Caos deterministicoil sistema di Lorenz - La mappa di Henon

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1 Caos deterministico Il sistema di Lorenz - La mappa di Henon Attrattori - Diagrammi di biforcazione - Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Liceo Scientifico A.Einstein Piove di Sacco, 17 Aprile 2009

2 1 a Parte: Il sistema di Lorenz 2 a Parte: La mappa di Henon 3 a Parte: Diagramma di biforcazione della mappa di Henon Il sistema di Lorenz 1 Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni

3 1 a Parte: Il sistema di Lorenz 2 a Parte: La mappa di Henon 3 a Parte: Diagramma di biforcazione della mappa di Henon La mappa di Henon 2 Sommario M. Henon Grafici di alcune orbite

4 1 a Parte: Il sistema di Lorenz 2 a Parte: La mappa di Henon 3 a Parte: Diagramma di biforcazione della mappa di Henon Come si realizza il diagramma di biforcazione 3 Sommario Procedimento per ottenere il diagramma di biforcazione Esempio di diagramma di biforcazione

5 Parte I Il sistema di Lorenz

6 Edward Norton Lorenz E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Il battito delle ali di una farfalla in Brasile può scatenare un tornado in Texas (Lorenz all American Association for the Advancement of Sciences 1979)

7 Edward Norton Lorenz E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Lorenz è nato a West Hartford nel Connecticut il 23/05/17. Ha studiato matematica al Dartmouth College nel New Hampshire e all Harvard University a Cambridge nel Massachusetts. Durante la Seconda guerra mondiale ha lavorato come meteorologo per l United States Army Air Corps. Dopo la fine della guerra ha deciso di concentrare i suoi studi sulla meteorologia. Conseguì il suo titolo di studio presso il Massachusetts Institute of Technology dove in seguito divenne professore per molti anni. È deceduto a Cambridge (Massachusetts) il 16/04/08.

8 E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Semplificazione delle equazioni della fluidodinamica Il modello di Lorenz nasce nel 1963 dalla semplificazione delle equazioni di Navier-Stokes che descrivono il comportamento dinamico di uno strato di fluido che presenta moti convettivi a causa di una differenza di temperatura applicata fra la superficie inferiore e quella superiore.

9 Il sistema di Lorenz Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Il modello è costituito da un sistema di tre equazioni differenziali di primo ordine in forma normale nelle variabili x, y e z: il sistema di Lorenz dx dt dy dt dz dt = σ(y x) = rx xz y = xy bz

10 Il sistema di Lorenz Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Il modello è costituito da un sistema di tre equazioni differenziali di primo ordine in forma normale nelle variabili x, y e z: il sistema di Lorenz dx dt dy dt dz dt = σ(y x) = rx xz y = xy bz

11 Il sistema di Lorenz Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Il modello è costituito da un sistema di tre equazioni differenziali di primo ordine in forma normale nelle variabili x, y e z: il sistema di Lorenz dx dt dy dt dz dt = σ(y x) = rx xz y = xy bz

12 Il sistema di Lorenz Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Il modello è costituito da un sistema di tre equazioni differenziali di primo ordine in forma normale nelle variabili x, y e z: il sistema di Lorenz dx dt dy dt dz dt = σ(y x) = rx xz y = xy bz

13 Il sistema di Lorenz Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Il modello è costituito da un sistema di tre equazioni differenziali di primo ordine in forma normale nelle variabili x, y e z: il sistema di Lorenz dx dt dy dt dz dt = σ(y x) = rx xz y = xy bz

14 E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Il significato fisico delle variabili del sistema di Lorenz Lo spazio delle fasi è tridimensionale, e le variabili (x,y,z) non sono variabili spaziali: la variabile x è legata al campo di velocita del fluido, la variabile y è proporzionale alla differenza di temperatura tra le correnti ascendenti e quelle discendenti, e z è proporzionale alla distorsione dalla linearita del profilo verticale di temperatura.

15 I parametri del sistema di Lorenz E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni σ, b ed r sono parametri idrodinamici che possono assumere solo valori positivi. Il parametro r è il numero di Rayleigh relativo al suo valore critico: r = R a /R c.

16 Una scoperta inaspettata E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Durante lo studio del sistema, Lorenz fu sorpreso dal tipo di soluzioni numeriche che otteneva. Decise allora di controllare i dati numerici ottenuti per una soluzione che, assegnata una certa condizione iniziale (x(0), y(0), z(0)) veniva lasciata evolvere fino ad un tempo finale T. Invece di ripetere il processo di integrazione numerica a partire dalla stessa condizione iniziale e dall istante t = 0, per risparmiare tempo, utilizzò come dati iniziali i valori delle coordinate relativi ad un istante t 1 < T ottenuti in precedenza.

17 Una scoperta inaspettata E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Lorenz si aspettava, in assenza di errori nelle procedure numeriche utilizzate, di ritrovare gli stessi valori già ottenuti nell intervallo [t,t]. Osservò invece, che le due traiettorie si sovrapponevano per un certo tempo ma poi divergevano progressivamente fino a diventare completamente diverse. Con grande sorpresa constatò che la causa di questa discrepanza non era attribuibile a errori di integrazione, ma soltanto a valori iniziali leggermente diversi: mentre nella prima integrazione il punto (x(t 1 ), y(t 1 ), z(t 1 )) era stato memorizzato con sei cifre significative, nel ripetere l integrazione, la seconda volta, Lorenz ne ricopiò soltanto tre!!.

18 I valori dei parametri Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Il regime dinamico maggiormente studiato è quello i cui parametri hanno i valori adottati da Lorenz stesso, e cioè: σ = 10 b = 8/3 r = 28 Scegliendo di tenere fissi σ = 10 e b = 8/3, si può lasciare r come parametro di controllo e studiare le caratteristiche del sistema al suo variare. Il modello di Lorenz, infatti, nasce per lo studio di moti convettivi in idrodinamica, ma le proprietà di tale sistema differenziale possono essere oggetto di svariati studi, indipendentemente da qualsiasi riferimento fisico.

19 Soluzione 1 Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Soluzione ottenuta con i valori precedenti dei parametri e con le condizioni iniziali: x(0) = 10 y(0) = 10 z(0) = 10

20 Soluzione 1 Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Figura: Attrattore di Lorenz

21 Soluzione 1 Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Figura: Attrattore di Lorenz

22 Soluzione 1 Sommario E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Confronto fra due soluzioni ottenute con le condizioni iniziali: x1(0) = 10 y1(0) = 10 z1(0) = 10 x1(0) = y1(0) = z1(0) =

23 E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Figura: x in funzione di t

24 E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Figura: x in funzione di t

25 E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Figura: Valore assoluto della differenza di x in funzione di t

26 E. N. Lorenz L origine del sistema di Lorenz Grafici di alcune soluzioni Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Figura: Valore assoluto della differenza di x in funzione di t

27 Parte II La mappa di Henon

28 M. Henon Grafici di alcune orbite Michel Henon

29 M. Henon Grafici di alcune orbite Michel Henon Michel Henon è nato a Parigi nel È un matematico e un astronomo. Attualmente lavora presso L Osservatorio di Nizza. In astronomia Henon è ben conosciuto per i suoi contributi nello studio della dinamica stellare. Negli anni 60 e nei primi anni 70 ha lavorato sull evoluzione dinamica degli ammassi di stelle, in particolare degli ammassi globulari. Ha sviluppato una tecnica numerica, usando metodi Monte Carlo, per seguire l evoluzione dinamica di un ammasso stellare di forma sferica molto più veloce di quella impiegata nei cosiddetti metodi a n-corpi. In Matematica è ben conosciuto per la mappa, nota come Henon map: un semplice sistema dinamico discreto che esibisce un comportamento caotico.

30 M. Henon Grafici di alcune orbite La mappa di Henon Nel 1976 Michel Henon propose un modello semplificato della dinamica del sistema di Lorenz definito dalla seguente mappa discreta bidimensionale: la mappa di Henon { xn+1 = ax 2 n + y n + 1 y n+1 = bx n

31 M. Henon Grafici di alcune orbite La mappa di Henon Nel 1976 Michel Henon propose un modello semplificato della dinamica del sistema di Lorenz definito dalla seguente mappa discreta bidimensionale: la mappa di Henon { xn+1 = ax 2 n + y n + 1 y n+1 = bx n

32 M. Henon Grafici di alcune orbite La mappa di Henon Nel 1976 Michel Henon propose un modello semplificato della dinamica del sistema di Lorenz definito dalla seguente mappa discreta bidimensionale: la mappa di Henon { xn+1 = ax 2 n + y n + 1 y n+1 = bx n

33 M. Henon Grafici di alcune orbite La mappa di Henon Nel 1976 Michel Henon propose un modello semplificato della dinamica del sistema di Lorenz definito dalla seguente mappa discreta bidimensionale: la mappa di Henon { xn+1 = ax 2 n + y n + 1 y n+1 = bx n

34 M. Henon Grafici di alcune orbite I parametri della mappa di Henon I valori scelti da Henon sono: a = 1.4 b = 0.3 Scegliendo di tenere fisso b = 0.3 si può lasciare a come parametro di controllo e studiare le caratteristiche del sistema al suo variare. Vedremo più avanti l intervallo in cui far variare a.

35 M. Henon Grafici di alcune orbite L attrattore di Henon Figura: Attrattore di Henon

36 M. Henon Grafici di alcune orbite L attrattore di Henon Figura: Attrattore di Henon

37 M. Henon Grafici di alcune orbite Soluzione 1 Soluzione ottenuta con i valori precedenti dei parametri e con le condizioni iniziali: x(0) = 0 y(0) = 0 e con N = iterazioni

38 M. Henon Grafici di alcune orbite Soluzione 2 Confronto fra due soluzioni ottenute con le condizioni iniziali: x1(0) = 0 y1(0) = 0 x2(0) = 0.1 y2(0) = 0.1

39 M. Henon Grafici di alcune orbite Due condizioni iniziali vicine Figura: Due orbite

40 M. Henon Grafici di alcune orbite Due condizioni iniziali vicine Figura: Due orbite

41 M. Henon Grafici di alcune orbite Soluzione 3 Confronto fra due soluzioni ottenute con le condizioni iniziali: x1(0) = 0 y1(0) = 0 x2(0) = y2(0) = 0.001

42 M. Henon Grafici di alcune orbite Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Figura: x in funzione di t

43 M. Henon Grafici di alcune orbite Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Figura: x in funzione di t

44 M. Henon Grafici di alcune orbite Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Figura: Valore assoluto della differenza di x in funzione di t

45 M. Henon Grafici di alcune orbite Sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali Figura: Valore assoluto della differenza di x in funzione di t

46 Parte III Il diagramma di biforcazione per la mappa di Henon

47 Procedimento per ottenere il diagramma di biforcazione Esempio di diagramma di biforcazione Il diagramma di biforcazione La mappa viene iterata 1500 volte Si fissa un valore per b, ad esempio b = 0.3; Si utilizzano valori di a appartenenti all intervallo [1.0, 1.4]; per ciascun valore di a si considerano le stesse condizioni iniziali (ad esempio x 0 = 0.0 e y 0 = 0.0) Si scartano i primi 500 punti delle orbite 500 punti per ogni valore di a Si realizza il grafico Sull asse orizzontale a, su quello verticale per ogni a i 1000 punti calcolati dell orbita

48 Procedimento per ottenere il diagramma di biforcazione Esempio di diagramma di biforcazione Il diagramma di biforcazione La mappa viene iterata 1500 volte Si fissa un valore per b, ad esempio b = 0.3; Si utilizzano valori di a appartenenti all intervallo [1.0, 1.4]; per ciascun valore di a si considerano le stesse condizioni iniziali (ad esempio x 0 = 0.0 e y 0 = 0.0) Si scartano i primi 500 punti delle orbite 500 punti per ogni valore di a Si realizza il grafico Sull asse orizzontale a, su quello verticale per ogni a i 1000 punti calcolati dell orbita

49 Procedimento per ottenere il diagramma di biforcazione Esempio di diagramma di biforcazione Il diagramma di biforcazione La mappa viene iterata 1500 volte Si fissa un valore per b, ad esempio b = 0.3; Si utilizzano valori di a appartenenti all intervallo [1.0, 1.4]; per ciascun valore di a si considerano le stesse condizioni iniziali (ad esempio x 0 = 0.0 e y 0 = 0.0) Si scartano i primi 500 punti delle orbite 500 punti per ogni valore di a Si realizza il grafico Sull asse orizzontale a, su quello verticale per ogni a i 1000 punti calcolati dell orbita

50 Procedimento per ottenere il diagramma di biforcazione Esempio di diagramma di biforcazione Diagramma di biforcazione Figura: Diagramma di biforcazione