Analisi matematica Esercizi di Algebra Lineare Parte I. March,. Calcolo vettoriale in R. Dati u v calcolare 8 z SOLUZIONI u + v u + v v u z u+ v+ z (u z) uv zu zuv juj ju vj jv zj vers (u) vers ( v) vers ( z + u) v uv zu zuv u z juj p u+ v+ z (u z). Calcolo vettoriale in R. Dati u v calcolare z 8 SOLUZIONI u + v (u z) u + v vu z u+ v+ z (u z) uvzu zuv jzj j 8zj ju zj ju zj v u z u+ v+ z uv zu zuv jzj p j 8zj 8 p ju zj p ju zj p. Calcolo vettoriale in R. Dati u v z
calcolare SOLUZIONI u + v u + v vu z u+ v+ z (u z) uvzu zuv j (u z)j v u z uv zu zuv j (u z)j u+ v+ z 8 (u z). Veri care, usando la de nizione, se (a) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). (b) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). (c) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). 8 9 (d) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). 8 9 (e) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). 8 9 (f) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). 8 9 (g) i vettori sono linearmente indipendenti (in caso contrario esprimere uno di essi come combinazione lineare dei restanti). SOLUTIONI caso a) consideriamo una generica combinazione lineare di coe cienti R e R dei vettori dati e iponiamola uguale al vettore nullo + + l uguaglianza trai il vettore combinazione lineare e il vettore nullo impone +! dalla prima equazione abbiamo che, e dalla seconda otteniamo che. Questo signi ca che la combinazione lineare restituisce il vettore nullo se e solo se. Concludiamo che i vettori sono linearmente indipendenti. b) consideriamo una generica combinazione lineare di coe cienti R e R dei vettori dati e iponiamola uguale al vettore nullo + ()
l uguaglianza trai il vettore combinazione lineare e il vettore nullo impone! la prima e la seconda equazione sono soddisfatte ssando qualsiasi (quindi anche diverso da zero) e. Concludiamo che i vettori sono linearmente dipendenti. Scegliendo e, abbiamo dall equazione () che c) i vettori sono linearmente dipendenti in quanto in R non è possibile avere tre vettori tra loro linearmente indipendenti (dati due vettori linearmente indipendenti di R, posso esprimere ogni altro vettore di R come combinazione lineare di questi due vettori dati). Imponendo + + + + + abbiamo + + + Possiamo ssare e otteniamo +! + da cui. Per ogni insime di vettori B i, i, che segue, individuare il più grande sottoinsieme composto
esclusivamente da vettori linearmente indipendenti (indicarli tutti se sono più di uno) B B 9 B B 8 B 9 8 B 9 8 9 9 B 8 9 B 8 8 9 > B 9 > > > 8 9 > B > > > SOLUZIONI B! B B! I vettori di B, B e B sono a due a due indipendenti, quindi prendo tutte le coppie possibili. B! B B! B I vettori di B 8, B 9 e B sono a due a due indipendenti, quindi prendo tutte le coppie possibili.. Esprimere, dove possibile, il vettore u come combinazione lineare dei vettori in B (qualora non fosse possibile,
spiegarne il perché e darne evienza gra ca) u > B u > B u > B u > B u 8 > B 9 u 8 > B 9 8 9 u > B 8 9 u > B 8 9 u > B 8 9 u > B 8 9 > u > B > > > SOLUZIONI i vettori u B 8 > > B > sono linearmente indipendenti, segue che posso esprimere ogni vettore di R come combinazione lineare di questi due vettori. In particolare + 9 > > scegliendo e, otteniamo l identità cercata. Procedere in modo analogo per i restanti casi.. Si determinino, se esistono,
(a) i coe cienti c, c, c R tali che il vettore possa essere scritto come come combinazione lineare dei vettori e, e, e (Vettori della base canonica) SOLUZIONE c, c, c. (b) i coe cienti c, c, c R tali che il vettore possa essere scritto come come combinazione lineare dei vettori e, e +e, e +e (dove e, e, e sono i vettori della base canonica) SOLUZIONE c c, c. (c) i coe cienti c, c, c R tali che il vettore possa essere scritto come come combinazione lineare dei vettori SOLUZIONE c c, c. (d) i coe cienti c, c, c R tali che il vettore dei vettori SOLUZIONE c c, c. possa essere scritto come come combinazione lineare 8. Si dica se (a) il vettore può essere scritto come combinazione lineare dei vettori e (Motivare tramite rappresentazione gra ca). SOLUZIONE i due vettori sono linearmente indipendenti, segue che ogni vettore di R può essere ottenuto come combinazione lineare dei due vettori. Il vettore dato non fa eccezione. (b) il vettore può essere scritto come combinazione lineare dei vettori e (Motivare tramite rappresentazione gra ca). SOLUZIONE No. (c) il vettore 9. Indicare se può essere scritto come combinazione lineare dei vettori tramite rappresentazione gra ca). SOLUZIONE Si. x y, dove x, y, z R e z x + y + z e (Motivare costituisce un sottospazio vettoriale di R, indicare una base di tale sottospazio e speci carne la dimensione. SOLUZIONE Ogni vettore x x x ()
con x R assicura (). L insieme di tutti i vettori [x x x ] costituisce un sottospazio vettoriale di R di dimensione. Un base di tale sottospazio è [ ]. Indicare se x y, dove x, y, z R e z x + y + z costituisce un sottospazio vettoriale di R, indicare una base di tale sottospazio e speci carne la dimensione. SOLUZIONE procedere come al punto precedente. x. Indicare se, dove x, y R e y x + y costituisce un sottospazio vettoriale di R, indicare una base di tale sottospazio e speci carne la dimensione. SOLUZIONE procedere come al punto precedente. x. Indicare se, dove x, y R e y x + y costituisce un sottospazio vettoriale di R, indicare una base di tale sottospazio e speci carne la dimensione. SOLUZIONE procedere come al punto precedente.. Si dica, giusti cando la risposta, se (a) i vettori u e v costituiscono una base in R SOLUZIONE Vero, i due vettori sono linearmente indipendenti e generano tutto R. Segue che essi sono una base di R. (b) i vettori u e v costituiscono una base in R SOLUZIONE No, una base di R è composta da tre vettori linearmente indipendenti.. Dopo aver veri cato, in base alla de nizione, che i tre vettori u v w sono linearmente indipendenti, si esprima il vettore y come combinazione lineare dei vettori u, v, w.. Assegnati i vettori u e v, si determinino due numeri a e b tali che au+bv e + e, e, e sono i vettori della base canonica (vettori fondamentali) di R
SOLUZIONE segue che b e a.. Assegnati i vettori u (a) u è proporzionale a v (b) u è ortogonale a v au+bv ed v b a b e + e a + b a b si determini, per quali valori dei parametri reali a e b SOLUZIONE a) Imponendo le condizioni per la proporzionalità, ossia u v, abbiamo che e per l ortogonalità otteniamo 8> a b > da cui otteniamo b, e a. b) Imponendo la condizioni di ortogonalità tra i due vettori abbiamo uv a che implica a e b qualsiasi numero reale.. Assegnate le matrici A si calcolino, se possibile AB, BA, AB T, A + B. SOLUZIONE AB BA AB T non si può fare!!! A + B non si può fare!!! 8. Date le matrici A a e B 8 8 e B b si determini per quali valori di a e b risulta AB T I (I è la matrice identità ).SOLUZIONE AB T b b a + a b imponendo otteniamo b e a. b + a b 8
9. Assegnato il vettore u [ ], (a) si calcoli il vettore v u a a a a, a R (b) si determini, per quale valore del parametro reale a, v è otogonale ad u. SOLUZIONE u a [ + a a a] a a a imponendo la condizione di ortogonalità otteniamo vu a. Individuare lo spazio (o sottospazio) vettoriale generato dai vettori colonna di ciascuna delle seguenti matrici A A A A SOLUZIONE ) tutte le possibili coppie di vettori colonna di A sono tra loro linearmente indipendenti e costituiscono una base di R. ) i due vettori colonna di A sono uno proporzionale all altro (sono linearmente dipendenti), tutte le loro possibili combinazioni lineari costituisce un sottospazio di R di dimensione dato da V R. ) i primi due vettori colonna di A sono tra loro linearmente indipendenti, mentre il terzo può essere ottenuto dal secondo sottratto il primo. Segue che lo spazio generato da tutte le possibili 8 combinazioni lineari dei vettori colonna di A è un sottospazio di dimension di R dato da V + 9 R. ) La prima, la seconda e la quarta colonna di A sono tre vettori linearmente indipendenti di R, segue che lo spazio vettoriale generato da ogni combinazione lineare di queste tre colonne è R. 9