Gruppi di Lie Introduzione alla Geometria Simplettica

Gruppi di Lie Introduzione alla Geometria Simplettica Massimiliano Povero 12 maggio 2006 1 Elementi di Multialgebra Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K e indichiamo con E {e 1,..., e n } una base di tale spazio. Ogni elemento x V è una combinazione lineare degli elementi della base E a coefficienti in K, cioè x j x ie j, x j K. La base E induce un identificazione di V con K n mediante la funzione E : V K n x x E (x 1,..., x n ) t. Il pedice E indica la base rispetto cui gli elementi di V sono scritti. Lo spazio duale V di V è lo spazio Hom(V, K) delle forme K lineari su V. La base naturale di questo spazio è la base duale E (ω 1,..., ω n ) derivante dalla base E di V mediante la relazione ω j (x) x j. Gli elementi della base duale sono cioè applicazioni lineari che associano ad ogni elemento x V la j esima componente x j rispetto alla base E. Si ha ovviamente ω j (e k ) δ jk. La dimensione dello spazio duale risulta la stessa dello spazio di partenza V. Quindi per ogni forma X si ha X j X iω j. Dall identificazione precedente ad ogni X V corrisponde un vettore riga X E (X 1,..., X n ) K n. In questo modo l applicazione di una forma X ad un elemento x di V si riduce al prodotto scalare standard di due vettori, infatti X(x) ( n ) X j ω j x k e k j k1 X j x k δ jk X j x k ω j (e k ) X j x j X E, x E. A questo punto consideriamo lo spazio Bil(V) delle forme K bilineari da V V a K. Per determinarne una base osserviamo che Bil(V) può essere considerato come lo spazio V V. Infatti prese due forme X, Y di V si ha (X Y )(x, y) : X(x)Y (y) K. Allora risulta evidente come scrivere una base: fissata la base E in V e la base E in V si ha Bil(V) span {ω j ω k }. Quindi la dimensione dello spazio è pari a n 2. Per definizione si pone ω jk : ω j ω k. Ogni forma b bilineare viene identificata mediante la base {ω jk } in una matrice B E tale che j1 1

2 ( B E ) jk b jk b(e j, e k ). Per ogni x, y V si ha b(x, y) b jk (ω j ω k )(x, y) b jk x j y k x t E B E y E. ( n ) ( n ) b jk ω j x l e l ω k y m e n Ogni forma bilineare b può essere scritta nella forma b a+ω con a b + bt forma simmetrica e ω b bt 1 forma anti-simmetrica. Lo spazio Bil(V) può esse- 2 2 re cioè decomposto nella somma S 2 (V) 2 (V) dove S2 (V) è lo spazio delle forme bilineari simmetriche e 2 (V) quello delle forme bilineari anti-simmetriche. Estendiamo ora il concetto di forme bilineari introducendo la seguente definizione: DEFINIZIONE 1 (Tensori covarianti di rango p). Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n con base E {e 1,..., e n }. Un tensore covariante di rango p è una funzione K polilineare in p variabili: l1 T : V... V K (x 1,..., x p ) T (x 1,..., x p ). Lo spazio dei tensori covarianti di rango p è uno spazio vettoriale Ten p (V) V p. Come nel caso delle forme bilineari una base naturale è data dagli elementi della forma ω j1...j p : ω j1... ω jp. Ogni elemento T Ten p (V) può essere quindi scritto T t j1...j p ω j1...j p j 1,...,j p 1 dove t j1...j p T (e j1,..., e jp ). La base E induce quindi un identificazione tra lo spazio Ten p (V) dei tensori di ordine p e lo spazio delle matrici generalizzate K n,...,n. Infatti ogni tensore T viene identificato con la sua matrice generalizzata T E [t j1...j p ] ji 1,...,n. Lo spazio dei tensori covarianti di rango p è uno spazio vettoriale di dimensione n p. Infatti ogni indice j p della base {ω j1...j p } può assumere n valori. Se consideriamo lo spazio Ten (V) di tutti i tensori di qualunque rango otteniamo un algebra con l operazione di moltiplicazione data dal prodotto tensoriale. Per ogni T, R Ten V, si definisce il tensore T R come T R j 1,...,j p1 j 1,...,j p,k 1,...,k p 1 t j1...j p ω j1...j p k 1,...,k p1 m1 r k1...k q ω k1...k q t j1...j p r k1...k q ω j1...j pk 1...k q, di rango p + q. Come nel caso delle forme bilineari anche lo spazio dei tensori covarianti può essere decomposto in due sottospazi: lo spazio dei p tensori simmetrici e quello dei p tensori anti-simmetrici. 1 L operazione di trasposizione applicata alla forma b si riferisce alla trasposizione della matrice associata nella base E o equivalentemente si ha b t (x, y) b(y, x), x, y V.

3 Tensori Simmetrici Sia S p (V) Ten p (V) lo spazio dei p tensori simmetrici cioè S p (V) {A Ten p (V) : A(x 1,..., x p ) A(x σ(1),..., x σ(p) )} dove σ S p è una qualunque permutazione di p elementi. DEFINIZIONE 2 (Prodotto tensoriale simmetrico). Siano X 1,..., X p V. Il prodotto tensoriale simmetrico : V p S p (V) è un applicazione definita come X 1... X p : 1 X σ(1)... X σ(p). p! σ S p Fissata una base E in V si ha in S k (V) la base {ω (j1...j p )} : {ω j1... ω jp }. Inoltre lo spazio S (V) di tutti i tensori simmetrici è un algebra con il prodotto tensoriale simmetrico. Per ogni A, B S (V) si ha A B a j1...j p ω j1...j p b k1...k q ω k1...k q j 1,...,j p 1 j 1,...,j p,k 1,...,k p1 k 1,...,k p1 a j1...j p b k1...k q ω (j1...j p k 1...k q ). Tensori Anti-simmetrici Definiamo, come per i tensori simmetrici, lo spazio p (V) dei p tensori antisimmetrici, cioè p (V) {ω Ten p(v) : ω(x 1,..., x p ) ( 1) par(σ) ω(x σ(1),..., x σ(p) )} dove par(σ) 1 se la permutazione è dispari e par(σ) 0 se la permutazione è pari. DEFINIZIONE 3 (Prodotto tensoriale anti-simmetrico). Siano X 1,..., X p V. Il prodotto tensoriale anti-simmetrico : V p p (V) è un applicazione definita come X 1... X p : 1 ( 1) par(σ) X σ(1)... X σ(p). p! σ S p In questo caso la base di p (V) è definita come ω [j 1...j p ] : ω j1... ω jp, j 1 <... < j p. Gli elementi delle base non possono cioè avere due indici uguali quindi la dimensione dello spazio p (V) è pari al numero di sottoinsiemi di p elementi distinti in un insieme di n elementi, cioè dim p (V) ( n p). L algebra (V) in questo caso non è uno spazio infinito dimensionale poichè (V) {0} per ogni p > n. Allora si ha p e dim (V) + (V) p (V) 0 (V) + 1 (V) +... + n (V) n ( n p p0 p0 ) 2 n.

4 2 Geometria Simplettica Lineare DEFINIZIONE 4 (Spazio vettoriale simplettico). Uno spazio vettoriale simplettico è una coppia (V, ω) dove V è uno spazio vettoriale di dimensione finita e ω 2 (V) non degenere cioè ω(x, y) 0 y V x 0. Un immediata conseguenza della definizione è che la dimensione dello spazio V deve essere necessariamente pari. Infatti fissata una base E in V abbiamo che la matrice associata alla forma bilineare ω è una matrice A anti-simmetrica. Si ha quindi det(a) det( t A) ( 1) dim V det(a) e poichè ω è non degenere cioè la matrice A è non singolare si ha dim V 2n con n N. Un primo esempio di spazio vettoriale simplettico è dato da R 2n : sia E {x 1,..., x 2n } una base di tale spazio e E {dx 1,..., dx 2n } la base del duale che sappiamo può essere identificato con R 2n2. Una generica forma ω 2 (R2n ) non degenere può essere scritta nella forma ω 2 b jk dx j dx k, con [b jk ] matrice non degenere. Tramite la definizione di prodotto tensoriale anti-simmetrico definiamo da cui in questa nuova base dx j dx k 1 2 (dx j dy k dx k dy j ) ω 2 ω jk dx j dx k con [ω jk ] parte anti-simmetrica di [b jk ]. Se la matrice [ω jk ] ha la forma [ ] 0 In [ω jk ] J I n 0 allora si parla di forma simplettica standar e la si indica con ω 0. In questo caso l espressione esplicita di tale forma è ω 0 dx j dx j+n. j1 Usualmente nel caso di (R 2n, ω 0 ) come spazio simplettico si usa indicare le x j+n con y j in modo da scrivere la forma simplettica standard nel seguente modo ω 0 dx j dy j. j1 2 Più precisamente gli elementi di R 2n sono vettori colonna mentre gli elementi del duale possono essere identificati con vettori riga quindi sempre con lo spazio R 2n.

5 É immediato quindi che per ogni coppia di vettori x, y R 2n si ha ω 0 (x, y) t xjy. La coppia (R 2n, ω 0 ) è uno spazio simplettico; come vedremo più avanti ogni spazio simplettico è localmente isomorfo a tale spazio che per questo assume un importanza notevole. Consideriamo a questo punto l n esima potenza esterna della forma ω 0, si ricava facilmente che ω n 0 ω 0... ω 0 n!dx 1 dy 1... dx n dy n, cioè si ha che ω n 0 è una forma di volume e quindi non si annulla mai. DEFINIZIONE 5 (Complemento simplettico). Sia U un sottospazio di V spazio vettoriale simplettico con forma ω, si definisce complemento simplettico di U il sottospazio U ω {x V : ω(x, y) 0 y U}. Il sottospazio U si dice isotropo se U U ω, coisotropo se U ω U, simplettico se U U ω {0} e infinie lagrangiano se U U ω. Il complemento simplettico non è necessariamente trasversale ad U ω : ESEMPIO 1. Sia (V, ω) uno spazio vettoriale simplettico, x V non nullo e consideriamo U span{x}. Risulta che U U ω, infatti poichè ogni elemento di U è proporzionale ad x si ha ω(λx, µx) λµω(x, x) 0 λ, µ R. LEMMA 1 (Caratterizzazione dei sottospazi simplettici). Dato (V, ω) spazio vettoriale simplettico, un sottospazio U di V è simplettico se e solo se (U, ω U ) è uno spazio vettoriale simplettico. Dimostrazione. Sia U simplettico e consideriamo x U : ω(x, y) 0 y U allora x U ω ma poichè U U ω {0} si ha x 0 cioè la forma ω ristretta ad U è non degenere e quindi (U, ω U ) è uno spazio vettoriale simplettico. Viceversa sia (U, ω U ) spazio vettoriale simplettico e consideriamo x U U ω, poichè ω U è non degenere si ha che se ω(x, y) 0 y U allora x 0 e quindi U U ω {0} cioè U è simplettico. LEMMA 2. Per ogni sottospazio U di V si ha dim U + dim U ω dim V, Dimostrazione. Definiamo l applicazione ι ω : V x ω(x, ) V U ωω U che associa ad ogni elemento di V una forma lineare. Poichè la forma ω è non degenere risulta che ι ω è un isomorfismo e quindi identifica U ω con U in V da cui la tesi poichè è noto che dim U + dim U dim V. Per il secondo assero notiamo che ovviamente U U ωω e che, usando il primo asserto su U ω al posto di U, dim U + dim U ω dim U ω + dim U ωω dim V quindi dim U dim U ωω da cui la tesi.

6 DEFINIZIONE 6. Dati due spazi vettoriali simplettici (V 1, ω 1 ), (V 2, ω 2 ) si definisce simplettomorfismo lineare un isomorfismo tra spazi vettoriali Ψ : V 1 V 2 che conserva la struttura simplettica cioè tale che Ψ ω 1 ω 2 dove in generale (Ψ ω)(x, y) ω(ψx, Ψy). TEOREMA 1. Sia (V, ω) uno spazio vettoriale simplettico di dimensione 2n. Esiste una base E {e 1,..., e n, f 1,..., f n } tale che ω(e j, e k ) ω(f j, f k ) 0 ω(e j, f k ) δ jk, la base E è detta base simplettica. Inoltre esiste un isomorfismo Ψ : R 2n V tale che Ψ ω ω 0. Utilizzando la definizione precedente il teorema afferma che ogni spazio vettoriale simplettico di dimensione 2n è simplettomorfo allo spazio standard (R 2n, ω 0 ). Dimostrazione. [per induzione su dim V] Sia n 1 allora poichè ω è non degenere esistono e 1, f 1 tali che ω(e 1, f 1 ) 1. Lo spazio U span{e 1, f 1 } insieme alla forma ω è uno spazio simplettico di dimensione 2 quindi il suo complemento simplettico è uno spazio di dimensione 2n 2 dal lemma 2. Lo spazio U ω risulta anch esso uno spazio vettoriale simplettico poichè preso u U ω U si ha u λe 1 + µf 1 e 0 ω(e 1, u) λω(e 1, e 1 ) + µω(e 1, f 1 ) µ 0 ω(e 1, u) λω(f 1, e 1 ) + µω(f 1, f 1 ) λ quindi u 0. Dall ipotesi induttiva esiste quindi una base simplettica {e 2,..., e n, f 2,..., f n } di U ω e poichè abbiamo V U U ω, la base E {e 1,..., e n, f 1,..., f n } forma una base simplettica per V. Definiamo ora la mappa Ψz x j e j + y j f j j1 con z (x 1,..., x n, y 1,..., y n ) R 2n e verifichiamo che Ψ ω ω 0 : siano z, z R 2n (Ψ ω)(z, z) ω(ψz, Ψ z) ω x j e j + y j f j, x k e k + ỹ k f k j1 k1 (x j ỹ k y j x k )δ jk (x j ỹ j y j x j ) j1 ω 0 (z, z). COROLLARIO 1. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 2n, una forma ω 2 (V) è non degenere se e solo se ω n ω... ω 0. Dimostrazione. Supponiamo ω degenere allora esiste x 0 tale che ω(x, y) 0 y V. Scegliamo in V una base {x 1,..., x 2n } tale che x 1 x da cui ω n (x 1,..., x 2n ) 0. Viceversa sia ω non degenere allora ω n è proporzionale ad ω0 n che essendo una forma di volume non si annulla mai.

7 Concentriamo ora l attenzione sull insieme dei simplettomorfismi lineari da (R 2n, ω 0 ) in se stesso. Tali applicazioni possono essere pensate come matrici reali 2n 2n e prendono il nome di matrici simplettiche. Esse sono caratterizzate dalla relazione Ψ ω 0 ω 0 PROPOSIZIONE 1. La relazione Ψ ω 0 ω 0 è equivalente a t ΨJΨ J. Dimostrazione. Poichè ω(x, y) t xjy per ogni x, y R 2n si ha da cui la tesi. (Ψ ω 0 )(x, y) ω 0 (Ψx, Ψy) t x t ΨJΨy In generale i simplettomorfismi lineari su uno spazio simplettico (V, ω) formano un gruppo che indichiamo con Sp(V, ω). Se V R 2n con la forma simplettica standard si usa la notazione Sp(2n) gruppo delle matrici simplettiche 2n 2n a valorireali. OSSERVAZIONE 1. Dal teorema di Binet applicato alla relazione t ΨJΨ J si ha che ogni matrice simplettica ha determinante ±1. In particolare il determinante è sempre pari ad uno poichè dalla relazione Ψ ω 0 ω 0 e dal fatto che ω0 n è una forma di volume su R 2n segue che cioè det(ψ) 1. 3 Varietà Simplettiche ω 0 ω 0 det(ψ)ω 0 ω 0 In geometria giocano un ruolo significativo le varietà Riemanniane, cioè varietà dotate di un prodotto scalare simmetrico non degenere su ogni spazio tangente. Un altro modo per introdurre una struttura su di una varietà è quello di dotarla di un prodotto scalare anti-simmetrico non degenere che dipenda in maniera differenziabile sulla varietà. Questo da origine alle varietà simplettiche la cui geometria è considerevolmente diversa da quella delle varietà Riemanniane. Tra i principali risultati, il Teorema di Darboux, il Teorema di Stabilità di Moser e varie versioni del Teorema degli Intorni Simplettici (per approfondimenti si vedano [F, MS]). Consideriamo una varietà M di dimensione 2n, ricordiamo che parlare di un prodotto scalare anti-simmetrico non degenere è equivalente a parlare di una forma simplettica su di un opportuno spazio vettoriale. In questo caso lo spazio sarà lo spazio tangente alla varietà in un punto p. Diamo quindi la seguente definizione: DEFINIZIONE 7 (Varietà Simplettica). Una varietà liscia di dimensione pari M è detta simplettica se su di essa è definita una 2-forma differenziale ω 2 ω jk (x)dx j dx k, j, k 1,..., m tale che (i) la forma sia non degenere cioè la matrice dei coefficienti (ω jk (x)) sia non singolare; (ii) la forma sia chiusa cioè dω 0 dove d è l operatore di differenziazione esterna. Tale forma viene talvolta detta struttura differenziale su M. In realtà come nel caso delle varietà Riemanniane abbiamo un campo di forme anti-simmetriche

8 ω : M p ω p 2 T pm che ad ogni punto della varietà associa in maniera liscia una 2-forma algebrica ω p. Esempi i) L esempio più semplice di varietà simplettica è lo spazio (R 2n, ω 0 ) dove con ω 0 indichiamo questa volta la forma differenziale ω 0 : M p (ω 0 ) p 2 T pr 2n 2 (R2n ). ii) La sfera S 2 con la forma differenziale con x S 2, u, v T x S 2. ω : x ω p (u, v) : x, u v iii) In generale una qualunque superficie orientabile con la sua forma di area standar è una varietà simplettica. La condizione i) nella definizione di varietà simplettica implica che ogni spazio (T p M, ω p ) sia uno spazio vettoriale simplettico e da qui la necessità che la varietà abbia dimensione pari. Inoltre il fatto che in generale ω n non si annulli mai implica che ogni varietà simplettica è orientabile. Per mostrare un ultima conseguenza delle condizioni della definizione 7 sulla forma ω abbiamo bisogno di introdurre due concetti base della teoria delle varietà: DEFINIZIONE 8 (Fibrati tangente e cotangente). Sia M una varietà di dimensione m qualunque, in ogni punto p M esiste lo spazio tangente T p M (risp. lo spazio cotangente T pm). Si definisce fibrato tangente (risp. cotangente) l unione di tutti gli spazi tangenti (risp. cotangenti) al variare di p in M, si ha cioè TM T p M, T M T pm. p M p M OSSERVAZIONE 2. Ogni punto dello spazio tangente è una coppia (p, X p ) dove p M e X p T p M; quindi intuitivamente si può dedurre che il fibrato tangente sia uno spazio di dimensione 2m. Il fibrato a differenza dello spazio tangente ha una struttura più complicata di quella di spazio vettoriale, infatti se consideriamo la proiezione π : TM (p, X) p M abbiamo che ogni fibra π 1 (p) T p M. Quindi il fibrato tangente è una varietà differenziabile, di dimensione pari al doppio della varietà cui è riferito, lineare in ogni sua fibra. Lo stesso ragionamento vale ovviamente per il fibrato cotangente. A questo punto possiamo osservare che la non degenaretazza della forma ω implica l esistenza di un isomorfismo canonico tra il fibrato tangente e il fibrato cotangente della varietà definito come TM X ω(x, ) T M. Questo in particolare mostra che lo spazio dei campi vettoriali su M è l insieme delle 1 forme su M sono isomorfi. A questo punto possiamo enunciare uno dei principali risultati della teoria delle varietà simplettiche che mette in luce la netta differenza con le varietà Riemanniane. Infatti una metrica Riemanniana

9 può essere ridotta alla forma canonica diagonale in un singolo punto tramite una scelta appropriata di coordinate locali. In questo senso la geometria simplettica e quella Riemanniana sono simili. C è però una differenza fondamentale, è noto infatti che non è possibile ridurre alla forma canonica diagonale una metrica Riemanniana in un intero intorno poichè questo potrebbe essere impedito dalla presenza di un tensore di curvatura Riemanniana non nullo (che è un invariante per cambiamenti di coordinate). Una struttura simplettica invece può essere sempre ridotta alla forma canonica tramite un cambiamento di coordinate in un intero intorno, seppur sufficientemente piccolo. TEOREMA 2 (di Darboux). Ogni forma simplettica ω su M (dim M 2n) è localmente diffeomorfa alla forma standard ω 0 su R 2n. Dimostrazione. [idea] La dimostrazione del teorema si basa sostanzialmente nell applicare il teorema 1 su ogni spazio vettoriale T p M con p U intorno sufficientemente piccolo. Infatti per ogni p U esiste un simplettomorfismo Ψ p : T p M R 2n tale che Ψ ω p ω 0. Se si dimostra che il campo vettoriale Ψ : p M Ψ p Sp(T p M, ω p ) è differenziabile si ottiene la tesi. In altre parole, data una forma simplettica ω su M, in ogni punto p M è possibile trovare un intorno ed un sistema di coordinate (p 1,..., p n, q 1,..., q n ) dette coordinate simplettiche nelle quali ω può essere scritta come dp j dq j. j1 Concludiamo con un esempio di varietà simplettica particolarmente interessante in quanto associata alle algebre di Lie. Sia G un grupo di Lie di matrici e g la sia algebra di Lie, ricordiamo che la rappresentazione aggiunta di G è definita come Ad : G Aut(g) g Ad g dove Ad g x : gxg 1 per ogni x g. Il differenziale di tale rappresentazione definisce la rappresentazione di algebre di Lie ad : g Der(g) x ad x dove ad x y : [x, y] per ogni y g. É possibile definire analogamente un altra rappresentazione di G sul duale di g, in questo caso si parla di rappresentazione co-aggiunta in quanto si opera su i co-vettori di g. Definiamo quindi in analogia alla rappresentazione precedente Ad : G Aut(g ) g Ad g dove (Ad gx)x : X(Ad g 1x) per ogni x g, X g. Il differenziale di tale rappresentazione definisce la rappresentazione di algebre di Lie ad : g Der(g ) x ad x dove (ad xx)y X([x, y]) per ogni y g, X g. Di interesse sono le orbite della rappresentazione co-aggiunta cioè gli insiemi O(X) {Ad gx : g G} g che possono essere dotati di una struttura simplettica. Costruiamo quindi la

10 struttura simplettica sulle orbite della rappresentazione co-aggiunta: sia X g e O(X) la sua orbita, dimostraimo il seguente lemma. LEMMA 3. Lo spazio tangente all orbita O(X) nel punto X è lo spazio dei vettori della forma ad xx con x g. Dimostrazione. Ogni vettore tangente all orbita O(X) nel punto X g è dato dalla formula θ d dt Ad exp(tx)x t0 con x g. Sia {e 1,..., e n } una base di g e {ω 1,..., ω n } la corrispettiva base duale di g, allora si ha X k X kω k e θ k θ kω k da cui θ j θ(e j ). Usando la definizione però otteniamo θ j ( ) d dt Ad exp(tx)x e j t0 d dt X ( ) Ad exp( tx) e j t0 ( ) d X dt Ad exp( tx) e j t0 X( [x, e j ]) (ad xx)e j quindi si ha θ ad xx come richiesto. Quindi da questo lemma si ha che in generale dato un vettore tangente θ su T X O(X) esiste, in maniera non unica, un elemento x θ g tale che Definiamo quindi θ ad x θ X. ω X (θ 1, θ 2 ) : X([x θ1, x θ2 ]) detta struttura simplettica standard (forma di Kostant-Kirillov). Riferimenti bibliografici [F] Fomenko A.T. Symplectic Geometry. Advanced Studies in Contemporary Mathematics, Moscow. [MS] McDuff D. and Salamon D. Introduction to Symplectic Topology. Clarendon Press, Oxford. [M] Muller S. Introduction to Symplectic Topology, Talk 1. Articolo. [M] Muller S. Introduction to Symplectic Topology, Talk 2. Articolo.