Sistemi di equazioni di primo grado (sistemi lineari) DEFINIZIONE Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni, tutte nelle stesse incognite, di cui cerchiamo soluzioni comuni. Esempi 1. 0 1. 0. 1 L insieme delle soluzioni di un sistema è formato da quei valori delle incognite che soddisfano tutte le equazioni che compongono il sistema. Risolvere un sistema di equazioni vuol dire perciò trovare tutte le soluzioni che verificano tutte le equazioni che formano il sistema. Per i sistemi di cui sopra dobbiamo trovare quei valori di e che sono soluzioni di entrambe le equazioni di ciascun sistema. 1 1 1 Ad esempio il primo sistema ha per soluzioni i valori e ; infatti se sostituiamo 1 alla e alla sia nella prima equazione che nella seconda, otteniamo in entrambi i casi una uguaglianza (cioè le equazioni sono, come si suol dire, soddisfatte). In questa unità didattica consideriamo solo sistemi in cui tutte le equazioni sono di primo grado, tali sistemi sono detti sistemi lineari. Negli esempi sopra sono sistemi lineari soltanto i primi due; il terzo sistema, poiché la prima equazione è di secondo grado, non è lineare. Quante soluzioni ha un sistema lineare? Un sistema lineare può avere: Una soluzione, o meglio una coppia di soluzioni (, ); Nessuna soluzione; il sistema è detto impossibile; Infinite soluzioni; il sistema è detto indeterminato.
Un sistema lineare con una sola soluzione è detto determinato. Vi sono diversi metodi algebrici per risolvere un sistema lineare: Metodo di sostituzione Metodo del confronto Metodo di riduzione o di eliminazione Metodo di Cramer Vediamo in questa unità il metodo di sostituzione. Illustriamolo tramite un esempio: 1. Si riduce il sistema a forma normale 1 Non solo Matematica www.carucci.ilbello.com. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad un incognita, nell esempio la seconda delle equazioni è stata risolta rispetto all incognita 1. Si sostituisce nell altra equazione il valore della trovato e si calcola il valore della ( ) 1. Dopo aver trovato il valore della lo sostituiamo di nuovo nell equazione esplicitata in 1. Troviamo così la soluzione del sistema 1 (1) da cui: 1 1
Altro esempio: 1. Si riduce il sistema a forma normale. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad un incognita, nell esempio la seconda delle equazioni è stata risolta rispetto all incognita. Si sostituisce nell altra equazione il valore della trovato e si calcola il valore della ( ). Dopo aver trovato il valore della lo sostituiamo di nuovo nell equazione esplicitata in. Troviamo così la soluzione del sistema 1 () da cui: 1
Altro esempio (sistema impossibile): 1. Si riduce il sistema a forma normale 1 1. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad un incognita, nell esempio la seconda delle equazioni è stata risolta rispetto all incognita. Si sostituisce nell altra equazione il valore della trovato e si calcola il valore della. Ma facendo i calcoli ci accorgiamo che i termini in vengono eliminati, pervenendo ad una disuguaglianza, pertanto il sistema non ammette soluzioni (sistema impossibile)
9 0 Altro esempio (sistema indeterminato): 1. Si riduce il sistema a forma normale ) ( 1)] ( [ 1) ( 0. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad un incognita, nell esempio la prima delle equazioni è stata risolta rispetto all incognita 0. Si sostituisce nell altra equazione il valore della trovato e si calcola il valore della 0. Ma facendo i calcoli ci accorgiamo che i termini in vengono eliminati, pervenendo ad una uguaglianza, pertanto il sistema ammette infinite soluzioni (sistema indeterminato) 0 0
Interpretazione grafica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite Risolvere graficamente un tale sistema significa trovare il punto di intersezione tra le due rette che rappresentano le equazioni date. Consideriamo il sistema che abbiamo risolto algebricamente in precedenza: 1 Tale sistema ha per soluzione: 1 1 Tracciamo ora le due rette che rappresentano graficamente le due equazioni del sistema: retta 1: 1 Si avrà: (in azzurro) retta : (in rosso) Le due rette si intersecano in un solo punto di coordinate A(1,1), che è proprio la soluzione del sistema lineare.
Pertanto se il sistema lineare è determinato, cioè ammette una sola coppia di soluzioni ed, graficamente vorrà dire che le due rette rappresentate dalle due equazioni che compongono il sistema si incontrano in un punto le cui coordinate ed sono proprio le soluzioni del sistema lineare. Consideriamo ora il sistema: Tale sistema, come visto in precedenza, è impossibile, cioè non ammette soluzioni. Tracciamo le due rette che rappresentano graficamente le due equazioni del sistema: retta 1: Si avrà: (in azzurro) retta : (in rosso) Le due rette, come si può vedere, sono parallele e quindi non si intersecano. Pertanto un sistema lineare è impossibile se graficamente le due rette rappresentate dalle due equazioni che compongono il sistema non si incontrano in nessun punto.
Consideriamo infine il sistema: 0 Tale sistema, come visto in precedenza, è indeterminato, cioè ammette infinite soluzioni. Tracciamo le due rette che rappresentano graficamente le due equazioni del sistema: retta 1: Si avrà: (in azzurro) retta : 0 (in rosso) Le due rette, come si può vedere, sono coincidenti e quindi avranno infiniti punti in comune (ogni punto di una retta è anche punto dell altra retta). Pertanto un sistema lineare è indeterminato se graficamente le due rette rappresentate dalle due equazioni che compongono il sistema sono sovrapposte. In altri termini possiamo affermare che le due equazioni rappresentano la medesima retta (è sufficiente moltiplicare la prima equazione per oppure dividere la seconda per per ottenere due equazioni identiche).