Studio delle incertezze nelle misure fisiche. Dott. Claudio Verona

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1 Studio delle incertezze nelle misure fisiche Dott. Claudio Verona

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3 Le misure Che ora è? Quanto pesi? Quanto sei alto? La risposta a tutte queste domande sono delle misure L uomo da sempre ha avuto la necessità di effettuare delle misure Da sempre ha costruito strumenti di ogni tipo per misurare Per misurare si utilizzano delle convenzioni.

4 Grandezze Cosa si misura? Proprietà di oggetti, di fenomeni, in particolare alcune loro caratteristiche importanti o d interesse In termini più rigorosi ciò che si misura, l oggetto della misura, è la grandezza. Grandezze scalari e vettoriali Definizione: La grandezza è una proprietà misurabile

5 Unità di misura Per misurare una grandezza dobbiamo confrontarla con una grandezza campione che chiameremo unità di misura Definizione: Misurare significa confrontare una grandezza con l unità di misura I campioni di molte unità di misura sono conservati all Istituto Internazionale di Pesi e Misure

6 Unità di misura Deve essere omogenea con la grandezza da misurare Definizione Due grandezze si dicono OMOGENEE se fra di loro si possono istituire delle relazioni di confronto e di somma Deve essere ben definita È posta uguale a 1

7 Il Sistema Internazionale Se le unità di misura sono delle convenzioni: Nei secoli, per misurare le stesse grandezze, si sono utilizzate unità di misura diverse In luoghi diversi della terra, popoli diversi utilizzano unità di misure diverse per misurare grandezze diverse Tutto questo ha portato incomprensioni ed errori, soprattutto in campo scientifico Nel 1960 fu proposto, e in Italia è il sistema legale di misura da adoperarsi obbligatoriamente a partire dal 1982

8 Il Sistema Internazionale Esso individua 7 grandezze e le relative unità di misura che sono definite fondamentali Ognuna delle 7 unità di misura è definita in modo preciso ed univoco Per esempio: il metro: lunghezza del tragitto compiuto nel vuoto dalla luce in 1/ s. Il secondo: la durata di periodi di oscillazioni delle onde emesse da un atomo di cesio 133. Il chilogrammo: la massa di un cilindro realizzato da una lega di platino e iridio conservato nell Istituto Internazionale di Pesi e Misure in Francia

9 Il Sistema Internazionale Le unità SI possono avere prefissi per rendere più comodamente utilizzabili grandi e piccole grandezze rispetto all unità.

10 Grandezze derivate e fondamentali Le grandezze fondamentali sono tali per convenzione Definizione: È fondamentale quella grandezza che possiede una sua unità di misura definita in modo univoco Dalle 7 grandezze fondamentali vengono derivate tutte le altre Definizione: Sono derivate le grandezze ricavate, con relazioni dimensionali, dalle grandezze fondamentali Esempi: accelerazione (m/s 2 ); densità (kg/m 3 ); forza (kg. m/s 2 ); resistenza (Ω = m2 Kg ); A 2 s 3 Campo Magnetico (T = Kg As 2); Potenziale (V = m2 Kg ); carica elettrica(c = As) As 3

11 Definizioni Misurazione: insieme di operazioni che portano alla determinazione del valore del misurando. Misurando: la grandezza da misurare che deve essere definita con sufficiente completezza, rispetto all accuratezza richiesta, affinchè il valore associato con la sua misurazione sia unico. Misura: valore del misurando ottenuto in seguito ad una misurazione (l unità di misura deve sempre essere espressa). Vedremo che è solo un approssimazione o una stima del valore del misurando, ed è completo accompagnato dall incertezza della stima. Valore vero: è il valore consistente con una particolare grandezza data, è quello che si otterrebbe con una misurazione perfetta, pertanto non determinabile.

12 Tipi di misurazioni Metodo di misurazione diretto: si definisce metodo di misura diretto se la misura è ottenuta mediante l uso di uno strumento atto alla misurazione della grandezza M del misurando. In questo caso avrò una grandezza omogenea a quella che voglio misurare che sarà scelta come campione, convenzionalmente assunta dunque come unità di misura. Dovrò avere chiaro il concetto di confronto (ad esempio cosa vuol dire che una grandezza è il doppio o il triplo di un altra )

13 Tipi di misurazioni Metodo di misurazione indiretto: si definisce metodo di misura indiretto se il risultato della misura è espresso in termini di valori di altre grandezze, essendo ovviamente nota la relazione fra queste ed il misurando. Questo è il sistema più frequente, ed è possibile utilizzare molti fenomeni (ad esempio fisici) per determinare una grandeza in maniera indiretta. Generalmente le grandezze (almeno quelle fisiche) sono legate tra loro da relazioni matematiche (ad esempio v=s/t), per cui avrò diverse unità di misura, e queste fisseranno l unità di misura della grandezza derivata.

14 Caratteristiche degli strumenti di misura 1.Diagramma di Taratura 2.Intervallo di funzionamento 3.Prontezza 4.Sensibilità 5.Risoluzione 6.Precisione 7.Accuratezza

15 Taratura di uno strumento di misura Taratura: insieme delle operazioni che stabiliscono, sotto condizioni specificate, la relazione tra i valori indicati da uno strumento o da un sistema per misurazione, o i valori rappresentati da un campione materiale, ed i corrispondenti valori noti di un misurando. Taratura per confronto è effettuata paragonando lo strumento di misura con un altro strumento di classe di precisione superiore effettuando la misura contemporaneamente sullo stesso misurando. Taratura per punti fissi è effettuata verificando lo strumento di misura rispetto a punti fissi (es. punto di ebollizione) o campioni fisici (es. campione di massa). Calibrazione è una regolazione che può essere di zero e/o di span (valori estremi del campo di misura di uno strumento). la taratura è una operazione più complessa che stima la funzione di trasferimento uscita strumento-misurando

16 Taratura di uno strumento di misura Il diagramma di taratura è la relazione che permette di ricavare da ogni valore della grandezza di uscita, L 0, la corrispondente fascia di valori ragionevolmente attribuibili al misurando, ΔM. L informazione completa viene di solito fornita specificando separatamente (in forma grafica, tabulare, o analitica) dove si colloca la fascia di valore, mediante un punto situato in posizione intermedia nella fascia, e l ampiezza della fascia stessa.

17 Taratura di uno strumento di misura Curva di taratura : relazione biunivoca tra ogni valore di uscita indicato dallo strumento, e il corrispondente valore del misurando, sotto specificate condizioni (ovvero con assegnati valori delle grandezze di influenza). Curve di incertezza Incertezza di taratura: ampiezza della fascia di valore in uscita dello strumento, di solito riportata in valore assoluto o relativo

18 Caratteristiche degli strumenti di misura Intervallo di funzionamento dato dal valore massimo (portata) e minimo (soglia) della grandezza che lo strumento può misurare, al di fuori di questo intervallo, oltre a danneggiarsi eventualmente, lo strumento non ha una risposta legata al valore della grandezza.

19 Caratteristiche degli strumenti di misura Prontezza È legata al tempo necessario perchè lo strumento risponda ad una data variazione della sollecitazione. Minore è questo tempo (detto tempo caratteristico) maggiore è la prontezza. La bilancia pesa persone è uno strumento molto pronto: risponde subito ad una variazione della massa da misurare il termometro a mercurio è uno strumento con una prontezza bassa: per misurare la temperatura corporea occorrono alcuni minuti

20 Caratteristiche degli strumenti di misura Sensibilità La sensibilità di uno strumento è il rapporto fra la variazione della risposta L (uscita o lettura dello strumento) e la variazione della sollecitazione M (ingresso o misurando). In termini matematici è definita come la derivata della curva di risposta dello strumento. δl δm La sensibilità è tanto migliore quanto più piccola è la variazione del misurando che si riesce ad apprezzare.

21 Caratteristiche degli strumenti di misura Risoluzione La risoluzione R di uno strumento è il più piccolo valore della grandezza che lo strumento riesce ad apprezzare. La variazione M del misurando che provoca la minima variazione apprezzabile del valore di lettura δl min (R=( M) δlmin. Negli strumenti analogici, la risoluzione è uguale alla differenza tra i valori rappresentati da due tacche consecutive. il righello in figura ha risoluzione di 1 mm il tachimetro d auto in figura ha sensibilità di 2km/h

22 Caratteristiche degli strumenti di misura Precisione La precisione di uno strumento è l attitudine a fornire stabilmente (nel tempo) gli stessi valori del misurando. La risposta di uno strumento cioè può non essere sempre la stessa per lo stesso tipo di sollecitazione. I risultati di varie operazioni di misura non sono identici per lo stesso valore in ingresso. Ottengo quindi una distribuzione di valori del misurando, la cui larghezza (ampiezza di dispersione dei valori attendibili) dipende dalle caratteristiche dello strumento.

23 Caratteristiche degli strumenti di misura Accuratezza Si definisce accuratezza di uno strumento la sua capacità di fornire una risposta prossima al valore vero del misurando. Maggiore è l accuratezza minore sarà l errore associate al misurando. Il reciproco di questa quantità e detta inaccuratezza e cerca di quantificare la presenza di errori. Una volta evidenziata l inaccuratezza se ne deve ridurre l entità o tramite un aggiustamento (altero le caratteristiche dello strumento) oppure tramite una calibrazione, ovvero non altero lo strumento ma stimo la differenza tra i valori indicati e i corrispondenti valori veri. Ad esempio aggiusto lo zero dello strumento.

24 Precisione e accuratezza

25 Scelta dello strumento di misura Per misurare una grandezza in pratica scegliamo lo strumento con l unità di misura più adatta e poi leggiamo direttamente sullo strumento quante volte è contenuta. L incertezza di lettura L dipende dalla scelta dello strumento, ossia è l insieme dei valori di lettura che si può attribuire ad un certo misurando (vedere diagramma di taratura). Se lo strumento è adatto alla misura allora deve essere che R ΔM min (metà risoluzione R/2 = S Incertezza strumentale), altrimenti la scala di lettura non è adeguata allo strumento.

26 Errore nella misura diretta R>>ΔM min Se la grandezza da misurare è più piccola dell incertezza di lettura (risoluzione) dello strumento non è possibile dare una misura. Esempio del righello: non riesce a misurare un oggetto di lunghezza inferiore al millimetro. R<<ΔM min Se la grandezza da misurare è molto più grande della risoluzione dello strumento, il valore della misura è fornito con una incertezza inappropriata (risoluzione maggiore di quella reale)

27 Incertezza delle misure E possibile effettuare una misura in modo esatto? No, non è possibile. Ad ogni misura è associata un INCERTEZZA. N.B. Il valore vero di una grandezza non può essere conosciuto con una precisione minore della risoluzione dello strumento utilizzato. Perché NON è POSSIBILE misurare in modo esatto? 1. perché gli strumenti hanno una incertezza di taratura e quindi hanno una risoluzione limitata, per cui non sono in grado di distinguere grandezze che differiscono di meno di una certa quantità. 2. Perché nel fare una misura si compiono imprevedibili errori umani nell uso degli strumenti o nella procedura sperimentale (ERRORI CASUALI E SISTEMATICI)

28 Origine dell incertezza Incertezza nella misura (effetto)

29 Come facciamo a rappresentare una misura? Il risultato di una singola misura viene indicato con il valore numerico che rappresenta la grandezza misurata specificando la risoluzione dello strumento utilizzato. La misura può essere scritta : M = M B M Dove M l errore sulla singola misura è quella strumentale S (legata alla risoluzione e precisione dello strumento di misura). In una singola misura M rappresenta l errore della misura e prende il nome di errore assoluto. Si definisce come errore assoluto di una misura M la differenza tra il valore misurato della grandezza M B ed il valore esatto M M M M B Il termine assoluto indica il fatto che essa dipende solo dalla risoluzione dello strumento.

30 In generale. La misura può essere scritta: V V Dove V è il valore della misura e V è l incertezza che è un parametro associato al risultato di una misurazione che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuiti al misurando Fascia di valore V- V V V+ V Come abbiamo detto, non è possibile ottenere una misura esatta. Risulta allora utile ottenere un intervallo minimo in cui siamo sicuri che ricade la misura esatta. Questo intervallo è detto Intervallo di Incertezza o fascia di valore. Scrivere una misura nel modo seguente: R k significa che il valore della resistenza R che si sta cercando è tale che 12.49k R k ossia che la resistenza ha un valore compreso tra i kω e i kω che rappresenta la fascia di valore.

31 Il valore di un componente industriale, ad esempio elettronico o meccanico, è sempre accompagnato da una incertezza o tolleranza. A parità di caratteristiche del prodotto, più è bassa la tolleranza più è alto il costo del prodotto.

32 Stima dell incertezza V V 1. Garantisce la compatibilità di misure diverse, ossia con strumenti o operatori differenti. (N.B. attenzione alle sottostime). 2. Garantisce conclusioni affidabili sulla verifica di un ipotesi teorica per confronto con misure. (N.B. attenzione alle sovrastime) 3. Permette di verificare la compatibilità delle misure con dati o curve teoriche. Ad esempio se devo distinguere tra due possibilità: la corona è d oro o di una lega che assomiglia all oro ma con densità diversa, è essenziale conoscere la misura della densità con il suo errore e la misura deve essere fatta con un errore minore della differenza tra le due densità ρ oro = 15.5g/cm 3 ρ lega = 13.8 g/cm 3 Materiale misurato da due esperti che ci permette di affermare che entrambe le misure sono corrette (infatti compatibili) Mis. I ρ 1 = 15 ± 2 g/cm 3 Mis. II ρ 2 = (13.9 ± 0.2 )g/cm 3 Mis. I nessuna conclusione Mis. II ci permette di concludere che non è oro.

33 Compatibilità e Discrepanza Compatibilità delle misure: condizione che si verifica quando le fasce di valore assegnate in diverse occasioni come misura dello stesso parametro hanno almeno un elemento in comune. La sovrapposizione delle fasce di valore è un requisito di compatibilità tra misure riferite allo stesso stato del sistema. Esempio: Misurare una resistenza R: Mis. A R A = 40 ± 5 Ω Mis. B R B = 42 ± 6 Ω Mis. C R C = 33 ± 1 Ω Mis. A e B sono compatibili mentre C non è compatibile con le altre due misurazioni. Cosa è successo? Cambiata resistenza? Strumento rovinato? Incertezza sottostimata? Discrepanza è la differenza tra due valori misurati della stessa grandezza. Ad esempio le resistenze delle misure A e B hanno una discrepanza di 2 Ω mentre quelle tra A e C presentano una discrepanza di 7 Ω. La discrepanza tra due valori può essere significativa o non, la cosa fondamentale è la fascia di valore delle singole misure.

34 Compatibilità e Discrepanza Mis. A R A = 15 ± 1 Ω Mis. C R C = 16 ± 8 Ω Mis. B R B = 25 ± 2 Ω Mis. D R D = 26 ± 9 Ω Discrepanza in entrambe e misure è di 10 Ω Due misure della stessa grandezza possono essere diverse, ma compatibili se la loro differenza (discrepanza) è all interno dell errore.

35 È importante rendersi subito conto di quale è l incertezza relativa che facciamo in una misura. Ci da l idea della bontà della nostra misura. È più grave commettere un errore di 1 cm su 1 m (1 ± 0.01) m, o di 1 m su 1 km (1000 ± 1) m? Sicuramente è più grave il primo. Perché? Chiamiamo incertezza relativa il rapporto: Incertezza relativa V V V V Incertezza relativa è adimensionale Ora vediamo il perché della risposta precedente. Nel primo caso abbiamo un errore relativo 0.01 m Nel primo caso 1 m = 0.01 Nel secondo caso 1 m 1000 m = 0.001

36 Incertezza relativa percentuale Quando si fanno tante misure di una grandezza, siamo in grado di scartare quelle misure che sono fuori da un intervallo accettabile. L incertezza percentuale (tolleranza), definito come segue, ha proprio questo scopo: V V 100 e si esprime come percentuale, cioè col simbolo %. Tornando alla domanda precedente possiamo dire Nel primo caso = 1% mentre nel secondo caso = 0.1%

37 Cifre significative Eseguiamo una misura indiretta. Calcolo del lato di un quadretto in un foglio a quadretti Misuriamo un lato di un foglio a quadretti con un righello che ha una risoluzione di 0,1 cm: Dalla misura si ricava che la lunghezza vale 21,7 cm. Nel lato si contano 25 quadretti. Lquadretto 21,7 cm 25 0,868cm Se guardiamo questo risultato ci accorgiamo subito che non ha senso: infatti non è possibile conoscere il lato del quadretto con una precisione superiore rispetto alla misura del lato del foglio!!! Infatti conosciamo il lato del foglio fino al mm (risoluzione dello strumento), mentre la lunghezza del quadretto fino al centesimo di millimetro. Come può un calcolo successivo migliorare la misura eseguita all inizio?

38 Cifre significative E chiaro che si rende necessario approssimare. In che modo? Considerando le cifre significative. Si definiscono cifre significative tutte le cifre certe di una misurazione (ossia assegnate dallo strumento) più la prima cifra incerta. R = 125 ± 4 Ω Cifre certe Cifra incerta Per convenzione si considerano cifre significative: 1. tutte le cifre diverse da zero; 2. gli zeri compresi tra le cifre diverse da zero. 3. gli zeri finali si potranno considerare cifre significative solo se è presente la virgola.

39 Cifre significative sull incertezza Convenzione per la definizione numerica dell incertezza. L incertezza viene in genere definita con una cifra significativa (da arrotondare eventualmente all intero più vicino). Prendere la prima cifra non nulla come unica cifra significativa δv = δv = 0.07 δv = δv = 0.08 In caso di equidistanza deve essere arrotondata all intero pari più vicino δv = δv = 0.006; δv = δv = 0.08 Eccezione: Se la prima cifra significativa è un 1 è preferibile definire l incertezza con 2 cifre significative δv = δv = 0.13 In generale se l incertezza è ricavata per via statistica va definita con 2 cifre significative.

40 Cifre significative sull incertezza Regola per valutare le incertezze: Normalmente, le incertezze sperimentali dovrebbero essere arrotondate ad una sola cifra significativa. Nel lavoro di alta precisione (o stime statistiche), le incertezze sono talvolta date con due cifre significative. Regola per valutare i risultati: L ultima cifra significativa in qualunque risultato deve essere dello stesso ordine di grandezza (cioè della stessa posizione decimale) dell incertezza. Se scriviamo un risultato nel modo seguente: g = 9.81 ± m/s 2 è impensabile che l incertezza possa essere conosciuta fino a quattro cifre significative e il valore dato con due decimali. Ne segue che nella misura precedente l incertezza dovrebbe essere arrotondata e la misura dovrebbe essere riscritta nel modo seguente: g = 9.81 ± 0.02 m/s 2

41 Cifre significative sull incertezza Viceversa- La posizione dell ultima cifra significativa dell incertezza corrispondere a quella dell ultima cifra da riportare nel valore di misure. Esempio: la misura è q = Supponiamo di associare incertezze diverse alla misura δq = 3, o δq = 0. 7, o δq = 0. 03, Si scrive: 321 ± ± ± 0. 03