Conoscere la sfera. Ines Marazzani N.R.D. Bologna

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1 Conoscere la sfera Ines Marazzani N.R.D. Bologna Questo articolo è stato oggetto di pubblicazione in Marazzani I. (2003). Costruire e conoscere la sfera. La Vita Scolastica. 11, Introduzione I bambini sono immersi in un mondo di figure solide. È per questo motivo che fin dalle prime classi della scuola primaria, se non addirittura fin dalla scuola dell infanzia, vengono proposte ai bambini attività laboratoriali che mirano a far cogliere le proprietà che caratterizzano i solidi. Le nostre proposte di solito vertono su costruzioni di solidi con materiali molto semplici. Facciamo alcuni esempi. Cartoncino e colla per ottenere costruzioni e rilevare l apertura o sviluppo del solido da cui è possibile che i bambini stessi (prendendo come riferimento in questo momento i bambini del secondo ciclo della scuola primaria) ricavino con facilità la superficie del poliedro esaminato, in base alla somma delle superfici delle facce del poliedro stesso. Cannucce da bibita, scovolini nettapipe perché con questi materiali si rilevano meglio gli aspetti metrici (lunghezza delle cannucce) e topologici (il numero degli spigoli che partono da ciascun vertice, quindi il grado del vertice). Tutto questo considerando, ovviamente, i poliedri convessi come prismi, parallelepipedi, cubi, prismi Di rado, invece, ci occupiamo di figure come il cilindro, il cono, la sfera. Le prime due non si possono rappresentare scheletrate (cannucce e scovolini nettapipe; stuzzicadenti e pongo) e sono difficili da realizzare con il cartoncino; la terza è impossibile da realizzare in entrambi i modi e non si può neppure sviluppare su un piano. Eppure la sfera è, tra le figure solide, una di quelle che più spesso troviamo fra le mani dei bambini: pensiamo al pallone con cui giocano quasi tutti i giorni con gli amici e non dimentichiamo che noi viviamo su un pianeta la cui forma è quasi una sfera. È per questo che molto spesso ci capita di essere sollecitati dai bambini stessi da osservazioni che non possiamo trascurare: «Maestra, nel libro di geografia c è scritto quanto è la superficie della Terra. Ma come hanno fatto a calcolarla?». Entriamo quindi nel nostro laboratorio di matematica per tentare di conoscere più da vicino questo oggetto tanto affascinante e misterioso. Piano di lavoro Requisiti: - possedere con chiarezza le idee di cerchio e di circonferenza; - saper determinare l area del cerchio. Obiettivi: - conoscere la sfera; - saper determinare l area della superficie sferica; - saper individuare la via più breve su una superficie sferica. Materiali: - candele di cera, carta velina, cartoncino, palloncini, colla vinilica, spago, bilancia, sfera di metallo, lastra di metallo, puntine da disegno colorate. 1

2 Fase 1 Una sfera da costruire. Come abbiamo evidenziato in precedenza, non è possibile costruire una sfera con gli stessi materiali con cui si costruiscono normalmente i poliedri convessi, quindi né cannucce, né cartoncini; possiamo però tentare ugualmente di costruirla utilizzando carta velina, colla vinilica e spago. Per prima cosa tentiamo di dare ai bambini l idea che la sfera è un solido ottenuto dalla rotazione completa di una figura piana intorno ad una retta. Quale figura piana? Molto spesso i bambini sono portati a pensare che la sfera si ottenga facendo ruotare un cerchio intorno ad una retta passante per un punto della sua circonferenza. Sappiamo bene, invece che la sfera si ottiene facendo ruotare un semicerchio attorno ad una retta passante per il suo diametro oppure un cerchio attorno ad una retta passante per un suo diametro. Ma in questo laboratorio ci occuperemo del semicerchio. fig. 1 Non ci resta che far provare i bambini. Costruiamo due oggetti che si aprano a ventaglio: uno con il cerchio, l altro con il semicerchio. Tagliamo da un cartoncino bristol due semicerchi congruenti. Appoggiamo sul primo semicerchio 50 semicerchi di carta velina a loro volta congruenti ai due iniziali; sopra a questi appoggiamo l altro semicerchio di cartoncino. Con un pennello uniamo tutti i semicerchi applicando della colla vinilica lungo il diametro. Ora apriamo i semicerchi ed uniamo con la colla i due di cartone. Che cosa otteniamo? Facciamo le stesse operazioni con i cerchi invece dei semicerchi, applicando solo un puntino di colla sulla circonferenza del cerchio. Che cosa otteniamo? fig. 2 Cerchiamo ora di costruire l anima del solido che stiamo osservando. Procuriamoci alcuni palloncini da gonfiare, uno per ognuno dei nostri alunni; gonfiamoli fino a quando non avremo 2

3 ottenuto una forma sferica e cospargiamoli di colla vinilica; sopra a questa appoggiamo lo spago in maniera il più possibile regolare, disegnando meridiani e paralleli. fig. 3 Quando la colla sarà asciutta e lo spago rigido, con un ago foriamo il palloncino. L oggetto che hanno adesso in mano i nostri alunni permette loro di vedere dentro il solido e di percepire anche il centro, il diametro e il raggio della sfera. Fase 2 Un cerchio massimo e la superficie sferica. Abbiamo già ribadito che, al contrario di quanto si verifica per i poliedri convessi e per il cilindro e il cono, la superficie sferica non si può distendere su un piano, non è cioè sviluppabile. Per questo motivo non possiamo tentare di determinare l area della superficie sferica come facciamo per i poliedri convessi. Possiamo però ricorrere ad un altra verifica sperimentale che consente di determinare l area di una superficie sferica. Procuriamoci una sfera realizzata con una sottile lastra di metallo (dovrebbe avere lo stesso spessore in tutti i punti), magari chiedendo aiuto al professore di tecnica. Chiediamo poi ai bambini di ritagliare da una sottile lastra di metallo uguale a quella con cui è stata realizzata la sfera, quattro dischi circolari aventi lo stesso raggio della superficie sferica. Prendiamo la bilancia e posizioniamo sopra un piatto il modello della superficie sferica e sopra l altro piatto i quattro dischi. I bambini potranno notare che la sfera e i quattro dischi hanno lo stesso peso. fig. 4 3

4 Aspettiamo ora che i bambini giungano alla conclusione che desideriamo, anche se non useranno lo stesso linguaggio che usiamo noi per esporla: l area della superficie sferica è uguale a quattro volte l area di un suo cerchio massimo. Cerchiamo di chiarire bene con i bambini che cosa intendiamo quando parliamo di cerchio massimo. Prendiamo una candela di cera, naturalmente sferica. Con un coltello appena scaldato iniziamo a tagliare a fette la candela (è bene che le fette non siano molto sottili: rischieremmo di romperle) facendo attenzione a che un taglio coincida il più possibile con il centro della sfera. fig. 5 Quando avremo finito di tagliare la candela osserviamo con i bambini tutti i dischi più o meno grandi ottenuti. Osservando la faccia superiore e quella inferiore di ogni disco possiamo notare che i dischi sono sempre più grandi man mano che si taglia vicino al centro della sfera fino a giungere a quello che determina il cerchio massimo, quello cioè che ha raggio maggiore e che contiene il cerchio della sfera. fig. 6 Fase 3 Andiamo a spasso su una sfera. Qual è la via più breve? Noi viviamo su un pianeta di forma sferica. Immaginiamo di spostarci da un punto all altro sul nostro pianeta: lo facciamo tutti i giorni percorrendo brevissime distanze da casa a scuola, da casa a al parco giochi ; un po meno spesso facendo viaggi in macchina per andare in vacanza. Spostandoci per distanze così piccole avvertiamo il tratto più breve tra due località come rettilineo. Quando le distanze aumentano la percezione può cambiare fino ad arrivare ad ammettere che la distanza più breve fra due punti su una superficie sferica è l arco di cerchi massimo che passa per i due punti. 4

5 Può sembrare difficile farlo intuire ai bambini soprattutto perché dobbiamo scontrarci con il senso comune. A questo proposito può aiutarci Antoine de Saint-Exupéri ed il suo Piccolo Principe. Il Piccolo Principe viveva su un asteroide, l asteroide B612, dove tutto era talmente piccolo che riusciva persino a «spazzare il camino dei suoi vulcani ancora in attività». fig. 7 Poniamo una domanda ai bambini: «Qual è la via più breve per il Piccolo Principe per spostarsi da un vulcano ad un altro?». Prendiamo di nuovo una candela di cera sferica e con le puntine da disegno colorate segniamo i punti in cui sull asteroide B612, sono situati i tre vulcani e la rosa. Consideriamo come primo spostamento quello che il Piccolo Principe deve fare per andare da A a B e posizioniamo la sfera in modo che l arco disegnato appaia come arco di parallelo. A D C B fig. 8 Fissiamo alle due puntine un elastico facendo in modo che sia sufficientemente teso. Teniamolo fermo con un dito sopra l arco di cerchio di parallelo che abbiamo disegnato, poi lasciamolo andare. 5

6 Possiamo osservare che l elastico si posiziona non sull arco di cerchio del parallelo che abbiamo disegnato, ma sull arco del cerchio massimo che passa per i punti A e B. fig. 9 Ripetiamo lo stesso procedimento per vedere qual è la via più breve per il Piccolo Principe per fare altri spostamenti che i bambini stessi decideranno. Al termine di questa attività possiamo concludere insieme ai bambini che sia per il Piccolo Principe, sia per noi, la via più breve per fare uno spostamento da un punto ad un altro su una superficie sferica è l arco di cerchio massimo che passa per i punti di partenza e di arrivo. Bibliografia D Amore B. (1987). Geometria. Milano: Angeli. 6