Masse e Meccanismo di Higgs

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1 Masse e Meccanismo di His Fenomenoloia delle Interazioni Forti Dieo Bettoni Anno Accademico

2 Il Meccanismo di His Si assume che l unierso sia permeato di un campo a spin zero, detto campo di His, doppietto in SU() e con ipercarica U(), ma prio di colore. I bosoni di aue e i fermioni interaiscono con questo campo e in seuito a questa interazione acquisiscono massa. I numeri quantici SU() e U() dello stato di uoto (lo stato fondamentale) non sono nulli, quindi le simmetrie SU() e U() sono rotte (rottura spontanea della simmetria). In questo contesto le masse dei bosoni ± e Z 0 possono essere calcolate in termini di parametri misurati. D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti

3 Rottura Spontanea di Simmetria L T V Possiamo imporre >0 perchè il potenziale sia limitato inferioremente per. La teoria è inariante per -. Per troare lo spettro è necessario troare il minimo del potenziale (stato fondamentale uoto) espandere i campi attorno al loro alore al minimo per troare le eccitazioni del sistema Il termine in rappresenta un interazione di intensità. Potenze di più eleate di rendono la teoria non rinormalizzabile. D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti

4 Se >0 il uoto corrisponde a 0, che minimizza il potenziale. In tal caso si può interpretare come la (massa). Se però <0 troiamo il minimo del potenziale: V 0 ( ) 0 Minimo eneria cinetica: costante. Il alore 0 non a bene perchè non corrisponde a un minimo del potenziale. ± iene chiamato il alore di aspettazione sul uoto di, mentre iene chiamato campo di His. D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti

5 D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 5 ( ) ( ) x x ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 6 L ( ) costante L m Studiamo la teoria nella reione del minimo per determinare lo spettro. Espandiamo intorno a 0. Sarebbe possibile anche la scelta, ma le conclusioni fisiche sono equialenti a causa della simmetria per riflessione -. interazioni ( ) ( ) x x

6 Le descrizioni della teoria in termini di o di deono essere equialenti. E essenziale espandere intorno al minimo per aere una soluzione conerente. La particella scalare descritta dalla teoria con <0 è uno scalare reale, la cui massa nasce dall interazione con altri scalari, perchè al minimo del potenziale c è un alore di aspettazione non nullo. Non c è più traccia della simmetria per riflessione della laraniana oriinale. La simmetria è stata rotta quando abbiamo scelto un uoto specifico intorno a cui espandere ( inece di ): il uoto non ha la simmetria della laraniana oriinale, quindi nemmeno le soluzioni ce l hanno. Si parla di rottura spontanea della simmetria. D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 6

7 Campo Scalare Complesso i L * * * ( ) ( ) ( ) e iχ Simmetria lobale U() L ( ) ( ) ( ) ( ) Per >0 il minimo è nell oriine Per <0 il minimo si troa luno la circonferenza di raio. Sceliamo, 0 ( x) ( x) iρ( x) Mexican Hat Potential D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 7

8 L ( ρ ) ( ) ( ρ ) ρ costante ρ m corrisponde a un campo massio I termini in ρ si annullano, quindi ρ ha massa nulla: bosone di Goldstone! Teorema di Goldstone: quando si ha rottura spontanea di una simmetria lobale continua, nello spettro c e un bosone di massa nulla. In questo caso la simmetria lobale U() è rotta spontaneamente perchè abbiamo douto sceliere un punto sulla circonferenza intorno a cui effettuare l espansione. Il potenziale è minimo luno una circonferenza: le eccitazioni radiali corrispondono a particelle massie (curatura del potenziale) mentre luno la circonferenza il potenziale è piatto. D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 8

9 Il Meccanismo di His Abeliano Richiediamo inarianza di aue locale: iχ ( x) ( x) ( x) e ( x) L A D A A ia F χ ( x) * * * ν ( D ) ( ) ( ) F D Per >0 descrie l interazione di una particella scalare con un campo A. Non ci sono termini di massa per A. Questa laraniana contiene quattro campi indipendenti: i due scalari e e le due polarizzazioni traserse del campo A (che ha massa nulla). Anche in questo caso cerchiamo soluzioni per <0. iρ ( x) ( x) ( x) e ( x),ρ e h reali, utilizzando una χ opportuna. h ν ( x) D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 9

10 L h ( h) ( h) ( )( ) h h ia ha Il bosone di aue ha acquisito una massa!!! A [ ] ( h) ( ia )( h) M A D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 0 A A h F ν A F A ν h h F ν F ν Il bosone di His con massa Anche in questo caso la laraniana è inariante, ma non lo stato di uoto. I radi di libertà sono sempre : il bosone di His e le tre polarizzazioni del bosone di aue massio. Il bosone di Goldstone del caso precedente (simmetria U() lobale) è dientato lo stato di polarizzazione lonitudinale del bosone di aue. Meccanismo di His. Il bosone di His dorebbe esistere come particella fisica. La massa del bosone di aue è fissata se sono noti e, ma non la massa dello His che dipende dal parametro inoto.

11 D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 0 0 i i ( ) ( ) ( ) L ( ) 0 0* * 0 0* * Il Meccanismo di His nel Modello Standard Nel modello standard il campo di His è un doppietto in SU() Campi complessi

12 V ( ) ( ) Studiamo il potenziale: V() è inariante sotto la trasformazione di aue locale: Per < 0 V() ha un minimo per: iα ( x) τ / ( x) ( x) e ( x) 0 D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 0 Sceliamo una direzione: 0 ( x) La simmetria oriinale era: 0 H ( x) r r, Cerchiamo equazioni con H(x). Questa scelta è sempre possibile razie all inarianza di aue locale. inariante Sceliendo la direzione abbiamo rotto tre simmetrie: a queste corrispondono altrettanti bosoni di Goldstone, che erranno assorbiti nei radi di polarizzazione lonitudinale di ± e Z 0.

13 La carica elettrica, l isospin debole e l ipercarica U() del campo di His sono leati dalla seuente relazione: Si ha Y H. Q T La scelta di 0 come componente che siluppa un alore di aspettazione sul uoto arantisce la conserazione della carica elettrica. Se il uoto 0 è inariante per trasformazioni in un sottoruppo del ruppo oriinale SU() U() il bosone di aue associato a quel sottoruppo rimane prio di massa. Dato che una sola componente del doppietto di His ha un alore di aspettazione sul uoto la simmetria SU() è rotta. Poichè Y H 0 anche la simmetria U() è rotta. Tuttaia operando con la carica elettrica Q: Y Q 0 T 0 iα ( x) Q cioè il uoto è inariante per la trasformazione 0 0 e 0 0 Trasformazione U () corrispondente all interazione elettromanetica: il fotone rimane prio di massa. Y H D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti

14 D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti τ i B Y i r r D τ τ i B Y i i B Y i r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B B i i B Quando acquisisce un alore di aspettazione sul uoto, procedendo in modo analoo a quanto fatto in precedenza si hanno nella laraniana i termini: 0 0 Utilizzando otteniamo: Z Z

15 Per un bosone carica il termine di massa è della forma m -. Confrontando con: Otteniamo: M Per un bosone carica il termine di massa è della forma m ZZ/. M Z M γ M M Z 0 cosθ ρ M Z M cosθ D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 5

16 L int Masse dei Fermioni Laraniana di interazione dei fermioni con il campo di His: Inariante in SU(). e costante arbitraria. Termine di massa per e e m L int e ( L e e L) R 0 H e el ( e e e ) ( e e e e )H e L R e R R L R R L Vertice H-e e me L int me ee eeh Non c è termine di massa per il neutrino, a causa dell assenza del ν R. Ciò implica che il neutrino non interaisce con lo His. Se esistesse un ν R. arebbe T 0, Q0 per cui non si accoppierebbe a ±, Z 0, γ, per cui sarebbe difficile da osserare. m e D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 6

17 Per le masse dei quarks bisona tener conto anche dell esistenza di u R. * * b doppietto in SU() ψ c iτ ψ doppietto in SU() a * a ψ b c 0* c H 0 Lint dqld R uqlcur h.c. md mu L int md dd muuu ddh uuh Anche in questo caso i parametri d e u sono arbitrari. Le masse enono incluse nel modello standard, ma non enono predette: è necessario misurarle. Questo procedimento si può ripetere per i fermioni della seconda e terza familia. Lo His interaisce con i fermioni con una intensità proporzionale alla massa m f, per cui si accoppia più fortemente ai fermioni più pesanti. D. Bettoni Fenomenoloia Interazioni Forti 7