Corso d Statstca docente: Domenco Vstocco La msura della varabltà per varabl qualtatve ordnal Lo studo della varabltà per varabl qualtatve ordnal può essere condotto servendos degl ndc d omogenetà/eterogenetà ntrodott per le varabl qualtatve nomnal Tal ndc, però, essendo basat sulle sole frequenze assocate alle sngole modaltà, non sfruttano l nformazone ulterore assocata a tale tpo d varabl, ovvero la possbltà d ordnarne le modaltà A tal fne è possble defnre un ulterore accezone del termne varabltà tenendo conto d come le frequenze s dspongono rspetto alle modaltà ordnate della varable S consder, a ttolo esemplfcatvo, una varable ordnale X ce può assumere cnque modaltà, osservata su un collettvo d 00 untà Le seguent tabelle rportano alcune possbl dstrbuzon d tale varable: CASO CASO CASO 3 CASO 4 X n X n X n X n () () () () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 00 00 00 00 La dstrbuzone rportata come caso è una dstrbuzone caratterzzata da massma varabltà (s parla pù propramente d massma eterogenetà o mnma omogenetà) mentre quella ndcata come caso è caratterzzata dalla mnma varabltà possble (mnma eterogenetà o massma omogenetà) el prmo caso, nfatt, le frequenze sono rpartte equamente tra tutte le modaltà del carattere mentre nel secondo caso tutte le frequenze sono accentrate n una sola modaltà del carattere, comportando qund un assenza totale d varabltà Le due dstrbuzon 3 e 4 rportano nvece due cas ntermed d varabltà: n entramb cas le frequenze sono rpartte unformemente tra due modaltà del carattere; la msurazone degl ndc d omogenetà/eterogenetà (Gn o Sannon) sulle due dstrbuzon produrrà d conseguenza lo stesso valore L utlzzo d tal ndc, non sfruttando alcuna nformazone sull ordnamento delle modaltà, non permette d rlevare l evdente dverstà delle due dstrbuzon: l caso 3, nfatt, è caratterzzato dal fatto ce le unce due modaltà present sono due modaltà vcne alla modaltà centrale mentre nel caso 4 le unce due modaltà present sono le due modaltà estreme Quest ultma dstrbuzone è qund caratterzzata da una maggore dspersone (n partcolare dalla massma dspersone possble, ce s a quando le frequenze sono rpartte n manera unforme tra le due modaltà estreme) La mnma dspersone concde con l caso d mnma eterogenetà (o massma omogenetà), ovvero quando tutte le untà presentano la stessa modaltà (caso ) Un ndce d dspersone dovrà qund assumere valore mnmo nel caso della dstrbuzone caratterzzata da mnma dspersone (caso ) e valore massmo nel caso della dstrbuzone caratterzzata da massma dspersone (caso 4) el caso d una varable caratterzzata da dspersone mnma, s è detto ce tutte le untà presentano una stessa modaltà del carattere Indcando con tale modaltà, s avrà: Facoltà d Economa Unverstà degl Stud d Cassno
Corso d Statstca docente: Domenco Vstocco X n f F RF 0 0 () 0 0 ( ) 0 0 ( ) x ( ) 0 0 ( + ) 0 0 ( ) In partcolare, per le frequenze cumulate e retrocumulate s avrà, rspettvamente: 0 se < se F RF se 0 se > Defnendo complement ad delle frequenze cumulate e retrocumulate, s avrà ovvamente: se < 0 se F RF 0 se se > Sfruttando le frequenze cumulate e retrocumulate (e loro complement all untà) è possble costrure l seguente ndce d dspersone: ( ) ( ) D F F + RF RF Essendo una somma d termn tutt non negatv, l ndce D è non negatvo In partcolare è mmedato vedere come l valore mnmo dell ndce (lo 0) è assunto nel caso d varabl caratterzzate da mnma dspersone La seguente tabella rporta dat necessar per l calcolo dell ndce nel caso della dstrbuzone denotata n precedenza come caso : X n f F -F RF -RF F (-F) RF (-RF) 0 0 0 0 0 () 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 Facoltà d Economa Unverstà degl Stud d Cassno
Corso d Statstca docente: Domenco Vstocco 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 Il valore massmo dell ndce, ce s rscontra nel caso d dstrbuzone caratterzzata da dspersone massma, dpende dalla numerostà del collettvo d rfermento; n partcolare s anno due seguent cas (s rmanda all appendce per la dmostrazone): par dspar Il calcolo dell ndce D per l caso della dstrbuzone ndcata come caso 4, ovvero l caso d massma dspersone, è rportata nella seguente tabella: X n f F -F RF -RF F (-F) RF (-RF) 05 05 05 0 05 0 () 0 05 05 05 05 05 05 ( ) 0 05 05 05 05 05 05 0 05 05 05 05 05 05 05 0 05 05 0 05 00 00 00 Da cu s evnce come l ndce D assume l valore, ovvero l suo valore massmo (essendo par e 5) La seguente tabella rporta, nfne, l calcolo dell ndce D per la dstrbuzone del caso 3, ovvero per la dstrbuzone caratterzzata da una dspersone ntermeda: X n f F -F RF -RF F (-F) RF (-RF) 0 0 0 0 () 05 05 05 05 0 05 ( ) 05 0 05 05 05 05 0 0 05 0 05 0 0 05 0 05 00 05 05 Facoltà d Economa Unverstà degl Stud d Cassno 3
Corso d Statstca docente: Domenco Vstocco In questo caso l ndce D vale 05, denotando una dspersone ntermeda rspetto a due cas d dspersone mnma e dspersone massma E possble calcolare l ndce D senza far rcorso al calcolo delle frequenze retrocumulate, sfruttando la seguente equvalenza: ( ) ( ) ( ) D F F + RF RF F F E mmedato vedere, negl esemp rportat n precedenza, come le due colonne F ( F) e RF ( RF) sono caratterzzate dalla stessa somma; per una dmostrazone formale dell equvalenza delle due formule s rmanda all appendce el caso n cu s vogla confrontare la dspersone tra due varabl caratterzzate da un numero dverso d modaltà, è necessaro costrure un ndce normalzzato per elmnare la dpendenza del campo d varabltà dell ndce dal numero d modaltà della varable su cu s msura E possble utlzzare la seguente formula: I mn( I) Inormalzzato max( I) mn( I) dove con I s è ndcato l ndce ce s vuole normalzzare e d cu sono not l valore mnmo e massmo (rspettvamente ndcat con mn(i) e max(i)) L ndce ottenuto n seguto a tale trasformazone vara tra 0 ed, assumendo l valore 0 nel caso d mnma dspersone e l valore nel caso d massma dspersone Per applcare tale trasformazone all ndce D s dovrebbe dstnguere l caso d par ed dspar, essendo dverso l valore massmo ce l ndce può assumere ne due cas Se è suffcentemente grande, tende a 0: s può assumere come valore massmo d D sempre ed utlzzare tale valore nella formula d trasformazone sa nel caso d par ce nel caso d dspar APPEDICE Dmostrazone dell equvalenza delle due formule per l calcolo dell ndce d dspersone D: ( ) ( ) ( ) D F F + RF RF F F D F ( F ) RF ( RF ) + F ( F ) RF ( RF ) + dstrbuendo la sommatora su due addend F ( F ) RF ( RF ) + sfruttando l fatto ce: 0 e F ; ( ) F RF ; ( RF ) 0 s possono cambare gl ndc delle due sommatore Facoltà d Economa Unverstà degl Stud d Cassno 4
Corso d Statstca docente: Domenco Vstocco + F ( F ) RF ( RF ) + + F( F) + ( F) ( [ F] ) s può modfcare l ndce della seconda sommatora (e pedc del suo argomento) n modo da unformarne gl estrem a quell della prma sfruttando la relazone ce lega le frequenze retrocumulate alle frequenze cumulate: RF F RF F + F F + F F ( ) ( ) F ( F) Massmo dell ndce D Per trovare l valore massmo dell ndce D è necessaro specfcare separatamente l caso d par e d dspar S può noltre esprmere l ndce D usando le frequenze assolute n luogo delle relatve come d seguto rportato: D F F ( ) ( ) Per la dmostrazone s può far rcorso al seguente teorema: FRA TUTTI I PRODOTTI DI DUE UMERI ITERI AVETI UA STESSA SOMMA, SE QUESTA È PARI, È MASSIMO QUEL PRODOTTO I CUI FATTORI SOO ETRAMBI UGUALI AD ; SE È DISPARI, È MASSIMO QUEL PRODOTTO I CUI TERMII SOO AD ESEMPIO: + ED par 0 n + n dspar 9 n + n n n n x n n n n x n 0 0 0 0 9 0 9 9 8 8 8 6 7 4 3 7 3 6 8 4 6 4 4 5 0 5 5 5 CASO DI PARI Il massmo d D è assunto se, per ogn,,, s a: Facoltà d Economa Unverstà degl Stud d Cassno 5
Corso d Statstca docente: Domenco Vstocco Cò s verfca soltanto se: n, n 0, n3 0,, n 0, n ossa se metà delle untà presenta la prma modaltà e l altra metà presenta l ultma modaltà Tale caso concde con l caso d massmo dspersone; l ndce D, n tale caso, vale: ( ) ( ) D CASO DI DISPARI Il massmo è assunto se, per ogn,,,, s a: n n + + n+ n + + + ovvero se: n n + + + n+ n + + Queste due stuazon s verfcano n uno de seguent tre cas: ) ) 3) + n, n 0, n3 0,, n 0, n + n, n 0, n3 0,, n 0, n n e n ugual a 0, una qualunque delle altre frequenze è uguale ad e tutte le altre sono In quest cas D assume l valore massmo, avendos: + ( ) D ( )( + ) + ( ) ( ) + ( ) + Facoltà d Economa Unverstà degl Stud d Cassno 6