La stranezza e il modello a quark degli adroni

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 6 La stranezza e il modello a quark degli adroni

2 La stranezza Esperimenti coi raggi cosmici dimostrarono anche la presenza di altre nuove particelle, confermate da esperimenti agli acceleratori. Vennero chiamate strane: Prodotte con sezione d urto forte Decadimento con tempi tipici delle interazioni deboli Si osservava che venivano sempre prodotte in coppie: Un nuovo numero quantico: stranezza Conservato nelle interazioni forti Violato nelle interazioni deboli Consistente con l introduzione di un nuovo quark: s Sviluppo della struttura a quark degli adroni: SU() di spin isotopico SU(3) di sapore Le interazioni deboli di questo quark apriranno la strada alla sistematizzazione delle interazioni deboli degli adroni. A. Andreazza - a.a. 06/7

3 Particelle strane Nell esposizione di camera a nebbia a raggi cosmici, si misero in evidenza decadimenti di nuove particelle. Si poteva ricavare il momento dalla curvatura in campo magnetico Ma non sufficiente capacità di identificare la massa Decadimento di una particella neutra Decadimento di una particella carica Rochester e Butler A. Andreazza - a.a. 06/7

4 Esercizio P + θ P - P + = 340 ± 00 MeV P - = 350 ± 50 MeV θ = 66.6 o θ P V P V = 600. ± 300 MeV P n P + = 770. ± 00 MeV P + θ = 6. o P +T P nt Calcolare la massa invariante delle particelle che decade assumendo che le particelle prodotte siano note: cariche: p, µ, π ± neutre: n, ν, π 0 Verificare se alcune delle combinazioni possono corrispondere a masse già note. 4 A. Andreazza - a.a. 06/7

5 Particelle strane La sfida successiva era costruire rivelatori in grado di identificare senza ambiguità la massa delle particelle osservate: Esperimenti con camere a nebbia in alta montagna (es.: Pic du Midi) Emulsioni nucleari in palloni 5 A. Andreazza - a.a. 06/7

6 Camera a nebbia Il momento si misura tramite il raggio di curvatura p = mβ β = mγβ β, o γβ, dalla Perdita di energia nella materia per ionizzazione: formula di Bethe-Bloch de dx = Z Kz A β ln m ec β γ T max β δ I K = MeV cm z carica della particella Per gli eventi che stiamo discutendo la regione importante è quella relativa a velocità basse 6 A. Andreazza - a.a. 06/7

7 Emulsioni nucleari densità dei grani de dx = Z Kz A β [...] θ θ rms = 3.6MeV z β p x X o 7 A. Andreazza - a.a. 06/7

8 Particelle strane Numerose nuove particelle Le nuove particelle sono pesanti: hanno diversi decadimenti possibili Mesoni: J P =0 - m = MeV K + π + π + π K + K 0 π + π K + π + π 0 K + µ + ν m K 0 = MeV 8 Iperoni: barioni con stranezza J P =/ + Λ 0 pπ Σ + pπ 0 Σ ± nπ ± Ξ Λ 0 π Vite medie dell ordine di s: Decadimenti deboli Dal tasso di produzione si poteva evincere una sezione d urto in alluminio (involucro della camera a nebbia) dell ordine del mb La produzione è un processo forte m Λ = MeV m Σ + = MeV m Σ = MeV m Ξ = 3.3 MeV A. Andreazza - a.a. 06/7

9 Il numero barionico Prima di procedere nella nostra discussione sulle particelle strane analizziamo la conservazione del numero barionico Il decadimento β del neutrone: n p e - ν Abbiamo un nucleone nello stato iniziale e uno nello stato finale Sorge la domanda: perchè non esiste il decadimento p e + π 0 Oppure: perchè non esiste la reazione e - p π + p - La vita media del protone ( τ p > anni ) è il risultato degli studi più recenti L esperimento consiste nel tenere una grande massa sotto osservazione Ad esempio cm 3 di ferro contiene ρ/a N A Z =. 0 4 nuclei/cm 3 Un esperimento sensibile richiede pertanto: elevata massa (000 ton) e basso fondo (caverne, miniere) L elevato valore di τ p suggerisce che il protone sia stabile Dal momento che il neutrone decade in protone e i decadimenti degli iperoni portano sempre ad un protone si stabilisce che: 9 Gli Iperoni sono Barioni Il Numero Barionico è conservato: in una reazione o decadimento il numero dei barioni è costante A. Andreazza - a.a. 06/7

10 Produzione associata Nel 953 il gruppo di Fowler a Brookhaven, utilizzando un fascio di π - di.5 GeV dell acceleratore Cosmotron osservò il seguente evento π - K 0 L evento fu interpretato come π p Λ 0 K 0 L importanza di questo evento fu la dimostrazione della produzione associata delle particelle strane Nello stesso esperimento il gruppo di Fowler osservò anche il decadimento p π p Σ K + π + π π π + π - Λ 0 p π - n L osservazione della produzione associata porta all ipotesi che ci sia una quantità conservata: la stranezza π 0 A. Andreazza - a.a. 06/7

11 Isospin e stranezza: iperoni Per spiegare tutte le osservazioni, Gell-Mann e Nishijima proposero: un numero quantico additivo: la stranezza nelle interazioni forti la stranezza è conservata nelle interazioni deboli la stranezza non è conservata: ΔS = nei decadimenti Includendo la stranezza, la relazione per la carica deve venire modificata: Q = B + S + I 3 = Y + I 3 dove si è introdotta l iper-carica Y=B+S Q B S T T 3 p 0 n Λ Σ + - Σ Σ Ξ Ξ A. Andreazza - a.a. 06/7

12 Isospin e stranezza: mesoni Innanzitutto consideriamo la reazione Assumendo che nella interazione forte la stranezza sia conservata dobbiamo concludere che il mesone K 0 ha S = + Per quanto riguarda l Isospin assumiamo che esso sia conservato nella reazione di produzione Deve essere semintero Assumiamo che il K 0 abbia Isospin T = ½ La formula per la carica applicata al K 0 implica che esso è il membro T 3 = -½ di un doppietto Il membro T 3 = +½ deve avere carica + ed è pertanto il mesone K + Il mesone K - è l antiparticella del K + Anch esso deve avere Isospin T = ½ Deve esserci anche un partner neutro: K 0 Le particelle K 0 e K 0 sono distinte: hanno stranezza differente In definitiva i numeri quantici dei mesoni sono The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again. π p Λ 0 K 0 S pπ - p Æ LΛ 0 K 0 T 0? Q = B + S + T 3 0 = + T 3 Q B S T T 3 π π π K + 0 K K K A. Andreazza - a.a. 06/7

13 Decadimenti delle particelle strane Le particelle strane decadono tramite interazione debole violando la conservazione della stranezza Le prime particelle strane studiate sono anche le più leggere Possono decadere soltanto in particelle normali con S = 0 La violazione della stranezza proibisce che l interazione sia forte Infatti i seguenti decadimenti Λ N K Σ N K Ξ Λ K Sarebbero permessi dalla conservazione della stranezza Sono proibiti dalla conservazione della energia Il decadimento Ξ Σ K Σ Λ π Σ 0 Λ 0 γ è invece permesso sia dalla conservazione della stranezza che dalla conservazione dell energia avviene tramite interazione elettromagnetica 3 A. Andreazza - a.a. 06/7

14 Interpretazione nel modello a quark Il modello a quark si può estendere con l aggiunta di un nuovo quark: s: stranezza S=-, B=/3, Y=-/3, I=I 3 =0 Q = -/3 massa m s ~ m K -m π = 360 MeV Gli adroni sono stati legati dei 3 quark u, d, s Come esempio notiamo la composizione dei seguenti adroni: p = ( uud ) Λ = ( uds ) π = ( ud ) K 0 = ( ds ) p d uu g d us Λ 0 Veniamo alla reazione π - p Λ 0 K 0 I quark u e u si annichilano tramite interazione forte (gluone) e producono successivamente quarks s e s Per il decadimento Λ 0 π - p Il quark s si trasforma in u tramite interazione debole (emissione W - ) u s π d d K 0 Λ 0 d us W - d uu u d p π 4 A. Andreazza - a.a. 06/7

15 SU(3) di sapore Reiteriamo l idea che le interazioni forti sono independenti dalla carica dei quark: sia elettrica che di ipercarica Invarianza rispetto a rotazione nello spazio di tre stati u, d, s gruppo SU(3) La massa delle particelle strane particelle ordinarie: la simmetria è meno buona di quella di isospin Y 3 Y s d 3 u T 3 T 3 u 3 d 3 s 5 A. Andreazza - a.a. 06/7

16 Gruppi SU(N) Per definizione, una matrice n n del gruppo U(N) soddisfa la relazione UU = I L equazione precedente implica n n relazioni fra gli n n elementi di matrice Pertanto dei n n parametri reali solo n n - n n = n n sono indipendenti La richiesta poi che il determinante sia (cioè appartenga al gruppo SU(N) ) riduce di un altra unità questo numero Pertanto i parametri indipendenti dei gruppi più importanti per la fisica delle particelle sono SU() 3 parametri reali 6 SU(3) 8 parametri reali Veniamo alle rappresentazioni: Una rappresentazione è un omomorfismo di un gruppo con un gruppo di matrici definite su uno spazio vettoriale di dimensione n I fisici spesso chiamano rappresentazione i vettori dello spazio vettoriale Tutti i gruppi hanno una rappresentazione banale di dimensione che corrisponde all elemento La dimensione della rappresentazione di dimensione più piccola successiva dipende dal gruppo SU(): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione Coincide con la rappresentazione coniugata delle matrici U* Una sola rappresentazione: SU(3): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 3 Non coincide con la rappresentazione coniugata delle matrici U* Due rappresentazioni: 3 e 3 A. Andreazza - a.a. 06/7

17 La rappresentazione 3 di SU(3) Le 8 matrici della rappresentazione 3 (matrici di Gell-Mann) sono: λ = λ 4 = λ = λ 5 = 0 i 0 i i i 0 0 λ 3 = λ 6 = Si definiscono gli operatori T 3 e Y Y = λ 3 8 T 3 = λ 3 Comportamento sulla base u = 0 0 T 3 u = u d = 0 0 s = 0 0 Y u = 3 u λ 7 = i 0 i 0 La generica rotazione: Le regole di commutazione: λ 8 = U = exp i 8 n= α nλn λ i, λ j = if ijk λ k T 3 d = d T 3 s = 0 s d Y 3 Y d = 3 d Y s = 3 s u ijk f ijk ijk f ijk ijk f ijk T s 7 A. Andreazza - a.a. 06/7

18 Operatori di SU(3) Abbiamo finora visto il comportamento degli stati per gli operatori T 3 e Y Definiamo per comodità gli operatori F i = λ i Gli operatori F, F, F 3 T 3 hanno le stesse regole di commutazione dell isospin F i, F j f ijk è totalmente antisimmetrico e f 3 = e coincide pertanto con ε ijk Infatti riconosciamo le matrici di Pauli λ = Definiamo pertanto gli operatori di innalzamento e abbassamento T ± = F ± if In modo analogo si definiscono gli operatori λ = 0 i 0 i 0 0 λ 3 = V ± = F 4 ± if 5 U ± = F 6 ± if 7 V 3 = F 3 + 3F 8 [ ] = if ijk F k ( ) U 3 = ( F 3 + 3F 8 ) Le regole di commutazione fra questi nuovi operatori sono facilmente derivabili In particolare le regole [ T 3,T ± ] = ±T ± [ Y,T ± ] = 0 [ T 3,U ± ] = U ± [ Y,U ± ] = ±U ± [ T 3,V ± ] = ± V ± [ Y,V ± ] = ±V ± permettono di calcolare il comportamento degli operatori V ± e U ± nel piano Y-T 3 Ad esempio U + applicato ad un autostato di T 3 con autovalore α produce uno stato con autovalore α - ½ T 3 U + α ( ) α = U + T 3 U + = αu = α + α ( )U + α U + α Analogamente U + applicato ad un autostato di Y produce uno autostato con un autovalore aumentato di una unità A. Andreazza - a.a. 06/7

19 La rappresentazione 3 * di SU(3) Analogamente si può studiare la rappre-sentazione coniugata in cui generatori sono λ n λ n * Riportiamo per brevità solo gli operatori λ 3 e λ 8 Abbiamo T 3 u = u T 3 d = d T 3 s = 0 s Y u = 3 u Y d = 3 d Y s = 3 s λ * 3 = λ * 8 = Rappresentiamo sul piano Y-T 3 i 3 stati Definiamo nuovamente Y = 3 λ 8 * T 3 = λ 3 * 3 Y s Studiamo infine l effetto dei generatori diagonali sulla base u = 0 0 d = 0 0 s = 0 0 u 3 T 3 d 9 A. Andreazza - a.a. 06/7

20 Ottupletto mesonico Nel modello a quark i mesoni sono uno stato legato di un quark e di un antiquark Per i 3 sapori (flavors) esistono 9 possibili combinazioni q + anti-q Gli stati con I 3 =Y=0 sono combinazioni lineari che hanno i numeri quantici corrispondenti a stati fisici: ( uu dd ) = π 0 T = T 3 = ( uu + dd ss ) = η ( uu + dd + ss ) = η' T = 0 T 3 = 0 Singoletto di SU(3) T = 0 T 3 = 0 In realtà, siccome SU(3) è rotta dalla massa di s gli stati reali sono combinazioni di questi. Specialmente nel caso dei mesoni vettoriali -- ( uu dd ) = ρ 0, ss = φ ( uu + dd ) = ω 0 A. Andreazza - a.a. 06/7

21 Classificazione dei barioni Anche nel caso dei barioni si possono classificare gli stati possibili in termini di I 3 ed ipercarica: Y=(B+S)/ Gli stati fondamentali corrispondono ad un ottetto ed un decupletto. A. Andreazza - a.a. 06/7

22 La scoperta del barione Ω - Un significativo successo del modello a quark fu la predizione dell esistenza di uno stato (sss): B=, I=0, S=-3, Q=- Scoperto nel 964 in un esperimento in camera a bolle A. Andreazza - a.a. 06/7

23 Decadimento dei mesoni K Applichiamo lo stesso approccio del decadimento β ai mesoni K: λ = G F M fi ( me c ) 5 π 3! Nel caso Q m e, si ha che f ( Z,Q) ( m e c ) 5 f ( Z,Q ) Q5 30 Nel caso del decadimento K 0 π + + e +ν e M fi π + V + K 0 = approssimazione peggiore di quella per i decadimenti super-permessi: non potrei trascurare i fattori di forma f(q ) m K m π = MeV τ 0 KL = ( 5.6 ± 0.0) 0 8 s ( ) = 40.55± 0. BR K L 0 π + e ν e ( )% simmetria rotta da m s Da cui otteniamo 3 ( ) = G s Γ K 0 π + + e +ν e ( ) 5 m K m π 60π 3 Q valore Usando queste semplificazioni: G s = GeV Molto minore di G F. A. Andreazza - a.a. 06/7

24 L angolo di Cabibbo Facendo un trattamento accurato dei fattori di forma nei decadimenti delle particelle strane, si ottiene: G s / G F = 0.5 ± Dai decadimenti β, abbiamo visto che G β / G F = ± I dati sperimentali ci forniscono l informazione che G β + G s = G F che può anche venire riscritta introducendo un angolo θ C (angolo di Cabibbo): G F cos θ C +G F sin θ C = G F Ciò permette di conservare l universalità delle interazioni deboli assumendo che il quark che partecipa alle interazioni deboli sia: u d ʹ = cosθ c d + sinθ c s G β /G F G s /G F 4 A. Andreazza - a.a. 06/7

25 Il quarto quark La teoria di Cabibbo presenta una forte asimmetria tra il quark u da una parte e la combinazione lineare di d ed s dall altra: u d ʹ = cosθ c d + sinθ c s Ciò portò a supporre l esistenza di un quarto quark, il charm (c) Nuovo numero quantico, C: conservato nelle interazioni forti ed elettromagnetiche, violato nelle deboli Y=B+S+C e Q(c)=+/3 Probabilità di transizione 49. nei Plots of cross decadimento sections and related quantities deboli, 5 u c mediata da una matrice di mescolamento: σ and R in e Quark effettivamente scoperto + e Collisions nel 974, con m c ~.6 GeV σ[mb] ρ ω Risonanze cc φ ρ J/ψ ψ(s) Υ σ ( e + e adroni) Z ( ) cosθ c sinθ c sinθ c cosθ c ( ) d s s [GeV] Z J/ψ ψ(s) Υ Z A. Andreazza - a.a. 06/7

26 I quark 6 σ[mb] ρ ω φ ρ J/ψ Risonanze bb ψ(s) Υ J/ψ ψ(s) Υ σ ( e + e adroni) Z Z s [GeV] I quark possono essere classificati in famiglie, come i leptoni. Nel 977 venne scoperto anche un quinto quark b (bottom or beauty) Q=-/3, m b ~5 GeV Il suo partner top (t) osservato solo nel 995 Q=+/3, m t ~75 GeV Diversamente dai leptoni, le transizioni deboli sono mediate dalla matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) V CKM V = V V ud cd td Matrice unitaria Transizioni sempre più improbabili all aumentare della differenza di massa. V V V us cs ts A. Andreazza - a.a. 06/7 V V V ub cb tb

27 ESERCIZI 7 A. Andreazza - a.a. 06/7

28 Esercizio 6. Si considerino i seguenti eventi osservati con raggi cosmici in camere a nebbia: P + θ P - P + = 340 ± 00 MeV P - = 350 ± 50 MeV θ = 66.6 o θ P V P V = 600. ± 300 MeV P n P + = 770. ± 00 MeV P + θ = 6. o P nt P +T Calcolare la massa invariante delle particelle che decade assumendo che le particelle prodotte siano note: cariche: p, µ, π ± neutre: n, ν, π 0 Verificare se alcune delle combinazioni possono corrispondere a masse già note. 8 A. Andreazza - a.a. 06/7

29 Esercizio 6. Calcolare la sezione d urto di produzione di particelle strane assumendo: che il tasso di produzione osservato negli esperimenti al Pic du Midi fosse dn/dt~ evento al giorno che il flusso di p di energia >.5 GeV nei raggi cosmici all altezza del rivelatore sia Φ~0. m - s - che la produzione avvenga nel contenitore di alluminio che contiene la camera a nebbia: spessore mm, sezione 0 cm 0 cm 9 A. Andreazza - a.a. 06/7

30 Esercizi 6.3, 6.4 Esercizio 6.3 Verificare le energie di soglia per i seguenti processi ed identificare quelli proibiti dalla conservazione di numeri quantici. Esercizio 6.4 Processo Soglia π N Λ K 0.76 GeV π N ΣK 0.90 GeV π N N K K.36 GeV π N ΞK K.3 GeV In base alla struttura a quark degli adroni, i decadimenti deboli con leptoni nello stato finale posso essere spiegati con il processo elementare: ed il suo coniugato di carica. s u + l +ν l Quali di questi processi sono permessi e quali vietati: Processo Soglia N N Λ Λ 0.77 GeV N N ΣΣ.6 GeV N N Λ K N.57 GeV N N ΣK N.80 GeV N N N N K K.50 GeV N N ΞK K N 3.74 GeV K + π 0 + l + +ν l K 0 π + l + +ν l K 0 π + l + +ν l K π 0 + l + +ν l K + π 0 + l +ν l K 0 π + + l +ν l K 0 π + + l +ν l K π 0 + l +ν l 30 A. Andreazza - a.a. 06/7

31 Esercizio 6.5 Il K* (m=89 MeV) è uno stato eccitato del K con numeri quantici I(J P )=½( ) e decade per interazione forte in Kπ. Usando la simmetria di isospin calcolare i seguenti rapporti di probabilità di decadimento: BR(K *+ π 0 + K + ) BR(K *0 π + K + ) BR(K *+ π + + K 0 ) BR(K *0 π 0 + K 0 ) Si può spiegare intuitivamente questo risultato usando il modello a quark? I decadimenti Σ + e della Λ in Nπ sono dovuti alle interazioni deboli. Dal fatto che: BR(Λ π 0 n) BR(Λ π p) π 0 n H W Λ π p H W Λ, BR(Σ + π + n) BR(Σ + π 0 p) π + n H W Σ + π 0 p H W Σ, + cosa possiamo dire del valore di isospin di H W Λ e H W Σ +? 3 A. Andreazza - a.a. 06/7

32 Esercizio 6.6 Dati gli operatori F i =½λ i, dove le λ i, sono i generatori si SU(3): Verificare che V =F 4, V =F 5 e V 3 =½(F 3 + 3F 8 ) e U =F 6, U =F 7 e U 3 =½(-F 3 + 3F 8 ) seguono le regole di commutazione del momento angolare. Determinare la forma esplicita V ± =F 4 ±if 5 e U ± =F 6 ±if 7 e verificare le regole di commutazione: [ ] = ± V ± [ Y,V ± ] = ±V ± [ T 3,U ± ] = U ± [ Y,U ± ] = ±U ± T 3,V ± Esprimere T ±, V ±, e U ± nella rappresentazione coniugata? Sfruttando le proprietà degli operatori di innalzamento ed abbassamento indicate e l analogia con il fatto che i momenti angolari sono additivi: scrivere le funzioni d onda dei quark degli stati: T + π -, V - K 0, V - K + dimostrare che: Γ(K + π 0 e + ν e ) Γ(K 0 π e + ν e ) verificare il risultato usando i dati del PDG. 3 A. Andreazza - a.a. 06/7