# MODELLI APPROSSIMATI DI SISTEMI DINAMICI # Riferimento per approfondimenti: Bolzern-Scattolini-Schiavoni: Fondamenti di Controlli Automatici, McGraw-Hill, 998 Cap. 7. Il problema della determinazione di modelli semplificati viene comunemente chiamato problema della riduzione dell ordine. Come abbiamo segnalato in precedenza, la riduzione dell ordine si puo effettuare molto spesso in maniera soddisfacente per: Semplificazione di poli e zeri (riduzione per cancellazione). Semplificazione per poli dominanti (criterio del modo dominante). Applichiamo queste procedure ad alcuni casi esemplificativi per evidenziare gli aspetti di maggiore interesse. Esempio : Consideriamo il sistema del II ordine descritto dalla F. di T.: +.8s W = () ( + s)( +.s) Il polo in e lo zero in.5 sono vicini e si puo assumere una cancellazione, anche se non perfetta, che lascia il guadagno inalterato e il polo in -. Il modello ridotto e dunque: W a = () ( + s) Analizziamo le risposte indiciali associate alla () e alla sua approssimante (). Step Response.9.8.7.6.5.4.3.. 3 4 5 6 Time (sec.)
La cancellazione approssimata non produce effetti sensibili sulla risposta al gradino unitario. Vediamo la risposta armonica. Diagrammi di Bode: Bode Diagrams - - -3-4 -5-6 - -4-6 -8 - - Anche i diagrammi di Bode della () e della () non sono significativamente diversi, soprattutto nella zona delle basse frequenze, che solitamente e quella di specifico interesse per le applicazioni del controllo automatico classico. Esempio : Consideriamo il sistema del II ordine descritto dalla F. di T.: +.9s W = (3) ( + s)( +.5s) Il polo in e lo zero in /.9 sono vicini e operiamo anche in questo caso una cancellazione non perfetta, lasciando inalterati il guadagno e il polo in - Il modello ridotto e dunque: Vediamo i diagrammi di Bode della (3) e della (4): W a = (4) ( +.5s)
Bode Diagrams -5 - -5 - -4-6 -8 - I diagrammi di Bode sembrano molto simili. Andiamo pero ad esaminare le risposte al gradino unitario: Step Response.8.6.4..5.5.5 Time (sec.) 3
La differenza tra le due risposte è notevole, specificamente in termini di tempo di assestamento, che per il modello ridotto (4) non evidenzia il fenomeno della lenta deriva causata dalla non perfetta cancellazione in bassa frequenza. In effetti anche per i diagrammi di Bode si possono notare differenze non trascurabili a partire da pulsazioni dell ordine di, rad/s. I due esempi precedenti, riferentisi a sistemi del II ordine, ci permettono di fare una considerazione di validità generale (anche per sistemi di ordine superiore): ai fini del soddisfacente ricorso a modelli approssimati è necessario che le riposte in frequenza del modello originario e di quello ridotto presentino una buona coincidenza nel campo di frequenze caratteristico della parte fondamentale dello spettro del segnale d ingresso, accettando eventuali scostamenti, anche notevoli, al di fuori di tale campo. Nel semplificare il modello mediante cancellazioni è comunque sempre opportuno fare attenzione agli effetti causati dal trascurare singolarità in bassa frequenza. Esempio 3: Consideriamo la F. di T. di un servomotore in c.c. a controllo d armatura, a eccitazione indipendente, per il quale i parametri caratteristici hanno i seguenti valori: R=,46 Ω; L= mh; h=,8 Js/rad; k=,5 Nm/A; J=, Kgm. R e L sono la resistenza e l induttanza d armatura, h il coefficiente d attrito viscoso, J il momento d inerzia del motore, k la costante di coppia. La F. di T. tra tensione d armatura V a (s) e velocita angolare dell asse Ω(s) e : k Ω( s) 3,98 P = = LJ = (5) V ( ) R h k Rh a s + ( +,856s)( +,s) s + + s + L J LJ Si nota immediatamente che una costante di tempo è nettamente maggiore dell altra (il loro rapporto è di circa 39). Il modello del servomotore è quindi caratterizzato dalla presenza di un polo dominante /,856=-,68 e il modello ridotto a modo dominante è: P 3,98 a +, 856 s = (6) Consideriamo le risposte indiciali e i diagrammi di Bode del modello completo e del modello ridotto del servomotore. 4
Step Response 4 3.5 3.5 Amplitude.5.5.5..5..5.3.35.4.45.5 Time (sec.) Bode Diagrams 5 Phase (deg); Magnitude (db) -5 - -5 - -5-3 4 5
I grafici mostrano come in fase di modellizzazione sia possibile trascurare la costante di tempo τ e =, ms, legata essenzialmente alla dinamica del circuito d armatura (parte elettrica), rispetto alla costante di tempo τ m =85,6 ms dipendente dalla parte meccanica, ottenendo comunque un modello accurato nel campo di frequenze di usuale interesse nello studio del funzionamento del motore (ω< rad/s). Gli scostamenti sensibili dei diagrammi di Bode si verificano infatti a frequenze più elevate. Questo esempio rappresenta un caso abbastanza frequente nella modellistica dei sistemi a parametri concentrati. La presenza di uno o più poli dominanti dipende dal fatto che nei sistemi allo studio vi è un fenomeno che influisce maggiormente rispetto ad altri nel caratterizzarne il comportamento dinamico. Nel caso del servomotore la dinamica relativa alla parte meccanica è preponderante rispetto a quella della parte elettrica, che da luogo a transitori di durata molto minore di quelli meccanici. Esempio 4: Si consideri il sistema: +.5s W = (7) ( +.s)( +.s +.s )( +.s + s ) La (7) possiede uno zero z=- e cinque poli p =-, p,3 =-5±j.8, p 4,5 =-.5±j. Qusti ultimi sono i poli dominanti del sistema e un approssimazione in bassa frequenza della (7) e : W = (8) a +.s + s Le risposte indiciali e i diagrammi di Bode per il modello completo (7) e per quello ridotto (8) confermano la liceita dell utilizzo di quest ultimo nel campo delle basse frequenze: Step Response.8.6.4. Amplitude.8.6.4. 4 6 8 Time (sec) 6
5 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) -5-9 -9-8 -7-36 - Concludendo si puo affermare in generale che la F. di T. W a (s) approssimante di un sistema a poli dominanti puo essere costituita essenzialmente dai poli dominanti e dallo stesso guadagno della F. di T. completa W(s). E chiaro che il modello ridotto cosi ottenuto e valido essenzialmente in bassa frequenza, cioe per quei valori di ω in cui la risposta armonica e dipendente quasi esclusivamente dal guadagno e dai poli dominanti. # MODELLI DI SISTEMI IMPROPRI # In taluni casi, ad esempio nei problemi di sintesi dei regolatori, come vedremo, è conveniente considerare nella prima fase di sintesi la funzione di trasferimento di un regolatore ideale impropria, cioè con grado del numeratore maggiore di quello del denominatore. Completata la fase di sintesi del regolatore ideale, è poi necessario determinare un sistema approssimante con funzione di trasferimento propria o strettamente propria che rappresenti il regolatore reale da utilizzare. Il problema di determinare un approssimante di una funzione di trasferimento G(s) impropria può essere risolto aggiungendo al denominatore di G(s) i poli necessari per ottenere una funzione G a (s) propria o strettamente propria. Tali poli dovranno essere scelti in modo che la trasformata di Fourier del segnale di uscita Y(jω)=X(jω)G(jω) che idealmente si otterrebbe impiegando G(s),sia simile per quanto possibile alla trasformata Y a (jω)=x(jω)g a (jω). 7
Poiché nella generalità dei casi l ingresso del sistema, anche se non noto, si può ritenere un segnale a banda limitata, cioè X(jω) per ω ϖ, i poli necessari per rendere il modello proprio dovranno essere posti a pulsazioni maggiori di ϖ e dovranno avere, ovviamente, parte reale negativa. Esempio 5: Si voglia determinare un approssimante del derivatore ideale G(s)=s, sapendo che il segnale d ingresso al sistema è a banda limitata, con pulsazione massima ϖ=. s Per quanto sopra detto un buon modello approssimato è: G a = + τ s con τ.. Infatti fino a circa una decade prima di ω=, e quindi fino a circa ω=ϖ, i diagrammi di Bode relativi a G(s) e a G a (s) in pratica coincidono,come mostrato dalla seguente figura, dove si è usato τ =.. 4 Bode Diagram 3 Phase (deg) Magnitude (db) - - 9 6 3 - Per valutare l adeguatezza del modello approssimato nel dominio del tempo assumiamo in ingresso al derivatore ideale ed a quello approssimato un segnale a banda limitata, la cui trasformata di Laplace è: X s) = ( s +.765s + )( s ( +.848s + ) Tale segnale può essere visto come la risposta all impulso di un filtro passabasso di Butterworth del quarto ordine, con pulsazione di taglio ϖ=. 8
In figura sono mostrati l andamento dell uscita del derivatore ideale G(s) e di quello approssimato G a (s) in risposta al segnale di cui sopra. Gli andamenti quasi sovrapposti dei due segnali confermano la validità dell impiego del modello approssimato..5..5. Amplitude.5 -.5 -. -.5 -. 4 6 8Time (sec) 4 6 9