Esercizi sugli errori di misura Autore: Enrico Campanelli Prima stesura: Settembre 2013 Ultima revisione: Settembre 2013 Per segnalare errori o per osservazioni e suggerimenti di qualsiasi tipo, potete contattarmi al seguente indirizzo email: info@studiobells.it Il titolare dei diritti d autore di quest opera è lo studio didattico Studio Bells nella persona di Enrico Campanelli (www.studiobells.it). Quest opera è rilasciata secondo i termini della licenza: Creative Commons 3.0 Italia Attribuzione - Non Commerciale - Condividi Allo Stesso Modo (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/it/)
Premessa Questa è una raccolta di esercizi sul problema della determinazione dell incertezza e delle cifre significative nelle misure indirette. Nella soluzione degli esercizi vengono applicate sia le regole pratiche per la determinazione delle cifre significative sia le regole rigorose della propagazione degli errori per il calcolo dell incertezza e, conseguentemente, del numero di cifre significative. L uso di entrambi i metodi mette in evidenza come non sempre si ottengano gli stessi risultati. 2
Esercizio 001 La velocità v di un corpo viene determinata in modo indiretto tramite la seguente formula: v = s t a partire dalle misure dello spostamento s e dell intervallo di tempo t. Per ciascuno dei seguenti casi: a) s = (12, 5 ± 0, 5) m, t = (5, 4 ± 0, 3) s; b) s = (10, 0 ± 0, 2) m, t = (5, 0 ± 0, 1) s; c) s = (10 ± 1) m, t = (5 ± 1) s; d) s = (127 ± 5) m, t = (15, 32 ± 0, 02) s; si faccia quanto segue: applicando le regole pratiche, si detrmini v con il corretto numero di cifre significative; applicando le regole di propagazione degli errori, si determini l incertezza su v e conseguentemente si scriva v con il corretto numero di cifre significative. Soluzione Osserviamo che la formula per la velocità contiene il rapporto tra due misure e quindi: in base alla regola pratica, le cifre significative da prendere per v sono quelle della misura che ne ha di meno; in base alla regola della propagazione degli errori, l incertezza relativa di v è data dalla somma delle incertezze relative di s e t: v v = s s + t t Risolviamo quindi l esercizio seguendo queste regole: 3
a) La distanza è espressa con tre cifre significative mentre il tempo con due, quindi la velocità si prende con due cifre: v = 12, 5 5, 4 m/s = 2, 3148... m/s v = 2, 3 m/s Determiniamo ora l incertezza v sulla velocità. Si ha: v v = s s + t t = 0, 5 12, 5 + 0, 3 5, 4 = 0, 04 + 0, 06 = 0, 1 v = 0, 1v Usando il valore di v ottenuto prima e ricordando che l incertezza si prende sempre con una sola cifra significativa, otteniamo: v = 0, 1v = 0, 1 2, 3148 = 0, 23148 m/s v = 0, 2 m/s Dobbiamo ora scrivere il valore di v prendendolo fino alla prima cifra (compresa) influenzata dall incertezza, che in questo caso è la prima dopo la virgola, e quindi in definitiva si ottiene: v = (2, 3 ± 0, 2) m/s Osserviamo come, sia usando la regola pratica sia usando la propagazione degli errori, si ottiene lo stesso numero di cifre significative per v. b) anche in questo caso la distanza è espressa con tre cifre, infatti ricordiamo che anche gli zeri dopo la virgola vanno contati come cifre significative. Il tempo è dato con due cifre, quindi la velocità si prende con due cifre: v = 10 5 m/s = 2 m/s v = 2, 0 m/s Determiniamo ora l incertezza v sulla velocità. Si ha: v v = s s + t t = 0, 2 10 + 0, 1 5 = 0, 02 + 0, 02 = 0, 04 v = 0, 04v Usando il valore di v ottenuto prima e ricordando che l incertezza si prende sempre con una sola cifra significativa, otteniamo: v = 0, 04v = 0, 04 2 = 0, 08 m/s v = 0, 08 m/s 4
Dobbiamo ora scrivere il valore di v prendendolo fino alla prima cifra (compresa) influenzata dall incertezza, che in questo caso è la seconda dopo la virgola, e quindi in definitiva si ottiene: v = (2, 00 ± 0, 08) m/s Osserviamo che in questo caso la regola della propagazione degli errori fornisce v con tre cifre significative invece che con due, come fornito dalla regola pratica. Come abbiamo osservato nella teoria, ciò può accadere poiché la regola pratica è solo una semplificazione. Tuttavia, osserviamo che il valore v = 0, 08 m/s non è molto diverso da v = 0, 1 m/s e se prendessimo quest ultimo allora otterremmo lo stesso numero di cifre significative nei due casi. c) in questo caso la distanza è espressa con due cifre, il tempo con una cifra, quindi la velocità si prende con una cifra: v = 10 5 m/s = 2 m/s v = 2 m/s Determiniamo ora l incertezza v sulla velocità. Si ha: v v = s s + t t = 1 10 + 1 5 = 0, 1 + 0, 2 = 0, 3 v = 0, 3v Usando il valore di v ottenuto prima e ricordando che l incertezza si prende sempre con una sola cifra significativa, otteniamo: v = 0, 3v = 0, 3 2 = 0, 6 m/s v = 0, 6 m/s Dobbiamo ora scrivere il valore di v prendendolo fino alla prima cifra (compresa) influenzata dall incertezza, che in questo caso è la prima dopo la virgola, e quindi in definitiva si ottiene: v = (2, 0 ± 0, 6) m/s In questo caso la regola della propagazione degli errori fornisce due cifre significative, mentre la regola pratica ne fornisce una. d) la distanza è espressa con tre cifre mentre il tempo con quattro, quindi la velocità si prende con tre cifre: v = 127 m/s = 8, 2898... m/s v = 8, 29 m/s 15, 32 5
Osservare come l 8 sia stato arrotondato a 9 poiché la cifra successiva è superiore a 5. Determiniamo ora l incertezza v sulla velocità. Si ha: v v = s s + t t = 5 0, 02 + 127 15, 32 = 0, 039 + 0, 001 = 0, 04 v = 0, 04v Usando il valore di v ottenuto prima e ricordando che l incertezza si prende sempre con una sola cifra significativa, otteniamo: v = 0, 04v = 0, 04 8, 2898 = 0, 331592 m/s v = 0, 3 m/s Dobbiamo ora scrivere il valore di v prendendolo fino alla prima cifra (compresa) influenzata dall incertezza, che in questo caso è la prima dopo la virgola, e quindi in definitiva si ottiene: v = (8, 3 ± 0, 3) m/s In questo caso la regola della propagazione degli errori fornisce due cifre significative, mentre la regola pratica ne fornisce tre. 6
Esercizio 002 Un oggetto che viene lanciato verso l alto con una velocità v raggiunge un altezza massima h data da: h = v2 2g dove la costante g = (9, 81 ± 0, 02) m/ è l accelerazione di gravità. Per ciascuno dei seguenti casi: a) v = (5, 2 ± 0, 3) m/s; b) v = (5, 274 ± 0, 005) m/s. si faccia quanto segue: applicando le regole pratiche, si determini h con il corretto numero di cifre significative; applicando le regole di propagazione degli errori, si determini l incertezza su h e conseguentemente si scriva h con il corretto numero di cifre significative. Soluzione Osserviamo che la formula per l altezza contiene una potenza ed un rapporto e quindi: in base alla regola pratica, le cifre significative da prendere per h sono quelle della misura che ne ha di meno; in base alla regola della propagazione degli errori, l incertezza relativa di h è data: h h = 2 v v + g g Risolviamo quindi l esercizio seguendo queste regole: a) la velocità è espressa con due cifre mentre g con tre, quindi l altezza si prende con due cifre: h = 5, 22 m = 1, 3781... m h = 1, 4 m 2 9, 81 7
Per il calcolo dell incertezza h si ha: h h = 2 v v + g g = 20, 3 0, 02 + 5, 2 9, 81 = 0, 115 + 0, 002 = 0, 117 e quindi: h = 0, 117h = 0, 117 1, 3781 m = 0, 1612 m h = 0, 2 m Osserviamo che nell ultimo passaggio, poiché l incertezza va presa sempre con una cifra significativa, abbiamo arrotondato a 2 la prima cifra dopo la virgola essendo la seconda pari a 6 e quindi superiore a 5. In conclusione h va scritta fino alla prima cifra decimale compresa: h = (1, 4 ± 0, 2) m e quindi anche in questo caso abbiamo ottenuto due cifre significative come nel caso dell uso delle regole pratiche. b) la velocità è espressa con quattro cifre mentre g con tre, quindi l altezza si prende con tre cifre: v = Per il calcolo dell incertezza h si ha: 5, 2742 m = 1, 4176... m h = 1, 42 m 2 9, 81 h h = 2 v v + g g 005 0, 02 = 20, + 5, 274 9, 81 = 0, 0019 + 0, 0020 = 0, 0039 e quindi: h = 0, 0039h = 0, 0039 1, 4176 m = 0, 005529 m h = 0, 006 m In conclusione h va scritta fino alla terza cifra decimale compresa: h = (1, 418 ± 0, 006) m e quindi in questo caso abbiamo ottenuto quattro cifre significative invece delle tre ottenute nel caso delle regole pratiche. 8
Esercizio 003 Un oggetto di massa m e velocità v ha un energia cinetica data da: E c = 1 2 mv2 Per ciascuno dei seguenti casi: a) v = (5 ± 1) m/s e m = (2, 0 ± 0, 1) kg; b) v = (100 ± 1) m/s e m = (0, 20 ± 0, 01) kg. si faccia quanto segue: applicando le regole pratiche, si determini h con il corretto numero di cifre significative; applicando le regole di propagazione degli errori, si determini l incertezza su h e conseguentemente si scriva h con il corretto numero di cifre significative. Soluzione Osserviamo che la formula per l energia contiene una potenza ed un prodotto e quindi: in base alla regola pratica, le cifre significative da prendere per E c sono quelle della misura che ne ha di meno; in base alla regola della propagazione degli errori, l incertezza relativa di E c è data: E c E c = m m + 2 v v Risolviamo quindi l esercizio seguendo queste regole: a) la velocità è espressa con una cifra mentre m con due, quindi l energia cinetica si prende con una cifra: E c = 1 2 2 52 = 25 E c = 20 9
Osserviamo che in questo caso, dovendo prendere il risultato con una sola cifra significativa, abbiamo arrotondato il 25 a 20 (ricordiamo che il numero 20 ha una sola cifra significativa!). Tuttavia, quando la cifra da eliminare è proprio un 5, a volte si preferisce lasciarla indicata per evitare un arrotondamento troppo forzato, per cui in questo caso si può anche scrivere il risultato come 25. Per il calcolo dell incertezza E c si ha: E c E c = m m + 2 v v = 0, 1 2 + 21 5 = 0, 05 + 0, 4 = 0, 45 e quindi: E c = 0, 45E c = 0, 45 25 = 11, 25 m E c = 10 Osserviamo che dovendo prendere l incertezza con una sola cifra significativa abbiamo trasformato l 11 in un 10. In conclusione E c andrebbe scritta fino alle decine comprese: E c = (20 ± 10) e quindi anche in questo caso abbiamo ottenuto una cifra significativa come nel caso dell uso delle regole pratiche. Tuttavia, per quanto detto prima, possiamo anche usare la scrittura: E c = (25 ± 10) b) la velocità è espressa con tre cifre mentre m con due, quindi l energia cinetica si prende con due cifre: E c = 1 2 0, 2 1002 = 1000 Osserviamo che in questo caso, dovendo prendere il risultato con due cifre significative, risulta impossibile scrivere correttamente la misura per via degli zeri. Infatti sappiamo che gli zeri prima della virgola non contano come cifre significative per cui se scriviamo 1000 stiamo dando una sola cifra significtiva. Questa situazione si risolve ricorrendo alla notazione scientifica. Se infatti scriviamo: 3 E c = 1, 0 10 10
le cifre significative sono proprio due poiché gli zeri dopo la virgola contano. Per il calcolo dell incertezza E c si ha: E c E c = m m + 2 v v = 0, 01 0, 2 + 2 1 100 = 0, 05 + 0, 02 = 0, 07 e quindi: E c = 0, 07E c = 0, 07 1000 = 70 E c = 70 In conclusione E c va scritta fino alle decine comprese. Per scrivere correttamente E c ricorriamo alla notazione scientifica: 3 E c = (1, 00 ± 0, 07) 10 Si vede che in questo caso abbiamo ottenuto tre cifre significative invece che due come nel caso dell uso delle regole pratiche. 11
Esercizio 004 Un oggetto che scende senza attrito lungo un piano inclinato di lunghezza l ed altezza h, ha un accelerazione a lungo il piano data da: a = g h l dove la costante g = 9, 81 m/ è l accelerazione di gravità. Per ciascuno dei seguenti casi: a) h = (0, 50 ± 0, 01) m e l = (2, 00 ± 0, 01) m; b) h = (0, 781 ± 0, 001) m e l = (1, 235 ± 0, 001) m. si faccia quanto segue: applicando le regole pratiche, si determini a con il corretto numero di cifre significative; applicando le regole di propagazione degli errori, si determini l incertezza su a e conseguentemente si scriva h con il corretto numero di cifre significative. Soluzione Osserviamo che la formula per l accelerazione contiene prodotti e quozienti e quindi: in base alla regola pratica, le cifre significative da prendere per a sono quelle della misura che ne ha di meno; in base alla regola della propagazione degli errori, l incertezza relativa di a è data: a a = g g + h h + l l Risolviamo quindi l esercizio seguendo queste regole: a) g è espressa con tre cifre, h con due, l con tre, quindi l accelerazione si prende con due cifre: a = 9, 81 0, 5 2 m = 2, 4525 m a = 2, 5 m 12
Per il calcolo dell incertezza a si ha: a a = g g + h h + l l = 0, 02 0, 01 0, 01 + + 9, 81 0, 5 2 = 0, 0020 + 0, 0200 + 0, 0008 = 0, 0228 e quindi: a = 0, 0228a = 0, 0228 2, 4525 m = 0, 055917 m a = 0, 06 m In conclusione a va scritta fino alla seconda cifra decimale compresa: a = (2, 45 ± 0, 06) m Si vede che in questo caso abbiamo ottenuto tre cifre significative invece che due come nel caso dell uso delle regole pratiche. b) g è espressa con tre cifre, h con tre, l con quattro, quindi l accelerazione si prende con tre cifre: 0, 781 m a = 9, 81 1, 235 s = 6, 2037... m a = 6, 20 m 2 Per il calcolo dell incertezza a si ha: a a = g g + h h + l l = 0, 02 9, 81 0, 001 0, 001 + + 0, 781 1, 235 = 0, 0020+0, 0013+0, 0008 = 0, 0041 e quindi: a = 0, 0041a = 0, 0041 6, 2037 m = 0, 02543517 m a = 0, 03 m In conclusione a va scritta fino alla seconda cifra decimale compresa: a = (6, 20 ± 0, 03) m Si vede che in questo caso abbiamo ottenuto tre cifre significative in entrambe i casi. 13
Esercizio 005 Il tempo t c che impiega un corpo a cadere a terra partendo da fermo da una altezza h è dato da: t c = 2h g dove la costante g = (9, 81 ± 0, 02) m/ è l accelerazione di gravità. Per ciascuno dei seguenti casi: a) h = (2, 00 ± 0, 01) m; b) h = (1, 235 ± 0, 001) m. si faccia quanto segue: applicando le regole pratiche, si determini t c con il corretto numero di cifre significative; applicando le regole di propagazione degli errori, si determini l incertezza su t c e conseguentemente si scriva t c con il corretto numero di cifre significative. Soluzione Osserviamo che la formula per il tempo di caduta può essere riscritta usando le potenze: t c = Œ 1 2h 2 2 1 2 h 1 2 = g g 1 2 Si vede che essa contiene prodotti, quozienti e potenze per cui: in base alla regola pratica, le cifre significative da prendere per t c sono quelle della misura che ne ha di meno; in base alla regola della propagazione degli errori, l incertezza relativa di t c è data: t c = 1 h t c 2 h + 1 g 2 g Risolviamo quindi l esercizio seguendo queste regole: 14
a) g è espressa con tre cifre, h con tre, quindi t c si prende con tre cifre: t c = Per il calcolo dell incertezza t c si ha: e quindi: 2 2 9, 81 s = 0, 6385509... s t c = 0, 639 s t c = 1 h t c 2 h + 1 g 2 g = 1 0, 01 2 2 + 1 0, 02 2 9, 81 = 0, 0025 + 0, 0010 = 0, 0035 t c = 0, 0035t c = 0, 0035 0, 6385509 s = 0, 002235 s t c = 0, 002 s In conclusione t c va scritto fino alla terza cifra decimale compresa: t c = (0, 639 ± 0, 002) s Si vede che in questo caso abbiamo ottenuto tre cifre significative in entrambe i casi. b) g è espressa con tre cifre, h con quattro, quindi t c si prende con tre cifre: t c = Per il calcolo dell incertezza t c si ha: 2 2 9, 81 s = 0, 6385509... s t c = 0, 639 s t c = 1 h t c 2 h + 1 g 2 g = 1 2 0, 001 1, 235 + 1 0, 02 2 9, 81 = 0, 0004 + 0, 0010 = 0, 0014 e quindi: t c = 0, 0014t c = 0, 0014 0, 6385509 s = 0, 0008940 s t c = 0, 0009 s In conclusione t c va scritto fino alla quarta cifra decimale compresa: t c = (0, 6386 ± 0, 0009) s Si vede che in questo caso abbiamo ottenuto quattro cifre significative invece che tre. 15
Esercizio 006 La misura dei lati di una piazza rettangolare ha fornito i seguenti valori: a = (34 ± 1) m; b = (22, 3 ± 0, 5) m Si faccia quanto segue: applicando le regole pratiche, si determini il perimetro P con il corretto numero di cifre significative; applicando le regole di propagazione degli errori, si determini l incertezza su P e conseguentemente si scriva P con il corretto numero di cifre significative. Soluzione Osserviamo che la formula per il perimetro: P = 2a + 2b contiene somme di grandezze moltiplicate per il fattore numerico 2 e quindi: in base alla regola pratica, le cifre significative da prendere per P sono quelle determinate dall incertezza assoluta più grande; in base alla regola della propagazione degli errori, l incertezza assoluta di P è data: P = 2 a + 2 b Risolviamo quindi l esercizio seguendo queste regole. Applicando la regola pratica, osserviamo che l incertezza assoluta più grande è quella su a data da a = 1 m e quindi, poiché tale incertezza influenza il valore delle unità, il valore del perimetro P deve essere scritto fino alle unità comprese: P = 2a + 2b = (2 34 + 2 22, 3) m = 112, 6 m P = 113 m 16
e quindi le cifre significative di P sono tre. Applicando invece le regole sulla propagazione degli errori, per il calcolo dell incertezza P si ha: P = 2 a + 2 b = (2 1 + 2 0, 5) m = (2 + 1) m = 3 m e quindi P si deve scrivere fino alle unità: P = (113 ± 3) m Si vede che in questo caso abbiamo ottenuto tre cifre significative in entrambe i casi. 17