1 Teorie di gauge non-abeliane e la QCD

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1 1 Teorie di aue non-abeliane e la QCD La procedura per costruire azioni aue invarianti descritta precedentemente può essere estesa a ruppi non abeliani compatti. Questi modelli sono alla base del modello standard delle interazioni fondamentali (interazioni elettrodedoli e forti). 1.1 Gruppi di Lie Ricordiamo brevemente alcune proprietà dei ruppi di Lie non abeliani, avendo in mente come esempio il ruppo G = SU(N). Un elemento del ruppo non abeliano G connesso all indentità può essere parametrizzato con delle coordinate α a usando i eneratori hermitani T a che soddisfano le proprietà elencate di seuito (i) U = exp(iα a T a ) G a = 1,.., dim G (ii) [T a,t b ] = if ab ct c (iii) Tr(T a T b ) = 1 2 δab (iv) f abc = f ab dδ dc tensore antisimmetrico (v) [[T a,t b ],T c ] + [[T b,t c ],T a ] + [[T c,t a ],T b ] = 0 f ab df dc e + f bc df da e + f ca df db e = 0. La (i) descrive la rappresentazione esponenziale di un elemento arbitrario del ruppo che sia connesso all identità. L indice a aussume tanti valori quanti le dimensioni del ruppo. Un elemento del ruppo è quindi parametrizzato dali anoli α a. La (ii) corrisponde all alebra di Lie soddifatta dai eneratori infinitesimi T a. Le costanti reali f ab c sono dette costanti di struttura e caratterizzano il ruppo G. La (iii) è una scelta di normalizzazione dei eneratori e identifica una metrica detta metrica di Killin. Tale metrica è definita positiva per ruppi di Lie compatti (come ad esempio SU(N)) e la normalizzazione qui scelta produce la delta di Kronecker δ ab (cioè li elementi di matrice dell identità) come metrica di Killin. In (iv) si è usata la metrica di Killin per alzare un indice nelle costanti di struttura. Le f abc sono completamente antisimmetriche in tutti li indici: questa proprietà si può dedurre prendendo la traccia delle identità di Jacobi del punto (v) ed usando la (ii) e la (iii). L antisimmetria neli indici a e b è ovvia per la (ii). Le (v) sono le identità di Jacobi. 1

2 1.2 Azione con simmetria riida SU(N) Consideriamo un numero N di campi di Dirac liberi con masse identiche m. Assembliamo tali campi in vettori colonna e vettori ria ψ = ψ 1 ψ 2.. ψ N La laraniana libera di questi N campi di Dirac è data da ψ = ( ψ 1,ψ 2,.,.,ψ N ). (1) L Dirac = ψγ µ µ ψ m ψψ. (2) ed è invariante per trasformazioni di simmetria definite dal ruppo SU(N) ψ(x) ψ (x) = Uψ(x) ψ(x) ψ (x) = ψ(x)u = ψ(x)u 1 (3) dove U SU(N), ed U = U 1 poichè la matrice U è unitaria. Queste trasformazioni sono dette riide (o lobali) perché i parametri arbitrari α a che compaiono in U = exp(iα a T a ) sono costanti (li indici in α a sono alzati ed abbassati con la metrica di Killin che coincide con l identità nelle convenzioni scelte). 1.3 Derivata covariante Per rendere locale la simmetria SU(N) è conveniente introdurre il concetto di derivata covariante. La derivata covariante per definizione produce tensori quando applicata a tensori. Tale derivata covariante è definita da D µ = µ + W µ (x) (4) dove W µ (x) è la connessione (eometricamente definisce una specie di trasporto parallelo in un certo spazio) o potenziale di aue, ha valori nell alebra di Lie e quindi è formata da matrici N N per oni µ. Infatti può essere sviluppata in termini dei eneratori T a dell alebra di Lie come seue W µ (x) = iw a µ(x)t a. (5) Questa relazione definisce i campi W a µ(x). Dalla richiesta di covarianza ψ(x) ψ (x) = U(x)ψ(x) D µ ψ(x) D µψ (x) = U(x)D µ ψ(x) (6) si ottene la lee di trasformazione dei potenziali di aue W µ (x) W µ (x) = U(x) ( µ + W µ (x) ) U 1 (x). (7) 2

3 Infatti, imponendo che D µψ = UD µ ψ, possiamo calcolare D µψ = ( µ + W µ)ψ = U( µ + W µ )ψ = U( µ + W µ )U 1 Uψ = U( µ + W µ )U 1 ψ (8) da cui seue la lee di trasformazione riportata sopra. Le derivate covarianti in enerale non commutano. Questo permette di definire il tensore di curvatura o tensore campo di forza ( field strenth ) nel seuente modo da cui [D µ,d ν ] = F µν (9) F µν = µ W ν ν W µ + [W µ,w ν ]. (10) È facile vedere che il tensore campo di forza si trasforma in modo covariante (nella cosiddetta rappresentazione aiunta) F µν F µν = UF µν U 1 (11) che seue dalla covarianza della (9). 1.4 Azione aue invariante Ora è facile costruirsi dalla (2) una laraniana aue invariante. Basta sostituire alle derivate usuali le derivate aue covarianti. Si ottiene L 1 = ψ(γ µ D µ + m)ψ (12) che dipende anche dal nuovo campo W µ contenuto in D µ. Si può dare una dinamica al nuovo campo utilizzando la più semplice azione che sia aue invariante, Lorentz invariante e con al più due derivate. Tale azione è la seuente L 2 = 1 2 Tr(F µνf µν ) = 1 4 F a µνf µν a. (13) Introducendo una costante d accoppiamento per definire un peso relativo tra le due azioni aue invarianti si ottiene l azione totale finale L = 1 2 2Tr(F µνf µν ) ψ(γ µ D µ + m)ψ (14) che è invariante sotto le trasformazioni di aue ricapitolate qui di seuito ψ(x) ψ (x) = U(x)ψ(x) W µ (x) W µ (x) = U(x) ( µ + W µ (x) ) U 1 (x). (15) Riportiamo anche le espressioni delle trasformazioni di aue infinitesime. Definendo la matrice α iα a T a con α a << 1, possiamo scrivere una trasformazione di aue infinitesima nella forma U = e α = 1 α + O(α 2 ), da cui δψ = αψ δψ = ψα δw µ = µ α + [W µ,α]. (16) 3

4 F µν (x) = if a µν(x)t a (17) Riscriviamo l azione ridefinendo W µ W µ = W µ per normalizzare in modo canonico l azione dei campi di aue. Usiamo ora le componenti W µ (x) = iw a µ(x)t a da cui F a µν = µ W a ν ν W a µ + f abc W b µw c ν (18) e l azione totale si riscrive come L = 1 4 F a µνf µνa ψ(γ µ ( µ iw a µt a ) + m)ψ. (19) Le trasformazioni di aue infinitesime sono esprimibili come (ridefinendo per comodità anche i parametri α a α a ) δψ(x) = iα a (x)t a ψ(x) δw a µ(x) = µ α a (x) + f abc W b µ(x)α c (x). (20) Il primo termine nell azione descrive la propaazione libera dei campi W a µ (particelle di spin 1 non abeliane) insieme ai vertici di autointerazione cubici e quartici. Una metrica di Killin non definita positiva comporterebbe un termine di eneria cinetica non definito positivo e questo non è accettabile: occorre dunque considerare solo ruppi compatti per soddfisfare tale richiesta. Il secondo termine descrive la propaazione libera dei campi ψ (particelle di spin 1/2 con cariche non abeliane) insieme alla loro interazione con il campo di aue. La costante è la costante d accoppiamento che può essere trattata perturbativamente se sufficientemente piccola. Le cariche non abeliane corrispondono alla rappresentazione del ruppo di aue scelta per i campi ψ (nel nostro caso la rappresentazione fondamentale, ma si sarebbe potuta sceliere qualunque altra rappresentazione). Il principo di aue ha permesso di derivare tutti questi vertici di interazione tra campi di spin 1/2 ed 1 dipendenti dalla sola costante d accoppiamento. Come conseuenza della lee di trasformazione (20) si ottiene che il campo F a µν si trasforma nella rappresentazione aiunta δf a µν = f abc F b µνα c = iα c (T c ) ab F b µν (21) dove i eneratori nella rappresentazione aiunta sono dati dalle seuenti matrici (T c ) ab = if abc. (22) Che questa sia una rappresentazione del ruppo seue dalle identità di Jacobi. Similmente la lee di trasformazione di W a µ può essere espressa tramite la derivata covariante aente su un tensore nella rappresentazione aiunta δw a µ = µ α a + f abc W b µα c = µ α a iw b µ(t b ) ac α c = (D µ α) a. (23) 4

5 1.5 L azione della cromodinamica quantistica (QCD) L azione della cromodinamica quantistica è basata sul ruppo SU(3) ed oltre ai luoni (le otto particelle associate al campo di aue W a µ che sono cariche poichè compare l indice della rappresentazione aiunta, la 8 di SU(3)) contiene sei campi fermionici che si trasformano nella rappresentazione fondamentale di SU(3) e descrivono i sei sapori di quark conosciuti: up, down, charm, strane, top, bottom. Ciascun sapore di quark è quindi deenere poichè si trasforma nella 3 di SU(3): si dice che sono colorati (rosso, verde e blu nella convenzione solita) mentre l assenza di colore indica uno scalare come la laraniana (la 1 di SU(3)). Naturalmente le corrispondenti antiparticelle, li antiquark (ū, d, c, s, t, b), si trasformano nella rappresentazione coniuata, la 3 di SU(3). Gli otto eneratori infinitesimi di SU(3) nella rappresentazione fondamentale sono definiti tramite le matrici di Gell-Mann λ a (che eneralizzano le matrici di Pauli σ i per SU(2)) dove λ 1 = λ 4 = λ 6 = T a = λa 2, λ 2 =, λ 5 =, λ 7 = a = 1,...,8 (24) 0 i 0 i i i i 0 i 0, λ 3 =, λ 8 = (25) Queste matrici sono normalizzate secondo la convenzione scelta Tr(T a T b ) = 1 2 δab. (26) Un elemento arbitrario del ruppo SU(3) nella rappresentazione fondamentale è dunque λ descritto da matrici 3 3 della forma U = exp( iα a a 2 ). Calcolando l alebra di Lie si possono trovare le costanti di stuttura che identificano il ruppo SU(3). La laraniana della QCD è quindi L QCD = F ( ) µνf a µνa ψ f γ µ ( µ iwµt a a ) + m f ψf f=1 = q + q (27) q dove l indice f (1, 2,, 6) = (u,d,c,s,t,b) indica il sapore del quark. Sapori di quark diversi hanno masse m f diverse. 5

6 Questa laraniana possiede inoltre altre simmetrie. Una simmetria riida sempre presente è la simmetria U(1) che ruota tutti i campi dei quark con la stessa fase: la carica conservata è il numero barionico. Questa simmetria è conservata anche dalle altre interazioni fondamentali. Ci sono poi altre simmetrie U(1) che che ruotano separatamente i vari campi fermionici e danno oriine alle lei di conservazioni dei rispettivi numeri fermionici (ad esempio carica di stranezza S, carica di charm C, etc..), queste simmetrie di sapore sono esatte solo per la QCD (e la QED) ma la forza debole le viola. Ci sono inoltre altre simmetrie approssimate della laraiana della QCD. Nel limite in cui le masse di alcuni quark sono considerate identiche si ha una simmetria addizionale riida non abeliana. Ad esempio, assumendo masse identiche per i quark up e down, m u = m d, si possono ruotare i campi ψ u e ψ d tra di loro con matrici SU(2). Questa simmetria SU(2) riida corrisponde all isospin forte, utilizzato per raruppare in familie li adroni (li stati dei quark leati dalla interazione cromodinamica che a causa del suo accoppiamento forte produce il confinamento del colore in stati leati senza colore totale). Un esempio di queste familie sono: (i) il doppietto di isospin dei nucleoni (protone e nucleone) composti appunto da tre quarks di tipo up e down confinati; (ii) il tripletto dei mesoni pi reco, i pioni π ± e π 0, composti da un quark e da un antiquark di tipo up o down. Considerando masse identiche per i quark di tipo up, down e strane, m u = m d = m s, si ha un ruppo di simmetria ancora più rande, il ruppo SU(3), che mescola tra loro i tre sapori up, down e strane, e non và confuso con il ruppo SU(3) di colore. Esempi di multipletti di particelle adroniche descritte dal ruppo SU(3) di sapore sono: un ottetto mesonico (π ±,π 0,K ±,K 0, K 0,η), un ottetto barionico (p,n, Σ ±, Σ 0, Ξ ±, Λ), un decupletto barionico (, 0, +, ++, Σ ±, Σ 0, Ξ ±, Ω ). Infatti questo è possibile perchè la 8 e la 10 sono rappresentazioni di SU(3). Consideriamo più in dettalio i mesoni. Essi sono formati da una coppia quark-antiquark (q q). I quark q si trasformano nella 3 di SU(3), dove 3 (u,d,s), mentre li antiquark q si trasformano nella 3 di SU(3), con 3 (ū, d, s). Da questo seue che uno stato leato (q q) si trasforma nella 3 3 = e dunque possono esistere sia sinoletti che ottetti mesonici. I barioni invece sono costituiti da uno stato leato di tre quarks (qqq) che sotto SU(3) si trasformano come = (6 + 3) 3 = ed infatti esistono ottetti e decupletti barionici. 6