Sistemi di Controllo Digitale

Silvi Simani - Lezine lezine Silvi Simani - Lezine PROCESSO: Un insieme di perazini di trasfrmazini che devn avvenire in sequenza pprtuna in un impiant in un sistema fisic CONTROLLO DEI PROCESSI: Sistemi di Cntrll Digitale Insieme di metdlgie, tecniche e tecnlgie rientate alla cnduzine autmatizzata di impianti industriali Intrduzine Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 3 SISTEMI DI CONTROLLO DIGITALE: Silvi Simani - Lezine 4 SCHEMA TIPICO DI UN SISTEMA DI CONTROLLO ANALOGICO Sistemi di cntrll in retrazine in cui è presente un calclatre digitale e quindi una elabrazine a temp discret della legge di cntrll Reglatre r e Rete crretrice m Sistema Amplificatre Attuatre c cntrllat y Trasduttre di misura Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 5 SCHEMI TIPICI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO DIGITALE () Silvi Simani - Lezine 6 SCHEMI TIPICI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO DIGITALE () Calcl. A/D digitale Clck (T) D/A Attuat. Prc. A/D Calcl. digitale D/A Attuat. Prc. Trasduttre temp discret A/D Trasduttre Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 7 CONTROLLO DIGITALE / CONTROLLO ANALOGICO : + Maggire capacità e precisine di elabrazine + Maggire flessibilità + Maggire affidabilità e ripetibilità + Maggire trasmissibilità deisegnali - Prgettazine più difficile e articlata - Stabilizzabilità più precaria - Pssibilità di arresti nn previsti - Necessità di utilizzare energia elettrica Silvi Simani - Lezine 8 SEGNALI DI INTERESSE a) Analgic di tip cntinu; b) Temp-cntinu quantizzat; c) A dati campinati; d) Digitale x(t) (a) t x(t) (b) t x(t) x(t) (c) t (d) t Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 9 DISPOSITIVI DI INTERFACCIA Silvi Simani - Lezine D/A, cnvertitre Digitale/Analgic A/D, cnvertitre Analgic/Digitale x(t) A/D x(kt) x(t) x(kt) Mdell: x(kt) D/A x r (t) x(kt) H Cn campinament mdellat ad impulsi di Dirac: x(t) A/D x(kt) x(t) x(kt)δ(t kt) δ T Cas dell Hld: x(kt) x(kt)δ(t kt) x r (t) G r (s) G r (s) = e st s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine ANELLO DI CONTROLLO DIGITALE Silvi Simani - Lezine lezine Parte temp cntinua: prcess/impiant Parte temp discreta: sistema di cntrll Campinament reglare di perid T Trasfrmata Zeta Mdelli per Sistemi a Temp Discret Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 3 Silvi Simani - Lezine 4 Equazine alle differenze: Se f( ) è lineare: u k = f(e, e,...,e k ; u, u,...,u k ) Sluzine di equazini alle differenze a cefficienti cstanti u = u =. u k = u k + u k k u k = a u k... a n u k n + b e k +...+ b m e k m 35 3 Esempi: 5 u k = a u k a u k + b e k u(k) 5 u k = u k u k = u k u k u k = u k u k + u k 5 3 4 5 6 7 8 9 a u k (a + a ) u k +(a + a + )u k = b e k Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 5 Silvi Simani - Lezine 6 Sluzine elementare tip z k : cz k = cz k + cz k z z = z, =( ± 5)/ quindi in generale vale: u k = c z k + c z k cn c, c determinate dalle cndizini iniziali per k =,. Infine si ha Se almen una delle radici della equazine caratteristica ha mdul maggire di un, la crrispndente equazine alle differenze è instabile, ciè la sua sluzine divergerà al crescere del temp per cndizine iniziale finita Se tutte le radici dell equazine caratteristica sn entr in cerchi unitari, allra la crrispndente equazine alle differenze è stabile, ciè la sua sluzine cnvergerà a zer al crescere del temp per gni cndizine iniziale finita u k = + 5 5 +! k 5 + + 5 5 5! k Andament divergente, dunque sistema instabile. Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 7 Silvi Simani - Lezine 8 Sia data una sequenza di valri x k R, definita per k =,,,... e nulla per k <. La Z-trasfrmata (unilatera) della sequenza x k è la funzine di variabile cmplessa z definita cme X(z) =Z[x k ] = x + x z + + x k z k + = P k= x kz k Nel cas in cui la sequenza di valri x k sia ttenuta campinand unifrmemente cn perid T un segnale cntinu descritt dalla funzine x(t), t, siavràchex k = x(kt): X(z) = x(k)z k k= L espressine estesa X(z) =x() +x(t) z + x(t) z + + x(kt) z k + implica la specificazine del parametr perid di campinament T, da cui dipendn i valri dei campini della sequenza, ciè i cefficienti della serie. Si usa: intendend: X(z) =Z[X(s)] hn X(z) =Z L [X(s)] t=kt i Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 9 Silvi Simani - Lezine Nelle applicazini ingegneristiche la funzine X(z) assume in generale una espressine razinale fratta del tip X(z) = b z m + b z m + + b m z n + a z n + + a n che si può esprimere anche in ptenze di z : X(z) = zn (b z (n m) + b z (n m+) + + b m z n ) z n ( + a z + + a n z n ) = b z (n m) + b z (n m+) + + b m z n + a z + + a n z n Impuls discret unitari, detta anche funzine di Krnecker δ (t): da cui: x(t) = X(z) = Z[x(t)] = j t = t x(kt)z k k= = + z + z + z 3 + = Esempi: X(z) = z(z +.5) (z + )(z + ) = +.5z ( + z )( + z ) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine Silvi Simani - Lezine Gradin unitari: Sia data la funzine gradin unitari x(t) =h(t) = j t t < La funzine h(k) definita cme j k =,,,... h(k) = k < è detta sequenza unitaria. Si ha che H(z) = Z[h(t)] = h(kt)z k = k= = + z + z + z 3 + = z = z z k= z k Rampa unitaria. Si cnsideri la funzine rampa unitaria: x(t) = j t t t < Pichè x(kt) =kt, k =,,,...,laz-trasfrmata è cnvergente per z >. X(z) = Z[t] = x(kt)z k = T k= k= = T(z + z + 3z 3 + ) = Tz ( + z + 3z + ) = T z ( z ) = T z (z ) kz k La serie è cnvergente per z >. Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 3 Silvi Simani - Lezine 4 Funzine ptenza a k. Sia data la funzine j a k k =,,,... x(k) = k < cn a cstante reale cmplessa. Dalla definizine di Z-trasfrmata si ha che h X(z) = Z a ki = x(k)z k = a k z k k= Questa serie gemetrica cnverge per z > a. k= = + az + a z + a 3 z 3 + = az = z z a Funzine espnenziale. Sia data la funzine j e at t x(t) = t < dve a è una cstante reale cmplessa. Pichè x(kt) =e akt, k =,,,...,siha h X(z) = Z e ati = e akt z k k= = + e at z + e at z + e 3aT z 3 + = e at z = z z e at che cnverge per z > e Re(a)T.Sintichepera = si ha il gradin unitari. Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 5 Silvi Simani - Lezine 6 Funzine sinusidale. Sia data la sinuside j sin ωt t x(t) = t < Dalle frmule di Euler èntche sin ωt = j (ejωt e jωt ) Funzine csinusidale. Sia data la funzine j cs ωt t x(t) = t < X(z) = Z[cs ωt] = «e jωt z + e jωt z X(z) = Z[sin ωt] = «j e jωt z e jωt z = (e jωt e jωt )z j (e jωt + e jωt )z + z = cnvergente per z >. z sin ωt z cs ωt + z = z sin ωt z z cs ωt + = (e jωt + e jωt )z (e jωt + e jωt )z + z z cs ωt = z cs ωt + z z(z cs ωt) = z z cs ωt + z > Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 7 Silvi Simani - Lezine 8 Funzine csinusidale smrzata. Sia dat il segnale x(t) = j e at cs ωt t t < h i X(z) = Z e at cs ωt = h i Z (e at e jωt + e at e jωt ) = «e (a jω)t z + e (a+jω)t z = (e jωt + e jωt )e at z (e jωt + e jωt )e at z + e at z = e at z cs ωt e at z cs ωt + e at z = z(z e at cs ωt) z e at z cs ωt + e at z > e at Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 9 Funzine sinusidale smrzata Silvi Simani - Lezine3 3 lezine 3 si ttiene x(t) = h i X(z) = Z e at sin ωt = j e at sin ωt t t < e at z sin ωt e at z cs ωt + e at z Trasfrmata Z = e at z sin ωt z e at z cs ωt + e at z > e at Le trasfrmate delle funzini di maggir interesse sn slitamente riprtate in tabelle Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine3 3 Silvi Simani - Lezine3 3 Esempi: X(s) = s(s+) Prima tecnica: x(t) = e t h X(z) = Z e ti = z e T z = ( e T )z ( z )( e T z ) = ( e T )z (z )(z e T ) La Z trasfrmata X(z) e la sua sequenza crrispndente x(k) sn legate da una crrispndenza biunivca Quest nn avviene in genere tra la Z-trasfrmata X(z) e la sua inversa x(t) Data una X(z) si pssn in genere avere mlte x(t) Questa ambiguità nn sussiste se sn verificate le cndizini restrittive su T dettate dal Terema di Shannn Secnda tecnica: X(s) = s(s + ) = s + s X(z) = z e T z Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine3 33 Silvi Simani - Lezine3 34 Diverse funzini temp cntinu pssn avere gli stessi valri x(k) y, y.8.6.4. PROPRIETÀ E TEOREMI DELLA Z-TRASFORMATA Linearità: x(k) =af(k) +bg(k) X(z) =af(z) +bg(z) Mltiplicazine per a k.siax(z) la Z-trasfrmata di x(t), a una cstante. h i Z a k x(k) = X(a z).8.6.4 h i Z a k x(k) = a k x(k)z k = x(k)(a z) k k= k=. = X(a z) 4 6 8 t (s) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine3 35 Silvi Simani - Lezine3 36 Terema della traslazine nel temp. Se x(t) =, t <, X(z) = Z[x(t)], e n =,,..., allra Z[x(t nt)] = z n X(z) (ritard) # Xn Z[x(t + nt)] = z "X(z) n x(kt)z k ( anticip) k= Cas di ritard: Z[x(t nt)] = x(kt nt)z k k= X = z n x(kt nt)z (k n) k= Operativamente: ecsìvia. z x(k) =x(k ) z x(k) =x(k ) zx(k) =x(k + ) da cui, pnend m = k n, Z[x(t nt)] = z n X m= n Pichè x(mt) = per m <, allra si può scrivereche Z[x(t nt)] = z n X m= x(mt)z m x(mt)z m = z n X(z) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine3 37 Cas dell anticip: Z[x(t + nt)] = = x(kt + nt)z k = z n k= X k= x(kt + nt)z (k+n) " X Xn = z n x(kt + nt)z (k+n) + x(kt)z k k= # X x(kt)z k n k= k= " # X Xn = z n x(kt)z k x(kt)z k k= k= # Xn = z "X(z) n x(kt)z k k= Silvi Simani - Lezine3 38 Terema del valre iniziale. Se X(z) èlaz-trasfrmata di x(t) eseesisteillim z X(z), allra il valre iniziale x() di x(t) è dat da: x() = lim z X(z) Infatti,sintiche X(z) = x(k)z k = x() +x()z + x()z + k= Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine3 39 Silvi Simani - Lezine3 4 Terema del valre finale. Sian tutti i pli di X(z) all intern del cerchi unitari, cn al più un pl semplice per z =. Infatti k= lim k h i x(k) = lim ( z )X(z) z x(k)z k x(k )z k = X(z) z X(z) k= lim z ˆP k= x(k)z k P k= x(k )z k = = [x(k) x(k )] k= = [x() x( )] + [x() x()] + [x() x()] + Esempi: Si cnsideri il segnale descritt da Tz(z + ) X(z) = (z.5)(z ) Il valre finale della sequenza x(kt) è quindi dat da lim x(kt) k = lim Tz(z + ) z z ) (z.5)(z ) = T(z + ) lim z (z.5) = T = lim k x(k) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine3 4 Silvi Simani - Lezine3 4 Differenziazine cmplessa: Z[kx(k)] = z d dz X(z) Zˆk m x(k) = z d «m X(z) dz Esempi: ÈntchelaZ-trasfrmata del gradin unitari è Z[h(k)] = z Per ttenere la trasfrmata del segnale rampa unitaria x(k) =kt, k =,,,... Z[kT h(k)] = Tz d «dz z z = T ( z ) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine3 43 Silvi Simani - Lezine3 44 Integrazine cmplessa. Si cnsideri la sequenza g(k) = x(k) k dve x(k)/k è finit per k =, esiaz[x(k)] = X(z). LaZ-trasfrmata di x(k)/k èdata da» Z x(k) X(ζ) x(k) Z = dζ + lim k ζ k k z Terema della cnvluzine reale. Sian date due funzini x (t) e x (t), cnx (t) = x (t) =, t < e Z-trasfrmate X (z), X (z). Allra Per la dimstrazine, si nti che " kx # X (z)x (z) =Z x (ht)x (kt ht) " kx # Z x (h)x (k h) h= h= = = k= h= k= h= kx x (h)x (k h)z k x (h)x (k h)z k pichè x (k h) =, h > k. Definend m = k h si ha " kx # Z x (h)x (k h) = x (h)z h X h= h= m= x (m)z m Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine3 45 Silvi Simani - Lezine3 46 Terema della cnvluzine cmplessa. Sian date due successini x (k), x (k) nulle per k <. Inltre sian X (z) e X (z) le trasfrmate delle due successini e sian R, R i rispettivi raggi di cnvergenza. Allra la Z-trasfrmata del prdtt x (k)x (k) è data da: Z[x (k)x (k)] = I ζ X (ζ)x (ζ z)dζ πj C Terema di Parseval. Sian date due sequenze x (k), x (k) nulle per k <. Inltre sian X (z) e X (z) le trasfrmate delle due successini. [Z[x (k)x (k)]] z = = x (k)x (k) k= = πj I C ζ X (ζ)x (ζ z)dζ Per x (k) =x (k) =x(k), si ttiene x (k) = I πj = I πj k= C C ζ X(ζ)X(ζ )dζ z X(z)X(z )dz Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine3 47 Trasfrmazine di funzini peridiche. Sia data una successine x p (k) peridica di perid pt e x(k) la successine dei campini del prim perid e nulla per k > p Silvi Simani - Lezine4 48 Lezine 4 j xp (k) k =,...,p x(k) = k > p Se X(z) èlaz-trasfrmata di x(k) allra vale Z[x p (k)] = zp z p X(z) = z px(z) Antitrasfrmata Z Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine4 49 Silvi Simani - Lezine4 5 LA ANTITRASFORMATA Z Permette di passare da una Z-trasfrmata X(z) alla crrispndente sequenza x k e pssibilmente alla funzine cntinua x(t) cui crrispnde per campinament la sequenza x k. X(z) x(k) x(t) biunivca nn biunivca Diversi metdi per antitrasfrmare una funzine X(z): ) Metd della lunga divisine; ) Metd cmputazinale; 3) Metd della scmpsizine in fratti semplici; 4) Metd dell integrale di inversine. Se è sddisfatt il Terema di Shannn sul campinament, la funzine cntinua x(t) può essere univcamente determinata a partire dalla sequenza x k. Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine4 5 Silvi Simani - Lezine4 5 Metd della scmpsizine in fratti semplici Cas. Se tutti i pli sn semplici, si pne X(z) = b z m + b z m + + b m z + b m (z p )(z p ) (z p n ) X(z) = c + c + + c n = z p z p z p n nx i= c i z p i dve i cefficienti c i, detti residui, sn parametri che vengn calclati cme: Se nella espressine di X(z) cmpare almen un zer nell rigine, si utilizza la funzine X(z)/z e quindi X(z) z = c z p + + c» n c i = (z p i ) X(z) z p n z z=p i Quand sn presenti pli cmplessi cniugati, i cefficienti c i sn anch essi cmplessi. In quest cas si ricrre alle frmule di Euler per ttenere funzini trignmetriche. L espressine finale cercata è quindi nx x(k) = c i p k i i= c i =[(z p i )X(z)] z=pi Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine4 53 Silvi Simani - Lezine4 54 Cas. SeX(z), X(z)/z, hapli multipli X(z) = B(z) A(z) = b z m + b z m + + b m z + b m (z p ) r (z p ) r (z p h ) r h Esempi. Antitrasfrmare la funzine X(z) = z 4 + 6z 3 + 3z + z + 4 = (z + ) (z + ) allra si può prre X(z) = r hx Xi i= k= c ik (z p i ) r i k+ dve i residui si calclan cme " # d k c ik = (k )! dz k (z p i) r i X(z) i =,...,h; k =,...,r i z=p i Si ha che X(z) = c (z + ) + c (z + ) + c (z + ) + c (z + ) c = [(z + ) X(z)] z= =» d c = dz (z + ) X(z) = c = c = h i (z + ) X(z) z=» d dz (z + ) X(z) z= = z= = Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine5 55 Lezine 5 Silvi Simani - Lezine5 56 I sistemi in retrazine cn cntrll digitale sn caratterizzati da una parte cntinua (il prcess da cntrllare) e una parte discreta (il cntrllre digitale) Sn quindi presenti sia variabili a temp discret sia variabili a temp cntinu I dispsitivi di interfaccia sn il campinatre e il ricstruttre Il Prblema del Campinament Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine5 57 e(t) e(kt) x(kt) x r (t) Cntrllre Ricstruttre T Ricstruttre di rdine zer: x r (t) = x(kt)[h(t kt) h(t (k + )T)] k= X r (s) = P k= x(kt) h i e kts e (k+)ts s = e Ts P s k= x(kt)e kts Silvi Simani - Lezine5 58 δ T (t) = H (s) = e Ts s x (t) =L ˆX (s) = δ(t kt) k= δ T (t) X (s) = x(kt)e kts k= x(kt)δ(t kt) k= T T 3T 4T 5T t x(t) X(s) δ T (t) x (t) X (s) x(t) X(s) δ T (t) x (t) X (s) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine5 59 Silvi Simani - Lezine5 6 Il campinatre impulsiv è un mdell ideale del campinatre reale (cnvertitre A/D) cnsiderat adeguat alle esigenze di analisi e prgett dei cntrlli digitali L uscita del ricstruttre di rdine zer vale: X r (s) =H (s) X (s) = e Ts X (s) s x(t) x(kt) x r (t) Hld T X (s) = x(kt)e kts k= z = e st s = T ln z X (s) s= = X x(kt) z k ln z T La trasfrmata zeta della sequenza x(kt) anzichè la trasfrmata di Laplace del segnale x (t) permette di perare cn funzini razinali fratte. k= x(t) x (t) x r (t) e Ts δ s T Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine5 6 Silvi Simani - Lezine5 6 ne segue x (t) = x(t) δ T (t) =x(t) P n= δ(t nt) δ T (t) = P n= c n e jnωst c n = T R T δ T(t) e jnωst dt = T x (t) = x(t) T = T P n= ejnωst P n= x(t) ejnωst X (s) = h L x(t) e jnωsti = X(s jnω s ) T T n= n= A men della cstante mltiplicativa /T, la trasfrmata di Laplace X (s) del segnale campinat si ttiene dalla smma degli infiniti termini, X(s jnω s ), ciascun dei quali si ttiene dalla X(s) mediante traslazine di jnω s nel camp cmpless. L andament spettrale del segnale campinat vale: X (jω) = T n= X(jω jnω s ) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine5 63 X(jω) 3ωs ωs ω c ω c ω X (jω) ωs ω s ω c ωs ω s ωs T 3ωs La cndizine ω s > ω c mantiene distint l spettr riginari dalle cmpnenti cmplementari per cui, mediante filtraggi, è pssibile ricstruire cmpletamente il segnale x(t) ω Silvi Simani - Lezine5 64 Nel cas in cui la cndizine ω s > ω c nn è rispettata: X (jω) ω s ω s ω s ωs T L spettr riginari è parzialmente svrappst alle cmpnenti cmplementari cntigue per cui mediante filtraggi nn è più pssibile ricavare il segnale riginari a partire dal segnale campinat Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine5 65 Silvi Simani - Lezine5 66 Terema di Shannn Sia ω s = π T la pulsazine di campinament (T è il perid di campinament), e sia ω c la più alta cmpnente spettrale del segnale temp-cntinu x(t). Ilsegnalex(t) è cmpletamente ricstruibile a partire dal segnale campinat x (t) seeslselapulsazineω s è maggire del dppi della pulsazine ω c : ω s > ω c Ricstruzine mediante filtr ideale G I (jω) Il filtr ideale G I (jω) nn è fisicamente realizzabile. La sua rispsta all impuls vale: g I (t) = sin(ω st/) ω s t/ G I (jω) = ( T ωs ω ωs altrve ωs T ωs -4T -3T -T -T T T 3T 4T Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine5 67 Silvi Simani - Lezine5 68 Frmula di ricstruzine di Shannn x(t) = R x (τ) g I (t τ) dτ = P k= x(kt) R δ(τ kt)sin(ωs(t τ)/) ωs(t τ)/ dτ Aliasing: Cn il termine aliasing si indica quel fenmen per il quale, mediante campinament, si generan delle nuve cmpnenti spettrali (armniche) alla stessa frequenza della cmpnente spettrale di partenza che impediscn la crretta ricstruzine del segnale di partenza. Si può avere aliasing sl nel cas in cui la cndizine ω s > ω c del terema di Shannn nn sia verificata = P k= x(kt)sin(ωs(t kt)/) ωs(t kt)/ Occrrn tutti i campini x(kt) passati e futuri Si usan ricstruttri causali e facilmente realizzabili Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine5 69 Silvi Simani - Lezine5 7 Esempi: j x(t) = sin(ω t + θ) y(t) = sin((ω + nω s )t + θ) aventi stessa fase θ e pulsazine che differisce di un multipl inter di ω s. Se i due segnali vengn campinati 8 x(kt) = sin(ω kt + θ) >< y(kt) = sin((ω + nω s )kt + θ) = sin(ω kt + kπn + θ) >: = sin(ω kt + θ) Esempi: ω + ω = nω s Pst ω = 8 ω s e ω = ω s ω = 7 8 ω s 8 < : x(t) = sin(ω t)=sin(ω s t/8) y(t) = sin(ω t)=sin(7ω s t/8 + π) Campinand si ha 8 x(kt) = sin(ω s kt/8) =sin(kπ/8) >< = sin(kπ/4) I valri campinati cincidn: x(kt) =y(kt) >: y(kt) = sin(7ω s kt/8 + π) =sin(7kπ/4 + π) = sin(kπ/4) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine5 7 Silvi Simani - Lezine5 7 Campinament della rispsta all impuls di un sistema del secnd rdine 5 G(s) = s + 6s+ 5 Il sistema G(s) ha un guadagn static unitari, ha due pli cmplessi cniugati p, = 3±j4, pulsazine naturale ω n = 5rad/s e cefficiente di smrzament δ = 3/5 5 G(s) = (s + 3) + 4 Per evitare fenmeni di aliasing si deve prvvedere ad intrdurre un pprtun filtraggi passa-bass prima del campinatre. Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine5 73 Diagramma delle ampiezze di G(jω): G(jw) (db) scala lgaritmica - -4-6 - 3 scala lineare Silvi Simani - Lezine5 74 L spettr, pur essend a banda tericamente illimitata, risulta essere praticamente trascurabile per pulsazini maggiri di ω = 5 rad/s Applicand la Z-trasfrmata si ha La rispsta spettrale è data da G(z) = 5 4 e 3T sin(4t) z z e 3T cs(4t) z + e 6T G (jω) =G(z) z=e jωt ω π T G(jw).5 5 5 5 3 35 4 45 5 Per ω>ω n = 5 rad/s = ω, l ampiezza di G(jω) è inferire ad un centesim (-4 db) del guadagn static Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine5 75 Andament spettrale di G (jω) quand T = π 5 e T = π 5 Silvi Simani - Lezine6 76 Lezine 6 5 5 5 5 5 Ricstruttri di Segnale - Relazine tra Pian s e Pian z 5 5 5 5 5 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine6 77 Silvi Simani - Lezine6 78 Tipici ricstruttri di segnale Ricstruttre di rdine zer x(kt) Ricstruttre x r (t) x (t) =x(kt) kt t < (k + )T x(t) =x(kt)+ dx(t) dt dx(t) dt t=kt (t kt)+ t=kt + d x(t) dt t=kt (t kt)! + x(kt) x((k )T) T... g (t) T H (s) = e st s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine6 79 Silvi Simani - Lezine6 8 La rispsta frequenziale del ricstruttre di rdine zer: Mdul Fase H (jω)= e jωt jω = e jωt/ ω = T sin(ωt/) ωt/ e jωt/ H (jω) = T sin(ωt/) ωt/» Arg [H (jω)] = Arg sin ωt e jωt/ e jωt/ j ωt Ricstruttre di rdine zer H(jW) /T Scala lineare.5 3 4 W/Ws H(jW) /T (db) Scala lgaritmica - -4-6 - W/Ws Fase (deg) -5 - Fase (deg) -5 - -5-5 3 4 W/Ws - W/Ws Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine6 8 9 8 7 6 5 Silvi Simani - Lezine6 8 Crrispndenza tra pian s e pian z X (s) =X(z) z=e st Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine z = e st 4 3 Pst s = σ + jω si ha z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω = e Tσ e jt(ω+kπ T ) 4 6 8 H (jω) Te jωt/ Ogni punt del pian z è in crrispndenza cn infiniti punti del pian s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine6 83 I punti del pian s a parte reale negativa (σ <) sn in crrispndenza cn i punti del pian z all intern del cerchi unitari: z = e Tσ < I punti sull asse immaginari (σ = ) vengn mappati sul cerchi unitari ( z = ), mentre quelli a parte reale psitiva (σ > ) vengn mappati all estern del cerchi unitari ( z > ). La striscia di pian s delimitata dalle rette rizzntali s = jω s / e s = jω s / prende il nme di striscia primaria Silvi Simani - Lezine7 84 Lezine 7 Funzini di Trasferiment Discrete Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine7 85 Striscia primaria e Strisce cmplementari Striscia cmplementare Striscia cmplementare Striscia primaria Striscia cmplementare Striscia cmplementare jω j ωs j 3ωs j ωs j ωs j 3ωs j 5ωs pian s Im σ Re pian z Silvi Simani - Lezine7 86 Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine Pst s = σ + jω si ha dve z = e st z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω ω ω s = π T Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine7 87 Silvi Simani - Lezine7 88 Mapping tra striscia primaria e pian z jω pian s 4 5 Striscia primaria 3 8 7 6 j ωs j ωs 4 j ωs 4 j ωs 3 6 4 5 8 σ Re Im 7 pian z Lughi a decadiment espnenziale cstante jω pian s Im pian z σ σ σ e +σ T e σ T Re Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine7 89 Silvi Simani - Lezine7 9 Lughi a pulsazine cstante Un esempi di crrispndenza fra due regini del pian s edelpianz jω pian s Im z = e T(σ+jω ) pian z j ωs j ωs jω jω σ jω ω T ω T z = e T(σ+jω ) Re z = e T(σ jω ) σ = σ jω σ = σ j ωs jω σ jω j ωs pian s Im z = e T(σ+jω ) e σ T pian z e σ T Re z = e T(σ jω ) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine7 9 Silvi Simani - Lezine7 9 Lug dei punti a cefficiente di smrzament cstante δ = δ Lughi a cefficiente di smrzament δ cstante δ s = ω tan β + jω = ω + jω δ jws/ pian z β =arcsinδ pian s jws/ pian s pian z - - jws/ -jws/ z = e st = e ( ω tan β+jω)t = e ϕ tan β e jϕ ϕ = ωt Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine7 93 Silvi Simani - Lezine7 94 Lughi a pulsazine naturale ω n cstante Lughi del pian z a δ e ω n cstanti jws/ pian z W=.6 W=.4 pian s - W=.8 W=. jws/ W=. d=...4 z= z= Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine7 95 I punti del pian s edelpianz, psti in crrispndenza per mezz della relazine z = e st, pssn essere cnsiderati cme pli crrispndenti di trasfrmate F(s) ed F(z), cn F(z) calclata campinand F(s) j ωs j ωs jω pian s 7 8 9 4 5 6 4 5 3 6 σ 7 8 9 jω 9 8 7 7 8 9 pian z 4 5 6 3 σ 4 5 6 Silvi Simani - Lezine7 96 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine8 97 Lezine 8 Silvi Simani - Lezine8 98 Funzine di trasferiment discreta y(kt) = g(kt ht)x(ht) h= Cmpsizine di Schemi a Blcchi X(z) G(z) Y(z) X(z) =Z[x(kT)] = Y(z) =G(z) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine8 99 Funzine di Rispsta Armnica Discreta G(e jωt ), ω π T G(e j(ω+kωs)t )=G(e jωt ), G(e j( ω)t )=G (e jωt ) La rispsta di un sistema G(z) asintticamente stabile ad un ingress sinusidale sin(ωkt) di ampiezza unitaria è, a regime, una sinuside A sin(ωkt + ϕ) la cui ampiezza A è data dal mdul del vettre G(e jωt ), e la cui fase ϕ è data dalla fase del vettre G(e jωt ): Silvi Simani - Lezine8 z sin ωt X(z) = Z[sin(ωt)] = = j z z e jωt z ( cs ωt)z+ z z e jωt Y(z) = G(z) X(z) = Y (z) + G(ejωT ) e j(ωt+ϕ) z j z e jωt e j(ωt+ϕ) z z e jωt smma di un termine transitri Y (z) che si annulla asintticamante, crrispndente ai pli stabili di G(z), e un termine sinusidale di ampiezza G(e jωt ) efaseϕ = Arg[G(e jωt )]. A = G(e jωt ) ϕ = Arg[G(e jωt )] Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine9 Lezine 9 Silvi Simani - Lezine9 Stabilità dei sistemi discreti Y(z) U(z) = G(z) =B(z) A(z) Stabilità semplice Stabilità per Sistemi a Temp Discret Stabilità asinttica Stabilità ingress limitat - uscita limitata Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine9 3 Il cmprtament dinamic di un sistema G(z) = B(z) A(z) dipende dai pli di G(z), ciè dalle radici del plinmi A(z). Esempi G(z) = 4z + az = 4 z + a in rispsta a u() =, u(k) =, k > ; in crrispndenza ai valri a =.75, a =.75, a =.5, a =.5, a =, a = Silvi Simani - Lezine9 4 Y(z)( + az )=4z U(z) y(k) = ay(k ) +4u(k ) y() = y() = 4u() =4 y() = ay() +4u() = 4a y(3) = ay() +4u() =4a y(4) = ay(3) +4u(3) = 4a 3 y(5) = ay(4) +4u(4) =4a 4... y(k) = ay(k ) +4u(k ) =4( a) k Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine9 (a) Pl in.75 5 Silvi Simani - Lezine9 (c) Pl in.5 6 pl in z=.75 pl in z=.5 (b) Pl in -.75 (d) Pl in -.5 pl in z=-.75 pl in z=-.5 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine9 (e) Pl in 7 Silvi Simani - Lezine9 8 R(z) G(z) C(z) pl in z= (a) (f) Pl in - R(s) R(z) G(z) D(z) SH G(s) T - T T C(s) C(z) (b) pl in z=- G (z) = D(z)G(z) + D(z)G(z) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine9 9 Sia dat un sistema descritt da Silvi Simani - Lezine Lezine G(z) = B(z) A(z) ppure G (z) = D(z)G(z) + D(z)G(z) Il sistema è asintticamente stabile se e sl se tutte le radici del plinmi A(z) ( del plinmi + D(z)G(z)), ciè i pli del sistema, sn entr il cerchi di raggi unitari cn centr nell rigine del pian z ssia p i <, i. Il sistema è stabile se tutti i pli a mdul unitari p i = sn pli semplici (la lr mlteplicità è ), mentre tutti i rimanenti pli sn entr il cerchi unitari. Errri a Regime Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine Silvi Simani - Lezine Specifiche di prgett di sistemi di cntrll Specifiche che il sistema deve sddisfare, in cndizini statiche ( di regime) e durante i transitri: - Precisine a regime: ci si riferisce cn questa alla capacità di un sistema di seguire alcuni segnali di riferiment cn il minim errre - Rispsta nel transitri: ci si riferisce all andament per tempi finiti dell uscita del sistema in retrazine in rispsta a segnali tipici in ingress - Stabilità relativa: ci si riferisce ai margini di stabilità - Sensitività parametrica: ci si riferisce al fatt che le prestazini del sistema nn vengan alterate dalle variazini di certi parametri - Reiezine di disturbi: ciè la capacità del sistema cntrllat di ridurre al minim l influenza sull uscita di eventuali disturbi che entran nell anell di cntrll - Sfrz di cntrll: ci si riferisce all ampiezza massima della variabile maniplabile v(t), sull energia entrante nel sistema Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 3 Silvi Simani - Lezine 4 Errri a regime (cas cntinu) R(s) E(s) D(s) G(s) C(s) Errri a regime (cas discret) Nel cas discret la crrispndente definizine di tip si riferisce al numer di pli nel punt z = HP(z) R(z) E(z) C(z) D(z) Hld P(s) - G(s) = K( + q s)( + q s)...( + q m s) s N ( + p s)( + p s)...( + p p s)» P(s) G(z) =D(z)HP(z) =D(z)( z )Z s E(z) = + G(z) R(z) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 5 Silvi Simani - Lezine 6 Assumend che il sistema sia stabile, l errre a regime può essere calclat mediante il terema del valre finale: e reg = lim k e(k) = lim z ˆ( z )E(z) = lim z h( z ) +G(z) R(z) i = lim z h z z i +G(z) R(z) Errre di psizine R(z) = r» z e p = lim ( z r ) z + G(z) z Definend k p = lim z G(z) cstante di psizine e p = r + k p» = lim z r + G(z) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

y Silvi Simani - Lezine 7 Silvi Simani - Lezine 8 Errre di velcità R(z) = Tz r ( z ) e v = lim z»( z ) = lim z h Definend k v = lim z ( z )G(z) T Tr ( z )G(z) Tz r +G(z) ( z ) i cstante di velcità e v = r k v Errre di accelerazine R(z) = T z ( + z )r ( z ) 3 e a = lim z»( z T ) z (+z )r +G(z) ( z ) 3 = lim z» Definend k a = lim z ( z ) G(z) T T r ( z ) G(z) cstante di accelerazine e a = r k a Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 9 Silvi Simani - Lezine Esempi cn T =.5 s z G(z) =.5z k p = lim z G(z) = e p = + =.333 Errre di psizine..8.6 Sistema di tip cn ingress a gradin.9.8.7.6.5 Errre k v = lim z ( z )G(z) T = e v = =.4..4.3. k a = lim z ( z ) G(z) T = e a = =.5.5.5 3 3.5 4..5.5.5 3 3.5 4 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

y y y Silvi Simani - Lezine Silvi Simani - Lezine Errre di velcità 4 Sistema di tip cn ingress a rampa Errre Errre di accelerazine Sistema di tip cn ingress a parabla 8 4 Errre 3.5.8 7 3.5 3.6.4 6 3.5. 5.5 4.5.8 3.5.6.4.5..5.5.5.5 3 3.5 4.5.5.5 3 3.5 4.5.5.5 3 3.5 4.5.5.5 3 3.5 4 s s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 3 Silvi Simani - Lezine 4 Esempi.3z G(z) =.z +.z =.3z ( z )(.z ) cn T = s. Il sistema è ra di tip Errre di psizine..8 Sistema di tip cn ingress a gradin.5 Errre k p = lim z G(z) = e p =.6.5.4 k v = lim z ( z )G(z) T =.75 e v =.333. -.5 k a = lim z ( z ) G(z) T = e a = 3 4 5 6 7 8 9-3 4 5 6 7 8 9 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

y y y Silvi Simani - Lezine 5 Silvi Simani - Lezine 6 Errre di velcità Sistema di tip cn ingress a rampa Errre Errre di accelerazine Sistema di tip cn ingress a parabla 5 Errre 9.8 45 4 8.6 4 7.4 35 6. 3 5 5 8 4.8 6 3.6 5 4.4. 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 s s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 7 Silvi Simani - Lezine 8 Esempi G(z) =.3(.z +.37z ) ( z ) (.6z ) cn T = s. Il sistema èditip Errre di psizine.8.6.4 Sistema di tip cn ingress a gradin.5 Errre..5 k p = lim z G(z) = e p =.8 -.5 k v = lim z ( z )G(z) T = e v =.6.4. - -.5 k a = lim z ( z ) G(z) T =.75 e a = 7.843 3 4 5 6-3 4 5 6 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

y y Silvi Simani - Lezine 9 Silvi Simani - Lezine 3 Errre di velcità 6 Sistema di tip cn ingress a rampa 3 Errre Errre di accelerazine 8 Sistema di tip cn ingress a parabla Errre 6 5 4 4 8 3 8 6-6 4 4-3 4 5 6-3 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 s s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 3 Errri a regime in funzine del tip di sistema Tip di sistema Tip +kp Errre a regime in rispsta a: gradin rampa parabla Silvi Simani - Lezine 3 Lezine Tip kv Specifiche nel Transitri: Specifiche Frequenziali Tip ka Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 33 Silvi Simani - Lezine 34 Specifiche sul transitri Nel cas temp-cntinu, si definiscn le seguenti caratteristiche temprali della rispsta a gradin: Temp di salita T s Temp di assestament T a Temp di ritard T r Massim srpass massima svraelngazine S Istante di massima svraelngazine T m Rispsta di un sistema di secnd rdine c(t).6.4. S.8.5.6.4 Ts. 3 4 5 6 7 8 9 Tr Tm Ta t Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 35 Silvi Simani - Lezine 36 G(s) = ω n s +δωns+ω n Temp da al % del V.F.: T = π arccs δ Istante di massim srpass: T m = Temp di assestament: T a = 3 δωn ωn δ π ωn δ δω n (al 5 %), T a = 4 δωn jω α ω n jω n δ (al %) σ Massim srpass percentuale: S % 9 8 7 6 5 4 3 S = [c(t m ) ] = e δπ δ..4.6.8 delta Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 37 Silvi Simani - Lezine 38 Psizine dei pli Specifiche frequenziali Margine di fase M F : dett φ l argment di G(e jωt ) in crrispndenza della pulsazine ω per la quale G(e jω T ) =, il margine di fase M F è il cmplement a π di φ, ciè M F = π φ Tipici valri di specifica sn 45 6 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 39 Margine di ampiezza M A : è l invers del guadagn di anell alla pulsazine ω a cui crrispnde la fase π: M A = G(e jω T ) dve arg{g(e jω T )} = π Silvi Simani - Lezine 4 Lezine Valri usuali di specifica per quest parametr sn 4-6 (-6 db) Prgett per Discretizzazine del Cntrllre Analgic - I Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 4 Silvi Simani - Lezine 4 Metd indirett Tre classi di tecniche prgettuali. Metd indirett per discretizzazine di un prgett analgic. Metd dirett ssia nel dmini discret: - prgett nel pian w (Bde) - prgett cn il lug delle radici - prgett cn metdi analitici 3. Reglatri a struttura fissa (tip PID) x(t) x(t) (a) e(t) u a (t) y a (t) D(s) G(s) u b (t) e(t) y b (t) D(z) H(s) G(s) T il più piccl pssibile!? (b) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 43 Silvi Simani - Lezine 44 Tre passi cncettuali. Definizine di T e verifica dei margini di stabilità del sistema H (s) = e st s H (s) e st/ T T s + x(t) e(t). Discretizzazine della D(s) D(s) T s+ G(s) 3. Verifica a psteriri (simulativa e sperimentale) del cmprtament dinamic u a Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 45 Tecniche di discretizzazine:. Metd delle differenze all indietr (Euler all Indietr, EI). Metd delle differenze in avanti (Euler in Avanti, EA) 3. Trasfrmazine bilineare (Tustin, TU) 4. Metd della Z-trasfrmata cn ricstruttre di rdine Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 46 Metd delle differenze all indietr (EI) D(z) =D(s) s= z T Esempi: dy(t) dt + ay(t) =ax(t) Z t dy(t) dt dt = a Z t y(t)dt + a Z t x(t)dt calcland per t = kt, pert =(k )T e sttraend si ha y(kt) y((k )T) = a R kt (k )T y(t)dt +a R kt (k )T x(t)dt at [y(kt) x(kt)] Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 47 Y(z) =z Y(z) at [Y(z) X(z)] Y(z) X(z) = G(z) = at z + at = a z T + a..4.6.8..4.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Integrazine all indietr t y(t) Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 48. Metd delle differenze in avanti (EA) D(z) =D(s) s= z T Esempi Z kt (k )T y(t)dt Ty((k )T) Z kt (k )T x(t)dt Tx((k )T) y(kt) =y((k )T) at [y((k )T) x((k )T)] Y(z) X(z) = G(z) = atz ( at)z = a z Tz + a Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine 49 Silvi Simani - Lezine 5 3. Trasfrmazine bilineare (TU) Relazine frequenziale tra il pian w, il pian z ed il pian s D(z) =D(s) s= T z +z detta anche integrazine trapezidale ( di di Tustin) Pian w jω z = +wt/ wt/ Pian z Im s = T ln z Pian s jω ωs Z kt (k )T Z kt (k )T y(t)dt x(t)dt [y(kt) +y((k )T)]T [x(kt) +x((k )T)]T Σ w = z T z+ - Re z = e st ωs σ Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine 5 Silvi Simani - Lezine3 5 5. Metd della Z-trasfrmata h i D(z) =Z L [D(s)] Lezine 3 Invarianza della rispsta all impuls Pssibilità di aliasing Da D(s) stabili a D(z) stabili Prgett per Discretizzazine del Cntrllre Analgic - II Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine3 53 Silvi Simani - Lezine3 54 6. Metd della Z-trasfrmata cn ricstruttre di rdine dell invarianza alla rispsta al gradin» Z»D(z) = L D(s) z s t=kt Pssibilità di aliasing Da D(s) stabili a D(z) stabili» " # D(s) e D(z) =( z st )Z = Z D(s) s s Prgett nel pian w Us dei diagrammi di Bde, di Nyquist e di Nichls Definizine di reglatri cn struttura mlt semplice, tipicamente reti crrettrici a ritard e/ anticip Trasfrmazine bilineare Antitrasfrmazine nel pian z cn z = + wt/ wt/ w = z T + z = z T z + Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine3 55 Silvi Simani - Lezine3 56 I passi lgici del prgett sn:. fissare un perid di campinament T. ricavare la funzine di trasferiment G(z) 3. trasfrmare la G(z) csì ttenuta in una G(w) 4. applicare, utilizzand la G(w), una delle tecniche frequenziali nte 5. antitrasfrmare la D(w) csì ttenuta nella D(z) 6. verificare le prestazini ttenute Pian w jω z = +wt/ Σ wt/ w = z T z+ Pian z Im - Re s = T ln z z = e st Pian s jω ωs ωs σ Ω = T tan ωt Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine3 57 Us dei diagrammi di Bde Si cnsideri per esempi il filtr passa bass G c (s) = s + Il crrispndente filtr discret cn T =. s e cn un ricstruttre di rdine è dat da h i G d (z) = Z H s+ =( z )Z =.63 z.3679 h s(s+) i Silvi Simani - Lezine3 58 Passand al pian w quindi G d (w) = G d (z) z= +.5w.5w =.46 w w+9.434 lim G c(jω) = lim ω ω jω + = = lim G d(jω) Ω lim G c(jω) = lim G d (jω) =.46 ω Ω Il filtr G d (w) presenta anche un zer al finit in w = /T Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine3 59 Silvi Simani - Lezine3 6 5 Ampiezze gradi G(jw), G(jW) (db) -5 Gd(w) - Gc(s) -5 3 4 w (W) (rad/s) Fasi -5 Gc(s) - Gd(w) -5 3 4 w (W) (rad/s) Si nti che cn la trasfrmazine bilineare pssn essere intrdtti zeri a parte reale psitiva Prgett di reglatri che vengn trasfrmati in Si nti che D(z) = +wτ +wτp k d = T + τ T + τ p, D(z) = k d(z z ) z z p D(w) = + wτ + wτ p w= (z ) T(z+) T τ T+τ D(z) = T + τ z + T + τ p z + T τp z = τ T τ + T, T+τp z p = τ p T τ p + T Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine3 6 Silvi Simani - Lezine3 6 Prgett di rete ritardatrice G (db) gradi D(w) = + wτ + wτ p τ p < τ Ampiezze - - -3-3 4 - -4 w (rad/s) Fasi Alle alte frequenze, il valre del guadagn è dat da L sfasament massim (in ritard) è dat da α = τ τ p < Φ m = arcsin α + α e si ttiene per la pulsazine Ω m = = τ τ p τ p α Attenuazine alle alte frequenze (effett psitiv), sfasament in ritard (effett negativ) τ =. s, τ p =. s -6-3 4 w (rad/s) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine4 63 Lezine 4 Silvi Simani - Lezine4 64 Prgett di rete ritardatrice D(w) = + wτ + wτ p τ p < τ Ampiezze Prgett di Reti Cmpensatrici - I G (db) - - -3-3 4 w (rad/s) Fasi gradi - -4 τ =. s, τ p =. s -6-3 4 w (rad/s) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine4 65 Silvi Simani - Lezine4 66 Il prgett si articla nei seguenti passi:. Dai diagrammi di Bde del sistema G(w), cn guadagn mdificat per sddisfare eventuali specifiche sull errre a regime, si calcla la pulsazine Ω a cui crrispnde un margine di fase pari a quell desiderat (M F ) aumentat di 5 per cmpensare le apprssimazini intrdtte nel prcediment: Ω : Arg[G(jΩ )] = 8 + M F + 5. Pichè la rete deve far sì che a questa pulsazine il guadagn di anell diventi unitari, si impne che il fattre di attenuazine intrdtt dalla rete crretrice sia 3. Si fissa =. Ω τ al fine di assicurarsi, cme si è dett, che l sfasament in ritard della rete nn influisca in md apprezzabile alla pulsazine di attraversament 4. Si ricava τ p = τ α τ τ p = α = G(jΩ ) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine4 67 Silvi Simani - Lezine4 68 Esempi Effettuand la discretizzazine della G(s), si ttiene T D(z) e st s G(s) h i G(z) = Z Hs(s+)(s+) = 3.94 4 (z+.484)(z+3.465) (z )(z.948)(z.887) G(s) = s(s + )(s + ) Prgettare una rete digitale ritardatrice D(z) che garantisca al sistema in retrazine un margine di fase M F = 55 T =. s e applicand la trasfrmazine bilineare z =( +.5w)/(.5w) si ha G(w) = 8.8 5 (w )(w + 33.)(w 36.3) w(w +.999)(w +.993) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine4 69 Silvi Simani - Lezine4 7 Diagrammi di Bde di G(w) (a), di D(w) (b) e del guadagn di anell D(w)G(w) (c) 4 Ampiezze La pulsazine cui crrispnde una fase di 8 + 55 + 5 = è Ω.3446 rad/s a cui crrispnde un guadagn di G (db) (c) (a) (b) - -3 - - W (rad/s) Fasi (b) -5 da cui /α =.739 = 8.64db τ =.3446 = 9.9 τ p =.739 9.9 = 78.4649 gradi - (c) (a) Ω =.3446 Ω p =.74-5 -3 - - W (rad/s) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine4 7 Silvi Simani - Lezine4 7 Effettuand l antitrasfrmata.37(z.99656).37z.369 D(z) = = (z.9987) (z.9987) Rispsta a gradin del prcess in retrazine e relative variabili di cntrll cn e senza trncament numeric a 3 cifre dei parametri del reglatre Nte: Il pl e l zer della rete ritardatrice sn mlt prssimi tra lr ed entrambi nelle vicinanze del punt z = + j Il fenmen è peraltr accentuat per T piccl Il reglatre digitale deve essere realizzat cn una ntevle precisine numerica.6 y ya c.5 u ua -.3 (secndi) 3. Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine4 73 Silvi Simani - Lezine4 74 Prgett di rete anticipatrice D(w) = + wτ + wτ p τ < τ p Il guadagn della rete per alte frequenze è α = τ τ p > G (db) gradi 3 Ampiezze - - 3 4 w (rad/sec) 6 Fasi 4 L sfasament massim in anticip è Φ m =arcsin α + α ttenut alla pulsazine Ω m = = τ τ p τ α Sfasament in anticip (effett psitiv), aument di guadagn (effett negativ) τ p =. s, - 3 4 w (rad/sec) τ =. s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine4 75 Silvi Simani - Lezine4 76 Prgett cn specifica di margine di fase M F :. Dai diagrammi di Bde della G(w), nella quale si è cnsiderat il guadagn pprtun per sddisfare le specifiche sull errre a regime, si individua il margine di fase del sistema. Si calcla l anticip di fase Φ m necessari per avere un margine di fase pari a quell M F desiderat, maggirat di 5 per cmpensare le apprssimazini di prgett 3. Una vlta nt Φ m,sicalcla α = sin Φ m +sinφ m 4. Si determina la pulsazine Ω per la quale l ampiezza di G(w) vale α/. Pichèlarete aumenta il guadagn del sistema alle alte frequenze, si fa crrispndere la nuva pulsazine Ω alla Ω m della rete anticipatrice 5. Dalle due relazini α = τ p, Ω = Ω m = τ τ α si ricavan le due cstanti di temp τ,τ p 6. Se le prestazini risultanti nn sn quelle desiderate, si ripete il prcediment fissand Φ m ad un valre superire. Può risultare cnveniente cnsiderare cme valri di Ω m per la rete una pulsazine diversa (slitamente inferire) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine4 77 Silvi Simani - Lezine4 78 Esempi Diagrammi di Bde di G(w) (a), di D(w) (b) e del guadagn di anell D(w)G(w) (c) T D(z) e st s G(s) G (db) Ampiezze (b) (c) 4 (a) G(s) = s(s + )(s + ) Prgettare una rete anticipatrice digitale D(z) che garantisca al sistema in retrazine un margine di fase M F = 55 T =. s gradi w (rad/s) Fasi (a) w (rad/s) (c) (b) Marginedifasepariacirca3, per una pulsazine di.75 rad/s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine4 79 Silvi Simani - Lezine4 8 Prim tentativ: si prgetta una rete che intrduce un sfasament Φ m = 35. Si ttiene α =.7, Ω =.6 rad/s τ p =.4 s, τ =.8893 s Il margine di fase di D(w)G(w) èdi49 Anche variand Ω m nn si riesce ad ttenere la specifica di fase Si ricmincia cn Φ m = 45 e si ttiene α =.75, Ω =.6 rad/s Ridefinend Ω =. rad/s si ttiene D(w) = +.973w +.883w che frnisce il margine prescritt M F = 55 Antitrasfrmand 4.846(z.99) D(z) = z.583 Si nta che nel cas della rete anticipatrice nn ci sn prblemi numerici sulla precisine dei parametri τ p =.587 s, e un margine di fase cmplessiv di 53 τ =.95 s Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine4 8 Silvi Simani - Lezine4 8 Rispsta a gradin del prcess in retrazine e relativa variabile di cntrll.6 c y 5 u Prgett cn specifica sul margine di fase:. Si cerca la pulsazine Ω + per la quale il sistema nn cmpensat presenta il margine di fase desiderat M F. Si calcla l attenuazine che ccrre intrdurre affinchè Ω + diventi la pulsazine di attraversament per il sistema cmpensat 3. Si impne quindi Ω m = τ τ = Ω + τ + τ (τ /α + ατ ) = G(jΩ + ) 4. Il grad di libertà residu viene fissat cme prima sulla base di ulteriri specifiche -.5 (secnds) 3 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine4 83 Silvi Simani - Lezine5 84 Si pne τ τ = Ω m, τ + τ (τ /α + ατ ) = k Lezine 5 e si ricavan s τ = α α k Ω m k α, τ = Ω m τ Prgett di Reti Cmpensatrici - I in funzine del terz parametr α Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine5 85 Silvi Simani - Lezine5 86 Prgett mediante il lug delle radici Equazine caratteristica del sistema in anell chius + k G (z) = k è il parametr di interesse che si fa variare tra e + Slitamente k rappresenta il guadagn Prgett Nell anell digitale sia. G(s) = s(s +.) cn T = s. Per cui z +.967 G(z) =.484 (z )(z.948) Le specifiche di prgett sul sistema in catena chiusa sn: S% 6, T a 6s, k v = Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine5 87 Silvi Simani - Lezine5 88 Dalla specifica sul srpass si ha δ =.5. Assumend D(z) = k, l equazine caratteristica diventa z +.967 +.484k (z )(z.948) = Lug delle radici.5 Nel cas temp cntinu, le specifiche su S% e T a implican che la cppia di pli dminanti del sistema in anell chius sia s =.5 ± j.867 (δ =.5, ω n = ) e nel cas temp discret effettuand la trasfrmazine z = e st z =.393 ± j.46.5 -.5 + x x x + x Nel pian z i pli del sistema in retrazine devn essere: - interni al cerchi di raggi r = e δωn =.665 - entr la zna delimitata dal lug a spirale lgaritmica per δ =.5 - -.5 Nn sn sddisfatte le specifiche su S% esut a Per K > il sistema è instabile - - -.5 - -.5.5.5 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine5 89 Silvi Simani - Lezine5 9 Si intrduce un reglatre dinamic D(z) =k z z z z p I pli si psizinan in z =.5476 ± j.684 per cui δ =. e quindi nn è sddisfatta la specifica sul transitri Prim tentativ: z cancella il pl z =.948 e si fissa il pl del reglatre a sinistra, per Lug delle radici esempi z p =.4.5.5 + x x x x -.5 + x - -.5 - - -.5 - -.5.5.5 (a) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine5 9 Silvi Simani - Lezine5 9 Nuv tentativ: z =.88 in md che in questa zna l svilupp del lug delle radici all estern dell asse reale sia mdest, e il pl in z =.5 Lug delle radici.5 Se si sceglie k =3per cui Il reglatre finale è z =.4986 ± j.335, z =.8757 D(z) =3 z.88 z +.5.5 + x x + x x -.5 + x - -.5 - - -.5 - -.5.5.5 (b) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine5 93 Verifica simulativa Silvi Simani - Lezine6 94 Lezine 6. y r Reglatri Standard PID Digitali - I u -. (secndi) 5 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine6 95 Reglatri standard Struttura fissa tip PID Tuning dei parametri Scelta del perid di campinament T Discretizzazine algritmi analgici ed inltre... Tuning autmatic dei parametri Silvi Simani - Lezine6 96 Discretizzazine del classic reglatre PID analgic U(s) =K p + «T i s + T ds E(s) Usand l integrazine rettanglare - Frma di psizine: " u n = K p e n + T T i - Frma di velcità: nx e k + T # d T (e n e n ) + M R k= [ Δu n = K p e n e n + T e n + T ] d T i T (e n e n + e n ) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine6 97 Silvi Simani - Lezine6 98 Una frma di algritm particlarmente utilizzata in pratica Termine derivativ: T d s + T d s/n Parte integrale: differenza in avanti Parte derivativa: differenza all indietr D PID (z) = K p h + T T i (z ) + N tra3e + T d z T+T d /N [z T d /(NT+T d )] i Tuning dei parametri Due categrie di criteri a) Quelli che utilizzan alcuni punti caratteristici della rispsta y(t) per imprre l andament transitri desiderat. b) Criteri di tip integrale ISE = R [e(t)] dt IAE = R e(t) dt ITAE = R t e(t) dt Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine6 99 Nel cas analgic Cntrllre Ziegler-Nichls Chen-Cn 3C P KK p =(θ/τ) KK p =(θ/τ) +.333 KK p =.8(θ/τ).956 PI KK p =.9(θ/τ) KK p =.9(θ/τ) +.8 KK p =.98(θ/τ).946 T i /τ =3.33(θ/τ) T i /τ = 3.33(θ/τ)[+(θ/τ)/] +.(θ/τ) T i /τ =.98(θ/τ).583 PID KK p =.(θ/τ) KK p =.35(θ/τ) +.7 KK p =.37(θ/τ).95 Silvi Simani - Lezine6 Mdell del sistema G p (s) =K e θs + τs Apprssimazine del campinatre e del ricstruttre di rdine zer cn un ritard pari a T/ KK p θ = θ + T θ τ T i τ T d τ T i /τ =(θ/τ) T i /τ =.5(θ/τ)[+(θ/τ)/5] +.6(θ/τ) T i /τ =.74(θ/τ).738 e quindi si ricavan K p, T i e T d T d /τ =.5(θ/τ) T d /τ =.37(θ/τ) +.(θ/τ) T d /τ =.365(θ/τ).95 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine6 Silvi Simani - Lezine6 Esempi. Sistema da cntrllare: G(s) = (.5s+ )(s + ) (s+ ) Mdell (K =, θ =.46 s, τ = 3.34 s) e.46s G m (s) = + 3.34 s Prgettare un reglatre PID in crrispndenza a δ =.5 Sia T =.3s θ = θ + T/ =.46 +.5 =.6 θ /τ =.48 Dalla tabella di Ziegler-Nichls si ha KK p =.4894 da cui si ttengn i parametri T i τ =.964 K p =.4894 T i =.964τ = 3. T d =.4τ =.85 T d τ =.4 Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine6 3 Mediante discretizzazine rettanglare D PID (z) =K p» + T T i ( z ) + T d T ( z ) Silvi Simani - Lezine7 4 Lezine 7.4 y(t) v(t) Reglatri Standard PID Digitali - II 3 u(t) - (secndi) Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale

Silvi Simani - Lezine7 5 Silvi Simani - Lezine7 6 Tuning autmatic Un semplice metd è quell basat sulla stima del guadagn critic K c scillazine critica P c = π ωc e del perid di Stimati K c e P c, si usa la tabella di Ziegler Nichls /Kc Tip K p T i T d P.5K c Wc PI.45K c P c /. PID.6K c.5p c.5p c Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale Silvi Simani - Lezine7 7 Schema per il tuning autmatic Silvi Simani - Lezine8 8 Lezine 8 PID v e a b y Plant Cnsiderazini Cnclusive Dalla teria della funzine descrittiva, segue K c = 4d πa cn d ampiezza della funzine a relè, e A ampiezza dell uscita sinusidale y Sistemi di Cntrll Digitale Sistemi di Cntrll Digitale