II Università degli Studi di Roma

Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado ax + b c R che soddisfano un equazione con a, b, c R, a, b non entrambi nulli, sono esattamente le rette del piano. Ci occupiamo adesso degli insiemi o luoghi geometrici definiti da equazioni di secondo grado. Definizione. Una conica in R è l insieme dei punti P R che soddisfano un equazione di secondo grado dove a, b, c, d, e, f R con a, b, c non tutti nulli. a + b + cx + dx + e + f Osserviamo innanzitutto che, a differenza delle rette, le coniche di R possono avere forme geometriche diverse. Esempio 7.. I punti P R che soddisfano l equazione + 9 formano un ellisse. Fig.. L ellisse + 9x in R. 33

Esempio 7.. I punti P un iperbole. R che soddisfano l equazione 9 formano Fig.. L iperbole 9x in R. Esempio 7.3. I punti P parabola. R che soddisfano l equazione formano una Fig.3. La parabola in R. Esempio 7.4. I punti P R che soddisfano l equazione + x 4 + x + 4 formano la circonferenza di centro e raggio. 34

Esempio 7.5. I punti P Fig.4. La circonferenza x + 4 in R. formano la coppia di rette verticali r : x ed s : x. R che soddisfano l equazione x + x Esempio 7.6. I punti P solo punto. Fig.5. La coppia di rette x + x in R. Esempio 7.7. Non ci sono punti P R che soddisfano l equazione + consistono nel R che soddisfano l equazione + +. Una domanda naturale è dunque la seguente: data un equazione di secondo grado nel piano a + b + cx + dx + e + f, 35

che tipo di conica definisce? Ad esempio, l equazione 4x + 4 + 8x 96 che tipo di conica definisce? Ricordiamo innanzitutto che le equazioni di un dato luogo geometrico dipendono dal sistema di riferimento. Ogni conica, in un opportuno sistema di riferimento, ha un equazione particolarmente semplice; da questa equazione risulta chiaro di che conica si tratta. Diamo ora un metodo generale per determinare questo sistema di riferimento conveniente per una conica qualunque. Sia dunque a + b + cx + dx + e + f un equazione di secondo grado in R, dove a, b, c, d, e, f R, con a, b, c non tutti nulli. Procediamo in due passi: Il primo passo consiste in un cambiamento di coordinate che elimina il termine misto di secondo grado cx dall equazione. Sia a + b + cx x t Q x, a c/ con Q, la forma quadratica formata dai termini di secondo grado dell equazione. c/ b Poiché Q è una matrice reale simmetrica, ha autovalori reali ed esiste una base B ortonormale di R, formata da autovettori di Q vedi l Eserc.7.A. Nel sistema di coordinate X, X indotto da B, la forma quadratica si diagonalizza, diventa cioè A X + B X, dove A e B sono gli autovalori di Q. Sia dunque B {e, e }, con e sia m m m 3 m 4 m m 3, e m m 4, e X X, 3 il cambiamento di coordinate dalla base B alla base canonica. Si tratta di un cambiamento di m m coordinate ortonormale e la matrice M è una matrice ortogonale. Sostituendo le m 3 m 4 relazioni 3 nell equazione, essa prende la forma dove A, B, C, D, E R, con A, B non entrambi nulli. A X + B X + C X + D X + E, 4 Il secondo passo consiste in un cambiamento di coordinate, questa volta una traslazione, che elimina entrambi i termini di grado uno, oppure uno dei termini di grado uno e il termine noto dall equazione 4. Scriviamo X X + α X X + β. e sostituiamo queste relazioni nell equazione 4; troviamo AX + BX + Aα + CX + Bβ + DX + Aα + Bβ + Cα + Dβ + E. 5 36

A questo punto è chiaro che, se A e B sono entrambi diversi da zero, esistono α e β in grado di eliminare entrambi i termini di primo grado. In questo caso infatti α e β si ricavano dalla 5 imponendo Aα + C e Bβ + D, da cui α C/A e β D/B. L equazione 5 diventa in questo caso: AX + BX + E, 6 dove A, B, E R, con A, B. Supponiamo adesso che uno dei due coefficienti A, B dei termini di secondo grado nella 4 sia nullo. Pur di scambiare X e X, possiamo supporre ad esempio B. In questo caso, non potendo eliminare il termine di primo grado in X, possiamo usare il parametro β della traslazione per eliminare il termine di grado zero. Imponendo Aα + Cα + Dβ + E, purché sia D, ricaviamo β E Aα Cα/D, e l equazione 5 diventa AX + D X, 7 dove A, D R, con A. Se infine B D, possiamo solo eliminare il termine di primo grado in X e ridurre l equazione alla forma AX + F, 8 con A, F R, A. In conclusione, in un opportuno sistema di riferimento X, X del piano, una conica è definita da un equazione della forma 6,7 o 8. Una lista completa, delle varie possibilità è contenuta nella Tabella 6. 37

Tabella 6.. X a + X b ellisse. X a + X b 3. X a + X b un punto 4. X a X b iperbole 5. X a X b rette incidenti 6. ax X parabola 7. X a rette parallele distinte 8. X rette parallele coincidenti 9. X a I coefficienti a, b R sono opportuni numeri positivi. Se nelle coniche di tipo,, 3 si pone a b, allora la Tabella 6 non contiene ripetizioni. Osserviamo che il nuovo sistema di riferimento X, X può essere scelto così che il cambiamento di coordinate dal sistema x, al sistema X, X sia una isometria o trasformazione rigida del piano. Può essere infatti ottenuto dalla composizione di rotazioni, riflessioni e traslazioni, che conservano angoli e distanze. Poiché un equazione di secondo grado può essere portata mediante un isometria in una e una sola delle equazioni della Tabella 6, essa dà una classificazione completa delle coniche del piano. A sottolineare che i cambiamenti di coordinate usati sono tutti isometrici, il procedimento descritto nei passi e si chiama riduzione della conica in forma canonica metrica e la classificazione prodotta si chiama classificazione metrica delle coniche. Esaminiamo ora in dettaglio le coniche principali della Tabella 6. 38

Esempio 7.7. L ellisse di equazione X a + X b è una curva chiusa, è simmetrica rispetto agli assi coordinati e rispetto all origine. I numeri positivi a e b sono le lunghezze dei semiassi dell ellisse. F F Fig.7. L ellisse X a + X b, con a e b. Un ellisse può anche essere definita nel seguente modo: Definizione. Siano F ed F due punti di R e sia a R, a >. L ellisse di fuochi F ed F e di semiasse a è l insieme dei punti P R tali che la somma delle distanze dp, F di P da F e dp, F da P a F sia costante ed uguale a a. E {P R : dp, F + dp, F a}. Se F F, l ellisse non è altro che la circonferenza di centro F e raggio a. Se i fuochi F, F sono a b i punti di coordinate F ed F a b, con a b, l equazione dell ellisse corrispondente è proprio X a + X b. Esempio 7.8. L iperbole di equazione X a X b è una curva composta da due rami, approssimati asintoticamente dalla coppia di rette X a X b e X a + X b, gli asintoti, che si incontrano nell origine. È simmetrica rispetto agli assi coordinati e rispetto all origine. Il numero positivo a è la lunghezza del semiasse dell iperbole. 39

F F Fig.8. L iperbole X a X b, con a e b. Un iperbole può anche essere definita nel seguente modo: Definizione. Siano F ed F due punti di R e sia a R, a >. L iperbole di fuochi F ed F e di semiasse a è l insieme dei punti P R tali che il valore assoluto della differenza delle distanze di P da F ed F sia costante ed uguale a a: I {P R : dp, F dp, F a}. Se i fuochi F, F a + b sono i punti di coordinate F ed F a + b dell iperbole corrispondente è proprio X a X b. Esempio 7.9. La parabola di equazione, l equazione ax X è una curva simmetrica rispetto all asse X, avente il suo vertice nell origine degli assi. F direttrice Fig.9. La parabola ax X, con a. 4

La parabola può essere definita anche nel seguente modo: Definizione. Siano r una retta ed F un punto di R. Sia p un numero positivo. La parabola C di fuoco F, direttrice r e parametro p df, r/ è l insieme dei punti del piano equidistanti da F e da r C {P R dp, F dp, r}. Scegliendo come fuoco il punto F sull asse delle ordinate e come direttrice la retta /4a parallela all asse delle ascisse di equazione X /4a, il valore del parametro risulta p /4a e l equazione della parabola corrispondente è proprio ax X. Esempio 7.. Per illustrare il procedimento di riduzione a forma canonica sopra esposto, studiamo adesso la conica 4x + 4 + 8x 96 dell equazione. Ne determiniamo il tipo riducendola in forma canonica e diamo poi un interpretazione geometrica dei cambiamenti di coordinate coinvolti. La forma quadratica associata alla conica è 4x + 4. La matrice simmetrica corrispondente è Q. Gli autovalori di Q sono λ e µ 5. I rispettivi autospazi sono { } 4 { } 4 3 V span e V 3 5 span. Una base ortonormale di R 4 formata da autovettori { } 4/5 3/5 di Q è data da B,. Il cambiamento di coordinate ortonormale 3/5 4/5 porta l equazione nella forma 4/5 3/5 X 3/5 4/5 X 4 X 5 + 3 X 5 3 X 5 + 4 X 5 4 X X 6 X X 4. Cerchiamo adesso α e β in modo che il cambiamento di coordinate X X + α X X + β elimini dall equazione i termini di primo grado. Sostituendo le relazioni nell equazione, troviamo 4X X + 8α 6X β + X + 4α β 6α β 4, da cui ricaviamo α e β 6. L equazione della conica diventa così 4X X 4, ossia X X 4. Si tratta di un iperbole, con semiasse di lunghezza e avente come asintoti le rette x ±. 4

Fig.. L iperbole in forma canonica X X 4, nel riferimento X, X. Vogliamo adesso rappresentare la conica nel riferimento originario x,. Per fare ciò, abbiamo bisogno di conoscere assi e centro di simmetria, asintoti e lunghezza del semiasse dell iperbole nel riferimento x,. Nel sistema di riferimento X, X gli assi di simmetria coincidono con gli assi coordinati e quindi hanno equazioni X e X. Conoscendo le formule del cambiamento di coordinate dal sistema X, X al sistema x, possiamo ricavare le equazioni degli assi di simmetria nelle coordinate x,. Componendo le trasformazioni x M X e X T α β X usate per ridurre la conica in forma canonica, otteniamo 4/5 3/5 3/5 4/5 X + X 6 4 5 X + 3 5 X 6 5 3 5 X + 4 5 X 8 5. Queste relazioni, sostituite nell equazione della conica in x,, ci hanno dato l equazione della conica in X, X. Invertendole troviamo X X 4 5 x + 3 5 3 5 x + 4 5 + 6. Queste relazioni, sostituite nell equazione di un luogo geometrico in X, X, ci danno le equazioni dello stesso luogo in x,. 4

Fig.. L iperbole 4x + 4 + 8x 96. Dalle equazioni risulta che X se e solo se 4/5x + 3/5. Dunque quest ultima è proprio l equazione dell asse X nel riferimento x,. Analogamente, l equazione dell asse X nel riferimento x, è data da 3/5x + 4/5 + 6, le coordinate del centro di simmetria sono 6/5, 8/5, le equazioni degli asintoti sono rispettivamente x + + e x + 5. Infine, la lunghezza del semiasse è come prima uguale a. Osservazione. Geometricamente possiamo interpretare così i cambiamenti di coordinate effettuati rispettivamente nel passo e nel passo : il riferimento X, X è un riferimento centrato nell origine delle coordinate x,, con assi coordinati paralleli agli assi di simmetria della conica; il riferimento X, X ha l origine delle coordinate coincidente col centro di simmetria della conica ed assi coordinati coincidenti con gli assi di simmetria della conica. X X Fig.. I sistemi di coordinate x, e X, X. Esempio 7.. Disegnamo la conica C + + x x. 3 43

La forma quadratica associata a C è data da + + x, la matrice simmetrica corrispondente è Q. Gli autovalori di Q sono λ e µ, con autospazi dati rispettivamente da { } { } V span e V span. Il cambiamento di coordinate ortonormale / / / / X X riduce l equazione 3 nella forma Cerchiamo adesso β in modo che il cambiamento di coordinate X X X X + β X X. 4 elimini il termine di primo grado in X dall equazione 4. Dalle sostituzioni X + β X + β X + 4β X + 4β β, ricaviamo β /; l equazione diventa così X. Nel riferimento X, X, la conica è costituita dunque dalla coppia di rette parallele di equazioni X e X. Invertendo il cambiamento di coordinate / / / / X X + / usato per portare l equazione 3 in forma canonica, troviamo X x X x +. Ne segue che, nel sistema x,, le rette in questione hanno rispettivamente equazione x + + e x +. Fig.3. La coppia di rette x + + e x +. 44

Esercizi. a b 7.A Sia A una matrice reale simmetrica. b c i Dimostrare che il polinomio caratteristico di A è uguale a X a + cx + ac b. ii Dimostrare che gli autovalori di A sono reali. iii Dimostrare che esiste una base ortonormale di R formata da autovettori di A. 7.B Fare un disegno delle seguenti coniche: i X + Y 5. ii XY 4. iii X 4X + Y 6Y 3. 7.C Fare un disegno delle seguenti coniche: i X + Y. ii XY X + Y. iii X 4X + Y 6Y + 3. 7.D Fare un disegno delle seguenti ellissi. Indicarne centro e assi di simmetria. i X + 4Y 5 ii X + XY + Y 3. 7.E Fare un disegno delle seguenti iperboli. Indicarne gli asintoti. i XY 4 ii X 7Y 7. iii X + XY Y X Y. 7.F Fare un disegno delle seguenti coniche. i X + Y + X + Y + ii X Y X +. iii X + Y + X + Y +. iv X + Y 4X 4. 7.G Sia C la conica data dall equazione Y X. i Determinare l equazione della conica dopo il cambiamento di coordinate, dove T p indica la traslazione di passo. Sia C la conica nelle coordinate x, x. Far vedere che il punto P appartiene a C. x ii Determinare l equazione della conica dopo il cambiamento di coordinate x R θ, dove R θ indica la rotazione di 6 gradi intorno all origine. Far vedere che il punto P ha coordinate / 3 nel sistema x 3/,. T p x x 7.H Fare un disegno delle seguenti coniche. Indicarne eventuali asintoti, centro e assi di simmetria i 3X XY + 3Y X + 6Y + 8, ii X + XY + Y 4X + 5. 7.I Fare un disegno delle seguenti coniche. Indicarne eventuali asintoti, centro e assi di simmetria i X + 6XY + Y X 6Y, ii X + 6XY + Y X 6Y +. 45

7.J Sia a R > e sia C la parabola data da Y ax e sia F il fuoco di C. 4a i Calcolare l equazione della retta passante per F e un punto P x, a su C. ii Adesso vediamo la retta come un raggio di luce uscente da F. Calcolare l equazione del raggio riflesso sulla parabola. Far vedere che per ogni punto P il raggio riflesso è una retta verticale. 7.K Disegnare le seguenti coniche: i X + Y + XY + X + Y ; ii 5X 6XY + 5Y + 7 ; iii X + Y XY Y ; iv 3X 8XY 3Y +. 7.L Disegnare le seguenti coniche: i Y + 3XY 3X + Y 5; ii 9X + 6Y + 4XY 4X + 3Y ; iii 3X + XY + 3Y + X Y ; iv X + 4XY + 5Y. 7.M Determinare il tipo affine delle seguenti coniche: i X 6XY + 4Y + X + 4Y 4 ; ii 4X + XY + 9Y + 3X 4; iii 7X 5XY + Y + 8Y ; iv X + 4XY + 4Y + X + 4Y + 5 ; v X + 3XY + Y + X. 7.N i Far vedere che i punti appartengono all iperbole data da Y 7X. Trovare altri ± punti sull iperbole con coordinate intere. X ii Trovare punti con coordinate intere e positive sull iperbole Y Y 9X. 46