Esercizi di Algebra Lineare Determinanti Anna M. Bigatti 3-6 dicembre 2012 Calcolo del determinante Proposizione 1. Alcune proprietà dei determinanti: (a) Il determinante del prodotto è il prodotto dei determinanti (Teor. di Binet) (b) Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi sulla diagonale (c) Il determinante di una matrice di scambio è -1 0 1 2 Esercizio 2. Calcolare il determinante di A = 3 4 5. 1 1 2 Portiamo A in forma triangolare superiore con il metodo di Gauss Use K ::= QQ; A := Mat(K, [[ 0, 1, 2], [ 3, 4, 5], [ 1, 1, 2] ]); I := IdentityMat(QQ,3); E1 := Esc(I,1,2); E1*A; E2 := Epr(I,1, 1/3); E2*E1*A; E3 := Eso(I,3,1,-1); E3*E2*E1*A; -- [1, 4/3, 5/3], -- [0, -1/3, 1/3] -- riduco la seconda colonna E4 := Eso(I,3,2, 1/3); E4*E3*E2*E1*A; -- [1, 4/3, 5/3], -- [0, 0, 1] Dato che è una matrice triangolare abbiamo che il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale, quindi det(e 4 E 3 E 2 E 1 A) = 1. Allora det(e 4 ) det(e 3 ) det(e 2 ) det(e 1 ) det(a) = 1 quindi 1 1 1/3 ( 1) det(a) = 1. Il determinante di A è -3. 1
Possiamo risolvere l esercizio precedente senza usare le matrici di prodotto. E1 := Esc(I,1,2); E1*A; E2 := Eso(I,3,1, -1/3); E2*E1*A; -- [3, 4, 5], -- [0, -1/3, 1/3] -- riduco la seconda colonna E3 := Eso(I,3,2, 1/3); E3*E2*E1*A; -- [3, 4, 5], -- [0, 0, 1] Dato che è una matrice triangolare abbiamo che il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale, quindi det(e 3 E 2 E 1 A) = 3. Allora det(e 3 ) det(e 2 ) det(e 1 ) det(a) = 3, quindi det(a) = 3. Il determinante di A è -3. Esercizio 3. Calcolare il determinante di A = A := Mat([ [ 1, 2, 3], [ 2, 4, 6], [ 1, 1, 1] ]); I := IdentityMat(QQ,3); E1 := Eso(I,2,1, -2); E1*A; -- [1, 2, 3], -- [0, 0, 0], -- [1, 1, 1] 1 2 3 2 4 6 1 1 1 Dato che ha una riga nulla il determinante del prodotto è 0, allora. 0 = det(e 1 A) = det(e 1 ) det(a) = det(a) Quindi il determinante di A è 0. 2
Esercizio 4. Calcolare il determinante di A = R ::= QQ[t]; K := NewFractionField(R); Use K; 1 2 3 2 t 3 1 t 1 A := Mat([ [ 1, 2, 3], [2,t,3], [1,t,1]]); A; I := IdentityMat(K,3); E1 := Eso(I,2,1, -2); E1*A; E2 := Eso(I,3,1, -1); E2*E1*A; -- [1, 2, 3], -- [0, t - 4, -3], -- [0, t -2, -2] -- caso t!= 4 ==> posso dividere per t-4 E3 := Eso(I,3,2, -(t-2)/(t-4)); E3*E2*E1*A; -- [1, 2, 3], -- [0, t -4, -3], -- [0, 0, (t +2)/(t -4)] al variare del parametro t R. -- Conclusione: -- det(e3*e2*e1*a) = det(a) = t+2 per t!=-4 -- Osserviamo che, per definizione, det(a) e un polinomio nelle sue entrate -- quindi per continuita abbiamo che det(a) = t+2 Esercizio 5. Calcolare il determinante di A = Esercizio 6. Calcolare il determinante di A = del parametro t R. 2 4/5 5/4 3 3/2 2/5 1/3 0 5/2 2 5/2 4/5 2/5 1/2 2/3 2 2 4/5 5/4 3 3/2 2/5 1/3 0 5/2 t 5/2 4/5 2/5 1/2 t 2 al variare Complemento algebrico Ora calcoliamo determinante e inversa di una matrice usando i complementi algebrici. Questo metodo richiede in generale un numero di operazioni sulle entrate della matrice molto superiore rispetto alla riduzione di Gauss, ma è importante quando la matrice che vogliamo trattare ha una forma molto particolare, o per dimostrazioni teoriche. Definizione 7. Sia A Mat n (K), il complemento algebrico dell entrata a ij è A ij := ( 1) i+j det(b) K dove B è la matrice che si ottiene da A cancellando la i -ma riga e la j -ma colonna. 3
Esercizio 8. Data la matrice A = della prima riga. 0 1 2 3 4 5 1 1 2 calcolare i complementi algebrici delle entrate Definizione 9. Sia A Mat n (K). Dal primo teorema di Laplace segue che lo sviluppo del determinante secondo la r -ma riga è la formula det(a) = n a rj A rj lo sviluppo del determinante secondo la c -ma colonna è la formula det(a) = j=1 n a ic A ic Esercizio 10. Data la matrice dell esercizio precedente calcolarne il determinante con lo sviluppo secondo la prima riga, e anche secondo la terza colonna. i=1 Definizione 11. Sia A Mat n (K). L aggiunta di A è A = B tr Mat n (K) dove B è la matrice che ha come entrate i complementi algebrici A ij. Dal secondo teorema di Laplace segue che l inversa si può calcolare con la formula A 1 = 1 det(a) A Esercizio 12. Calcolare il determinante delle seguenti matrici al variare del paramentro t R : t 1 0 0 0 1 0 1 0 0 (a) 1 t 0 0 (c) 1 t 2 t (e) 0 t 1 0 0 t + 1 0 0 0 1 t 0 0 0 0 0 t + 1 (b) 1 1 t 1 t 0 t 0 0 (d) 0 1 t 1 0 (f) 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 Calcolo della caratteristica Esercizio 13. Calcolare la caratteristica di A = 0 1 2 1 3 4 5 1 1 1 2 0 Portiamo A in forma triangolare superiore con il metodo di Gauss Use K ::= QQ; A := Mat(K, [[ 0, 1, 2, 1],. 4
[ 3, 4, 5, 1], [ 1, 1, 2, 0] ]); I := IdentityMat(K,3); E1 := Esc(I,1,2); E1*A; E2 := Eso(I,3,1, -1/3); E2*E1*A; -- [3, 4, 5, 1], -- [0, 1, 2, 1], -- [0, -1/3, 1/3, -1/3] -- riduco la seconda colonna E3 := Eso(I,3,2, 1/3); E3*E2*E1*A; -- [3, 4, 5, 1], -- [0, 1, 2, 1], -- [0, 0, 1, 0] La matrice ridotta ottenuta da A ha 3 righe non nulle, allora la sua caratteristica, e quindi quella di A, è 3. Possiamo risolvere l esercizio precedente studiando i minori e ricordando questo importante risultato: Teorema di Kronecker Sia A una matrice m n. Se esiste un minore di ordine t di A che è non nullo ma che orlato in tutti i modi possibili con l aggiunta di una riga e una colonna di A è nullo, allora si ha ρ(a) = t. Considero la sottomatrice di A data dalle prime due righe e due colonne: B = suo determinante è det(b) = 3 0, quindi ρ(a) 2. Orlo B aggiungendo la terza riga e la quarta colonna e ottengo C = il determinante sviluppando rispetto alla prima riga: ( ) ( 3 1 3 4 1 det + 1 det 1 0 1 1 ) = 1 + ( 1) = 0 0 1 1 3 4 1 1 1 0 ( 0 1 3 4 ) il e calcolo Non posso concludere che il rango sia 2. Devo provare orlando B con la terza riga e terza 0 1 2 colonna: D := 3 4 5 e calcolo il determinante sviluppando rispetto alla prima colonna: 1 1 2 ( 1 2 3 det 1 2 ) ( 1 2 + 1 det 4 5 ) = 0 + ( 3) = 3 Quindi ρ(a) = 3. Esercizio 14. Calcolare la caratteristica delle seguenti matrici al variare del paramentro t R : 1 2 1 4 t 1 0 0 1 1 t 0 0 2 3 1 6 (a) 3 4 0 7 (b) 1 t 0 0 0 0 t + 1 0 (c) 1 t 0 t 0 t 0 0 1 t 4 5 1 10 0 0 0 t + 1 5 6 1 t 5
(d) 0 1 0 1 t 2 t 1 0 0 0 0 1 (e) (f) 0 1 t 1 0 0 1 0 t 0 1 0 t 0 1 0 t 0 1 0 (g) 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 0 t 0 t 0 1 Esercizio 15. Trovare una matrice in Mat 2 (R) con un parametro a tale che il rango per a = 0 sia 0, per a = 1 sia 1, e per a = 2 sia 2. Esercizio 16. Dire per quali t R il sistema associato alla seguente matrice completa ammette soluzioni R ::= QQ[t]; K := NewFractionField(R); Use K; C := Mat(K, [[1, 2, 1, 0, 3], [0, 1/2, 3, 4, 2], [t, 1, 2, 0, 1], [2, 1, 0, 3, 4] ]); -- prima colonna I := IdentityMat(K,4); E1 := Eso(I,3,1, -t); E1*C; E2 := Eso(I,4,1, -2); E2*E1*C; -- [1, 2, 1, 0, 3], -- [0, 1/2, 3, 4, 2], -- [0, -2*t +1, -t +2, 0, -3*t +1], -- [0, -3, -2, 3, -2] -- seconda colonna E3 := Eso(I,3,2, 2*(2*t-1)); E3*E2*E1*C; E4 := Eso(I,4,2, 6); E4*E3*E2*E1*C; -- terza colonna E5 := Esc(I,3,4); E5*E4*E3*E2*E1*C; E6 := Eso(I,4,3, -(1/16)*(11*t -4)); E6*E5*E4*E3*E2*E1*C; -- [1, 2, 1, 0, 3], -- [0, 1/2, 3, 4, 2], -- [0, 0, 16, 27, 10], -- [0, 0, 0, (-41*t -20)/16, (-15*t -4)/8] Considero il sistema ottenuto, equivalente al sistema iniziale. Per il Teorema di Rouché-Capelli: - se t 20 41 allora la matrice dei coefficienti e la matrice completa hanno rango massimo (=4), quindi il sistema ha soluzione. In particolare esiste un unica soluzione perché la matrice dei coefficienti è invertibile (teorema di Cramer). - se t = 20 41 allora la matrice dei coefficienti ha rango 3, mentre la matrice completa ha rango 4 perché 15w 4 0. Quindi il sistema non ha soluzioni. 6