eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8 Contenuto Ritardo casuale Segnale binario casuale 3 Proprietà dell autocorrelazione 4 Somma di processi stocastici 5 Media temporale 6 Funzione caratteristica Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8
Segnale ritardato in modo casuale (/4) Un segnale deterministico x(t), periodico con periodo 0, viene ritardato di un tempo Θ non noto. Questa situazione, tipica ad esempio di tutti i segnali di eco, può essere descritta dal processo stocastico: X(t) x(t Θ) in cui la variabile casuale è il tempo di ritardo Θ. Vogliamo calcolare la media e l autocorrelazione di X(t). Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 3 / 8 Segnale ritardato in modo casuale (/4) Il valor medio del processo stocastico X(t) x(t Θ) calcolato rispetto al tempo di ritardo Θ, si ottiene partendo dalla relazione: E (g(z)) + g(z)f Z (z)dz Sostituiamo Θ a Z, f Θ (ϑ) a f Z (z), e x(t ϑ) a g(z), e integriamo solo sul periodo 0, per cui la densità di probabilità (uniforme) risulta essere f Θ (ϑ) 0. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 4 / 8
Segnale ritardato in modo casuale (3/4) Otteniamo il valor medio del processo stocastico X(t): E(X) 0 0 0 t x(t ϑ) 0 dϑ t 0 x(α)dα dove nell ultimo passaggio è stata usata la sostituzione α t ϑ. L integrale ottenuto è la media temporale (sul periodo) del segnale deterministico x(t), e quindi E(X) è indipendente dal tempo. Il processo stocastico X(t) è stazionario in valor medio. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 5 / 8 Segnale ritardato in modo casuale (4/4) L autocorrelazione del p.s. X(t) si calcola in modo analogo: R XX (t,t ) E(x(t Θ)x(t Θ)) 0 x(t ϑ)x(t ϑ)dϑ 0 0 0 t t 0 x(α)x(α + t t )dα con la sostituzione α t ϑ. L autocorrelazione di X(t) dipende solo da τ t t, e coincide con l autocorrelazione di x(t): R XX (t,t ) R XX (τ) R x (τ) Il processo stocastico X(t) è stazionario in senso lato. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 6 / 8 3
Segnale binario casuale (/5) Consideriamo la trasmissione seriale di dati binari ritardata di un tempo Θ non noto: X(t) V(t Θ) dove V(t) V[n] per n t < (n + ) con V[n] ±V. Il processo stocastico X(t) descrive matematicamente il segnale ricevuto da un ricevitore il cui segnale di clock è scorrelato rispetto al clock del trasmettitore. Se i due valori +V e V sono equiprobabili, il valor medio è E(X) 0. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 7 / 8 Segnale binario casuale (/5) Per il calcolo dell autocorrelazione, osserviamo che si può scrivere V(t) in questo modo: + t n V(t) V[n]rect n t n ) perché la funzione rect( vale nell intervallo (n,(n + )), e 0 altrove. Quindi si può scrivere: + t Θ n X(t) V[n]rect n Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 8 / 8 4
Segnale binario casuale (3/5) R XX (t,t ) + E V t Θ n rect rect t Θ n n + V E rect t Θ n rect t Θ n n + V t ϑ n rect n 0 rect t ϑ n dϑ V + t n α rect n t n rect α t + t dϑ V + α rect rect α τ dα Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 9 / 8 Segnale binario casuale (4/5) Nei passaggi precedenti è stata usata la sostituzione α t ϑ n. L autocorrelazione R XX (τ) V + α rect rect α τ dα dipende solo da τ t t, quindi il processo stocastico X(t) è stazionario in senso lato. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 0 / 8 5
Segnale binario casuale (5/5) + R XX (τ) V ( τ ) R XX α rect rect ( τ ) rect (τ) V α τ dα 0 τ Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8 Proprietà dell autocorrelazione L autocorrelazione R XX (τ) di un p.s. stazionario reale X(t) ha le stesse proprietà dell autocorrelazione di un segnale deterministico reale: R XX (τ) è reale e pari R XX (0) E ( (X(t)) ) P X (potenza media) R XX (0) R XX (τ) per τ se R XX (τ) non è periodica, R XX ( ) m X Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8 6
Media della somma Consideriamo due processi stocastici stazionari X(t) e Y(t), aventi media m X e m Y. La loro somma è il processo stocastico stazionario Z(t) X(t) + Y(t), che ha valor medio: m Z + + + + + m X + m Y Xf X (x)dx + (X + Y)f(x,y)dxdy Xf(x,y)dxdy + + + + Yf Y (y)dy La media della somma è uguale alla somma delle medie. Yf(x,y)dxdy Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 3 / 8 Varianza della somma (/3) Per calcolare la varianza, calcoliamo il momento del secondo ordine del p.s. stazionario Z(t) X(t) + Y(t): E(Z ) E ( (X + Y) ) + X f(x,y)dxdy + (X + Y) f(x,y)dxdy XYf(x,y)dxdy X f X (x)dx + E(X ) + E(Y ) + Y f(x,y)dxdy+ Y f Y (y)dy + XYf(x, y)dxdy XYf(x,y)dxdy Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 4 / 8 7
Varianza della somma (/3) Se i p.s. X(t) e Y(t) sono indipendenti, allora f(x,y) f X (x) f Y (y) e si può calcolare anche l ultimo integrale, ottenendo: E(Z ) E(X ) + E(Y ) + E(X ) + E(Y ) + E(X ) + E(Y ) + XYf(x,y)dxdy XYf X (x)f Y (y)dxdy Xf X (x)dx E(X ) + E(Y ) + E(X) E(Y) Yf Y (y)dy Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 5 / 8 Varianza della somma (3/3) Se i p.s. X(t) e Y(t), oltre ad essere indipendenti, sono anche a media nulla (o almeno uno dei due è a media nulla), allora anche il momento del secondo ordine di Z è la somma dei momenti del secondo ordine di X e Y: E(Z ) E(X ) + E(Y ) e la varianza della somma è la somma delle varianze: σ Z σ X + σ Y Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 6 / 8 8
Somma di rumore bianco In un sistema che comprende più sorgenti indipendenti di rumore bianco W,W,...,W k che vengono sommate fra di loro, il processo stocastico risultante W(t) k i W i(t) è ancora un rumore bianco a media nulla (perché tutti i W i sono a media nulla), e con varianza: Il valore rms del p.s. W(t) è: σ W k i σ W i W rms σ W k i σ W i Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 7 / 8 Esempio: medie temporali (/3) Si deve effettuare la misura di una grandezza (ad esempio, una tensione costante V) a cui è sovrapposto un rumore bianco additivo W(t). La misura può essere effettuata prendendo un solo campione del processo stocastico V + W(t): il valor medio è la costante V (perché W(t) ha media nulla); la varianza è σ (perché V ha varianza nulla). W Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 8 / 8 9
Esempio: medie temporali (/3) Il rapporto segnale-rumore o SNR ( Signal-to-Noise Ratio) è definito come il rapporto tra la potenza normalizzata del segnale e la varianza del rumore: SNR V Solitamente, il rapporto segnale-rumore è espresso in un unità di misura logaritmica, chiamata decibel: SNR db 0log 0 V σ W σ W ( ) V 0log 0 0log σ 0 W V σ W Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 9 / 8 Esempio: medie temporali (3/3) Facendo la somma di N campioni presi in istanti diversi (t,t,...,t N ), si ottiene la variabile aleatoria N N X (V + W(t i )) NV + W(t i ) il valor medio è NV; la varianza è Nσ W ; i NV il rapporto segnale-rumore è V N N σw σw. Prendendo N campioni (indipendenti) della grandezza da misurare, il rapporto segnale-rumore migliora di N (cioè si aggiungono 3 db ad ogni raddoppio del numero di campioni). i Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 0 / 8 0
Densità di probabilità della somma (/6) La densità di probabilità del p.s. Z(t) X(t) + Y(t) si calcola a partire dalla funzione cumulativa di distribuzione: F Z (z) Pr{Z z} Pr{X + Y z} Pr{X,Y z X} 00 y 000 0000 00000 z 000000 x + y z 0000000 z 00000000 000000000 0000000000 x x + y < z 00000000000 00000000000 Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8 Densità di probabilità della somma (/6) F Z (z) Pr{X,Y < z X} z x x y z x y [x+y z] f X (x)f Y (y)dydx f X (x)f Y (y)dxdy x Derivando la F Z rispetto a z, di ottiene la pdf f Z : f Z (z) df Z(z) dz f X (x)f Y (y)dxdy f X (x)f Y (z x)dx f X (z) f Y (z). La densità di probabilità della somma di due processi stocastici indipendenti è uguale alla convoluzione delle densità di probabilità dei due addendi. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 / 8
Densità di probabilità della somma (3/6) Nel caso in cui entrambi gli addendi abbiano densità di probabilità gaussiana: f X (x) π σx e (x /σ X) ; fy (y) π σy e (y /σ Y) allora la densità di probabilità della somma Z X + Y è: f Z (z) πσ X σ Y πσ X σ Y e (x /σ X) e ((z x) /σ Y) dx e (x (/σ X +/σ Y) xz/σ Y +z /σ Y) dx Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 3 / 8 Densità di probabilità della somma (4/6) Per calcolare agevolmente l integrale, occorre fare in modo che la funzione integranda abbia la forma: e (u +cz ) Uguagliando gli esponenti e svolgendo i calcoli, si ottiene: u x + z σ σ X Y σ + Y σ σ X Y c σ X + σ Y Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 4 / 8
Densità di probabilità della somma (5/6) Sostituendo la variabile u nella funzione integranda, si ha: f Z (z) π σ X + σ Y e u / du e z /(σ X +σ Y) L ultimo termine esponenziale dipende solo da z e quindi è stato portato fuori dal segno di integrale. Inoltre, e u / du π. Quindi risulta: f Z (z) π ( /(σ σ X + ) e z X +σ Y) e z /σ π σ σ Y che è una pdf gaussiana con varianza σ σ X + σ Y. Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 5 / 8 Densità di probabilità della somma (6/6) Se gli addendi non hanno pdf gaussiana, la pdf della somma tende comunque ad una gaussiana all aumentare del numero di addendi. Esempio con pdf uniforme in [0, ]:.5 f f f f * f f4 f * f * f * f (4 volte) f8 f * f * f * f *... (8 volte) f6 f * f * f * f *... (6 volte) 0.5 0 0.5 0 4 6 8 0 4 6 Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 6 / 8 3
Funzione caratteristica (/) La pdf della somma di due p.s. aventi pdf gaussiana si può ricavare anche in un altro modo, definendo la funzione caratteristica Φ X (ω): Φ X (ω) E ( e jωx) e jωx f X (x)dx In pratica, la funzione caratteristica è la trasformata di Fourier della densità di probabilità (con il segno +, invece che, nell esponenziale). Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 7 / 8 Funzione caratteristica (/) Per le proprietà delle trasformate di Fourier, alla convoluzione delle pdf corrisponde il prodotto delle funzioni caratteristiche: Φ Z (ω) Φ X (ω) Φ Y (ω) Poiché la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana, Φ X (ω) e Φ Y (ω) sono gaussiane, e quindi anche il loro prodotto è una gaussiana. Di conseguenza, è una gaussiana anche f Z (z), che è l antitrasformata (con il segno, invece che +, nell esponenziale) di Φ Z (ω). Valentino Liberali (UniMI) eoria dei Segnali rasmissione binaria casuale; somma di processi stocastici 7 gennaio 0 8 / 8 4