Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.1 SECONDO PARZIALE Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4 1. 2. 3. 4. 5. (i): Determinare tutti i numeri naturali n N affinché n 3 n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti (ii): Sia a Z con a 3 mod 7. Determinare il resto di a 3 + a nella divisione per 7. (punti (iii): Si denoti con [a] n la classe resto di a nella divisione per n. Si determinino tre numeri negativi in [ 4] 5 [2] 7. (punti (i): Utilizzando l algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2925 e b := 1040. (punti 5 ) (ii): Trovare due interi s, t Z tali che d = as + bt (ossia scrivere il massimo comun divisore tra 2925 e 1040 come un multiplo di 2925 più un multiplo di 1040). (punti 5 ) (iii): Determinare il minimo comune multiplo tra a e b. (punti 2 ) (i): Calcolare il quoziente e il resto tra 79 e 13, e poi tra 79 e 13. (punti 6 ) (ii): Utilizzando il crivello di Eratostene stabilire se 401 è un numero primo. (punti 6 ) (i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 4 almeno una volta. (punti 6 ) (ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 20 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi esca un numero multiplo di 3. (punti 6 ) (i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni 15/18, 3/16, 8/13, 4/15. (punti 6 ) (ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 4/9 in base 3. (punti 6 ) 1
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.1 Appello d esame Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4 1. (i): Scrivere e verificare l uguaglianza quando n = 3 e n = 5. (punti 4.) (ii): Dimostrare che per n 1 si ha 1 2 + 2 3 + + n(n + 1) = 1 n(n + 1)(n + 2) 3 1 2 + 2 3 + + n(n + 1) = 1 n(n + 1)(n + 2). (punti 8) 3 2. Sia A = N N l insieme delle coppie ordinate di numeri naturali e sia R la relazione definita da (a, b)r(c, d) se e solo se a + 2d = b + 2c. (i): Stabilire se la relazione R è o non è riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. (punti 4.) (ii): Scrivere cinque elementi di A in relazione con (1, 3). (punti 4.) (iii): Determinare l insieme {(a, b) A (a, b)r(0, 0)}. (punti 4.) 3. 4. 5. (i): Determinare tutti i numeri naturali n N affinché n 3 n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti (ii): Sia a Z con a 3 mod 7. Determinare il resto di a 3 + a nella divisione per 7. (punti (iii): Utilizzando l algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2925 e b := 1040. (punti (i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 4 almeno una volta. (punti 6 ) (ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 20 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi esca un numero multiplo di 3. (punti 6 ) (i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni 15/18, 3/16, 8/13, 4/15. (punti 6 ) (ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 4/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.2 SECONDO PARZIALE Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4 1. 2. 3. 4. 5. (i): Determinare tutti i numeri naturali n N affinché n 3 2n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti (ii): Sia a Z con a 4 mod 7. Determinare il resto di a 3 + a nella divisione per 7. (punti (iii): Si denoti con [a] n la classe resto di a nella divisione per n. Si determinino tre numeri negativi in [ 3] 5 [2] 7. (punti (i): Utilizzando l algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2106 e b := 1274. (punti 5 ) (ii): Trovare due interi s, t Z tali che d = as + bt (ossia scrivere il massimo comun divisore tra 2106 e 1274 come un multiplo di 2106 più un multiplo di 1274). (punti 5 ) (iii): Determinare il minimo comune multiplo tra a e b. (punti 2 ) (i): Calcolare il quoziente e il resto tra 79 e 12, e poi tra 79 e 12. (punti 6 ) (ii): Utilizzando il crivello di Eratostene stabilire se 419 è un numero primo. (punti 6 ) (i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 5 almeno una volta. (punti 6 ) (ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 18 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi esca un numero multiplo di 3. (punti 6 ) (i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni 16/18, 13/16, 9/13, 8/15. (punti 6 ) (ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 7/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.2 Appello d esame Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4 1. (i): Scrivere e verificare l uguaglianza quando n = 3 e n = 5. (punti 4.) (ii): Dimostrare che per n 2 si ha 1 2 + 2 3 + + (n 1)n = 1 (n 1)n(n + 1) 3 1 2 + 2 3 + + (n 1)n = 1 (n 1)n(n + 1). (punti 8) 3 2. Sia A = N N l insieme delle coppie ordinate di numeri naturali e sia R la relazione definita da (a, b)r(c, d) se e solo se a + 3d = b + 3c. (i): Stabilire se la relazione R è o non è riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. (punti 4.) (ii): Scrivere cinque elementi di A in relazione con (1, 4). (punti 4.) (iii): Determinare l insieme {(a, b) A (a, b)r(0, 0)}. (punti 4.) 3. 4. 5. (i): Determinare tutti i numeri naturali n N affinché n 3 2n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti (ii): Sia a Z con a 4 mod 7. Determinare il resto di a 3 + a nella divisione per 7. (punti (iii): Utilizzando l algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2106 e b := 1274. (punti (i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 5 almeno una volta. (punti 6 ) (ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 18 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi esca un numero multiplo di 3. (punti 6 ) (i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni 16/18, 13/16, 9/13, 8/15. (punti 6 ) (ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 7/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.3 SECONDO PARZIALE Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4 1. 2. 3. 4. 5. (i): Determinare tutti i numeri naturali n N affinché n 3 3n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti (ii): Sia a Z con a 6 mod 7. Determinare il resto di a 3 + a nella divisione per 7. (punti (iii): Si denoti con [a] n la classe resto di a nella divisione per n. Si determinino tre numeri negativi in [ 1] 5 [2] 7. (punti (i): Utilizzando l algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2925 e b := 2080. (punti 5 ) (ii): Trovare due interi s, t Z tali che d = as + bt (ossia scrivere il massimo comun divisore tra 2925 e 2080 come un multiplo di 2925 più un multiplo di 2080). (punti 5 ) (iii): Determinare il minimo comune multiplo tra a e b. (punti 2 ) (i): Calcolare il quoziente e il resto tra 81 e 13, e poi tra 81 e 13. (punti 6 ) (ii): Utilizzando il crivello di Eratostene stabilire se 421 è un numero primo. (punti 6 ) (i): Vengono lanciati due dadi a 8 facce, qual è la probabilità che esca il numero 4 almeno una volta. (punti 6 ) (ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 24 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi esca un numero multiplo di 3. (punti 6 ) (i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni 5/18, 13/16, 8/13, 4/15. (punti 6 ) (ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 5/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.3 Appello d esame Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4 1. (i): Scrivere e verificare l uguaglianza quando n = 4 e n = 5. (punti 4.) (ii): Dimostrare che per n 1 si ha 1 2 + 2 3 + + n(n + 1) = 1 n(n + 1)(n + 2) 3 1 2 + 2 3 + + n(n + 1) = 1 n(n + 1)(n + 2). (punti 8) 3 2. Sia A = N N l insieme delle coppie ordinate di numeri naturali e sia R la relazione definita da (a, b)r(c, d) se e solo se a + 5d = b + 5c. (i): Stabilire se la relazione R è o non è riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. (punti 4.) (ii): Scrivere cinque elementi di A in relazione con (3, 1). (punti 4.) (iii): Determinare l insieme {(a, b) A (a, b)r(0, 0)}. (punti 4.) 3. 4. 5. (i): Determinare tutti i numeri naturali n N affinché n 3 3n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti (ii): Sia a Z con a 6 mod 7. Determinare il resto di a 3 + a nella divisione per 7. (punti (iii): Utilizzando l algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2925 e b := 2080. (punti (i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 4 almeno una volta. (punti 6 ) (ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 24 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi esca un numero multiplo di 3. (punti 6 ) (i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni 5/18, 13/16, 8/13, 4/15. (punti 6 ) (ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 5/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.1 Prova teorica Appello d esame 1. Enunciare il Teorema fondamentale dell aritmetica. (punti 4.) 2. In figura tratteggiare l insieme ((A \ B) (C A)) \ (B A C). (punti 4.) A B C 3. Si consideri l insieme A := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e la relazione R definita dal seguente diagramma a frecce. Dire se la relazione è riflessiva, transitiva, simmetrica, antisimmetrica. Determinare l insieme {a A 2Ra}(punti 2 3 1 4 6 5
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.1 Prova teorica Secondo parziale 1. Siano a, b Z numeri interi. Dimostrare che se 3 divide a e 3 divide b, allora 3 divide a + b. (punti 4.) 2. Dire se ciascuno dei seguenti enunciati è vero o falso. (Come sempre le risposte vanno motivate. punti (i): Se MCD(a, b) è dispari, è vero che a e b sono entrambi dispari? (ii): Se mcm(a, b) è dispari, è vero che a e b sono entrambi dispari? (iii): Ci sono tre numeri a, b e c per cui MCD(a, b) 1, MCD(b, c) 1 e MCD(a, c) = 1? 3. Usando l algoritimo di Euclide dimostrare che per ogni n 2, si ha MCD(n, 6n + 2) = 2 per ogni n pari. (punti
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.2 Prova teorica Appello d esame 1. Enunciare il Teorema fondamentale dell aritmetica. (punti 4.) 2. In figura tratteggiare l insieme ((C \ B) (A C)) \ (B C A). (punti 4.) A B C 3. Si consideri l insieme A := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e la relazione R definita dal seguente diagramma a frecce. Dire se la relazione è riflessiva, transitiva, simmetrica, antisimmetrica. Determinare l insieme {a A 2Ra}(punti 2 3 1 4 6 5
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.2 Prova teorica Secondo parziale 1. Siano a, b Z numeri interi. Dimostrare che se 4 divide a e 4 divide b, allora 4 divide a + b. (punti 4.) 2. Dire se ciascuno dei seguenti enunciati è vero o falso. (Come sempre le risposte vanno motivate. punti (i): Se MCD(a, b) non è divisibile per due, è vero che a e b sono entrambi dispari? (ii): Se mcm(a, b) non è divisibile per due, è vero che a e b sono entrambi dispari? (iii): Ci sono tre numeri a, b e c per cui MCD(a, b) 1, MCD(b, c) 1 e MCD(b, ac) = 1? 3. Usando l algoritimo di Euclide dimostrare che per ogni n 2, si ha MCD(n, 5n + 2) = 2 per ogni n pari. (punti
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.3 Prova teorica Appello d esame 1. Enunciare il Teorema fondamentale dell aritmetica. (punti 4.) 2. In figura tratteggiare l insieme ((B \ A) (C B)) \ (A B C). (punti 4.) A B C 3. Si consideri l insieme A := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e la relazione R definita dal seguente diagramma a frecce. Dire se la relazione è riflessiva, transitiva, simmetrica, antisimmetrica. Determinare l insieme {a A 2Ra}(punti 2 3 1 4 6 5
Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.3 Prova teorica Secondo parziale 1. Siano a, b Z numeri interi. Dimostrare che se 5 divide a e 5 divide b, allora 5 divide a + b. (punti 4.) 2. Dire se ciascuno dei seguenti enunciati è vero o falso. (Come sempre le risposte vanno motivate. punti (i): Se MCD(a, b) è pari, è vero che a e b sono entrambi pari? (ii): Se mcm(a, b) non è divisibile per due, è vero che a e b sono entrambi dispari? (iii): Ci sono tre numeri a, b e c per cui MCD(a, b) 1, MCD(b, c) 1 e MCD(a + c, b) = 1? 3. Usando l algoritimo di Euclide dimostrare che per ogni n 2, si ha MCD(n, 4n + 2) = 2 per ogni n pari. ( punti