Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 1 A. Garfagnini, M. Mazzocco, C. Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova A.A. 2014/2015 Elementi di Statistica (24 ore 3 CFU) Elementi di Statistica (prima parte) 1. La Misura Capp. 1 e 2 (5/11) 2. Elaborazione dei Dati Cap. 4 (12/11) 3. Elementi di Teoria della Probabilità Cap. 3 (28/11) 4. Variabili Casuali 1-Dim Discrete Cap. 5 (5/12) Testo Consigliato M. Loreti, Teoria degli Errori e Fondamenti di Statistica http://wwwcdf.pd.infn.it/labo/index.html 1
Elementi di Statistica Lezione 1: 1. Il Metodo Scientifico D. Kehlmann: La Misura del Mondo 1828, Friedrich Gauss, matematico, fisico e astronomo, è direttore dell'osservatorio di Gottinga. Viene invitato da Alexander von Humboldt, esploratore, geografo e scienziato, a Berlino, dove si svolge un congresso di scienziati tedeschi. L'incontro fra due delle menti più geniali della Germania illuminista fornisce all'autore l'occasione di narrare le incomparabili vite dei due personaggi, dall'infanzia al 1828 passando per il viaggio e il trattato che hanno fondato la geografia e la matematica moderne. 2
Leggi Fisiche e Grandezze Misurabili Lo scopo della Fisica è lo studio dei fenomeni naturali, dei quali cerca di dare una descrizione qualitativa, ma soprattutto quantitativa. Questo studio richiede di individuare, all interno del fenomeno, le grandezze fisiche misurabili in grado di caratterizzarlo univocamente e di ottenere, per ciascuna di esse, dei valori. Lo studio si estende dalla descrizione all indagine delle relazioni reciproche tra diversi fenomeni. Fine ultimo è la formulazione di leggi fisiche, in grado di descrivere un fenomeno in modo razionale, quantitativo e completo. Il Metodo Scientifico Il linguaggio utilizzato per la formulazione delle leggi fisiche è il linguaggio matematico. Il procedimento utilizzato per giungere a tale formulazione è il metodo scientifico: 1. Fase Preliminare: determinazione delle grandezze misurabili rilevanti alla descrizione del fenomeno fisico; 2. Fase Sperimentale: osservazione accurata del fenomeno, misura riproducibile delle grandezze misurabili; 3. Fase di Sintesi: partendo dai dati numerici raccolti, si formulano delle leggi fisiche ipotetiche; 4. Fase Deduttiva: dalle ipotesi formulate si fanno previsioni per fenomeni non ancora osservati; 5. Fase di Verifica: se c è corrispondenza tra l ipotesi e la realtà fisica, l ipotesi congetturata diventa una legge fisica accettata. 3
Elementi di Statistica Lezione 1: 2. Misure Dirette ed Indirette Misure Dirette Ad ogni grandezza fisica si deve poter associare un valore numerico in modo univoco ed oggettivo (cioè ripetibile e riproducibile nelle stesse condizioni da qualsiasi osservatore). Tale valore è pari al rapporto tra la grandezza fisica stessa e l unità di misura. Una misura si dice diretta quando si confronta direttamente la grandezza misurata con l unità di misura (campione) o suoi multipli/sottomultipli. E una misura diretta anche quella effettuati con opportuni strumenti pre-tarati (es. termometro). 4
Misure Indirette Una misura si dice indiretta se non si misura la grandezza fisica d interesse, ma altre che risultano ad essa legate da una relazione funzionale. La velocità di un automobile può essere valutata sia direttamente (tachimetro) che indirettamente (come rapporto tra spazio percorso e tempo trascorso). L v media = L / t Elementi di Statistica Lezione 1: 2. Unità di Misura 5
Grandezze Fisiche Si suole dividere le grandezze fisiche in fondamentali e derivate. Grandezze fondamentali: misurabili con strumenti e metodi sperimentali che prevedano un confronto diretto con un campione (unità di misura) Grandezze derivate: determinate in modo indiretto, attraverso misure dirette di altre grandezze e ad esse legate da relazioni algebriche. Sistema Internazionale (SI) Il SI assume come grandezze fondamentali: 1. Lunghezza (metro, m); 2. Massa (chilogrammo, kg); 3. Tempo (secondo, s); 4. Intensità di Corrente Elettrica (Ampere, A); 5. Temperatura (Kelvin, K); 6. Intensità Luminosa (candela, can); 7. Quantità di Materia (mole, mol). Tra parentesi le rispettive unità di misura secondo il SI. Tutte le altre grandezze sono derivate. 6
Grandezze Derivate L analisi dimensionale e la similitudine meccanica permettono di determinare le unità di misura delle grandezze derivate. Velocità: Spazio / Tempo L T -1 (m/s) Energia Cinetica: Massa * Velocità 2 M L 2 T -2 (J) Il numero di unità di misura indipendenti non coincide con il numero di grandezze fondamentali. Angolo Piano (rad) e Angolo Solido (sr) sono privi di dimensioni e le loro unità di misura sono pertanto numeri puri. Unità Naturali Non vi è nulla di necessario nella scelta delle grandezze fondamentali. Nel sistema delle unità naturali, per esempio, si pongono pari ad 1 la velocità della luce nel vuoto, la costante di Planck, la costante di gravitazione universale, la costante di Boltzmann e la carica dell elettrone. L unità di misura della lunghezza ha subito un emblematica evoluzione: inizialmente era riferita a parti del corpo umano (facile reperibilità, ma elevata variabilità) 7
Definizione di Metro Dall illuminismo al 1960: il metro (quarantamilionesima parte del meridiano terrestre) era la distanza tra due tacche tracciate su una sbarra costruita usando una lega metallica particolarmente stabile. 1960: 1650763.73 volte la lunghezza d onda nel vuoto della luce emessa, sotto particolari condizioni, da una sorgente atomica (riga arancione del 86 Kr). 1984: distanza percorsa dalla luce nel vuoto in una frazione pari 1/299792458 dell unità di tempo (s). La velocità della luce nel vuoto (indipendente dal sistema di riferimento) assume, in pratica, il ruolo di grandezza fondamentale. Secondo e Chilogrammo Fino al 1964: definizione del secondo era legata al moto diurno della terra o ai moti planetari. 1964: adozione dell orologio atomico al cesio. Viene assegnato il valore convenzionale di 9192631770 cicli al secondo (Hz) alla frequenza di oscillazione della radiazione elettromagnetica emessa in una particolare transizione tra due stati quantici dell atomo di 133 Cs. Per le misure di massa: esiste tutt oggi un oggetto macroscopico detto chilogrammo-campione. 8
Elementi di Statistica Lezione 1: 3. Strumenti di Misura Strumento di Misura Uno strumento di misura è un apparato che permette il confronto tra la grandezza misurata e l unità di misura prescelta. E costituito da: 1. Rivelatore, oggetto sensibile (in qualche modo) alla grandezza di misurare, 2. Trasduttore, dispositivo che traduce le variazioni della grandezza caratteristica del rivelatore in quelle di un altra grandezza più facilmente accessibile allo sperimentatore. 3. Indicatore, dispositivo che presenta il risultato della misura ai sensi (alla vista) dello sperimentatore. 9
Calibro e Termometro Calibro: 1. Rivelatore: ganascia mobile del cursore 2. Trasduttore: nessuno 3. Indicatore: scala graduata Termometro: 1. Rivelatore: liquido contenuto nel bulbo 2. Trasduttore: tubo capillare a sezione costante 3. Indicatore: scala graduata in corrispondenza del menisco. Caratteristiche di uno Strumento 1. Prontezza: tempo necessario perché lo strumento risponda in modo completo ad una variazione della sollecitazione; 2. Intervallo d Uso: intervallo compreso tra la soglia (minimo) e la portata (massimo) dello strumento; 3. Sensibilità: reciproco dell incertezza di lettura (divisione più piccola leggibile sulla scala graduata); 4. Precisione: reciproco della semi-ampiezza dell intervallo di variabilità di misure ripetute Riproducibilità del risultato della misura della stessa grandezza (errori casuali); 5. Accuratezza: reciproco delle differenza tra valore stimato e valore vero Capacità di fornire valori corrispondenti al valore vero della grandezza in esame (errori sistematici). La sensibilità (intrinseca) dello strumento non dovrebbe essere troppo inferiore della precisione (modalità d impiego). 10
Norme ISO Incertezza: parametro che caratterizza la dispersione dei valori che possono essere ragionevolmente attribuiti al misurando Esprime il dubbio la validità del risultato di una misurazione Errore: differenza fra il risultato di una misura e il valor vero del misurando La filosofia di questo approccio di standardizzazione Il processo di induzione che porta da osservazioni sperimentali a valori di grandezze fisiche conduce ad affermazioni inevitabimente affette da un certo grado di incertezza G. D Agostini, 1998 Osservazioni Valore di una grandezza Teoria (Modello) Ipotesi 11
Precisione vs. Accuratezza Accurato, ma non Preciso Preciso, ma non Accurato Preciso ed Accurato Non Preciso e Non Accurato Elementi di Statistica Lezione 1: 4. Errori di Misura 12
Errori Casuali Quando si esegue una misura di una qualsiasi grandezza fisica si commettono inevitabilmente degli errori. Il valore ottenuto per la grandezza non corrisponderà mai esattamente al suo valore vero. Quando si esegue una misura ripetuta con il medesimo strumento, nelle medesime condizioni e seguendo la medesima procedura, la presenza di varie cause d errore produrranno delle differenze casuali tra il valore misurato ed il valore vero. L ampiezza dell intervallo entro cui fluttuano misure ripetute è legato alla precisione della misura. Errori di questo tipo si definiscono casuali. Errori Sistematici (I) Certe cause d errore possono dare luogo ad una discrepanza tra valore misurato e valore vero, che si riproduce inalterata in una serie ripetuta di misure. La misura potrebbe essere precisa (assenza di fluttuazioni) ma non accurata. Errori di questo tipo si dicono sistematici. 1. Difetti dello strumento (di costruzione o di usura): goniometro eccentrico, scala termometrica starata, termometro a sezione non costante. 2. Uso dello strumento in condizioni errate (diverse da quelle previste per un uso corretto). 13
Errori Sistematici (II) 3. Errori di stima dello sperimentatore (errore per eccesso o difetto, errore di parallasse). 4. Perturbazioni esterne (polvere tra le ganasce di un calibro). 5. Perturbazione del fenomeno da parte dell operazione di misura (compressione delle ganasce di un calibro). 6. Utilizzo di formule errate o approssimate. Errori Sistematici (III) Il modo migliore per rivelare la presenza di errori sistematici è ripetere la misura della stessa grandezza fisica con strumenti e metodi diversi. In generale, gli errori sistematici sono individuabili con un attenta e minuziosa analisi critica. Scoperto un errore sistematico, si può modificare lo strumento o correggere il risultato della misura. Le cause d errore dall 1 al 5 (strumento difettoso, utilizzo errato, errori di stima, perturbazioni esterne o legate alla misura) possono essere sorgenti anche di errori di tipo casuale. 14
Errori Casuali Giochi meccanici, attriti interni, condizioni ambientali variabili (pressione e temperatura), tempo di reazione dello sperimentatore, disturbi interni (agitazione interna delle molecole) ed esterni (urti continui con le molecole dell aria). 1. Osservabili solo con strumenti sufficientemente sensibili (maggiore dell incertezza di lettura). 2. Possono essere ridotti, ma con difficoltà crescente sempre più con la precisione, ma mai del tutto eliminati. 3. Posseggono delle proprietà statistiche, pertanto la loro entità può essere stimata. Teoria dell Errore Compito della teoria dell errore è stimare l errore presumibilmente commesso nell atto della misura. Scopo della misura di una grandezza fisica è valutare sia il rapporto della grandezza stessa con una certa unità di misura, sia l errore da cui tale rapporto è presumibilmente affetto. Il risultato delle misure dovrà contenere: 1. Valore; 2. Errore; 3. Unità di Misura. 15
Cifre Significative E un errore spingere la valutazione del risultato oltre la precisione sperimentale. Nei calcoli intermedi si posso tenere tutte le cifre significative, ma il risultato finale (una volta valutato il suo errore) deve essere arrotondato al livello dell errore da noi stimato. Errore Relativo Valutato l errore assoluto, Δx, da cui è affetta la misura x 0 di una grandezza fisica x, si definisce errore relativo il seguente rapporto: L errore relativo esprime la qualità della misura di una grandezza fisica. Tale quantità è priva di senso se il valore vero della grandezza fisica da misurare è nullo. Regola pratica: x 0» Δx. 16