OPERAZIONI FINANZIARIE A PRONTI E A TERMINE

LE PRINCIPALI LEGGI FINANZIARIE PROF. ROSARIO OLIVIERO

Indice 1 INTRODUZIONE -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 2 OPERAZIONI FINANZIARIE A PRONTI E A TERMINE ---------------------------------------------------------- 4 2.1. OPERAZIONI FINANZIARIE BASE: I PRESTITI ------------------------------------------------------------------------------- 4 2.2. OPERAZIONI PRONTI CONTRO TERMINE ------------------------------------------------------------------------------------ 5 3 LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI--------------------------------------------------------------------------------- 7 4 LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI ------------------------------------------------------------------------------ 13 5 RAFFRONTO TRA CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE E COMPOSTA --------------------------------------- 20 2 di 22

1 Introduzione Tradizionalmente, la matematica finanziaria si occupa degli scambi di capitali in epoche differenti. Tali operazioni (finanziarie) avvengono mediante il pagamento di un interesse da parte di uno dei soggetti che effettua lo scambio. Attualmente, tra gli oggetti di studio di questa disciplina, rientrano anche argomenti che una volta erano di esclusivo interesse degli aziendalisti, come ad esempio la formulazione di criteri per la valutazione degli investimenti e il calcolo del rischio di credito. Questi argomenti sono studiati principalmente dal punto di vista matematico. Gli strumenti utilizzati dalla matematica finanziaria vanno dall'algebra elementare, studiata alle scuole superiori, al calcolo differenziale, fino al calcolo stocastico. Essendo un corso di base, limiteremo la nostra trattazione ad argomenti che richiedano la conoscenza dei corsi base di matematica e statistica impartiti all'università. 3 di 22

2 Operazioni finanziarie a pronti e a termine Una operazione finanziaria è detta a pronti (o spot) se la data di stipula del contratto coincide con l istante in cui avviene il primo scambio di denaro. Viceversa, una operazione finanziaria viene detta a termine se il primo scambio di importi monetari avviene in un istante successivo a quello in cui viene stipulato il contratto. 2.1. Operazioni finanziarie base: i prestiti Consideriamo un capitale C prestato ad un soggetto all'istante 0. Si pattuisce che il prestito potrà essere estinto all'istante t > 0 mediante il pagamento di una somma S (ovviamente è S > C). Si definisce interesse I la quantità I = S C L'interesse è quindi la differenza tra il capitale rimborsato alla fine e il capitale inizialmente prestato. Esso è in qualche modo correlato al profitto del soggetto che elargisce il prestito. Si noti che l'interesse non può mai essere zero, altrimenti nessuno avrebbe motivazioni a concedere prestiti (il termine interesse infatti non è casuale). L'interesse inoltre serve anche a coprire il creditore dal cosiddetto rischio di credito, ossia dal rischio che il debitore non riesca a rimborsare il prestito. Infatti, ad esempio, consideriamo un soggetto che concede 1000 prestiti da 100 euro ciascuno, richiedendo 20 euro di interesse per ogni prestito. Il creditore possiede in tutto centomila euro; alla fine dell'operazione possiederà 120000 euro, con un guadagno di 20000 euro. Ammettiamo che ci sia la possibilità di un solo fallimento (che causa il mancato rimborso del prestito). In tal caso il guadagno sarà pari a 20000 120 euro, ma comunque positivo. Precisiamo inoltre che, dal momento che i prestiti sono per lo più concessi da banche o intermediari finanziari, l'interesse serve anche a coprire le relative spese di gestione. Si osservi infine che, se il creditore offre dei beni (mobili o immobili) in garanzia, l'interesse potrà calare significativamente a parità di cifra prestata e di durata. In seguito vedremo dei semplici modelli matematici per descrivere la crescita, nel tempo, di un capitale dato a prestito (debito) Consideriamo ora un individuo che prende 1000 euro in prestito. Supponiamo che abbia la facoltà di onorarlo rimborsando 1100 euro tra un anno oppure 1300 euro tra due anni. Nel caso in 4 di 22

cui l'individuo scelga la seconda opzione, l'operazione può essere considerata come somma di due operazioni finanziarie. La prima prevede il prelievo di 1000 euro oggi dietro la restituzione di 1100 euro tra un anno; la seconda operazione (a termine) prevede di decidere oggi di prendere in prestito 1100 euro tra un anno per restituirne 1300 tra due anni. 2.2. Operazioni pronti contro termine In molti casi l operazione di pronti contro termine con obbligo di retrocessione è effettuata mediante una vendita accompagnata dal duplice impegno, dell acquirente a rivendere e del venditore a riacquistare una certa attività. In altre parole, un soggetto (venditore) cede una determinata quantità di un bene ad un altro soggetto (acquirente) (operazione a pronti prima compravendita) e contemporaneamente vengono pattuite le seguenti operazioni elementari: 1. l acquirente si impegna a rivendere ad un termine convenuto, con la stessa controparte, la stessa quantità, del bene in oggetto, ad un prezzo prestabilito (operazione a termine seconda compravendita). 2. Il venditore si impegna a riacquistare al termine convenuto con la stessa controparte la stessa quantità, del bene in oggetto, ad un prezzo prestabilito (operazione a termine seconda compravendita). Il Codice Civile, sebbene stabilisca una specifica disciplina contabile per le operazioni di pronti contro termine con obbligo di retrocessione, non fornisce alcuna definizione di tali operazioni. Questa lacuna è sanata dalle indicazioni presenti nel documento tecnico OIC 1 I principali effetti della Riforma del diritto societario sulla redazione del bilancio d esercizio pubblicato dall Organismo Italiano di Contabilità (versione del 25 ottobre 2004). Nel documento OIC 1 è specificato che «si ha una operazione di vendita con obbligo di retrocessione allorché il contratto o la pattuizione stipulati tra le parti comportino il riacquisto da parte del venditore della cosa originariamente venduta ad una certa data e per un certo prezzo e quando tale pattuizione rende obbligatorio il riacquisto». Gli elementi che caratterizzano l operazione sono dunque: a) L obbligo della retrocessione da parte dell acquirente e del riacquisto da parte del venditore; b) La certezza della data a termine della retrocessione e contemporaneo 5 di 22

riacquisto; riacquisto. c) La certezza del prezzo a termine della retrocessione e contemporaneo Peraltro, come specificato dal documento OIC, le negoziazioni tra le parti possono assumere una varietà di forme, per cui occorre determinare in concreto in quali casi la nuova norma debba trovare applicazione. Il principio guida è quello secondo cui indipendentemente dalle modalità contrattuali prescelte e tenendo conto di eventuali negozi collegati, l operazione di cessione a pronti deve essere seguita da un operazione a termine in senso inverso nella quale quantità, prezzo e data sono stabilite ex ante. 6 di 22

3 Legge degli interessi semplici Consideriamo un debito (pari a C) contratto ad un istante 0. Esso potrà essere restituito dopo 1, 2,, t anni restituendo (a scelta del debitore) una somma pari a D(0.5) = C(1+i/2) D(1) = C(1+i) D(2) = C(1+2i)... D(t) = C (1+ti) dopo sei mesi dopo un anno dopo due anni dopo t anni, dove il parametro i, detto anche tasso annuo (di interesse) o, in generale, tasso (di interesse) relativo all'unità di tempo (scelta), è una costante arbitraria legata alle scelte del creditore. La legge descritta da questa evoluzione del debito è nota appunto come legge (o regime) degli interessi semplici. Ad esempio, consideriamo il caso C = 100, i = 0.02 = 2%. Si ha: D(0.5)=100 (1+0.02 0.5) =101 D(1)=100 (1+0.02)=102 D(2)=100 (1+0.02 2) = 104 D(3)=100 (1+0.02 3) = 106 D(30)=100 (1+0.02 30) = 160. 7 di 22

Si vede facilmente che il debito cresce linearmente. In altre parole, il suo grafico, in funzione del tempo, è una retta. Figura 1. Andamento del debito in funzione del tempo in un regime ad interessi semplici (C = 100, i = 2%). ESEMPIO 1 In un regime a capitalizzazione semplice ad un tasso annuo pari al 27%, presto un capitale pari a 40000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, è: D(2)=40000 (1+0.27 2) = 61600. ESEMPIO 2 In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo del 27%, presto un capitale pari a 30000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni e 4 mesi, è (si tenga presente che 4 mesi equivalgono ad 1/3 di anno ): D(2+1/3)=30000 (1+0.27 (2 + 1/3)) =30000 (1+0.27 (2.3333)) = 48900. ESEMPIO 3 In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo del 23%, presto un capitale pari a 30000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni e 43 giorni, è (si 8 di 22

tenga presente che 43 giorni equivalgono a 43/365 di anno ): D(2+43/365)=30000 (1+0.23 (2 + 43/365)) =30000 (1+0.23 (2.1178)) = 44612.88. ESEMPIO 4 In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo del 23%, presto un capitale pari a 30000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, 3 mesi e 13 giorni, è (si tenga presente che 3 mesi equivalgono a 3/12=1/4 di anno e 13 giorni equivalgono a 13/365 di anno): D(2 + 1/4 + 13/365)= 30000 (1+0.23 (2 + 1/4 + 13/365)) =30000 (1+0.27 (2.2856)) = = 45770.75. ESEMPIO 5 In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 27%, presto un certo capitale. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, è pari a 40000 euro. Il capitale prestato C soddisfa alla seguente relazione 40000 = C (1+0.27 2), da cui si ricava C = 40000/ (1+0.27 2) = 40000/1.54 = 25974.03 euro Infatti, si ha 25974.03 (1+0.27 2) = 40000. In un regime ad interessi semplici, il debito D(t) nell'anno t-esimo è legato al debito dell'anno precedente D(t 1) dalla relazione D(t) = Ci + D(t 1). Quindi, nel caso di capitalizzazione ad interessi semplici, il debito in un certo anno è pari al debito dell'anno precedente aumentato degli interessi calcolati sul solo capitale originariamente prestato. In altre parole, la legge degli interessi semplici prevede che l'interesse sia proporzionale al capitale prestato e al tempo in cui il debito viene estinto. Ovvero, gli interessi, non vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti e, quindi, non maturano a loro volta interessi. Infatti si ha 9 di 22

I = Cit. Adesso cerchiamo di calcolare esattamente la data in cui il debito sarà uguale al doppio del capitale iniziale. Dall'equazione si ricava e quindi Si deduce, quindi, D(t) = C (1+ti) 2C(t) = C (1+ti) 1+ti = 2. t = 1/i. E' una regola abbastanza semplice. Quindi, ad esempio, se il parametro i è pari a 0.1, il tempo di raddoppio sarà pari a 1/0.1 = 10. Infatti, se i = 0.1, si ha: D(10) = C(1+10 0.1) = 2C. In generale, se vogliamo calcolare il tempo per passare dal capitale C al capitale D in capitalizzazione semplice, basta partire dall'equazione Si ricava subito Infatti D = C (1+it). t* = (D C)/(Ci) = (D/C 1)/i. C(1+it*)=D. Si noti che per risolvere il problema di duplicazione del capitale è inutile conoscere i valori di C e D, ma basta conoscere solo il rapporto D/C (oltre al tasso annuo i, ovviamente). ESEMPIO 6 In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 21%, presto 15000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita, è pari a 40000 euro. Il tempo necessario per completare l'operazione è pari a 10 di 22

t* = (D C)/(Ci) = (40000 15000)/(15000 0.21) = 7.9365 anni Infatti 15000 (1+0.21 7.9365) = 39999.97 (c'è un piccolo errore di troncamento). Per trovare il numero di giorni basta considerare l'equazione 0.9365 =x /365 la cui soluzione è x= 0.9365 365 = un po' meno di 342 giorni circa. Infatti 15000 (1+0.21 (7+341/365)) = 39992.88 e 15000 (1+0.21 (7+342/365)) = 40001.51. Quindi il tempo necessario a completare l'operazione è pari a 7 anni e 341 giorni. Si osservi che si può giungere allo stesso risultato ragionando direttamente sui dati numerici: infatti dall'uguaglianza 40000 = 15000 (1+0.21 t*) si ricava 40000 = 15000 1.21 t* e quindi si ricava di nuovo che t* = 7.9365 anni. ESEMPIO 7 In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 21%, presto una certa cifra euro. Il tempo necessario affinché il relativo venga a triplicarsi è pari a t* = (3C C)/(Ci) = (3 1)/0.21 = 9.5238 anni. Infatti, qualunque sia il valore di C, si ha C (1+0.21 9.5238 ) = 3C. 11 di 22

Per trovare il numero di giorni basta considerare l'equazione 0.5238 =x /365 la cui soluzione è x = 0.5238 365 = un po' più di 191 giorni infatti 1+0.21 (9+191/365) = 2.9999 e 1+0.21 (9+192/365) = 3.0005. 12 di 22

4 Legge degli interessi composti Consideriamo, un capitale (pari a C) prestato in un istante 0. La legge (o regime) degli interessi composti stabilisce che il debito potrà essere estinto dopo 1, 2,, t anni restituendo (a scelta del debitore) una somma pari a D(0.5) = C(1+i) 1/2 dopo sei mesi D(1) = C(1+i) dopo un anno D(2) = C(1+i) 2 dopo due anni... D(t) = C(1+i) t dopo t anni. dove il parametro i è, ancora una volta, una costante arbitraria legata alle scelte del creditore (tasso annuo). Si osservi che questa legge vale anche per valori di t non interi: infatti è definita per valori reali. Si ricorda, che, dato un numero x, la scritta x m/n indica la radice n-esima di x elevato alla m. Ad esempio, consideriamo il caso C = 100, i = 0.02 = 2%. Si ha D(0.5)=100 (1+0.02) 0.5 =100.9950 D(1)=100 (1+0.02) 1 =102 D(2)=100 (1+0.02 ) 2 = 104.0400 D(3)=100 (1+0.02) 3 = 106.1208 13 di 22

D(30)=100 (1+0.02) 30 = 181.1362. Figura 2. Andamento del debito in funzione del tempo in un regime ad interessi composti (C = 100, i = 2%).. Si vede immediatamente che il debito cresce più rapidamente rispetto alla capitalizzazione semplice. Infatti il suo grafico, in funzione del tempo, è una curva di tipo esponenziale. ESEMPIO 1 In un regime a capitalizzazione composta ad un tasso annuo pari al 27%, presto un capitale pari a 20000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, è: D(2)=20000 (1+0.27) 2 = 32258 euro. ESEMPIO 2 In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 27%, presto un capitale pari a 12000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni e 3 mesi, è (si tenga presente che 3 mesi equivalgono ad 1/4 di anno ): D(2+1/4)=12000 (1+0.27) 2 + 1/4 =12000 1.27 2.25 = 20546.58 euro. 14 di 22

ESEMPIO 3 In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 7%, presto un capitale pari a 30000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni e 45 giorni, è (si tenga presente che 43 giorni equivalgono a 43/365 di anno ): D(2+43/365)=30000 (1+0.07) 2 + 45/365 = 30000 1.07 2.1233 =34634.7 euro. ESEMPIO 4 In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo del 7%, presto un capitale pari a 30000 euro. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, 3 mesi e 23 giorni, è (si tenga presente che 3 mesi equivalgono a 3/12=1/4 di anno e 23 giorni equivalgono a 23/365 di anno) pari a: D(2 + 1/4 + 23/365)= 30000 (1+0.23) 2 + 1/4 + 23/365 = 30000 (1+0.23) 2.3130 = 48425.38. ESEMPIO 5 In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo pari al 27%, presto un certo capitale. La cifra in euro, che mi verrà restituita dopo 2 anni, è pari a 50000 euro. Il capitale prestato C soddisfa alla seguente relazione 50000 = C (1+0.27) 2, da cui si ricava 50000 = C 1.27 2 50000 = C 1.6129 C = 50000/ 1.6129 = 31000.06 euro. Infatti, si ha 31000.06 (1+0.27) 2 = 50000. Adesso presentiamo una formula per calcolare iterativamente il debito in un regime ad interessi composti: mostriamo una relazione che lega il debito in t, D(t), al debito dell'anno precedente, D(t 1). Essendo D(t ) = C(1+i) t D(t 1) = C(1+i) t -1 si ricava subito. 15 di 22

D(t) = (1+i)D(t 1) = D(t 1)+iD(t 1). In altre parole, il debito in un certo anno e pari al debito dell'anno precedente aumentato degli interessi calcolati su tutto il debito. Ora cerchiamo di calcolare esattamente la data in cui il debito sarà uguale al doppio del capitale iniziale. Dall'equazione D(t) = C(1+i) t si ricava 2C = C(1+i) t e quindi 2 = (1+i) t. Per una proprietà dei logaritmi log 2 = t log (1+i) Infine, si ricava t = log2/log(1+i). Da adesso in poi, prenderemo, come base dei logaritmi, il numero di Nepero e (e = 2.7183). Si noti che al tendere de i al valore (irrealistico) zero, il tempo tende all'infinito (ossia, il debito non verrà mai raddoppiato). Il problema del raddoppio di un capitale venne affrontato dal matematico Luca Pacioli (1445-1517): egli trovò che t =72 /(100i). 16 di 22

Figura 3. Andamento del tempo di raddoppio di un capitale in funzione del parametro i.. Si noti che lim i 0+ (log2/log(1+i) = (log2/log(1) = + : ha infatti se l'interesse tende a zero il tempo di raddoppio tende all'infinito. Viceversa, si lim i (log2/log(1+i)) = 0, quindi se l'interesse diverge, il tempo di raddoppio tende a 0. In generale, dato un capitale C, calcoliamo il tempo per arrivare al valore D. Dalla relazione D = C(1+i) t si ricava D/C = (1+i) t 17 di 22

log (D/C) =t log(1+i), da cui segue t = log (D/C) /log (1+i). Si noti che, così come avviene per la capitalizzazione semplice, anche in questo caso, per risolvere il problema di duplicazione del capitale è inutile conoscere C e D, ma basta conoscere solo il rapporto D/C (oltre al parametro i, ovviamente). ESEMPIO 6 In un regime a capitalizzazione composta al tasso annuo pari al 21%, presto una certa cifra in euro. Il tempo necessario affinché il relativo debito venga a raddoppiarsi è pari a t* = log2/log(1+0.21) =log2/log(1.21) =3.63627 anni. Infatti, qualunque sia il valore di C, si ha C (1+0.21) 3.63627 = 2C. Per trovare il numero di giorni residui basta considerare l'equazione 0.63627 =x /365 che ha per soluzione x= 0.63627 365 = un po' più di 232 giorni infatti (1+0.21) 3+232/365 = 1.9998 e (1+0.21) 3+233/365 = 2.0008. ESEMPIO 7 In un regime a capitalizzazione semplice al tasso annuo pari al 5%, presto una certa cifra in euro. Il tempo necessario affinché il relativo debito venga a triplicarsi è pari a t* = log3/log(1+0.05) = log3/log(1.05)= 22.5171 anni. Infatti, qualunque sia il valore di C, si ha C (1+0.05) 22.5171 = 3C. 18 di 22

Per trovare il numero di giorni residui, consideriamo l'equazione 0.5171 =x /365 La relativa soluzione è x= 0.5171 365 = quasi 189 giorni infatti (1+0.05) 22+188/365 = 2.9997 e (1+0.05) 22+189/365 = 3.0001 19 di 22

5 Raffronto tra capitalizzazione semplice e composta Osserviamo adesso che se 0 < i < 1 e 0 < t < 1, si ha (1+i) t < 1+it, inoltre, 0 < i < 1 e t > 1, si ha (1+i) t > 1+it. Infatti la funzione f(t) = 1+it (1+i) t. ha un massimo assoluto per 0 < t < 1 perché la sua derivata f'(t) = i (1+i) t ln(1+i) > 0 se i/ ln(1+i) > (1+i) t t < log(i/ log(1+i))/log(1+i). Si osservi che, se 0 < i < 1, l'espressione log(i/ log(1+i))/log(1+i) ha un valore compreso tra zero ed 1. Questo significa che (a parità di tasso annuo i) ad un soggetto che emette prestiti conviene calcolare gli interessi in capitalizzazione semplice per prestiti di durata inferiori ad un anno. Viceversa, ai debitori conviene che gli interessi siano calcolati in regime di capitalizzazione semplice per prestiti di durata superiore ad un anno. Va da sé che però in generale il parametro i dipende dalla durata stessa del prestito (e cresce con essa), per cui in generale conviene estinguere un debito il prima possibile. 20 di 22

Figura 4. Andamento della funzione f'(t) = i (1+i) t ln(1+i) > 0, per i = 0.10. Adesso osserviamo che, per la formula di Taylor, se 1< i < 1 si ha (1 i) t t i n 0 n D( t) C(1 i) t n t( t 1) 1 it i 2 C(1 it) t( t 1)( t 2) i 6 In prima approssimazione (t piccolo oppure i piccolo), la legge degli interessi composti equivale a quella degli interessi semplici. I quattro esempi che seguono sono relativi ad un capitale iniziale unitario. ESEMPIO 1 Se i = 6% = 0.06 e t = 4 mesi (=1/3=0.3333), il terzo termine della serie vale 0.3333 (1 0.3333) 0.06 0.06/2 = 0.0004. Quindi l'errore tra i montanti, relativi alle due leggi, è inferiore a 0.0004. 2 3... 21 di 22

Infatti (1+0.06) 1/3 = 1.0196 e (1+0.06/3) = 1.02. ESEMPIO 2 Se i = 20% = 0.2 e t = 6 mesi (=1/2=0.5), il terzo termine della serie vale 0.5 (1 0.5) 0.2 0.2/2 = 0.005. Quindi l'errore tra i montanti, relativi alle due leggi, è inferiore a 0.005. Infatti (1+0.20) 1/2 = 1.0954 e (1+0.20/2) = 1.1. ESEMPIO 3 Se i = 20% = 0.2 e t = 6 giorni (=6/365), il terzo termine della serie vale 6/365 (1 6/365) 0.2 0.2/2 = 0.0003. Quindi l'errore tra i montanti, relativi alle due leggi, è inferiore a 0.0003. Infatti (1+0.20) 6/365 = 1.0030 e (1+0.20 6/365) = 1.0032. ESEMPIO 4 Se i = 2% = 0.02 e t = 2 anni, il terzo termine della serie vale 2 (2-1) 0.04 0.04/2 = 0.0016. Quindi l'errore tra i montanti, relativi alle due leggi, è inferiore a 0.0016. Infatti (1+0.04) 2 = 1.0816 e (1+0.04 2) = 1.0800. 22 di 22