Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 12 - Sistemi di equazioni differenziali ordinarie

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 12 - Sistemi di equazioni differenziali ordinarie Consideriamo un sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine con condizioni iniziali del tipo: { y (t) = F(t,y(t)) t I, y(t 0 ) = y 0 dove I = [t 0,t max ] R, y 0 = (y 0 1,...,y 0 n) R n, y : I R n, y C 1 (I) è la funzione da determinare y(t) = (y 1 (t),y 2 (t),...y n (t)) ed F : I R n R n è una funzione assegnata F(t,y) = F(t,y 1,...,y n ) = (f 1 (t,y 1,...,y n ),...f n (t,y 1,...,y n )) Un esempio di sistema di questo tipo è: y 1(t) = 2y 2 (t)+2t t [0,3] y 2(t) = y 2 (t) y 1 (t)+1 t t [0,3] y 1 (0) = 2 y 2 (0) = 1 (1)

2 La cui soluzione esatta è y 1 (t) = 2e t y 2 (t) = e t +t Per risolvere un sistema di ODE del tipo sopra descritto con Matlab, possiamo utilizzare le stesse funzioni predefinite già viste nel caso di equazioni scalari alle derivare ordinarie con l accortezza di utilizzare una sintassi vettoriale per le funzioni coinvolte. Ovvero per risolvere il sistema (1) utilizziamo la function ode45() nel modo seguente: F=inline( [-2*y(2)+2*t; -y(1)+y(2)+1-t], t, y ); [T,Y]=ode45(F,[0,3],[2 1]); figure(1) plot(t,2*exp(-t), g,t,exp(-t)+t, m ) title( soluzione esatta ) figure(2) plot(t,y(:,1), r,t,y(:,2), b ) title( soluzione numerica ) 3.5 soluzione esatta 3.5 soluzione numerica

3 Quando la funzione F è più complicata può convenire definirla in una function matlab Frhs() e poi passarla ad ode45 attraverso un function o puntatore alla funzione. Un function handle è un tipo Matlab che contiene tutte le informazioni utili per poter eseguire la funzione a cui si riferisce. Nell esempio precedente definiano la function Frhs() nel file Frhs.m function dydt=frhs(t,y) dydt=[-2*y(2)+2*t; -y(1)+y(2)+1-t]; che verrà successivamente passata ad ode45 nel modo seguente: [T,Y]=ode45(@Frhs,[0,3],[2 1]); Poichè l handle viene utilizzato esattamente come se fosse il nome della function è corretta anche la seguente sintassi: [T,Y]=ode45( Frhs,[0,3],[2 1]); Se nella definizione del termine noto F compaiono dei parametri P 1,P 2 etc. (F = F(t,y,P 1,P 2,...)) per passare tali parametri alla function Frhs che la implementa, si modifica la chiamata al solutore ode45 come segue: [T,Y]=ode45(@Frhs,[to,tmax],[y10 y20],[],p1,p2); 3

4 Il sistema di Lorenz Il sistema di Lorenz è un sistema di tre equazioni differenziali ordinarie nonlineari che descrive in maniera semplificata il comportamento di uno strato di fluido che presenta moti convettivi a causa della differenza di temperatura tra la superficie inferiore e superiore. Tale sistema fu proposto e studiato dal matematico e metereologo statunitense Edward Lorenz nel dx = σ(y x) dt t [0,T] dy = ρx xz y dt t [0,T] dz = xy βz dt t [0,T] x(0) = x 0, y(0) = y 0, z(0) = z 0 Le variabili x,y,z non sono variabili spaziali, x 0,y 0 e z 0 sono i valori iniziali, mentre σ,ρ e β sono parametri positivi. I valori adottati da Lorenz per tali parametri sono σ ρ β /3 Risolviamo il sistema di Lorenz con il risolutore Matlab ode45 scegliendo i seguenti valori per l intervalo temporale e le condizioni iniziali: T = 30 x 0 = 1, y 0 = 0, z 0 = 0. Prima di tutto dobbiamo costruire una function che implementa il termine noto del sistema. 4

5 function dydt=lor_fun(t,y,sigma,beta,rho) dydt(1)=sigma*(y(2)-y(1)); dydt(2)=rho*y(1)-y(1)*y(3)-y(2); dydt(3)=y(1)*y(2)-beta*y(3); dydt=dydt ; Poi costruiamo uno script-file che esegue i seguenti comandi: % CONDIZIONI INIZIALI x0=1; y0=0; z0=0; v0=[x0 y0 z0] ; % PARAMETRI sigma=10; beta=8/3; rho=28; % SOLUZIONE [t,y]=ode45(@lor_fun,[0 200],v0,[],sigma,beta,rho); % GRAFICO plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) xlabel( x, Fontsize,14); ylabel( y, Fontsize,14); zlabel( z, Fontsize,14) La soluzione del sistema di Lorez è molto sensibile alla scelta delle condizioni iniziali. Per evidenziare questa caratteristica che lo stesso Lorenz chiamò effetto farfalla, risolviamo nuovamente il sistema a partire dai dati x 0 = 1, y 0 = 0.01, z 0 = 0 e visualizziamo 5

6 i punti finali raggiunti dalle sue simulazioni insieme alle traiettorie stesse con diversi colori. Osserviamo che queste ultime partono unite per poi separarsi sensibilmente. hold on plot3(y(end,1),y(end,2),y(end,3), *r ) v0=[ ]; [t,y]=ode45(@lor_fun,[0 30],v0,[],sigma,beta,rho); plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3), y ) plot3(y(end,1),y(end,2),y(end,3), *g ) 6