Elementi di valutazione degli strumenti di debito Ricevimento: giovedì 14:30 16:30 previa email (da vostro indirizzo istituzionale) marika.carboni@yahoo.it
Agenda: Concetti di base Regimi finanziari Indicatori
Concetti di base: gli strumenti di debito: un quadro d insieme Esempio 1: il rateo il valore della moneta nel tempo la capitalizzazione l attualizzazione
Gli strumenti di debito: un quadro d insieme (1/3) Gli strumenti di debito (obbligazioni) sono strumenti finanziari emessi da soggetti in deficit finanziario e sottoscritti da soggetti in surplus finanziario. Rappresentano il debito dell emittente nei confronti del sottoscrittore. Distinguiamo tra: 1. obbligazioni con cedola (coupon bond) Pagano un interesse (cedola) che viene corrisposto a date di stacco periodiche. La cedola è calcolata in base a un tasso cedolare applicato al valore nominale delle obbligazioni. Il tasso di interesse può essere fisso o variabile. 2. obbligazioni senza cedola (zero-coupon)
Gli strumenti di debito: un quadro d insieme (2/3) Il valore nominale di un obbligazione è l importo del capitale che viene restituito a scadenza (maturity). Un obbligazione può essere emessa: alla pari: prezzo di emissione = valore nominale. sotto la pari: prezzo di emissione < valore nominale. N.B. le obbligazioni zero-coupon sono sempre emesse sotto la pari sopra la pari: prezzo di emissione > valore nominale. Il rateo corrisponde alla parte di interessi maturata dall ultimo stacco di cedola al giorno di acquisto, ma non ancora incassata perché corrisposta alla data di godimento successiva. A partire dal rateo, è possibile definire: corso secco: prezzo di negoziazione dell obbligazione che ignora il rateo: corso tel quel rateo corso tel quel: corso secco + rateo
Esempio 1: il rateo (1/2) Acquistiamo in data 22 aprile 2011, al prezzo di 102, un coupon bond (BTP) con scadenza 1 marzo 2014 e cedola semestrale del 2,5%. Il titolo paga in un anno, il 1 marzo e il 1 settembre, un flusso cedolare di 2,5 per ogni 100 di valore nominale. Il corso secco NON rappresenta il prezzo di scambio. Al momento dell acquisto, l investitore deve riconoscere al venditore NON SOLO il valore capitale del titolo (corso secco), MA ANCHE gli interessi maturati dal 1 marzo al 22 aprile (data di acquisto). La cedola in corso ha iniziato a maturare il 1 marzo 2011 e verrà pagata il 1 settembre 2011; pertanto la durata della cedola è di 184 giorni. I giorni di rateo di competenza del venditore vanno dal 2 marzo 2011 al 22 aprile 2011 (tot. 52 giorni).
Esempio 1: il rateo (2/2) Il rateo (lordo) è dato dal prodotto fra il tasso cedolare e il rapporto gg.rateo/gg.cedola: 2,5(52/184) = 0,7065 Sommando il rateo al corso secco si ottiene il corso tel quel lordo: 102 + 0,7065 = 102,7065 Su questa somma (102,7065), l acquirente deve dedurre l imposta sul rateo maturato, poiché alla prossima data di incasso cedola dovrà pagare l imposta (12,50%) relativa all intero semestre (anche per la parte non di sua competenza): 12,50%(0,7065) = 0,0883 102,7065 0,0883 = 102,6182
Gli strumenti di debito: un quadro d insieme (3/3) A seconda dell emittente, le obbligazioni si configurano come: obbligazioni societarie (corporate bond): emesse da imprese/banche; titoli di stato (government bond): emessi da Stato o Enti pubblici. La liquidità di un obbligazione è intesa come la sua capacità di produrre rapidamente ed economicamente (senza costi particolarmente significativi) un ritorno per l investitore in termini di flussi di cassa. Liquidità naturale si riferisce alla capacità delle obbligazioni di produrre flussi di cassa alle scadenze previste. Liquidità artificiale si riferisce alla possibilità che le obbligazioni siano vendute prima della scadenza con realizzazione «artificiale» del flusso di cassa connesso al prezzo di vendita.
Il valore della moneta nel tempo 1 unità di moneta ricevuta oggi vale di più di 1 unità di moneta ricevuta domani. Per misurare il valore della moneta abbiamo bisogno di 2 procedimenti finanziari: capitalizzazione e attualizzazione. La capitalizzazione Determina il valore futuro del capitale corrente, dati: a) il valore del capitale corrente b) il tasso di interesse al quale si può investire c) il periodo di investimento L attualizzazione Determina il valore presente del capitale futuro, dati: a) il capitale futuro b) il tasso di interesse al quale si può scontare il capitale futuro c) il periodo tra la data futura di maturazione del capitale e la data attuale
Regimi finanziari: il regime dell interesse semplice il regime dell interesse composto
Il regime dell interesse semplice gli interessi che maturano durante l investimento non contribuiscono a produrre nuovi interessi; il rendimento viene calcolato sul capitale in proporzione alla durata dell investimento. Definiamo: C n = montante (capitale futuro) C 0 = capitale iniziale r = tasso di interesse t = periodo dell investimento C n = C 0 + C 0 x r x t C 0 = C n 1+r x t Capitalizzazione Attualizzazione
Il regime dell interesse composto gli interessi maturati durante l investimento si sommano al capitale iniziale e producono nuovi interessi; il rendimento viene calcolato sulla base della suddetta ipotesi. Dividiamo il periodo dell investimento in n sottoperiodi di uguale durata. Alla fine di ogni sottoperiodo, l investimento matura interessi. C 1 = C 0 + C 0 x r = C 0 1 + r capitale alla fine del 1 o sottoperiodo C 2 = C 1 + C 1 x r = C 1 1 + r = C 0 (1 + r) 2 capitale alla fine del 2 o sottoperiodo C n = C n 1 + C n 1 x r = C n 1 1 + r = C 0 (1 + r) n capitale a scadenza C n = C 0 (1 + r) n dove: C 0 = Capitalizzazione (1 + r) n è il fattore di capitalizzazione C n (1+r) n dove: 1 (1+r) Attualizzazione n è il fattore di sconto
Indicatori ed esempi Gli indicatori di rendimento delle obbligazioni con cedola: Obbligazioni a tasso fisso: il TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) Esempio 2: il calcolo del TRES Gli indicatori di rischio delle obbligazioni: La duration (D) Esempio 3: la duration
Il TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) (1/2) Il rendimento esprime il risultato economico di un operazione. Il TRES è quell unico tasso di rendimento r che soddisfa l uguaglianza tra: (a) la somma dei valori attuali dei «frutti» futuri (intermedi e finali) prodotti da un obbligazione a tasso fisso; (b) il prezzo di acquisto del titolo stesso, espresso in termini di corso tel quel. Dove: Prezzo tel quel = F 1 (1 + r) 1 + F 2 (1 + r) 2 + + F n (1 + r) n F = flussi di cassa (cash flows) generati dall obbligazione nei periodi da 1 a n r = TRES
Il TRES (Tasso di rendimento effettivo a scadenza) (2/2) Il TRES (o tasso interno di rendimento o tasso implicito) è determinato attraverso un processo iterativo, ossia mediante tentativi successivi finalizzati a individuare il valore di r che soddisfa la precedente uguaglianza. Hp implicite: detenzione dell obbligazione fino a scadenza (rimborso al valore nominale); reinvestimento dei flussi intermedi fino a scadenza a un tasso pari al TRES e costante per tutto il periodo.
Esempio 2: il calcolo del TRES (1/2) In data 1 maggio 201X, viene acquistato sul mercato primario (sul quale avviene l'emissione di nuovi strumenti finanziari) un BTP con le seguenti caratteristiche: Data di emissione 01.05.201X Data di scadenza 01.05.201X(+10) Durata nominale 10 anni Livello cedola in % 5% Frequenza cedola Annuale Valore nominale 100,00 Modalità rimborso Unica sol. a scad. Prezzo di aggiudicazione 95,00
Esempio 2: il calcolo del TRES (2/2) Prezzo tel quel = F 1 (1 + r) 1 + F 2 (1 + r) 2 + + F 10 1 + r 10 95 = 5 (1+r) 1 + 5 (1+r) 2 + + 105 (1+r) 10 L unico tasso r che rende la somma del valore attuale dei flussi di cassa = al prezzo di acquisto del BTP è pari a 5,67 %: 95 = 5 (1+5,67%) 1 + 5 (1+5,67%) 2 + + 105 (1+5,67%) 10
La duration (1/8) Duration: media aritmetica ponderata delle scadenze dei flussi di cassa per capitale e per interessi. I fattori di ponderazione sono i flussi di cassa valutati al loro valore attuale (quest ultimo calcolato usando, nel nostro caso, il TRES). Hp: Un obbligazione produce alle date t 1, t 2, t n flussi di cassa per capitale e per interessi rappresentati da F 1, F 2, F n. La duration di un obbligazione è definita come segue: D = t 1 F 1 (1+TRES) t 1 +t 2 F 1 (1+TRES) t 1 + F 2 (1+TRES) t 2 + + t n F 2 (1+TRES) t 2 + + Fn (1+TRES) t n Fn (1+TRES) t n Somma dei pesi
La duration (2/8) La somma dei valori attuali dei flussi di cassa (denominatore) identifica il prezzo tel quel (cfr. formula TRES). Possiamo quindi riscrivere la duration come: D = n k=1 F t k k (1+TRES) t k P Il valore attuale dei flussi di cassa diviso per il prezzo tel quel del titolo (prezzo di negoziazione) rappresenta il peso di ogni flusso sul prezzo pagato. Moltiplicando per le scadenze si ottiene la durata media finanziaria dell obbligazione (duration), cioè il tempo necessario al recupero dell investimento effettuato.
La duration (3/8) La duration è l indicatore più appropriato per la valutazione della liquidità naturale di un obbligazione: (i) calcola correttamente le scadenze dei flussi di cassa, proponendo un risultato in termini di valore medio; (ii) considera in maniera corretta le suddette scadenze; (iii) considera i tempi di maturazione dei flussi di cassa, esprimendone il valore attuale. Gli indicatori della liquidità naturale possono essere usati come proxy del rischio di volatilità (che riguarda le variazioni del prezzo in seguito a variazioni del rendimento). Maggiore risulta la misura delle durata da essi espressa, maggiore è l entità del rischio in esame (e viceversa). La duration è l indicatore più corretto anche per la valutazione del rischio di volatilità.
La duration (4/8) L uso della duration come indicatore del rischio di volatilità può essere spiegato partendo dalla funzione che lega prezzo e rendimento delle obbligazioni (a tasso fisso): prezzo rendimento Riportiamo la formula della duration e la definizione di prezzo di un obbligazione: D = n k=1 F t k k (1+r) t k P P tel quel = Dove il prezzo tel quel può essere scritto come: n F k k=1 (1+r) t k P tel quel = n k=1 F k (1 + r) t k
La duration (5/8) Per valutare come varia P rispetto a r, calcoliamo la derivata prima: dp dr = n k=1 t k F k (1 + r) t k 1 ossia: dp dr = n k=1 t k F k 1 (1+r) t k +1 che possiamo scrivere come: dp dr = 1 n t (1+r) k=1 k F k 1 (1+r) t k Sappiamo che la duration è definita come: D = n k=1 F t k k (1+r) t k P n pertanto: D x P = k=1 t k F k (1+r) t k Per sostituzione, otteniamo quindi: Modified Duration (MD) dp dr = 1 (D x P) ossia: dp = (1+r) P D (1+r) dr
La duration (6/8) Dalla formula emerge che: il rischio di volatilità, espresso da dp, è spiegato da: (i) il segno (ii) dr (iii) MD dr misura le variazioni dei tassi di interesse di mercato che si immagina si traducano in analoghe variazioni del TRES (hp: mercati privi di imperfezioni); il segno spiega la relazione inversa tra variazioni dei tassi di interesse di mercato (e del TRES) e variazioni dei prezzi; la MD è un indicatore che: per variazioni dei tassi di interesse di mercato e del TRES consente di apprezzare le variazioni dei prezzi (e, quindi, il rischio di volatilità); P
La duration (7/8) la MD comporta errori di misura; utilizzando la MD, si ragiona in termini di derivata prima: si tratta come lineare una funzione curvilinea. Rappresentazione della funzione del prezzo rispetto al rendimento + derivata prima: prezzo errore di misurazione (2) errore di misurazione (1) rendimento tassi di interesse di mercato: sovrastima della diminuzione dei prezzi (1); tassi di interesse: sottostima dell aumento dei prezzi (2).
La duration (8/8) Conclusioni: La D e la MD assicurano un buon apprezzamento del rischio di volatilità delle obbligazioni a tasso fisso solo nel caso in cui le variazioni dei tassi di interesse di mercato (e quindi del TRES) sono contenute.
Esempio 3: la duration (1/3) Si consideri un titolo a 3 anni, con cedola annua del 6% (annuale) e prezzo pari a 108,49, il cui TRES è 3%. La vita media finanziaria di questo titolo NON è 3 anni, ma è data dalla media ponderata delle scadenze. Es.: una duration di 2,84 anni indica che, in prossimità di tale scadenza, l investitore avrà recuperato il prezzo pagato per l acquisto del titolo.
Esempio 3: la duration (2/3) Riportiamo per comodità la formula della duration: D = t 1 F 1 (1+TRES) t 1 +t 2 F 1 (1+TRES) t 1 + F 2 (1+TRES) t 2 + + t n F 2 (1+TRES) t 2 + + Fn (1+TRES) t n Fn (1+TRES) t n Il valore attuale del flusso pagato all anno 1 è 5,83 (ossia 6/1+0,03), che corrisponde al 5,37% del prezzo pagato al tempo 0 (ossia 5,83(100)/108.49). Il valore attuale del flusso pagato all anno 2 è 5,66 (ossia 6/(1+0,03)^2), che corrisponde al 5,21% del prezzo pagato al tempo 0 (ossia 5,66(100)/108.49). Il valore attuale del flusso pagato all anno 3 è 97,01 (ossia 106/(1+0,03)^3), che corrisponde all 89,42% del prezzo pagato al tempo 0 (ossia 97,01(100)/108.49).
Esempio 3: la duration (3/3) Calcolo della duration: Anno 1: valore attuale/prezzo = 5,83/108,49 = 0,0537 Anno 2: valore attuale/prezzo = 5,66/108,49 = 0,0521 Anno 3: valore attuale/prezzo = 97,01/108,49 = 0,8942 Anno 1: scadenza (valore attuale/prezzo) = 1(0,0537) = 0,0537 Anno 2: scadenza (valore attuale/prezzo) = 2(0,0521) = 0,1043 Anno 3: scadenza (valore attuale/prezzo) = 3(0,8942) = 2,6825 La duration è pari a 0,0537 + 0,1043 + 2,6825 = 2,8405