PRVA D ESAME SESSINE RDINARIA Lico scitifico comuicazio opzio sportiva Il cadidato risolva uo di du problmi rispoda a qusiti dl qustioario Durata massima dlla prova: 6 or È costito l uso dlla calcolatric o programmabil PRBLEMA La fuzio drivabil f^h ha, pr! 6 - ; @, il grafico C, disgato i figura C prsta tagti orizzotali pr -,, L ar dll rgioi A, B, C D soo rispttivamt,, Sia g^h ua primitiva di f^h tal ch g^h - Figura B C A D Nl caso f^h foss sprimibil co u poliomio, qual potrbb ssr il suo grado miimo? Illustra il ragioamto sguito Idividua i valori di! 6 - ; @ pr cui g^h ha u massimo rlativo dtrmia i valori di pr i quali g^h volg la cocavità vrso l alto + g^h Calcola g^h, s sist, il " Sia h^h $ f^+ h, dtrmia il valor di h ^ h d - PRBLEMA Assgat l fuzioi rali f^h l^h g^h -, idicati co F G i loro grafici i u rifrimto cartsiao : stabilisci domiio codomiio dll fuzioi f g, traccia quidi i grafici rlativi all fuzioi a^h f ^g^hh b^h g^f ^hh; dtrmia l quazio dlla rtta r, tagt a F l suo puto di ascissa Stabilisci ioltr s sist ua rtta s, parallla a r, ch sia tagt a G; dtrmia l quazio dlla rtta t, parallla alla bisttric dl primo quadrat, ch sia tagt a F Dimostra ch t risulta ssr tagt ach a G; dtta A la rgio piaa fiita ditata dall ass, dalla rtta di quazio - dal grafico G, calcola l ara di A il volum dl solido grato ruotado A itoro all ass QUESTINARI Dtrmiar l sprssio aalitica dlla fuzio f ^h sapdo ch la rtta - + è tagt al grafico di f l scodo quadrat ch fl^h - + 6 Dimostrar ch il volum dl troco di coo è sprsso dalla formula, V r $ h$ ^R + r + R$ rh, dov R d r soo i raggi h l altzza Zaichlli Editor, 8
6 7 8 9 Risolvr l quazio: c + m c - m U solido ha pr bas la rgio R dl piao cartsiao comprsa tra il grafico dlla fuzio + l ass dll ll itrvallo 6 ; @ Pr ogi puto P di R, di ascissa, l itrszio dl solido col piao passat pr P ortogoal all ass dll è u rttagolo di altzza Calcolar il volum dl solido Calcolar ^ + - - h " + Sia f la fuzio, dfiita pr tutti gli rali, da f ^h ^- h + ^- h + ^- h + ^- h + ^ -h, dtrmiar il miimo di f Dtta A ^ h l ara dl poligoo rgolar di lati iscritto i u crchio C di raggio r, vrificar ch A r r ^ h si calcolar il it pr " I lati di u triagolo misurao, rispttivamt, 6 cm, 6 cm cm Prso a caso u puto P all itro dl triagolo, qual è la probabilità ch P disti più di cm da tutti tr i vrtici dl triagolo? Data la fuzio: # # f ^h ( - k+ k # dtrmiar il paramtro k i modo ch ll itrvallo 6 ; @ sia applicabil il torma di Lagrag trovar il puto di cui la tsi dl torma assicura l sistza Il grafico dlla fuzio f ^h ^! R, $ h divid i du porzioi il rttagolo ABCD avt i vrtici A^ ; h, B^ ; h, C^ ; h D^ ; h Calcolar il rapporto tra l ar dll du porzioi Zaichlli Editor, 8
SLUZINE SESSINE RDINARIA Lico scitifico comuicazio opzio sportiva PRBLEMA Vdi lo svolgimto dl problma dlla prova pr il Lico Scitifico pr il Lico Scitifico pzio Sciz Applicat, sssio ordiaria PRBLEMA La fuzio f ^h l ha domiio @ ; + 6 codomiio R La fuzio g^h - ha domiio R codomiio @ ; + 6 Il codomiio di g^h è cotuto i qullo di f ^h quidi è possibil la composizio: - a^h f ^g^hh l -, ch ha domiio R codomiio R Ach il codomiio di f ^h è cotuto i qullo di g^h, quidi è possibil la composizio: l l - b^h g^f ^hh, ch cosidriamo co domiio @ ; + 6, qullo di f ^h, ach s il suo domiio atural è R, ch ha codomiio @ ; + 6 Disgiamo i grafici dll quattro fuzioi f ^h, g^h, a^h, b^h g() a() f() b() 6 Figura Dtrmiiamo l quazio dlla rtta r tagt al grafico di f ^h l puto di ascissa : r : fl^ h^- h+ f ^ h " r : ^- h + " r : + L rtt paralll a r hao quazio: + q Ua di qust risulta tagt a G s sist u puto tal ch gl^h Poiché gl^h - assum tutti i valori i @ ; + 6, sistrà sicuramt u tal ch gl^h, quidi la rtta s parallla a r tagt a G sist Ach s o richisto, dtrmiiamo l quazio di tal rtta r: - gl^h " " ", s : g g s: l^ h^ - h+ ^ h " + Zaichlli Editor, 8
g() f() r s 6 7 8 9 Figura L rtt paralll alla bisttric dl primo quadrat hao quazio dl tipo + q, hao quidi cofficit agolar Crchiamo il puto dl grafico F ch ha rtta tagt co cofficit agolar : fl^h " " La rtta t parallla alla bisttric dl primo quadrat tagt a F ha duqu quazio: t: fl^h^- h+ f ^h " ^- h+ " - Pr vrificar ch t è tagt ach a G, idividuiamo il puto di G l qual la rtta tagt ha cofficit agolar mostriamo ch t passa ach pr tal puto di G - gl^h " " - " Il puto ^; g^hh ^ ; h di G apparti alla rtta t, ch risulta quidi tagt ach a G g() t f() Figura La rgio ditata dall ass, dalla rtta t di quazio - dal grafico G è vidziata i figura Calcoliamo la sua ara A mdiat l itgral: g() t f() - - A ^ - + h d : - + D - ^- + h - ^ h - - 86, Figura Zaichlli Editor, 8
Pr calcolar il volum dl solido ottuto ruotado tal rgio itoro all ass ricorriamo ivc al mtodo di gusci cilidrici: V - r ^ - + hd Calcoliamo pr parti l itgral idfiito d D6 @ d - $ d - - - - - - - Quidi A 8 r: - - - - + D r: ` - - + j - a - r, kd a + - 9 k QUESTINARI Vdi lo svolgimto dl qusito dlla prova pr il Lico Scitifico pr il Lico Scitifico - pzio Sciz Applicat, sssio ordiaria Vdi lo svolgimto dl qusito dlla prova pr il Lico Scitifico pr il Lico Scitifico - pzio Sciz Applicat, sssio ordiaria L codizioi di sistza di cofficiti biomiali dll quazio data: + - ` j ` j soo: + $ $ ( " ( " $, co atural - $ $ Ricordiamo ch il cofficit biomial ` k j si può calcolar co la formula:! ` k j k! ^- kh! Applichiamo tal formula all quazio data: +!! - ^ + h ^ - h ` j ` j " "! ^ + - h!! ^ - - h! ^+ h^ -h!! ^-h^-h! ^ - h!! ^ - h! ^+ h " - " ^ + h ^- h " + - + 8 " - + 8 "! - 8! " 6 Etramb l soluzioi soo accttabili Rapprstiamo l disgo la rgio piaa R sottsa al grafico di f ^h ll itrvallo [; ] + f() Figura 6 Zaichlli Editor, 8
Il volum dl solido ch ha pr bas R la cui itrszio co piai prpdicolari all ass dll asciss, i puti di ascissa, soo rttagoli alti, è dato dall itgral: V f ^h $ d d + + 6 l^+ h- l^+ h@ l -, d 6 l^ + h@ Il it assgato ^ + - - h " + si prsta lla forma idtrmiata + - Poiché trambi i radicali, pr ch td a +, si comportao com, il risultato dl it sarà Vrifichiamo tal dduzio: ^ + - - h " + " + ^ + - - h^ + + -h ^ + + - h + - + " + ^ + + - h 7 7 + + - + + " + ^ h Più prcisamt, la fuzio + - - si avvicia a rimado smpr positiva, i quato + - 6 7 8 9 Vdi lo svolgimto dl qusito 6 dlla prova pr il Lico Scitifico pr il Lico Scitifico - pzio Sciz Applicat, sssio ordiaria Vdi lo svolgimto dl qusito 7 dlla prova pr il Lico Scitifico pr il Lico Scitifico - pzio Sciz Applicat, sssio ordiaria Vdi lo svolgimto dl qusito 8 dlla prova pr il Lico Scitifico pr il Lico Scitifico - pzio Sciz Applicat, sssio ordiaria Vdi lo svolgimto dl qusito 9 dlla prova pr il Lico Scitifico pr il Lico Scitico - pzio Sciz Applicat, sssio ordiaria Vdi lo svolgimto dl qusito dlla prova pr il Lico Scitifico pr il Lico Scitifico - pzio Sciz Applicat, sssio ordiaria 6 Zaichlli Editor, 8