superficie Σ. La carica presente sulle armature è ±q. Il campo elettrostatico tra le armature vale E = σ ɛ 0 = La tensione V tra le armature vale q Σɛ 0 V h V = E ds = Eh = qh 0 Σɛ 0 La capacità del condensatore è: C = q V = ɛ 0Σ h x 31
La precendente derivazione è approssimata (effetti di bordo del campo elettrostatico)
Il lavoro compiuto da un agente esterno (ad es. una pila di volta) per sottrarre la carica dq da un armatura e depositarla sull altra è Quando la carica totale spostata vale q, il lavoro complessivo è W = q 0 dw = V dq = q C dq q C dq = q2 2C = CV 2 2 = E Questa quantità dipende solo dallo stato finale e non dal particolare processo di carica Questa funzione si chiama energia del campo elettrostatico 33
Due cariche puntiformi +q e q poste a distanza a formano un dipolo elettrico Si definisce momento del dipolo elettrico il vettore p = qa Con p orientato dalla carica negativa a quella positiva 34
Il dipolo di momento p è posto in una regione su cui agisce un campo elettrico esterno E F 1 = qe F 2 =+qe Nasce un momento meccanico che tende a far ruotare l asse del dipolo M = r 2 F 2 + r 1 F 1 =(r 2 r 1 ) F 2 = qa E = p E M = p E = pesin(θ) Il momento di dipolo fa ruotare il dipolo in modo da avere p ed E paralleli 35
Inseriamo una lastra conduttrice di spessore s tra due lastre parallele distanti h con densità di carica σ o Per induzione completa, la lastra rende nullo il campo al suo interno mentre non altera quello esterno Se V = E 0 (h s) <E 0 h = V 0 s h V 0 V V 36
Inseriamo una lastra di materiale isolante di spessore s tra due lastre parallele distanti h con densità di carica σ o La tensione diminuisce al crescere di s ma non tende a zero Se s h V V k κ = V 0 V k > 1 Costante dielettrica relativa V V k 37
La diminuzione del campo elettrico si giustifica con la comparsa sulle facce estreme del dielettrico di una carica di polarizzazione di densità ±σ p E k = σ 0 ɛ 0 σ p ɛ 0 38
La capacità di un condensatore piano con un dielettrico tra le armature cambia C κ = q 0 V k = κq 0 V 0 = κc 0 Quanto ricavato per il calcolo della capacità continua a valere utilizzando la permettività dielettrica assoluta ɛ = κɛ 0 C = q V = ɛσ d [F ] 39
A livello atomico, l effetto del campo elettrico produce un micro spostamento degli elettroni rispetto al nucleo dell atomo Questo causa un momento di dipolo elettrico p a su ogni singolo atomo. Detto n il numero di atomi per unità di volume si può definire il vettore polarizzazione P = n<p > <p> è il momento di dipolo atomico medio Dato che ogni momento di bipolo p è parallelo ad E, anche P è parallelo ad E Il vettore polarizzazione si misura in C/m 2 40
Consideriamo il dielettrico uniformemente polarizzato tra le armature di un condensatore piano Il momento di dipolo relativo ad un volumetto infinitesimo è: dp = PdΣ 0 dh =(dq)dh Possiamo sostituire il prisma con un dipolo elettrico ±dq = ±PdΣ 0 41
Sulle facce interne le cariche si compensano Sulle facce estreme le cariche non si possono compensare a causa della discontinuità del mezzo Estendendo la somma (integrale) a tutti i primsetti che compongo il volume del dielettrico si ricava che il momento di dipolo risultante è p = q p h =(σ p Σ)h = P Σh ±σ p = ±P La densità superficiale delle cariche di polarizzazione è uguale alla componente di P lungo la normale alla superficie Per la maggior parte dei dielettrici risulta (dielettrici lneari): P = ɛ 0 (κ 1)E 42
La presenza delle cariche di polarizzazione la legge di Gauss si scrive così (cariche libere e di polarizzazione): Φ(E) = E u n dσ = q + q p La carica di polarizzazione contenuta nella scatola a base cilindrica in azzurro è negativa e vale: q p = σ p Σ = P Σ ɛ 0 Per la scatola possiamo scrivere allora: P u n dσ = P Σ = σ p Σ = q p Sostituendo nella legge di Gauss si ottiene: Φ(E) = E u n dσ = 1 ) (q P u n dσ ɛ 0 Infatti, P è nullo all interno del conduttore, ed è parallelo ad E tra le armature (ɛ 0 E + P) u n dσ = q
Si definisce vettore induzione dielettrica la quantità: D = ɛ 0 E + P Da cui si ricava la legge di Gauss per l induzione dielettrica: Φ(D) = D u n dσ = q Il flusso dell induzione dielettrica attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche libere contenute all interno della superficie 44
In un dielettrico lineare la polarizzazione è proporzionale al campo elettrico: Risulta quindi: P = ɛ 0 (κ 1)E D = ɛ 0 E + P = ɛ 0 E + ɛ 0 (κ 1)E = ɛ 0 κe = ɛe All interno di un dielettrico: Nel vuoto: D = ɛe D = ɛ 0 E 45