Modellazione numerica della risposta sismica orizzontale accoppiata a sollecitazione verticale per isolatori elastomerici

Transcript

1 Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e territoriale Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile-Orientamento Strutture Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Modellazione numerica della risposta sismica orizzontale accoppiata a sollecitazione verticale per isolatori elastomerici Camilla Cattivelli mat Relatore: Prof. Luca Martinelli Correlatore: Dr. Marco Domaneschi Anno Accademico

2 I

3 Indice I Backgrund teorico 5 1 Isolamento sismico Principi di funzionamento Cenni di dinamica delle strutture Costruzione degli spettri di riposta Analisi con Spettro di Risposta Base teorica dell isolamento sismico Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata Funzione degli isolatori elastomerici Caratteristiche meccaniche della gomma Tipologie di Isolatori Elastomerici Isolatori in gomma o neoprene Isolatori elastomerici con nucleo in piombo Isolatori elastomerici ad alto smorzamento Principali modelli matematici Modellazione Matematica del Comportamento dell Isolatore Elastomerico Componente Elastica non Lineare Componente Isteretica Componente Incrudente Isteresi Formulazione Matematica dell Isteresi Esempio di Modello di Isteresi: il Modello di Bouc-Wen Degradazione della Rigidezza Modello di Isteresi di Ozdemir Riscrittura in Termini di Forza e Spostamento Indipendenza dalla Velocità di Applicazione del Carico Contributo Elastoplastico II

4 5 Metodi di ottimizzazione Algoritmi genetici Codifica genetica Operatore di selezione Metodo della roulette Metodo di classificazione Selezione a torneo Crossover Mutazione Inizializzazione e Termine dell algoritmo Criticità Altri metodi di minimizzazione Metodi di ricerca diretta convergenti: teoria generale Metodo di pattern search II Analisi numerica e applicazioni 79 6 Analisi sperimentale Caratteristiche meccaniche e geometriche dell isolatore Test sperimentali Analisi di sensitività dei singoli parametri del modello di Abe et al Risultati numerici Risultati numerici senza ottimizzazione Risultati numerici con ottimizzazione Pattern Search Algoritmo genetico Confronto tra i due metodi di ottimizzazione Minimizzazione dell errore nell identificazione dei parametri Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Accelerazioni orizzontali e rotazionali in input Validazione del modello di Abe modificato Caratteristiche geometriche e meccaniche dell isolatore testato Introduzione ai test sperimentali Confronto tra output numerico e grafico sperimentale Conclusioni e sviluppi futuri 190 Bibliografia 193 III

5 Elenco delle figure 1.1 Oscillatore semplice Oscillatore semplice sottoposto ad accelerogramma Spettro di risposta elastico in termini di accelerazione Edificio multipiano con solai rigidi: (a) modello piano; (b) modello a masse concentrate; (c) modi di vibrare normalizzati rispetto allo spostamento massimo Deformazioni di edificio a base fissa e su isolatori Parametri di un modello isolato a due gradi di libertà Forme modali del sistema isolato a due gradi di libertà Effetto dell inserimento dell isolatore Grafico forza-spostamento di un isolatore HDRB Modello realizzativo e grafico forza-spostamento di un isolatore in gomma naturale Isolatore elastomerico con nucleo in piombo Isolatore elastomerico ad alto smorzamento Grafico forza-spostamento di un isolatore HDRB Variazione del modulo di taglio in funzione della deformazione di taglio Tre componenti di forza del modello di Abe et al Diagramma forza-spostamento di un isolatore HDRB Ciclo di isteresi continuo La proprietà di causalità: a) funzioni di input; b) funzioni di output; c) diagramma di isteresi Forza resistente descritta dal modello di Bouc-Wen Grafico forza-spostamento ottenuto con diversi valori di n Grafico forza-spostamento ottenuto con diversi valori di a Rappresentazione della degradazione della rigidezza nel grafico Forzaspostamento Curva limite di snervamento IV

6 5.1 Processo di crossover Processo di mutazione Fattori di forma S 1 e S Caratteristiche geometriche dell isolatore Isolatore con nucleo in piombo usato per i test sperimentali Diagrammi forza-spostamento ottenuti per diversi valori di carico assiale: a) 0 Mpa; b) 5 Mpa; c) 10 Mpa; d) 20 Mpa ; e) 30 Mpa Grafico forza-spostamento per σ = Confronto tra due diversi valori di K 1, che definisce la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di α, che regola l evoluzione della degradazione della rigidezza, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di β, che definisce il rapporto della rigidezza completamente degradata rispetto a K 1, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di a, che definisce il valore della forza del comportamento elastico non lineare in piccole deformazioni, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di b, che regola l evoluzione del comportamento elastico non lineare in piccole deformazioni, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra due diversi valori di n, che controlla il raccordo tra fasae elastica e fase plasica, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di Y 0, che definisce la forza di snervamento iniziale, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di U 0, che definisce il valore di spostamento a cui inizia lo snervamento, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di U H, che definisce lo spostamento a cui inizia l incrudimento, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di p, che definisce la forma della curva di incrudimento, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra diversi valori di U S, che regola la degradazione della rigidezza elastica della molla elasto-plastica, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % V

7 6.17 Confronto tra diversi valori di K 2, che definisce il contributo della molla incrudente al valore di forza totale, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Confronto tra due diversi valori di r, che definisce la forma della curva di incrudimento, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 0 MPa Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 5 MPa Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 10 MPa Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 20 MPa Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa Legge di variazione del parametro β Legge di variazione del parametro Y Legge di variazione del parametro U H Legge di variazione del parametro p Legge di variazione del parametro k Legge di variazione del parametro r Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 0 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 5 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 10 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 20 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search Legge di variazione del parametro β Legge di variazione del parametro Y Legge di variazione del parametro U H Legge di variazione del parametro p Legge di variazione del parametro k Legge di variazione del parametro r Legge di variazione del parametro U S Legge di variazione del parametro a Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 0 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 5 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico VI

8 7.27 Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 10 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 20 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico Legge di variazione del parametro β Legge di variazione del parametro Y Legge di variazione del parametro U H Legge di variazione del parametro p Legge di variazione del parametro k Legge di variazione del parametro r Legge di variazione del parametro U S Legge di variazione del parametro a Legge di variazione del parametro n Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico impostando una frazione di crossover pari a Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico impostando il metodo della routa di roulette per effettuare la selezione Legge di variazione del parametro β Legge di variazione del parametro Y Legge di variazione del parametro U H Legge di variazione del parametro p Legge di variazione del parametro k Legge di variazione del parametro r Legge di variazione del parametro U S Legge di variazione del parametro a Legge di variazione del parametro n Caratteristiche geometriche e meccaniche dell isolatore HDRB Disposizione degli isolatori elastomerici al di sotto della centrale nucleare Storia degli spostamenti orizzontali in funzione del tempo Storia delle azioni assiali in funzione del tempo Grafico forza-spostamento relativo alla prima storia di spostamento orizzontale e azione assiale variabile Grafico forza-spostamento relativo alla seconda storia di spostamento orizzontale e azione assiale variabile VII

9 8.7 Grafico forza-spostamento relativo alla terza storia di spostamento orizzontale e azione assiale variabile Grafico forza-spostamento relativo alla quarta storia di spostamento orizzontale e azione assiale variabile Prima storia di spostamento e azione assiale: a)risposta ad azione assiale variabile e b) risposta ad azione costante di 6.5 MPa Seconda storia di spostamento e azione assiale: a) risposta ad azione assiale variabile e b)risposta ad azione costante di 6 MPa Terza storia di spostamento e azione assiale: a) risposta ad azione assiale variabile e b) risposta ad azione costante di 10 MPa Quarta storia di spostamento e azione assiale: a) risposta ad azione assiale variabile e b) risposta ad azione costante di 9.5 MPa Terza storia di spostamento e azione assiale moltiplicata per un fattore pari a Quarta storia di spostamento e azione assiale moltiplicata per un fattore pari a Terza storia di spostamento e azione assiale moltiplicata per un fattore pari a Quarta storia di spostamento e azione assiale moltiplicata per un fattore pari a Caratteristiche meccaniche dell isolatore utilizzato l isolamento sismico del reattore nucleare IRIS Isolatore utilizzato per l isolamento sismico del reattore nucleare IRIS Isolatore elastomerico oggetto di studio Diagramma forza-spostamento sperimentale ottenuto usando come accelerogramma la storia Polimi Storia di spostamento orizzontale applicata all isolatore Storia di azione assiale applicata all isolatore Confronto tra il grafico ottenuto numericamente e quello sperimentale. 188 VIII

10 Elenco delle tabelle 2.1 Confronto tra i vari tipi di gomma Valori dei parametri del modello di Abe et al. per diversi valori di azione assiale Valori dei parametri del modello di Abe et al. per diversi valori di azione assiale trovati con l algoritmo Pattern Search Valori dei parametri del modello di Abe et al. per diversi valori di azione assiale trovati con l algoritmo genetico Valori dei parametri del modello di Abe et al. che minimizzano l errore in norma L IX

11 Introduzione Il lavoro presentato in questo elaborato è volto all analisi numerica della risposta sismica orizzontale degli isolatori elastomerici quando soggetti ad un azione combinata sia di spostamenti orizzontali che di forze verticali. Gli isolatori sono dispositivi posizionati alla base di edifici residenziali, pubblici o industriali e sono deputati a mitigare gli effetti delle azioni sismiche disaccoppiando il moto sismico del terreno da quello della struttura, migliorando quindi la sicurezza delle costruzioni, proteggendo le persone, il contenuto e riducendo l effetto panico conseguente. Esistono infatti diverse strutture, come ad esempio le centrali nucleari, che devono rispettare condizioni di sicurezza molto stringenti. L aspirazione nel guidare il comportamento sismico delle strutture ha accompagnato, sin dalle origini, la storia della civiltà umana: già nel 500 a.c. si disponevano in fondazione strati di materiale di vario genere, come carbone, velli di lana, sabbia, in modo da poter favorire lo scorrimento della struttura rispetto al terreno in caso di terremoto. Un idea progettuale di questo tipo fa in modo che la struttura recepisca solo un aliquota dell azione sismica, disaccoppiando il moto della struttura da quello del terreno. È questo il principio di funzionamento sul quale si fonda l isolamento sismico. Si tratta, nel dettaglio, di una tecnica progettuale basata sull introduzione di una discontinuità strutturale alla base dell edificio, che risulta quindi suddiviso, ai fini della risposta alle forze orizzontali, in due parti: la fondazione, rigidamente connessa al terreno, e la sovrastruttura. La continuità strutturale ai fini della trasmissione dei carichi verticali al terreno, è garantita attraverso l interposizione, tra sovrastruttura e fondazione, di particolari apparecchi di appoggio, detti isolatori, caratterizzati da un elevata deformabilità in direzione orizzontale e da una notevole rigidezza in direzione verticale. L aumento della deformabilità, conseguente all introduzione degli isolatori, implica un incremento del periodo proprio del sistema strutturale e, di conseguenza, una riduzione delle accelerazione prodotte dal sisma sull edificio. L aumento del periodo, naturalmente, si traduce anche in un incremento di spostamenti che però si concentrano negli isolatori; va osservato che questi ultimi, oltre ad essere efficaci nel disaccoppiare il moto della struttura da quello del 1

12 terreno, possono anche, se costituiti di materiai opportuni, fornire una significativa dissipazione di energia. La struttura si comporta quasi come un corpo rigido subendo spostamenti d interpiano molto contenuti; di conseguenza, si riducono drasticamente o si eliminano totalmente anche i danni alle parti non strutturali. Alla luce dei vantaggi appena descritti, l isolamento sismico rappresenta una strategia fondamentale per strutture nelle quali il corretto funzionamento è di massima importanza anche dopo l avvenimento di un evento critico, come ad esempio le centrali nucleari, gli ospedali, gli impianti chimici e i centri di protezione civile. Durante i fenomeni sismici il sistema di isolamento è soggetto a un doppia sollecitazione: l oscillazione orizzontale dovuta all attività sismica e l azione assiale verticale dovuta al peso della struttura e alle vibrazioni indotte dalla componente verticale sismica. Dal punto di vista strutturale gli isolatori rispondono alle sollecitazioni verticali con elevata rigidezza mentre in direzione orizzontale sono caratterizzati da elevata deformabilità. Per questo motivo risulta vantaggioso che il sistema di isolamento sia anche un poco dissipativo, aumentando così lo smorzamento strutturale e quindi limitando gli spostamenti orizzontali. L utilizzo degli isolatori sismici dunque permette di aumentare la flessibilità della struttura, modificando i modi naturali di vibrazione rispetto alla struttura non isolata, rendendola meno disposta all amplificazione sismica. Questo tecnica di protezione passiva differisce da altre soluzioni esistenti, come per esempio la dissipazione sismica dove la mitigazione degli effetti dinamici sulla struttura viene perseguita principalmente dissipando l energia sismica introdotta e non modificando i modi propri di vibrazione. All interno della classe degli isolatori elastomerici per le costruzioni, esistono sostanzialmente tre tipologie principali: gli isolatori elastomerici a basso smorzamento (Low Damping Rubber Bearings), quelli con nucleo in piombo (Lead Rubber Bearings) e quelli ad elevato smorzamento (High Damping Rubber Bearings). Esiste un ampia letteratura sulla modellazione della risposta globale dei dispositivi di isolamento, quasi esclusivamente rispetto all azione orizzontale. Va comunque evidenziato come l effetto dell azione assiale nella risposta orizzontale del dispositivo venga riconosciuto non trascurabile in numerosi studi di laboratorio su isolatori elastomerici. In questo lavoro è stato utilizzato il recente modello proposto da Abe et al. ([1]), sviluppato ad azione assiale costante, per riprodurre il comportamento di un isolatore con nucleo in piombo testato in laboratorio e soggetto sia a carichi verticali, sia a deformazioni di taglio elevate ([47]). Nel modello Abe et al. la forza di reazione orizzontale dell isolatore alle sollecitazioni è modellata tramite tre componenti in parallelo (una elastoplatica, una elastica non lineare e una che tiene conto del contributo di incrudimento). Le tre componenti sono descritte attraverso leggi evolutive 2

13 che contengono diversi coefficienti empirici al variare dei quali si può descrivere la risposta orizzontale degli isolatori elastomerici. Nel lavoro presentato per ogni valore di forza assiale agente sull isolatore con nucleo in piombo testato in laboratorio ([47]) si è riprodotta tramite diverse metodologie (identificazione eseguita dall utente human-driven e algoritmi di ottimizzazione automatica) la risposta alle sollecitazioni secondo il modello di Abe et al., identificando il valore dei parametri che compaiono nelle equazioni costituenti. Successivamente, si è determinata una legge di variazione per ogni parametro del modello al variare del valore della forza assiale. Queste leggi sono state poi implementate nella formulazione originale del modello, in modo da poter tenere in conto in real time dell influenza della variabilità dell azione assiale sulla risposta orizzontale del dispositivo. Il presente lavoro di tesi è organizzato in due parti: nella prima (Capitoli 1-5) vengono presentate le basi teoriche. Nel primo capitolo sono riportati i principi costituenti la teoria dell isolamento sismico, con una breve discussione sul vantaggio di introdurre i dispositivi di isolamento rispetto all utilizzo di una struttura a base fissa. Nel secondo capitolo vengono introdotte le tipologie di dispositivi di isolamento in gomma rinforzata, descrivendone le principali caratteristiche. Nel terzo capitolo viene proposto un breve riassunto dei principali modelli matematici utilizzati per descrivere la risposta orizzontale di un isolatore elastomerico soggetto a una storia di spostamento di taglio ciclico. Viene poi introdotto il modello matematico di Abe et al. utilizzato in questo lavoro di tesi per riprodurre la risposta orizzontale dell isolatore elastomerico con nucleo in piombo soggetto a spostamento di taglio e forza di compressione. Nel quarto capitolo si discute della componente elasto-plastica del modello di Abe et al. e della sua modellazione matematica tramite un equazione differenziale. Nel quinto capitolo si introducono i metodi automatici di ottimizzazione che vengono utilizzati per identificare i valori dei parametri del modello di Abe et al. che permettono di riprodurre la risposta sperimentale dell isolatore: vengono descritte le principali caratteristiche e gli algoritmi di ogni metodo di ottimizzazione. La seconda parte della tesi (Capitoli 6-9) si occupa dell analisi numerica del modello di Abe et al. e della proposta di una modifica dello stesso per poter tenere in conto dell effetto della variazione di azione assiale sulla risposta orizzontale globale del dispositivo. Nel sesto capitolo viene introdotto il caso di studio su cui sono state condotte le simulazioni numeriche, descrivendo le caratteristiche geometriche dell isolatore utilizzato per i test sperimentali e le storie di carico a cui è stato sottoposto. Nel settimo capitolo vengono proposti i risultati delle simulazioni condotte in 3

14 Matlab per ogni valore di forza assiale dei dati sperimentali ottenute utilizzando il modello di Abe et al. L identificazione dei parametri viene condotta inizialmente con un metodo ingegneristico (parametri determinati dall analisi dell utente, humandriven) e, successivamente, tramite i procedimenti di ottimizzazione. Nell ottavo capitolo viene proposta una modifica del modello originale di Abe et al. per poter tenere in conto dell effetto della variazione di azione assiale in real time sulla reazione orizzontale del dispositivo. Viene presentata un applicazione del nuovo modello proposto in campo sismico. Sono stati applicati 4 casi di storie azione assiale - spostamento orizzontale sull isolatore con nucleo in piombo. Tali storie sono prese da analisi sismiche precedentemente ([14]) condotte su un edificio nucleare e, opportunamente scalate sull isolatore in nucleo in piombo, rappresentano la sollecitazione sismica per testare numericamente il modello modificato di Abe et al. descritto in questo lavoro di tesi. Il nono capitolo è dedicato alla validazione della modifica del modello di Abe et al. proposta nel capitolo precedente. Si vuole, in particolare, riprodurre la risposta di un isolatore elastomerico con gomma ad alto smorzamento (HDRB) che andrà posizionato al di sotto di un edificio di importanza strategica, quale l edificio che ospita il reattore nucleare nell ambito del progetto internazionale SILER ([17]). La validazione della modifica del modello consiste nel confrontare il grafico sperimentale utilizzato come target e la risposta ottenuta numericamente implementando il modello modificato in Matlab. Il decimo capitolo è infine dedicato alle conclusioni e agli sviluppi futuri. 4

15 Parte I Backgrund teorico

16 Capitolo 1 Isolamento sismico Una qualsiasi struttura, sia esso un normale edificio residenziale, un grattacielo od opera strategica quale un ponte o un ospedale è soggetto, oltre alle consuete ed ampiamente conosciute forze statiche anche a delle sollecitazioni dinamiche che comportano nella struttura stessa delle vibrazioni. I carichi dinamici in oggetto possono di diversa natura ed intensità, ma senza ombra di dubbio quello più temibile e certamente più pericoloso è il carico sismico.gli eventi sismici nel corso della storia hanno causato perdite umane e gravissimi danni in termini di devastazioni e distruzione del panorama artistico ed architettonico. Si citano, riferendosi al solo panorama italiano, i recenti terremoti dell Emilia, de L Aquila ed il terremoto in Irpinia del 1980 e Friuli Oggi l uomo conosce le cause dei terremoti ma ancora non ha imparato a prevedere con certezza dove e quando l evento sismico avverrà ma, nonostante questi importanti passi in avanti i sismi sono ancora delle fonti di rischio rilevanti. L Italia è un territorio particolarmente soggetto ai fenomeni sismici abbastanza frequenti ed intensi ed essendo caratterizzato per la maggior parte da un patrimonio edilizio di costruzione non recente e di non eccellente qualità il pericolo delle conseguenze di un evento sismico non è trascurabile. Nel XX secolo, dunque, per far fronte alle nuove esigenze di edifici sempre più complessi, presenti non solo sul panorama italiano, si è sviluppata ed affermata l ingegneria antisismica. La protezione sismica delle strutture rappresenta uno degli obiettivi più ambizioni dell ingegneria al fine di minimizzare i danni alle costruzioni causate dagli eventi sismici e di evitare che i terremoti di elevata intensità possano avere anche dei risvolti drammatici in termini di perdita di vite umane. Per evitare che vi siano danni strutturali durante l evento sismico sarebbe necessario che, all aumentare dell intensità dell evento sismico, aumentasse proporzionalmente anche la resistenza della componente strutturale dell edificio. Aumentare a priori la rigidezza del sistema edificio è una strada poco percorribile sia 6

17 1 Isolamento sismico per motivazioni di tipo economiche sia perché si rischierebbe di sovra dimensionare in maniera troppo marcata gli elementi strutturali. Bisogna infatti tenere sempre in considerazione che l edificio gode di ulteriori risorse di resistenza determinate dalla duttilità che entra in gioco una volta che l elemento portante supera il campo elastico entrando in quello plastico. Inoltre gli eventi sismici violenti sono abbastanza rari e pertanto, progettare una struttura infinitamente resistente, per fronteggiare un evento che è possibile non si verifichi mai è assolutamente fuori da ogni logica ingegneristica. Il primo approccio dell ingegneria sismica è proprio stato quello di aumentare la resistenza delle strutture accettando l aumento dei costi ad esso connesso. Un secondo approccio è stato quello di aumentare la duttilità globale del sistema attraverso una progettazione volta ad ottenere elevate capacità duttili locali mediante appositi dettagli costruttivi studiati per resistere e dissipare l energia in ingresso. Questa teoria è detta capacity design, o gerarchia delle resistenze. La moderna ingegneria sismica persegue gli obiettivi di riduzione dei danni in seguito ad un evento sismico e scongiurare il rischio di collasso strutturale nel caso di terremoti di forte intensità applicando criteri che, definendo in maniera accurata i parametri di rigidezza e duttilità riescono a conseguire un buon controllo del comportamento dinamico del sistema edificio in campo non lineare. La funzione principale degli isolatori sismici è quella di abbattere l azione sismica trasmessa agli elementi struttura, riducendo il valore di forza laterali agente sul telaio strutturale durante l evento sismico. E noto che la tecnica del controllo mediante dispositivi di isolamento interposti tra la sorgente del segnale perturbante e la struttura primaria attua una legge di controllo in catena aperta. Infatti l isolamento alla base può essere considerato come un filtro passa basso che ha la capacità di filtrare le componenti ad alta frequenza contenute nel segnale in ingresso, con la conseguenza che il comportamento del sistema isolato è governato da un unica componente modale, con frequenza prossima a quella del sistema isolato, considerato rigido rispetto al piano di isolamento. Praticamente ciò si traduce in una concentrazione degli spostamenti in corrispondenza del piano isolato, che deve essere assorbito dagli isolatori disposti alla base del sistema. 1.1 Principi di funzionamento L isolamento sismico delle costruzioni si basa su concezioni molto semplici. In sostanza si tratta di arginare l azione dei terremoti più violenti anziché confidando sulla resistenza degli elementi strutturali, utilizzando, piuttosto, opportuni accorgimenti che ne riducano gli effetti. Il principio alla base dell isolamento sismico consiste 7

18 1 Isolamento sismico nell evitare il terremoto, piuttosto che resistervi, e viene applicato disaccoppiando la risposta dinamica dell edificio dal moto del suolo. Il disaccoppiamento si ottiene mediante l interposizione di dispositivi dotati di bassa rigidezza orizzontale e alte capacità dissipative, tra la struttura e le fondazioni, in grado di fornire alla struttura una frequenza fondamentale molto più bassa sia della frequenza della struttura non isolata che delle frequenze principali del suolo, e di incrementare lo smorzamento complessivo della struttura. In altre parole, la benefica riduzione dell energia in ingresso trasmessa alla struttura in elevazione viene ottenuta attraverso il filtraggio delle componenti a più elevata frequenza del moto sismico, generalmente caratterizzate da un maggiore contenuto energetico, e l aumento dello smorzamento complessivo si persegue concentrando la dissipazione di energia all esterno della struttura stessa, in corrispondenza dei dispositivi di isolamento. I sistemi concepiti per isolare la struttura in elevazione dal complesso fondazioneterreno sono molteplici, ma sicuramente il sistema che ha riscosso un maggiore successo, sia per la semplicità di impiego e realizzazione che per l affidabilità, è quello che prevede l utilizzo di appoggi elastomerici con lamiere d acciaio interne; la gomma conferisce al sistema un elevata flessibilità in direzione orizzontale, molto maggiore di quella della struttura in elevazione, mentre l interposizione delle lamine d acciaio tra gli strati di gomma consente di ottenere una elevata rigidezza verticale, impedendo al materiale di espandersi lateralmente sotto i carichi verticali di esercizio. L edificio risulta così isolato in direzione orizzontale, mentre la componente verticale del moto viene trasmessa inalterata alla struttura. Il comportamento dinamico degli edifici isolati, è particolarmente vantaggioso per i seguenti motivi: il primo modo è configurato quasi come quello di un corpo rigido che si muove lentamente sopra un letto di dispositivi deformabili, con accelerazioni molto basse, con scorrimenti di piano modesti e con una partecipazione delle masse superiore al 90 %. Questo modo identifica in maniera quasi totale la risposta della struttura in fase di sisma; la partecipazione dei modi superiori, che maggiormente solleciterebbero la sovrastruttura, è molto ridotta e poco efficace per quanto riguarda sia le deformazioni interne che le accelerazioni trasmesse. Queste proprietà dinamiche rendono gli edifici isolati alla base molto efficienti, ed inoltre rendono più affidabili le analisi numeriche sulle quali si basa il progetto delle strutture. Infatti, poiché il primo modo riproduce quasi totalmente la risposta della costruzione, i modelli numerici usati in fase di progetto, basati sull analisi modale con spettri di risposta, sono più aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso di strutture convenzionali, in cui andrebbero combinati i modi più significativi secondo 8

19 1 Isolamento sismico criteri aleatori (SRSS, CQC). La presenza di un primo modo quasi rigido rende anche più significativa la valutazione degli effetti dissipativi da attribuire ai vari modi, risultando questi attribuibili, quasi per intero, alla capacità dissipativa dei dispositivi posti alla base del fabbricato. 1.2 Cenni di dinamica delle strutture Prevedere e quantificare la risposta di una struttura sollecitata da azione sismica in termini di spostamenti, deformazioni e sollecitazioni richiede l ausilio di modelli matematici e tecniche di analisi che sono proprie della dinamica delle strutture ([13]). L assunto che sta alla base della teoria delle strutture è il Principio di D Alembert: f i + f C + f K = f e (1.1) dove f i sono le forze d inerzia; f C sono le forze dissipative; f K sono le forze elastiche; f e sono le forze esterne. Si consideri, per semplicità, un oscillatore semplice, ovvero una struttura dotata di un solo grado di libertà x(t), rappresentato dallo spostamento del traverso in figura 1.1. Si ipotizzi che i ritti, di rigidezza alla traslazione orizzontale k, reagiscano Figura 1.1. Oscillatore semplice alla deformazione impressa con una forza elastica proporzionale allo spostamento relativo f K (t) = Kx(t), mentre lo smorzatore viscoso caratterizzato dal coefficiente di smorzamento viscoso c esercita una forza proporzionale alla velocità del traverso f C = cx(t). La forza d inerzia è invece proporzionale all accelerazione, per questo 9

20 1 Isolamento sismico si scrive f i = m x(t). Nel caso in cui non sono presenti forze esterne il Principio di D Alembert assume la seguente forma: f i + f C + f K = 0 (1.2) cioè l oscillatore semplice è sottoposto ad oscillazioni libere smorzate. Qualora poi si trascuri il contributo delle forze dissipative l equazione di equilibrio dinamico si semplifica ulteriormente sino ad assumere la forma: f i + f K = 0 (1.3) e questo è il caso delle oscillazioni libere non smorzate. Da un punto di vista analitico si può osservare che si tratta di una equazione differenziale del secondo ordine, omogenea, lineare e a coefficienti costanti. Dividendo tutto per la massa si ottiene: x(t) + k x(t) = 0 (1.4) m e, ponendo k m = ω2 n, con ω n pulsazione naturale del sistema, si ottiene l equazione differenziale di un moto armonico: x(t) + ω 2 nx(t) = 0. (1.5) Il moto dell oscillatore semplice è quindi di tipo armonico e la sua soluzione si può porre nella forma: x(t) = A sin(ω n t) + B cos(ω n t) (1.6) dove A e B sono costanti da determinare in funzione delle condizioni al contorno. Nel caso di strutture ad n gradi di libertà, per calcolare i modi propri di vibrare, si utilizzano gli strumenti dell analisi modale, risolvendo le equazioni delle vibrazioni libere non smorzate: n m i ẍ i + k ij x j (t) = 0 i = 1,2...n. (1.7) j=1 L equazione 1.7 rappresenta l i-esima equazione di un sistema di n equazioni differenziali che in forma matriciale assume la forma: [M]ẍ + [K]x = 0. (1.8) dove [M] è la matrice delle masse e [K] è la matrice delle rigidezze, entrambe quadrate di ordine n, simmetriche e definite positive. Ipotizzando che la soluzione dell equazione sia della forma: x(t) = u i f(t). (1.9) 10

21 1 Isolamento sismico si può dimostrare che la funzione del tempo f(t) è una funzione armonica con pulsazione ω. Derivando l equazione 1.8 e sostituendo nella 1.7 si ottiene l espressione: { [M] ω 2 [K] } U = 0 (1.10) Determinate le pulsazioni naturali è possibile calcolare i periodi propri della struttura: T i = 2π ω i i = 1,2...n (1.11) 1.3 Costruzione degli spettri di riposta Quando l oscillatore semplice viene sottoposto ad un input sismico, la forzante non è applicata direttamente alla struttura, ma è ottenuta da spostamenti impressi ai vincoli del sistema. Considerando l oscillatore semplice in figura 1.2, si osserva uno spostamento del terreno s(t) ed uno spostamento relativo x(t) della massa m rispetto alla base. Lo spostamento assoluto del traverso è quindi X(t) = x(t) + s(t). La forzante è in questo caso costituita dall accelerogramma s(t) e imponendo l equilibrio dinamico si ha: f i + f C + f K = m( x(t) + s(t)) + cx(t) + kx(t). (1.12) Figura 1.2. Oscillatore semplice sottoposto ad accelerogramma Come si può notare lo smorzamento ed il richiamo elastico sono legati allo spostamento relativo x(t) mentre la forza inerziale è legata allo spostamento assoluto 11

22 1 Isolamento sismico X(t) = x(t) + s(t). Riscrivendo la 1.12 si ottiene: m x(t) + c x(t) + kx(t) = m s(t). (1.13) Applicare una accelerazione al piede della struttura equivale a dire che la struttura è sottoposta ad una forza f e = ms(t) applicata direttamente alla massa. La risposta strutturale in termini si spostamento è fornita dall integrale di Duhamel: x(t) = 1 ω n τ 0 s(t) m 1 ν 2 exp( ω nν(t ξ)) sin[ 1 ν 2 ω n (t ξ)] dξ. (1.14) Nelle strutture correnti il valore dell indice di smorzamento ν si aggira intorno a 0,05, pertanto il termine 1 ν 2 = 1 e può essere omesso; l integrale di Duhamel assume quindi la seguente forma: x(t) = 1 ω n τ 0 s(t) m exp( ω nν(t ξ)) sin[ω n (t ξ)] dξ. (1.15) La funzione integrale prende il nome di pseudovelocità e si indica con V(t): nota questa, è possibile calcolare la legge del moto come x(t) = 1 ω n V (t). (1.16) Noto lo spostamento, calcolato tramite la 1.14 e procedendo con le due successive operazioni di derivazione, si ricavano rispettivamente la velocità relativa e l accelerazione assoluta. Il calcolo dell intera storia delle forze e degli spostamenti durante il sisma può risultare lungo e difficoltoso quindi, nella maggior parte dei problemi pratici, è sufficiente determinare soltanto le quantità massime in termini di spostamento, velocità ed accelerazione. Per ottenere i valori massimi x max (t) occorre determinare il massimo V max (t). Quindi, per un assegnato accelerogramma s(t), per un dato valore del periodo T e per determinato indice di smorzamento ν si risale a V max (t) che viene detta velocità spettrale e viene indicata con S v : S v (ω, ν) = V max (t). (1.17) L accelerogramma s(t) può essere applicato a oscillatori semplici caratterizzati da differenti valori dei parametri ν e ω n, ottenendo valori diversi di S v : l inviluppo di questi punti viene a costituire lo Spettro di risposta elastico in termini di velocità, relativo all accelerogramma s(t). Queste curve non sono delle funzioni, ma vengono costruite per punti al variare del periodo, mantenendo costante l indice di smorzamento ν. Analogamente si definiscono lo spostamento spettrale S d (ω, ν), come il massimo valore raggiunto dalla funzione x(t) e l accelerazione spettrale S a (ω, ν), fornita dall espressione: S a (ω, ν) = ω n S v (ω, ν). (1.18) 12

23 1 Isolamento sismico Figura 1.3. Spettro di risposta elastico in termini di accelerazione Dal grafico riportato in figura 1.3 ([5]) si nota che per valori di T n prossimi allo zero la velocità e lo spostamento si annullano, mentre S a assume un valore diverso da zero ed indipendente dall indice di smorzamento ν. S a (T n = 0) corrisponde all accelerazione di picco del terreno, la cosiddetta PGA (Pick Ground Acceleration); infatti, sebbene la struttura non riceva nessuna variazione del moto nel sistema di riferimento locale a causa della notevole rigidezza, nella realtà essa è investita da un accelerazione assoluta che è pari a quella del terreno. Si nota anche come l accelerazione spettrale subisca un notevole aumento nell intervallo di periodo T n secondi, nel quale spesso ricade il periodo proprio delle ordinarie strutture, innescando possibili fenomeni di risonanza. Lo spettro di risposta elastico in termini di accelerazione a cui fare riferimento è definito dalla normativa italiana in maniera dettagliata, in funzione della zona sismica di appartenenza e della stratigrafia del suolo, nonché del parametro ν come su esposto. 1.4 Analisi con Spettro di Risposta Le strutture tipiche dell ingegneria civile non sono sempre schematizzabili come oscillatori semplici: occorre quindi fare ricorso a modelli più complessi, ovvero a sistemi a n gradi di libertà. I gradi di libertà di un sistema possono definirsi come il numero di coordinate indipendenti necessarie per descrivere il moto. In figura 1.4 è rappresentato il caso frequente di edificio multipiano, in cui n = 5, con solai assunti infinitamente rigidi nel proprio piano: è possibile schematizzare la struttura considerando le masse concentrate nei baricentri di piano e assumendo come gradi di libertà gli spostamenti e le rotazioni indipendenti dalle masse concentrate ([9]). 13

24 1 Isolamento sismico Figura 1.4. Edificio multipiano con solai rigidi: (a) modello piano; (b) modello a masse concentrate; (c) modi di vibrare normalizzati rispetto allo spostamento massimo Per calcolare i modi propri di vibrare, il cui numero è pari al numero di gradi di libertà della struttura, si utilizzano gli strumenti dell analisi modale, risolvendo le equazioni delle vibrazioni libere non smorzate: m i ẍ i + n k ij x j (t) = 0 i = 1,2...n. (1.19) j=1 L equazione 1.19 rappresenta l i-esima equazione di un sistema di n equazioni differenziali che in forma matriciale assume la forma: [M]ẍ + [K]x = 0. (1.20) dove [M] è la matrice delle masse e [K] è la matrice delle rigidezze, entrambe quadrate di ordine n, simmetriche e definite positive. Ipotizzando che la soluzione dell equazione sia della forma: x(t) = u i f(t). (1.21) si può dimostrare che la funzione del tempo f(t) è una funzione armonica con pulsazione ω. Derivando l equazione 1.21 e sostituendo nella 1.20 si ottiene l espressione: { [M] ω 2 [K] } U = 0 (1.22) che ammette valori di U i non nulli se e solo se il determinante della matrice } ω 2 [K] si annulla. Pertanto risolvendo l equazione: { [M] { } [M] ω 2 [K] = 0. (1.23) 14

25 1 Isolamento sismico di grado n in ω 2 si ottengono gli autovalori ω i, ovvero le pulsazioni proprie del sistema, a cui si associano i periodi propri T i : T i = 2π ω i. (1.24) Ad ogni ω i è associato un vettore U i (autovettore) che è soluzione dell equazione 1.22 e che definisce la deformata modale associata all i-esimo modo proprio di vibrare della struttura. Tale vettore viene convenzionalmente normalizzato rispetto al valore massimo, da cui: U ji φ ji = max(u ji ). (1.25) Allora φ ji è lo spostamento normalizzato al valore massimo del grado di libertà j-esimo nell i-esimo modo di vibrare. Si definisce pulsazione fondamentale la minima tra le n pulsazioni proprie, mentre si definisce modo fondamentale di vibrare quello corrispondente alla pulsazione fondamentale. La Response Spectrum Analysis consiste nello scomporre una struttura ad n gradi di libertà in n modi di vibrare, ognuno dei quali partecipa al moto della struttura, per effetto dell accelerogramma s(t), attraverso il proprio coefficiente di partecipazione g i, definito come: φ ji = n j=1 m jφ ji n j=1 m. (1.26) jφ 2 ji Lo studio delle oscillazioni, in questo caso, si riconduce alla sovrapposizione di n oscillatori semplici ciascuno soggetto alla frazione g i dell eccitazione al piede s(t). Pertanto per ogni oscillatore verrà calcolata l accelerazione spettrale corrispondente mediante l utilizzo dello spettro di risposta, quindi gli n valori trovati verranno combinati mediante combinazione CQC (Complete Quadratic Combination) ([9]). 1.5 Base teorica dell isolamento sismico L isolamento sismico consiste essenzialmente nel disaccoppiare il moto del terreno da quello della struttura, introducendo una sconnessione lungo l altezza della struttura stessa (generalmente alla base, nel caso degli edifici, fra la pila e l impalcato, nei ponti), che risulta quindi suddivisa in due parti: la sottostruttura, rigidamente connessa al terreno, e la sovrastruttura ([25]). La sconnessione si realizza con l inserimento di particolari dispositivi, chiamati isolatori sismici, caratterizzati da un elevata rigidezza verticale (per la trasmissione dei carichi verticali al terreno) ed una bassa rigidezza orizzontale (per permettere alla sovrastruttura di muoversi rispetto alla fondazione). La sottostruttura, generalmente molto rigida, subisce all incirca la stessa accelerazione del terreno; la sovrastruttura, 15

26 1 Isolamento sismico invece, fruisce dei benefici derivanti dall aumento di deformabilità, conseguente all introduzione degli isolatori, che porta il periodo proprio del sistema strutturale (di solito dell ordine di 0,2 0,8 secondi negli edifici più comuni a base fissa ) a valori più elevati (2 3 secondi) e quindi in una zona dello spettro a bassa accelerazione. Ne consegue una riduzione delle accelerazioni prodotte dal sisma sulla struttura con isolamento sismico rispetto alla struttura a base fissa, al punto che la stessa può essere agevolmente progettata per sostenere terremoti violenti senza subire danni, come si può osservare in figura 1.5. In pratica si punta su un abbattimento delle azioni sismiche trasmesse dal terreno alla struttura. Figura 1.5. Deformazioni di edificio a base fissa e su isolatori Con riferimento agli spettri di risposta in termini di spostamenti, l aumento di periodo si traduce anche in un incremento di spostamenti; una crescita eccessiva di questi ultimi può rappresentare un limite nella scelta di un periodo troppo elevato. In una struttura isolata, tuttavia, tali spostamenti si concentrano essenzialmente negli isolatori, dove viene assorbita e dissipata gran parte dell energia immessa dal terremoto nel sistema strutturale. Ne risulta che le fondazioni delle strutture isolate sono più complesse rispetto agli edifici non isolati perché si rende necessario permettere notevoli spostamenti relativi fra l edificio ed il terreno (nell ordine dei decimetri) e l adozione di speciali giunti flessibili per gli impianti. Il beneficio ottenuto nella riduzione delle accelerazioni trasmesse alla struttura isolata si paga con la necessità di considerare significativi spostamenti nel progetto sia dei dispositivi di isolamento che dei collegamenti. Per evitare eccessivi spostamenti del sistema d isolamento, che risulterebbero condizionanti nella progettazione degli impianti a terra o dei giunti di separazione con strutture adiacenti, il sistema di isolamento nel suo insieme può essere dotato di un elevata capacità dissipativa, corrispondente a rapporti di smorzamento dell ordine del %. Per illustrare i concetti fondamentali dell isolamento sismico si fa riferimento ad un sistema elastico lineare ([25]) a masse concentrate, come quello illustrato in figura 16

27 1 Isolamento sismico 1.6, che rappresenta in modo semplificato il sistema strutturale, nel quale le masse, rigidezze e dissipazione di energia della sovrastruttura sono distribuite lungo l altezza dell edificio. La massa della sovrastruttura è indicata con m mentre m b indica la Figura 1.6. Parametri di un modello isolato a due gradi di libertà massa del piano di base al di sopra degli isolatori. La rigidezza e lo smorzamento della sovrastruttura e del sistema di isolamento, pensato a comportamento elastico, sono indicati con K s e c s e con K b e c b rispettivamente. Il modello è caratterizzato da due gradi di libertà dinamici, corrispondenti agli spostamenti orizzontali assoluti delle due masse, indicati con u s e u b, mentre u g rappresenta lo spostamento del terreno. Per avere una interpretazione più semplice del comportamento del sistema occorre fare riferimento agli spostamenti relativi del sistema d isolamento e quello d interpiano della sovrastruttura: v b = u b u g v s = u s u b. (1.27) Le equazioni del moto del sistema a due gradi di libertà assumono la seguente forma: (m + m b ) v b + m v s + c b v b + k b v b = (m + m b )ü g m v b + m v s + cv s + k s v s = mü g. Definiamo il rapporto di massa e di pulsazione: m γ = m + m b k b m = (m + m b )k s (1.28) ( Ts T b ) 2. (1.29) ɛ = ω2 b = ωs 2 Inoltre descriviamo gli indici di smorzamento ξ b e ξ s tramite le seguenti equazioni: 2ω b ξ b = c b (m + m b ) 2ω s ξ s = c s m. (1.30) 17

28 1 Isolamento sismico In queste definizioni sono stati utilizzati i termini ω b, T b, ξ b e ω s, T s, ξ s che rappresentano la pulsazione, il periodo e il rapporto di smorzamento rispettivamente di due oscillatori elementari, l uno costituito dall intera massa del sistema vincolata dal sistema di isolamento, l altro dalla sola sovrastruttura assunta fissa alla base. Si possono quindi riscrivere le equazioni del moto nella seguente forma: v b + γ v s + 2ω b ξ b v b + ωb 2 v b = ü g v b + v s + 2ω s ξ s v s + ωsv 2 s = ü g. (1.31) Chiamati con φ i,t =(φ i b, φi s) per i=1,2 i modi di vibrazione della struttura, l equazione caratteristica delle frequenze diviene: (1 γ)ω 4 (ωs 2 + ωb 2 )ω 2 + ωb 2 ωs 2 = 0 (1.32) le cui soluzioni sono ω 1,2 = 1 { [ ] 1/2 } ωs 2 + ωb 2 ± (ωs 2 ωb 2 ) 2 + 4γωb 2 ωs 2 2 γ (1.33) e, assumendo ɛ << 1, cioè sovrastruttura molto più rigida degli isolatori, è possibile semplificare notevolmente la trattazione. Si ottengono così le seguenti pulsazioni modali: ω 2 1 = ω 2 b (1 γɛ) ω 2 2 = ω2 s (1 γ) (1 + γɛ). (1.34) Le deformate modali assumono la seguente forma: { } φ 1,T = 1, ɛ φ 2,T = {1, 1 } γ [1 (1 γ)ɛ)]. (1.35) La sovra-struttura rimane quasi indeformata nella forma modale φ 1,T, mentre la forma modale φ 2,T determina deformazioni dello stesso ordine di grandezza per isolatore e sovra-struttura, ma in direzione opposta. La prima forma modale mette in luce l efficacia dell isolamento: se si introduce una rigidezza sufficientemente piccola le deformazioni sulla sovra-struttura sono molto ridotte. La seconda forma modale invece evidenzia che elevate accelerazioni che eccitano il secondo modo di una struttura isolata non sono accompagnate da un taglio alla base proporzionale alla somma delle masse, poiché queste si muovono in contrapposizione. Dopo aver definito i modi di vibrare della struttura, la risposta del sistema si esprime come combinazione 18

29 1 Isolamento sismico Figura 1.7. Forme modali del sistema isolato a due gradi di libertà lineare delle forme modali φ T 1 del tempo: e φ T 2, attraverso le variabili q 1 e q 2 che sono funzioni v b = q 1 φ 11 + q 2 φ 12 v s = q 1 φ 21 + q 2 φ 22. (1.36) I coefficienti di partecipazione assumono i seguenti valori: L 1 = 1 γɛ L 2 = γɛ. (1.37) L introduzione dei modi di vibrare consente di disaccoppiare le equazioni, che si riscrivono in questo modo: q 1 + 2ω 1 ξ 1 q 1 + ω1q 2 1 = L 1 ü g q 2 + 2ω 2 ξ 2 q 2 + ω2q 2 2 = L 2 ü g. (1.38) E possibile inoltre esprimere in forma compatta i rapporti di smorzamento associati ai due modi di vibrare della struttura: ( ξ 1 = ξ b 1 3 ) 2 γɛ ξ 2 = ξ s + γξ b ɛ ( 1 γ 1 + γɛ 2 ). (1.39) I valori di q 1 (t) e q 2 (t) possono essere stimati utilizzando l integrale di Duhamel, una volta noto l accelerogramma ü g del terreno: q i = L i ω i t 0 ü g (t τ) exp( ω i ξ i τ) sin(ω i τ) dτ (1.40) 19

30 1 Isolamento sismico Assumendo come spettro di spostamento associato all accelerogramma ü g lo spettro S D (ω, ξ), è possibile calcolare i massimi valori delle variabili q 1 (t) e q 2 (t) : q 1 max = L 1 S D (ω 1, ξ 1 ) q 2 max = L 2 S D (ω 2, ξ 2 ) (1.41) e, attraverso un opportuna legge di combinazione, si può trovare il valore massimo dello spostamento degli isolatori e del drift d interpiano: v b,max = (q 1,max φ 11 ) 2 + (q 2,max φ 12 ) 2 (1.42) v s,max = (q 1,max φ 21 ) 2 + (q 2,max φ 22 ) 2. Sostituendo i valori noti nelle equazioni 1.42 e trascurando i termini di ordine superiore in ɛ 2 si ottengono i seguenti valori massimi di scorrimento degli isolatori e del drift d interpiano: v b,max = (1 γɛ)s D (ω 1 ξ 1 ) v s,max = ɛ (S D (ω 1, ξ 1 )) 2 (S D (ω 2, ξ 2 )) 2. (1.43) Si ottiene allo stesso modo il coefficiente di taglio alla base C s, definito come il rapporto tra lo sforzo di taglio alla base competente all intera struttura e la massa totale: C s = k sv s m max = ωsv 2 s,max. (1.44) Avendo assunto che ɛ <<1 quindi, dalle equazioni 1.34,1.37 e 1.39 si ha che: ω 1 = ω b L 1 = 1 ξ 1 = ξb (1.45) e trascurando i termini S D (ω 2, ξ 2 ) dato che normalmente prevale S D (ω 1, ξ 1 ), si ottengono delle espressioni approssimate della risposta massima della struttura particolarmente compatte e utili per un dimensionamento di massima: v b,max = S D (ω b, ξ b ) v s,max = ɛs D (ω b, ξ b ) C S = ü g. (1.46) Questo significa che per valori modesti di ɛ e per un tipico spettro di risposta il sistema di isolamento può essere progettato per uno spostamento massimo pari a S D (ω b, ξ b ) e la sovrastruttura per un coefficiente di taglio pari a ü g. Lo spostamento 20

31 1 Isolamento sismico d interpiano, direttamente legato al danno prodotto dal terremoto negli elementi strutturali e non, risulta proporzionale al rapporto delle pulsazioni ɛ e allo spostamento massimo alla base S D (ω b, ξ b ). Lo spostamento d interpiano si riduce al diminuire del rapporto fra il periodo della struttura a base fissa e quella isolata ed all aumentare dello smorzamento del sistema di isolamento. Bisogna tenere presente che si sta eseguendo un analisi di grandezze legate al primo modo di vibrare della struttura, nella configurazione a base fissa ed isolata, con un approccio semplificato nel quale si assume la completa disaccoppiabilità dei modi. Elevati valori di smorzamento nel sistema d isolamento possono produrre un incremento delle accelerazioni legate ai modi superiori, con conseguenze negative soprattutto nei riguardi del contenuto non strutturale; questo è vero in particolare quando lo smorzamento è di natura isteretica, cioè legato al comportamento non lineare del sistema di isolamento, funzione dello spostamento. In questo caso ogni passaggio del sistema d isolamento per la sua fase elastica determina una ridistribuzione dell energia tra i modi di vibrare della struttura, con un aumento del contributo dei modi superiori al primo. 21

32 Capitolo 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata Gli isolatori in materiale elastomerico e acciaio vengono utilizzati per ridurre le forze di inerzia che si sviluppano in una struttura a conseguenza di un terremoto. Questo effetto può essere ottenuto allungando il periodo di vibrazione delle oscillazioni (diminuendo cosi le accelerazioni subite dalla struttura) e aggiungendo smorzamento tramite l utilizzo di gomme con alta capacità dissipativa o tramite l introduzione di un nucleo in piombo. Gli isolatori in materiale elastomerico e acciaio sono costituiti da strati alterni di materiale elastomerico di spessore variabile tra 8 mm e 20 mm e di acciaio (spessore 2 3 mm). Le lastre di acciaio vengono vulcanizzate negli strati di gomma e svolgono una funzione di confinamento dell elastomero, riducendone la deformabilità per carichi ortogonali alla giacitura degli strati (carichi verticali) e lasciando invece inalterata la deformabilità per carichi paralleli alla giacitura degli strati (carichi orizzontali). Nonostante questo processo di vulcanizzazione riduca la deformabilità verticale, è impossibile evitare che l isolatore venga compresso: l azione dei carichi ortogonali alla giacitura degli strati è quindi quella di causare un accorciamento del dispositivo di circa 1 3 mm. Generalmente le lastre di acciaio sono più sottili rispetto agli strati di gomma, in modo da risultare completamente inglobate in questi ultimi ed essere protetti dalla corrosione. In realtà i primi isolatori erano di tipo non armato, privi quindi degli strati di acciaio; questo dava luogo ad elevate deformabilità verticali che causavano lo spiacevole effetto rocking, cioè un moto rotatorio con asse orizzontale. E importante sottolineare che la capacità portante verticale dell isolatore non è costante in ogni condizione di carico ma al contrario decresce all aumentare dello spostamento orizzontale subito. Questo vuol dire che nel momento in cui l isolatore viene deformato maggiormente in direzione orizzontale subirà anche una maggiore 22

33 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata deformazione in direzione verticale dovuta alla sua diminuzione di tale capacità portante. Al giorno d oggi sono presenti in commercio tre principali tipologie di isolatori in materiale elastomerico. Queste tipologie sono definite in relazione alle caratteristiche dissipative dell elastomero e dell eventuale presenza di nuclei dissipativi: 1. Isolatori in gomma a basso smorzamento o Low Damping Rubber Bearing (LDRB). In generale il tipo di gomma con la quale sono costruiti questi isolatori è neoprene o gomma naturale. Rispetto alla gomma naturale il neoprene gode di svariati pregi come ad esempio le maggiori capacità ignifughe, una impermeabilità ai gas, ed è inoltre meno incline all invecchiamento. Entrambi i tipi di gomma hanno proprietà molto stabili e non esibiscono il fenomeno di creep (la deformazione di un materiale sottoposto a sforzo costante che si verifica nei materiali mantenuti per lunghi periodi ad alta temperatura ) per carichi di lunga durata. Il comportamento esibito è sostanzialmente elastico al crescere della deformazione e presentano uno smorzamento dell ordine del 2-4% rispetto a quello critico, motivo per il quale si parla di isolatori a basso smorzamento. I vantaggi legati a questo tipo di isolatori sono visibili sia dal punto di vista della realizzazione (semplice produzione e basso costo) che dal punto di vista strutturale (proprietà meccanica indipendenti dall invecchiamento). Gli svantaggi sono legati a un basso valore di smorzamento delle oscillazioni subite e anche al fatto di essere soggetti a piccoli spostamenti anche sotto l effetto di semplici carichi orizzontali di esercizio come il vento. Per questo motivo è opportuno che questo tipo di isolatori sia integrato con un sistema ausiliario di dissipazione. 2. Isolatori in gomma-piombo o Lead Rubber Bearing (LRB). Essi sono dei dispositivi d appoggio in elastomero armato, cioè costituiti da strati alterni di acciaio e di elastomero collegati mediante vulcanizzazione, con un nucleo centrale in piombo di forma cilindrica. Tali dispositivi sono caratterizzati da ridotta rigidezza orizzontale (per garantire il disaccoppiamento del moto orizzontale della struttura da quello del terreno), elevata rigidezza verticale (al fine di sostenere i carichi verticali senza apprezzabili cedimenti) ed opportune capacità dissipative al fine di una riduzione dello spostamento orizzontale delle struttura isolata. Questa tipologia di isolatori sarà quella studiata nel lavoro di tesi presentato. 3. Isolatori in gomma ad alto smorzamento o High Damping Rubber Bearing (HDRB). L elevato smorzamento che li caratterizza consente di eliminare la 23

34 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata necessità di dispositivi ausiliari; dal punto di vista tecnico l elevato smorzamento si ottiene aggiungendo speciali cariche additive alla gomma, come il nerofumo (carbon black) ed il silicio. L impiego di queste cariche additive consente di raggiungere uno smorzamento variabile tra il 10% ed il 20% rispetto a quello critico in corrispondenza di una deformazione del 100%. Questi isolatori esibiscono un elevata rigidezza iniziale, che consente di fronteggiare i carichi di esercizio (come il vento), una rigidezza minore e costante per un certo tratto ed un conseguente incremento della stessa per carichi elevati (in modo da evitare deformazioni eccessive). Negli ultimi due decenni i dispositivi di isolamento sono stati installati in numerosi edifici, ponti e infrastrutture in tutto il mondo, dimostrando cosi la crescente fiducia che viene riposta in essi. Il crescente utilizzo di questi dispositivi può essere giustificato da uno studio di questi materiali che ha portato (e sta tuttora portando) a una maggiore comprensione del comportamento degli isolatori, ma può anche essere giustificato da validazioni sperimentali e dall evidenza della loro efficienza in casi reali di strutture isolate colpite da evento sismico. Sono stati anche introdotti nelle normative, (per esempio nel testo unico delle costruzioni in italia), e in standard europei per la qualificazione di dispositivi antisismici. Negli ultimi 30 anni sono stati condotti studi sperimentali rivolti allo studio della risposta dell isolatore soggetto a deformazione orizzontale unidirezionale e carico assiale costante (Robinson 1982 ([40]); Fujita et al [19]; Mazda et al ([32]); Aiken et al ([3]); Otori 1994; Yasaka 1995; Mori et al ([36])) e sono stati proposti molti modelli per rappresentare i risultati sperimentali ([38]). Ultimamente l attenzione si è focalizzata sulla comprensione del comportamento degli isolatori in condizioni di lavoro più realistiche ed estreme. Si è cercato in particolare di riprodurre la risposta dell isolatore soggetto all azione combinata sia di uno spostamento di taglio che di azioni di compressione, focalizzandosi nel dettaglio su quale sia l influenza del carico assiale sulla rigidezza orizzontale e sulle proprietà di smorzamento. In questo lavoro sono stati utilizzati come dati sperimentali quelli riportati nell articolo di Yamamoto et al.( [47] ) e sono stati il target da riprodurre tramite il modello di Abe et al.. Nell articolo sono disponibili i grafici relativi alle risposte di un isolatore elastomerico con nucleo in piombo sottoposto a stessa storia di spostamento orizzontale e diversi carichi verticali, costanti per ogni prova sperimentale. 2.1 Funzione degli isolatori elastomerici L isolamento sismico è una tecnica del controllo strutturale di tipo passivo mediante la quale si cerca di ottenere un adeguato livello di protezione delle strutture dagli 24

35 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata effetti negativi conseguenti al verificarsi di un evento sismico. Per raggiungere questo obiettivo è necessario ridurre in modo significativo gli stati di sollecitazione sulla costruzione dovuti fondamentalmente alle forze d inerzia che il sisma trasmette, attraverso il terreno e quindi le fondazioni, alla sovrastruttura. L isolatore sismico si pone come intermediario tra suolo e struttura: anziché contrastare gli effetti del terremoto con opere di adeguamento sulla costruzione esistente, filtra all origine l azione sismica limitandone l intensità. Crea quindi una sconnessione orizzontale tra la struttura in elevazione e il suolo di fondazione, limitando così la trasmissione delle forze d inerzia alla sovrastruttura. La riduzione della risposta sismica orizzontale si può ottenere mediante una delle seguenti soluzioni: incrementando il periodo fondamentale (diminuendo cioè la frequenza) della costruzione per portarlo nel campo delle minori accelerazioni di risposta; limitando la massima forza orizzontale, e quindi la massima accelerazione, trasmessa alla sovrastruttura incrementando la dissipazione dell energia sismica. Figura 2.1. Effetto dell inserimento dell isolatore Nella figura 2.1 si nota come le struttura a base fissa, ovvero senza l isolatore alla base, ha un periodo principale T bf abbastanza basso, che corrisponde a un valore elevato di accelerazione spettrale. Se alla base si interpone, tra fondazione e struttura, un elemento molto deformabile in senso orizzontale, il periodo cresce notevolmente e conseguentemente l accelerazione si riduce a valori molto più bassi. L efficacia del sistema di isolamento è tanto maggiore quanto più alto è il rapporto tra il periodo della struttura isolata e il periodo della struttura a base fissa. Maggiore è l incremento di periodo (generalmente T is > 2,0 s) maggiore è la riduzione delle accelerazioni sulla sovrastruttura (spettro in accelerazioni) e l incremento degli spostamenti (spettro in spostamenti). L inserimento di questi dispositivi a bassa rigidezza orizzontale permette quindi di 25

36 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata disaccoppiare la risposta dinamica della struttura da quella del suolo incrementando il periodo fondamentale della costruzione per portarlo nel campo delle minori accelerazioni e limitando la forza orizzontale trasmessa alla struttura stessa. Prima di passare in rassegna le varie tipologie di isolatori sismici oggi disponibili, vediamo quali sono le caratteristiche fondamentali che ogni sistema deve possedere: funzione di appoggio, ovvero capacità di sostenere i carichi verticali (sia in condizione non sismica che in condizione sismica); deformabilità elevata in direzione orizzontale sotto azione sismica; capacità dissipativa; adeguata resistenza nei confronti dei carichi orizzontali non sismici (vento, traffico,... ); capacità di ricentraggio in seguito all azione di un carico orizzontale, in modo da avere spostamenti nulli al termine del ciclo. Vi sono poi altre qualità che possono influire progettualmente sulla scelta del dispositivo, come ad esempio durabilità, facilità di installazione, costi contenuti, ingombro limitato. Tali caratteristiche possono influire nella scelta finale del dispositivo, ma non interferiscono con le sue prestazioni meccaniche in condizioni di installazione e manutenzione corretta. Gli obiettivi prestazionali di un sistema di isolamento si possono riassumere sinteticamente in tre punti: minimizzare il taglio alla base della struttura; minimizzare lo spostamento alla base della struttura; minimizzare le accelerazioni. 2.2 Caratteristiche meccaniche della gomma La gomma è un materiale elastomerico, classe di materiali organici che, in virtù di una determinata struttura molecolare, sono caratterizzati da un comportamento meccanico notevolmente deformabile e reversibile (elastico). Essa possiede notevoli proprietà smorzanti, grande capacità di assorbimento di energia, sostiene grandi deformazioni elastiche risultando molto flessibile e resistente agli urti; è contraddistinta da tipiche proprietà meccaniche che possono essere riassunte come segue: grandi deformazioni elastiche; 26

37 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata comportamento non lineare evidenziato dalle curve carico spostamento (iperelasticità); capacità smorzanti; quasi o totale incompressibilità. Le curve carico-deformazione forniscono sia il modulo di ( Young all origine E 0 (circa τ 1 MN m 2 ) sia il modulo di elasticità tangenziale G, con τ =sforzo di taglio, γ γ=deformazione di taglio, definita come il rapporto tra il valore di spostamento ) di taglio applicato all isolatore e lo spessore totale degli strati di gomma ; prove condotte su mescole di differente composizione hanno mostrato che G=(1/3 1/4)E 0. Nella figura 2.2 ([12]) si può vedere che il modulo di Young all origine, cioè la pen- Figura 2.2. Grafico forza-spostamento di un isolatore HDRB denza del grafico forza-spostamento vicino all origine e per deformazioni di taglio < 10 %, è maggiore rispetto al modulo di elasticità tangenziale G, che rappresenta la pendenza del grafico forza-spostamento per deformazioni comprese tra il 10 e 50 %. Il valore di E 0 viene ricavato sul tratto iniziale delle curve, che per deformazioni dell ordine di alcune unità percentuali è approssimativamente lineare; in maniera analoga può essere ottenuto il modulo G in prove di taglio. La relazione che lega il modulo di Young e quello di elasticità tangenziale è la seguente: G = E 2(1 + ν) (2.1) 27

38 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata dove ν è il coefficiente di Poisson. Il modulo di elasticità cubica della gomma K (modulo di compressibilità o modulo di Bulk) vale circa MN m 2, molto maggiore del modulo di Young. L elevato valore del modulo di Bulk, esprimibile tramite la seguente formula, K = E 3(1 2ν), (2.2) indica che la deformabilità volumetrica della gomma è molto piccola anche sotto carichi elevati, ammettendo sempre che le variazioni di forma siano adeguatamente consentite. Teoricamente con un modulo di Poisson pari a 0.5, E 0 dovrebbe essere pari a 3G; ciò è verificato per basse durezze in gomma naturale, ma per gomme più dure il valore di E 0 aumenta a circa 4G. A fronte di un modulo elastico all origine relativamente basso, la gomma mostra allungamenti percentuali a rottura estremamente elevati (fino a %), e ciò ne differenzia notevolmente il comportamento dagli altri materiali solidi. Si denota inoltre un aumento di rigidezza per grandi deformazioni (iperelasticità), causato dalla formazione di una struttura cristallina per effetto dello stiramento delle catene polimeriche che tendono a disporsi parallelamente alla direzione in cui avviene l estensione. Questo tipo di cristallizzazione differisce da quella dovuta al congelamento non solo per il diverso orientamento delle molecole ma anche per la notevole rapidità con cui essa avviene. La formazione di questa struttura cristallina, conseguente ad un azione di stretching, dà origine all alta resistenza a trazione, alla lunga durata sotto sollecitazioni di fatica ed alla resistenza alla lacerazione delle gomme. In ogni caso, i cristalli formatisi scompaiono nel momento in cui cessa la causa deformante. 2.3 Tipologie di Isolatori Elastomerici All inizio di questo capitolo abbiamo evidenziato come esistono principalmente 3 tipologie di isolatori. Nelle prossime sezioni parleremo delle caratteristiche principali di queste 3 classi Isolatori in gomma o neoprene La prima tipologia di isolatori elastomerici di cui parliamo è quella degli isolatori in gomma. Questi isolatori possono essere ottenuti sia con gomma naturale che con neoprene. Entrambi i tipi di gomma hanno proprietà molto stabili e non esibiscono il fenomeno di creep per carichi di lunga durata, cioè la loro deformazione non aumenta nel tempo se sollecitati con forze costanti la cui azione è prolungata nel 28

39 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata tempo. Il comportamento esibito è sostanzialmente elastico al crescere della deformazione e gli isolatori appartenenti a questa classe presentano uno smorzamento inferiore al 6 %, motivo per il quale si parla di isolatori a basso smorzamento. Proprio il ridotto valore di smorzamento rappresenta il più grande svantaggio connesso a questo tipo di dispositivi. Durante il loro funzionamento infatti questi isolatori subiscono non piccoli spostamenti già quando sono semplicemente sollecitati da carichi orizzontali di esercizio. Per ridurre queste deformazioni a basso carico è spesso opportuno integrare questi isolatori con l aggiunta di alcuni sistemi ausiliari. Sperimentalmente Figura 2.3. Modello realizzativo e grafico forza-spostamento di un isolatore in gomma naturale si è evidenziato che, come mostrato in figura 2.3, tali isolatori presentano un ciclo d isteresi molto affusolato (racchiude un area esigua), indice cioè di un comportamento elastico lineare al crescere della deformazione. La loro rigidezza si mantiene pressoché costante sino al raggiungimento del valore di progetto della deformazione di taglio e quindi la relazione forza-deformazione può essere approssimata tramite un legame lineare Isolatori elastomerici con nucleo in piombo La seconda tipologia di isolatori di cui abbiamo già introdotto l esistenza è quella degli isolatori elastomerici con nucleo in piombo. Prima di descriverne le caratteristiche principali conviene capire quali sono i motivi che stanno alla base della scelta proprio del piombo come materiale da inserire all interno del sistema di isolamento. Per prima cosa, il piombo, in regime di taglio, snerva a un valore di sforzo relativamente basso dell ordine dei 10 MPa e si comporta in modo simile ad un solido elasto-plastico, cioè, superato il valore di forza corrispondente allo snervamento, si 29

40 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata ha plasticizzazione del solido con conseguenti deformazioni plastiche residue una volta esaurito il ramo di scarico. La plasticizzazione del piombo consente di ottenere un elevata dissipazione di energia e un coefficiente di smorzamento viscoso equivalente fino a circa il 30 % rispetto a quello critico. Il secondo motivo per cui viene utilizzato il piombo è il fatto che, essendo ampiamente usato nelle batterie, il piombo è già disponibile ad alta purezza (99,9%) e ciò è importante per prevedere correttamente le sue caratteristiche meccaniche. Gli isolatori elastomerici con il nucleo in piombo sono costituiti da una alternanza di strati di gomma ed acciaio con l inserimento di un nucleo centrale in piombo. Gli strati di gomma si realizzano con mescole aventi alte capacità dissipative che, a seconda delle esigenze, possono essere morbide (G=0.40 MPa), normali (G=0.80 MPa) o dure. Alcune delle caratteristiche di questi tipi di gomme sono presentate in tabella 2.1. PROPRIETA Durezza Modulo di elasticità tangenziale G a γ = 1 Coefficiente di smorzamento viscoso equivalente ξ a γ = 1 MESCOLA SOFT S NORMAL N HARD H MPa 0.8 MPa 1.4 MPa 10/20% 10/20% 20/30% Tabella 2.1. Confronto tra i vari tipi di gomma Dal punto di vista della realizzazione industriale il foro centrale necessario per inserire il nucleo di piombo può essere creato attraverso l isolatore dopo aver saldato la gomma agli strati di acciaio, oppure può essere realizzato tra gli strati di gomma e acciaio prima che essi siano uniti insieme. Solitamente sono a pianta circolare, ma possono essere realizzati anche con sezione quadrata, eventualmente con più di un nucleo in piombo. Si utilizzano su edifici, ponti o altre strutture, in fase di costruzione o di adeguamento sismico. Garantiscono da una parte la sicurezza della struttura e di ciò che contiene (persone, attrezzature, oggetti) e dall altra anche la funzionalità della struttura immediatamente dopo il sisma. Le caratteristiche principali degli isolatori con nucleo in piombo posso essere riassunte brevemente come: 1. ridotta rigidezza orizzontale per aumentare il periodo proprio della struttura; 2. elevata rigidezza verticale per sostenere i carichi verticali; 30

41 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata Figura 2.4. Isolatore elastomerico con nucleo in piombo 3. capacità dissipativa per contenere lo spostamento orizzontale della struttura; 4. smorzamento viscoso equivalente fino a circa il 30%. La dissipazione di energia fornita dal nucleo in piombo mediante la sua plasticizzazione consente di ottenere un coefficiente di smorzamento viscoso equivalente fino a circa il 30%, maggiore rispetto a quello ottenibile con gli isolatori elastomerici ad alto smorzamento. Il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente ξ è definito W d come 2πK e d dove W 2 d è l energia dissipata da un dispositivo d isolamento in un ciclo completo di carico, K e è la rigidezza equivalente di un dispositivo d isolamento in un singolo ciclo di carico ( K e = G dina ) mentre d rappresenta lo spostamento d massimo raggiunto dal dispositivo d isolamento in un ciclo di carico. Il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente ξ rappresenta la quota di smorzamento isteretico propria del materiale strutturale, in questo caso della gomma. E associato alla quota di deformazione anelastica che comunque si manifesta anche in presenza di una risposta strutturale sostanzialmente elastica, quindi anche per sismi di intensità medio-bassa. Grazie alla elevata capacità dissipativa, si riesce a ridurre lo spostamento orizzontale rispetto a quello di un sistema d isolamento con la stessa rigidezza equivalente ma con minore capacità dissipativa. Questa tipologia di isolatori è quella che è stata al centro dell analisi svolta in questo lavoro di tesi e che sarà presentata nei prossimi capitoli. 31

42 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata Isolatori elastomerici ad alto smorzamento Gli isolatori in gomma ad alto smorzamento sono costituiti da strati alternati di materiale elastomerico e piastre in acciaio rinforzate tramite vulcanizzazione. Consentono un livello elevato di smorzamento fino al 20% rispetto a quello critico poichè sono costituiti da un composto in gomma potenziata chimicamente che consente una maggiore capacità di isolamento e di smorzamento rispetto a quelli in gomma naturale. Un ulteriore vantaggio dovuto al fatto che le piastre in acciaio sono completamente incorporate nel materiale elastomerico è che queste sono sigillate e quindi protette dalla corrosione. Questi isolatori possono essere dotati di piastre di ancoraggio che Figura 2.5. Isolatore elastomerico ad alto smorzamento permettono una loro più facile sostituzione nel caso in cui questa fosse durante la manutenzione. Dal punto di vista strutturale, nonostante la presenza delle piastre di acciaio rinforzate, rimane importante la presenza della gomma. Quest ultima infatti consente l isolamento ed il ricentraggio del dispositivo dopo un evento sismico. La presenza di gomma con elevate capacità dissipative garantisce uno smorzamento fino al 20% che è decisamente maggiore rispetto al solo 5% ottenuto dagli isolatori elastomerici in gomma naturale. Per un isolatore in gomma ad elevato smorzamento le principali caratteristiche sono: 1. elevata capacità dissipativa che permette di limitare lo spostamento a valori accettabili; 2. rigidezza crescente al diminuire del livello dell eccitazione sismica che consente di impedire continue vibrazioni sotto piccole azioni non sismiche; 3. comportamento quasi elastico che assicura una buona capacità ricentrante (la struttura viene riportata nella posizione iniziale una volta terminato il terremoto); 32

43 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata 4. incrudimento della gomma a deformazioni maggiori di quelle associate al terremoto di progetto (incremento del modulo di taglio per γ > %). Questo effetto può risultare utile nel limitare gli spostamenti nel caso di eventi sismici anomali per intensità o per contenuto di frequenza. 2.4 Principali modelli matematici Prima di introdurre il modello di Abe et al. che verrà utilizzato per studiare la risposta dell isolatore con nucleo in piombo soggetto all azione combinata di taglio e compressione, viene proposta una breve discussione sui principali metodi numerici proposti fino ad ora in letteratura per descrivere il comportamento non lineare dei sistemi di isolamento. Affinché un modello sia in grado di descrivere la risposta di un isolatore elastomerico è necessario che sia capace di cogliere la non linearità della rigidezza e dello smorzamento per poter riprodurre correttamente i dati sperimentali. Per descrivere correttamente il comportamento degli isolatori bisogna quindi tenere conto di alcune peculiarità che li contraddistinguono: la riposta altamente non lineare; la degradazione della rigidezza e dello smorzamento ( effetto Mullin ); la variazione della rigidezza orizzontale dovuta alla temperatura e al carico assiale; la dipendenza dalla velocità di deformazione. Il comportamento non lineare della gomma che costituisce gli isolatori comporta un valore elevato di rigidezza per piccoli spostamenti, bassa rigidezza per spostamenti intermedi e un crescente modulo di taglio per valori di spostamento maggiori. La figura 2.6 ([47]) mostra i cambiamenti di rigidezza di taglio caratteristici della risposta dell isolatore elastomerico. Per valori di spostamento inferiori ai 50 mm si ha una rigidezza elevata che diminuisce con l aumentare dello spostamento di taglio imposto all isolatore. Dopo che lo spostamento ha raggiunto il valore di 150 mm si osserva un aumento della rigidezza del grafico forza-spostamento che determina cicli più ampi di dissipazione ed elevata capacità resistente per fenomeni sismici molto intensi. Questo comportamento è molto vantaggioso per la protezione degli edifici dai terremoti perché, in condizioni operative caratterizzate da vento o eventi sismici piccoli, la rigidezza dell isolatore è alta e le forze e deformazioni della struttura sovrastante rimangono nel range elastico. 33

44 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata Figura 2.6. Grafico forza-spostamento di un isolatore HDRB Per terremoti moderati l isolatore si deforma isolando la struttura e fornendo ulteriore dissipazione di energia. Nel caso di eventi sismici intensi, l incrudimento della gomma limita la deformazione dell isolatore, il che aiuta a ridurre i rischi di instabilità del sistema di isolamento. In letteratura sono stati proposti numerosi lavori dedicati allo studio delle gomme ad alto smorzamento, da tempo utilizzate in vari campi dell industria, orientati allo studio dei principali fenomeni che ne caratterizzano il comportamento. 34

45 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata Smorzamento viscoso equivalente (%) Smorzamento Modulo di Taglio 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0, Deformazione di taglio Modulo di taglio G (N\mmq) Figura 2.7. Variazione del modulo di taglio in funzione della deformazione di taglio Nella figura 2.7 viene riportato l andamento del coefficiente di smorzamento equivalente ξ e del modulo di taglio G. L andamento di entrambi i grafici è simile: per valori bassi di deformazione di taglio si ha un elevato valore sia dello smorzamento che del modulo di taglio, a conseguenza del valore elevato di rigidezza orizzontale dell isolatore. Per valori di deformazione intermedi, tra il 50 % e 150 %, si ha un diminuzione di entrambe le grandezze, causata da una diminuzione della rigidezza di taglio. Per valori di deformazioni elevati,superiori al %, si ha un aumento di rigidezza dell isolatore dovuto all incrudimento della gomma che costituisce l isolatore, con conseguente aumento dei valori di smorzamento e di modulo di taglio. I modelli presenti in letteratura considerano principalmente storie di carico e scarico quasi-statiche e sollecitazioni di tipo assiale costante per ogni prova sperimentale (Lion 1997 ([30] ), Haupt 2001 ([22]), Dorfmann-Ogden 2004 ([15])). Si cita, a titolo di esempio, il lavoro di Kikuci-Aiken del 1997 ([26]) basato su modelli elastoplastici indipendenti dalla velocità, modificati per tener conto della dipendenza dall ampiezza di deformazione, a cui viene aggiunto un incremento di rigidezza elastico solo nella risposta del primo ciclo. Il valore di forza resistente sviluppata dall isolatore può essere scritta come somma di un contributo F 1 e di un contributo 35

46 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata F 2 : F 1 = 1 2 (1 u)f m{x + sgn(x) x n } (2.3) F 2 = uf m {1 2e a(1+x) + b(1 + x)e c(1+x) } (2.4) dove F m è il valore del picco di forza resistente raggiunto raggiunto durante la storia di carico, X è il massimo spostamento di taglio imposto all isolatore elastomerico e x è il valore di spostamento di taglio normalizzato rispetto a X. Il parametro n dà una misura dell incrudimento tipico del comportamento della gomma, u è il rapporto tra la forza resistente calcolata per uno spostamento di taglio nullo e F m mentre a e b sono dei parametri trovati imponendo l uguaglianza tra l ampiezza dei cicli di isteresi trovata analiticamente e quella sperimentale. Nel lavoro di Tsai et al del 2003 ([45]) gli autori utilizzano una versione modificata del modello Bouc-Wen per tener conto della dipendenza dall ampiezza di deformazione, aggiungendo un contributo viscoso lineare. Il valore di forza resistente sviluppata dall isolatore può essere scritta come somma di un contributo F s indipendente dalla velocità di applicazione dello spostamento di taglio e una componente F v dipendente dalla velocità di applicazione dello spostamento: F (t) = F s (t) + F v (t) = F s (t t) + K(t) U(t) + CU(t) (2.5) dove U(t) è la storia di spostamento applicata all isolatore, K(t) è la rigidezza di taglio valutata in ogni istante t e C è il coefficiente di smorzamento viscoso che può essere determinato dai dati sperimentali. I parametri del modello sono stati determinati considerando diverse entità del carico assiale. In entrambi i modelli fino ad ora citati viene tuttavia trascurata la dipendenza del comportamento della gomma dalla storia di carico. Un tentativo di descrivere tale comportamento è stato sviluppato in Hwang et al ([24]). Il modello si basa sull identificazione di diversi parametri a frequenza e temperatura fissata. Il valore di forza resistente sviluppata dall isolatore può essere scritta come somma di un contributo F 1 indipendente dalla velocità di applicazione dello spostamento di taglio e una componente F 2 dipendente dalla velocità di applicazione dello spostamento: F (x(t), x(t)) = K(x(t), x(t))x(t) + C(x(t), x(t)) x(t) = (2.6) t 0 F (x(t), [a 1 + a 2 x(t) 2 + a 3 x(t) 4 + a 4e a 9 dx(t)) ]x(t) cosh(a 5 x(t)) (2.7) + a 6 + a 7 x(t) 2 t a x(t) 2 (1 + ea10 0 F (x(t), dx(t))) x(t) (2.8) 36

47 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata dove i parametri a 4, a 9 e il termine t F (x(t), x(t)) sono utilizzati per descrivere 0 la degradazione della rigidezza di taglio mentre il parametro a 10 e il termine t F (x(t), x(t)) servono per descrivere l aumento di ampiezza dei cicli di isteresi che 0 si osserva sperimentalmente con il crescere dello spostamento applicato. Il termine t F (x(t), x(t) rappresenta l energia dissipata dall isolatore durante la storia di 0 spostamento ciclico applicato all isolatore stesso. Nel lavoro di Yoshida et al. del 2004 ([48]) viene introdotto un parametro di danno per simulare il degrado della sola parte elastica mentre il contributo dissipativo risulta indipendente dalla velocità di applicazione del carico (elastoplastico). Abe et al. proposero un modello differenziale isteretico adatto per descrivere il comportamento di isolatori in gomma ad alto smorzamento, con nucleo in piombo e con gomma naturale, soggetti a carichi biassiali e triassiali. Inizialmente crearono un modello estendendo il modello elasto-plastico proposto da Ozdemir nel Successivamente fu invece sviluppato un modello bidirezionale dell isolatore elastomerico: questo approccio permette di descrivere correttamente la risposta dei sistemi di isolamento quando sono soggetti alle storie di carico sismiche. Recentemente è stato sviluppato un modello reologico, termodinamicamente compatibile, in cui il danneggiamento e le caratteristiche dissipative sono state descritte mediante variabili interne (Dall Asta Ragni 2006 ([10])). Il confronto con diverse prove sperimentali ha confermato la capacità di questo modello di descrivere i diversi fenomeni non lineari, legati all ampiezza e alla velocità di applicazione del carico, che si manifestano nella risposta del materiale. Un ulteriore tipologia di modelli è quella che tiene in considerazione anche l influenza del carico assiale sulla rigidezza orizzontale dell isolatore. Per incontrare la prima volta che un tale modello fu proposto bisogna aspettare Ryan et. al ([42]) che, nel 2005, evidenziarono nel loro studio le seguenti caratteristiche: lo sforzo di snervamento del piombo aumenta con l aumentare del carico assiale che agisce sull isolatore, in questo caso quello elastomerico con nucleo in piombo; la rigidezza orizzontale diminuisce all aumentare dell azione assiale imposta all isolatore; la rigidezza verticale diminuisce con l aumentare dello spostamento orizzontale imposto all isolatore. Lo studio dell influenza dell azione assiale sulla risposta dell isolatore in termini di forza-spostamento orizzontali è stato condotto anche da Yamamoto et al. nel 2009 ([47] e [38]). Questo modello possiede delle proprietà che variano con il carico verticale. In particolare l effetto dell azione assiale sulla risposta dell isolatore è 37

48 2 Dispositivi di Isolamento in Gomma Rinforzata catturato tramite l introduzione di molle assiali con comportamento non lineare e grazie alla non linearità geometrica della rigidezza trasversale. Kumar et al. (2014) hanno implementato una formulazione meccanica nell ambiente OpenSees creando un nuovo elemento, ottenuto combinando adeguatamente molle lineari e rotazionali, in accordo con i 3 gradi di libertà generali. I risultati numerici ottenuti implementando la nuova formulazione meccanica mostrano un buon accordo con i dati sperimentali nel riprodurre il comportamento degli isolatori elastomerici in tensione. Si riesce inoltre a cogliere correttamente la variazione di carico critico di ingobbamento nel caso di condizioni di carico estreme, il quale diminuisce linearmente con l aumentare dello spostamento laterale imposto all isolatore. Han e Warn (2015) hanno studiato l equilibrio instabile degli isolatori elastomerici tramite l introduzione di un modello meccanico costituito da una serie di molle verticali e una semplice relazione costitutiva bilineare per descrivere il comportamento rotazionale. Si riesce a riprodurre con accuratezza il comportamento critico degli isolatori quando soggetti simultaneamente a carico verticale di compressione e spostamento laterale, senza dover dipendere da parametri calibrati sulla base dei dati sperimentali. Vemuru et al. (2016) si sono occupati dello studio del comportamento accoppiato orizzontale e verticale degli isolatori sismici quando sono soggetti a carico dinamico estremo tramite l introduzione di un modello meccanico analitico. Essi hanno osservato che il comportamento accoppiato orizzontale e verticale degli isolatori elastomerici quando soggetti ad un carico dinamico differisce in modo evidente da quello osservato in caso di condizioni quasi statiche. Nonostante l efficacia dei modelli sopra citati nel riprodurre la risposta degli isolatori quando soggetti a carico sismico, il modello proposto da Abe et al. rimane il riferimento per la sua compattezza e rappresentazione soddisfacente della risposta sperimentale sia per carico ciclico che per carico sismico. In questo lavoro di tesi verrà utilizzato il modello di Abe et al. per riprodurre la risposta di un isolatore elastomerico con nucleo in piombo soggetto all azione combinata di spostamento di carico ciclico e carico assiale costante. 38

49 Capitolo 3 Modellazione Matematica del Comportamento dell Isolatore Elastomerico Per studiare la risposta dell isolatore elastomerico con nucleo in piombo si è scelto di utilizzare il modello unidimensionale proposto da Abe et al. per la sua capacità di riprodurre correttamente la risposta sperimentale degli isolatori quando sono soggetti a carichi ciclici o sismici. Il modello è in grado di riprodurre il comportamento unidirezionale orizzontale dell isolatore soggetto ad un azione assiale costante. La forza resistente esercitata dall isolatore viene calcolata tramite un modello formato da 3 componenti in parallelo (vedi figura 3.1). Questo vuol dire che il valore Figura 3.1. Tre componenti di forza del modello di Abe et al. della forza resistente dell isolatore è data dalla somma di tre componenti: 1. F 1 modellata tramite una molla elastica non lineare che tiene conto della risposta per valori di deformazione inferiori al % (rapporto tra il valore 39

50 3 Modellazione Matematica del Comportamento dell Isolatore Elastomerico di spostamento raggiunto e l altezza totale di tutti gli strati di gomma che formano l isolatore); 2. F 2 modellata tramite una molla elasto-plastica che descrive correttamente i cicli di isteresi; 3. F 3 modellata tramite una molla non lineare incrudente che tiene conto dell aumento di rigidezza che si osserva sperimentalmente per valori di deformazione maggiori del 150%. Per queste deformazioni la gomma modifica la sua struttura chimica e le sue fibre si dispongono tutte allineate nella direzione dello spostamento orizzontale. In questo lavoro si è studiata la risposta dell isolatore soggetto alla stessa storia di carico orizzontale ma con cinque diversi valori di carico assiale: 0 Mpa, 5 Mpa, 10 Mpa, 20 Mpa, 30 Mpa. Per ogni valore dell azione assiale è stata fatta inizialmente un analisi ingegneristica volta a identificare i valori dei 13 parametri del modello che permettessero di riprodurre l andamento sperimentale. Per raggiungere questo obiettivo è stata eseguita un analisi di sensitività di ogni parametro del modello: facendo variare un solo parametro alla volta all interno del modello e tenendo fissi gli altri si è potuto studiare la zone di influenza di ogni singolo parametro all interno del grafico forza-spostamento dell isolatore e gli effetti di un suo aumento o diminuzione. Successivamente, sempre per ogni valore dell azione assiale, sono stati identificati i 13 parametri del modello tramite due metodi di ottimizzazione: l algoritmo genetico e il metodo del pattern search. Verrà proposta una descrizione delle differenze tra i valori dei parametri ottenuti con i due metodi di ottimizzazione. Sarà interessante descrivere la legge di variazione di ogni singolo parametro al variare del valore dell azione assiale. 3.1 Componente Elastica non Lineare Questa componente di forza permette di descrivere la risposta dell isolatore per valori di deformazione di taglio γ minori al 50 % tramite l inserimento di una molla in parallelo a quella elasto-plastica e a quella incrudente. La relazione che lega forza e spostamento della molla non lineare è definita nel seguente modo: F 1 (U) = K t U + a(1 e b U )sgn(u) (3.1) dove F 1 rappresenta la forza resistente sviluppata dall isolatore quando viene sottoposto alla storia di spostamento orizzontale individuata da U mentre K t, a e b sono parametri con un preciso significato fisico. 40

51 3 Modellazione Matematica del Comportamento dell Isolatore Elastomerico Per valori piccoli dello spostamento orizzontale U il valore della forza F 1 risultante può essere approssimato come F 1 (U) a b U sgn(u) (3.2) I parametri a e b risultano essere quindi rilevanti quando si ha a che fare con piccoli spostamenti. Il parametro a ( KN ) è un coefficiente che descrive in particolare il valore della ( forza resistente per piccoli valori di deformazione applicati all isolatore 1 ) mentre b, entrando nell esponenziale dell equazione (3.1), controlla l evoluzione del comportamento non lineare sempre per piccoli valori della deformazione. mm Di K t parleremo meglio fra poco, ma al momento possiamo dire che non è un semplice coefficiente ma a sua volta è una funzione dello spostamento e della storia di carico. La prima componente di F 1 rappresenta il contributo lineare della risposta dell isolatore (K t in questo termine è un semplice coefficiente), mentre la seconda definisce il contributo non lineare della forza resistente che si verifica per valori di deformazione inferiori al 50%. I coefficienti appena descritti fanno parte di tutti quei parametri che il nostro lavoro si propone di studiare analizzandone il comportamento in funzione dei diversi carichi assiali a cui l isolatore viene sottoposto. Per fare ciò è necessario riferirsi a dati sperimentali: la figura 3.2 mostra l andamento tipico del grafico forza-spostamento di un isolatore HDRB e da questo si possono già dedurre alcuni comportamenti caratteristici della risposta di questo tipo di isolatori. In particolare in questo momento ci interessa sottolineare come la rigidezza del grafico forza-spostamento (pendenza locale delle curve) diminuisce col crescere del numero di cicli di carico, per poi subire un successivo aumento per valori elevati di spostamento che corrispondono in questo caso a valori di deformazione superiori al %. Per tenere conto della diminuzione della rigidezza con l aumentare del numero di cicli di carico bisogna definire correttamente il parametro K t. Quest ultimo deve dipendere dal massimo valore di spostamento U max imposto all isolatore fino al momento in cui viene calcolata la forza resistente corrispondente e viene quindi modellato come { } K t (U max ) = K 1 β + (1 β)e Umax α (3.3) dove K 1 rappresenta la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare ( KN ) ; mm β ( adimensionale ) è il parametro che descrive il rapporto tra la rigidezza completamente degradata alla fine del comportamento elastico non lineare rispetto a K 1 ; 41

52 3 Modellazione Matematica del Comportamento dell Isolatore Elastomerico Figura 3.2. Diagramma forza-spostamento di un isolatore HDRB α è il parametro che descrive la degradazione della rigidezza (mm); Vogliamo ribadire che U max è un valore che varia durante la storia di carico e viene aggiornato ogni volta che viene imposto uno spostamento maggiore del valore assunto da questa variabile fino a quel momento. 3.2 Componente Isteretica Per descrivere la dissipazione fornita dai sistemi di isolamento si introduce una componente di forza F 2 in parallelo a quella elastica non lineare. Questa componente di forza soddisfa la seguente equazione differenziale: dove F 2 (U) = Y t U t { U U ( F2 Y t ) n} sgn ( ) F Y t (3.4) Y t rappresenta il valore della forza corrispondente allo snervamento (il punto del grafico forza-spostamento in cui iniziano ad esserci deformazioni plastiche ) e aumenta con il crescere dei cicli di isteresi ( KN ); U t è lo spostamento in corrispondenza dello snervamento e varia con l aumentare dei cicli di isteresi applicati all isolatore ( mm ). Entrambi questi parametri sono legati al fenomeno dello snervamento e variano con il variare del numero di cicli consecutivi di isteresi subiti dall isolatore. In 42

53 3 Modellazione Matematica del Comportamento dell Isolatore Elastomerico particolare il parametro Y t aumenta al crescere del numero di cicli. Il valore dello spostamento allo snervamento varia man mano che aumenta il numero di cicli di isteresi; una legge di variazione che tiene conto del massimo spostamento imposto all isolatore è la seguente: ( U t = U U ) max (3.5) U s dove U 0 è lo spostamento corrispondente allo snervamento nel primo ciclo di isteresi ( mm ); U max è il massimo spostamento imposto all isolatore fino al momento in cui viene calcolata la forza resistente dell isolatore ( mm ); U s è il parametro che controlla la degradazione della rigidezza elastica della molla elasto-plastica ( mm ). Per descrivere matematicamente l aumento dell ampiezza dei cicli di isteresi viene modificato il parametro Y 0 che descrive il valore di forza dello snervamento iniziale: ( Y t = Y 0 {1 + U p)} (3.6) dove Y 0 è il valore di forza corrispondente allo snervamento iniziale ( KN ); p è un parametro che descrive la forma della curva di incrudimento. U H 3.3 Componente Incrudente L incrudimento della gomma rientra tra i requisiti rassicuranti per un dispositivo di isolamento, in quanto può risultare utile nel limitare gli spostamenti nel caso di eventi sismici anomali per intensità o per contenuto di frequenza. Tale requisito riveste un ruolo importante nel caso di eventi sismici non previsti in fase progettuale oppure quando in fase progettuale si decida di far lavorare gli isolatori ad una deformazione tangenziale massima, maggiore del 150%. In tali casi il fenomeno dell incrudimento può risultare utile nel limitare gli spostamenti della sovrastruttura. Nelle usuali condizioni di progetto tale fenomeno può essere trascurato, senza discostarsi dal reale comportamento, ma quando la deformazione tangenziale γ assume valori che vanno oltre il 150%, il modulo di taglio cresce di nuovo in modo non trascurabile, determinando un significativo incrudimento nel ciclo carico-deformazione dell isolatore. 43

54 3 Modellazione Matematica del Comportamento dell Isolatore Elastomerico In quest ultimo caso diviene necessaria una modellazione più realistica del sistema di isolamento tenendo adeguatamente conto dell incrudimento. Per tenere conto di questo fenomeno nel calcolo della risposta dell isolatore si aggiunge alle due componenti di forza appena descritte un terzo contributo della seguente forma: ( U r F 3 (U) = K 2 ) U (3.7) dove K 2 è un parametro che descrive il contributo della molla incrudente U H U è lo spostamento ciclico imposto all isolatore ( mm ); U H è lo spostamento in cui inizia la fase di incrudimento ( mm ); r è un parametro che descrive la forma della curva di incrudimento. ( KN ) ; mm L incrudimento è un fenomeno che inizia per valori di deformazione maggiori del 150% ed è caratterizzato da un aumento della rigidezza nel grafico forzaspostamento: facendo riferimento ancora al grafico rappresentato in figura 3.2 possiamo dire che si rende evidente nei tratti estremi in cui le pendenze locali dei grafici aumentano. Un ulteriore effetto dell incrudimento è quello di andare ad aumentare l ampiezza dei cicli di isteresi portando quindi ad un conseguente aumento della dissipazione delle forze agenti sull isolatore. Per descrivere matematicamente l aumento dell ampiezza dei cicli di isteresi viene modellizzato il parametro Y t presentato nel paragrafo precedente. Come già detto questo parametro è quello che descrive il valore di forza in corrispondenza dello snervamento e viene scritto come ( Y t (U) = Y 0 {1 + U p)} (3.8) dove Y 0 è il valore di forza corrispondente allo snervamento iniziale ( KN ); p è un parametro che descrive la forma della curva di incrudimento. U H 44

55 Capitolo 4 Isteresi Il fenomeno dell isteresi può essere osservato in numerosi campi scientifici: isteresi ferromagnetica, isteresi meccanica, del materiale, isteresi biologica o ottica... La relazione tra un campo magnetico applicato e la magnetizzazione di un materiale ferromagnetico rappresenta il tipico esempio di isteresi in campo magnetico; le leghe a memoria di forma, materiali metallici che possiedono la capacità di ripristinare la loro configurazione iniziale se deformati e poi sottoposti ad appropriato trattamento termico, esibiscono un fenomeno di isteresi durante il passaggio dalla fase austenitica a quella martensitica. Ewing ([4]) introdusse la parola isteresi nel vocabolario della scienza attribuendole la seguente definizione: Quando ci sono due quantità M e N tali che le variazioni cicliche di N causano variazioni cicliche di M, se le variazioni della quantità M sono in ritardo rispetto a quelle di N si può dire che c è isteresi nella relazione tra M e N. Applicata nel nostro ambito di studio questa definizione distingue di fatto il comportamento isteretico da quello reversibile dei materiali in cui si ha una perfetta sovrapposizione delle curve di carico e scarico. Al contrario nel fenomeno isteretico, all interno di un ciclo di sollecitazioni, la forza necessaria per ottenere uno spostamento in fase di carico è diversa da quella necessaria per ottenere lo stesso spostamento in una fase di scarico. Per poter discutere correttamente la possibile modellazione dell isteresi bisogna definire le proprietà di questo fenomeno. Un modo comune è quello di rappresentare l output del processo isteretico in ordinata e l input in ascissa, creando così un ciclo di isteresi. Nel caso degli isolatori si rappresenta la forza resistente F in ordinata e in ascissa lo spostamento applicato al sistema di isolamento, ottenendo il ciclo di carico. Come esempio consideriamo la figura 4.1. Lo stato del sistema è caratterizzato da due variabili scalari u e w, che dipendono continuamente dal tempo, denotato dalla lettera t. 45

56 4 Isteresi Figura 4.1. Ciclo di isteresi continuo Se si aumenta la variabile u da u 1 a u 2, la coppia (u, w) si muove lungo il cammino ADC (curva di carico); contrariamente, se u decresce da u 2 a u 1, la coppia (u, w) si muove lungo il cammino CBA (curva di scarico). Se u inverte il suo movimento, allora la coppia (u, w) si muove all interno della regione che chiameremo S limitata dal ciclo superiore ABCDA; questo comportamento deve essere descritto da un modello specifico. Nel caso in cui u 1 < u(t) < u 2 allora w(t) non può essere calcolato conoscendo esclusivamente il valore di u(t); in realtà il valore assunto dalla variabile scalare w(t) dipende dalla precedente evoluzione di u(t) (effetto di memoria) e dallo stato iniziale del sistema. La proprietà di memoria può essere riassunta tramite il concetto che ad ogni istante di tempo τ, il valore dell output w(τ) non dipende soltanto dal valore assunto dall input nell istante considerato, ma anche dalla precedente evoluzione di u(t). Dato che nel fenomeno di isteresi non si ha sovrapposizione tra curva di carico e curva di scarico, il punto iniziale (0,0) della curva forza-spostamento dell isolatore non è più recuperabile, ovvero non verrà più incontrato all interno del grafico. Nonostante l isteresi dipenda dalla storia di carico è invece un fenomeno generalmente indipendente dalla velocità di applicazione dell input u(t): questo significa che i rami che descrivono il grafico non lineare dell isteresi sono determinati soltanto dai valori passati di u(t), mentre il tasso di variazione dell input tra i suoi punti estremi non ha influenza sulla forma dei cicli di isteresi nel piano u w. Tuttavia quanto appena detto non è sempre vero. Bisogna notare infatti che, per variazioni della funzione di input u(t) molto rapide, gli effetti del tempo diventano importanti e non è più possibile utilizzare la definizione appena citata di indipendenza dal tasso di applicazione di u(t): questo accade per esempio nel caso di sistemi 46

57 4 Isteresi viscoelastici. 4.1 Formulazione Matematica dell Isteresi In questa sezione viene data una breve spiegazione delle definizioni più importanti usate nell analisi matematica del fenomeno dell isteresi. ( [16] ) Il concetto più importante dell analisi matematica dell isteresi è quello di operatore dell isteresi. Un operatore è un filtro che mappa una funzione input u = u(t) in una funzione di output w = w(t): nel caso in esame la u(t) è lo spostamento/deformazione applicata all isolatore elastomerico mentre w(t) è la forza/sforzo corrispondente. La relazione che lega l input e output definiti all interno dell operatore di isteresi può essere scritta formalmente nel seguente modo: w(t) = [ W (u, w 0 ) ] (t) t (0, t f ] (4.1) dove W è l operatore di isteresi, t è l istante di tempo corrente, t 0 = 0 e t f sono gli istanti di tempo iniziale e finale e w 0 la condizione iniziale per poter calcolare w(t). L equazione (4.1) mostra che w per ogni istante di tempo dipende da un operatore valutato allo stesso istante di tempo e che dipende da u valutato in tutti gli istanti di tempo precedenti e dal valore dell output iniziale. L output w(t) quindi dipende dalla storia passata di u(τ), τ (0, t) e non solo dal valore dell input allo stesso istante in cui viene valutata la funzione w; in questo caso si parla di operatore di isteresi con memoria. Per completare la descrizione delle proprietà dell operatore di isteresi bisogna definire il suo dominio di validità: W : Dom(W ) C 0 [0, t f ] R C 0 [0, t f ] (4.2) dove Dom(W) è il dominio di definizione dell operatore W, C 0 [0, t f ] è lo spazio delle funzioni continue definite nell intervallo [0, t f ], R è l insieme dei numeri reali. Le proprietà fondamentali che deve possedere l operatore di isteresi sono le seguenti: proprietà di causalità; indipendenza dalla velocità di applicazione dell input. La proprietà di causalità è legata al fatto che l output w(t) dipende dall evoluzione della funzione di input u(t) fino all istante corrente. Questa proprietà può essere formalizzata nel seguente modo: 47

58 4 Isteresi siano u 1 e u 2 due funzioni di input: (u 1, w 0 ), (u 2, w 0 ) Dom(W ), t (0, t f ] se u 1 = u 2 in [0, t] allora [W (u 1, w 0 )](t) = [W (u 2, w 0 )](t). (4.3) La proprietà (4.3) mostra il fatto che, dati due funzioni di input u 1 e u 2 identiche dall istante iniziale fino a quello corrente t, i due corrispondenti valori di output devono coincidere nell intervallo di tempo considerato: questo significa che l output w(t) dipende soltanto dai valori assunti dalla funzione di input precedenti all istante di tempo t e dalla condizione iniziale w 0. Figura 4.2. La proprietà di causalità: a) funzioni di input; b) funzioni di output; c) diagramma di isteresi La figura 4.2 mostra che, nel caso in cui si hanno due funzione di input identiche fino a una certo istante t, l output w coincide fino all istante di tempo considerato; se, dopo aver superato l istante t, i due input assumono valori e andamenti diversi, l output w si differenzia a seconda dell andamento dell input e nel grafico u-w si ottengono due curve differenti. La proprietà di causalità è definibile alternativamente come proprietà di memoria. Le non linearità dell isteresi possono essere classificate attraverso due modi: come non linearità con memoria locale o con memoria non locale. Per il fenomeno dell isteresi con memoria locale, i valori dell output w(τ) (τ t 0 ) sono determinati univocamente dal valore w(t 0 ) dell output valutato all istante di tempo t 0 e dai valori dell input u(t) valutato in istanti di tempo t compresi tra t 0 e τ 48

59 4 Isteresi (t 0 t τ). Questo significa che i valori dell input negli istanti precedenti a t 0 non hanno effetto sui valori futuri dell output w(t), anzi questi ultimi sono determinati dal valore w(t 0 ) e dall input valutato in istanti di tempo successivi a t 0. Per il fenomeno dell isteresi con memoria non locale, i valori dell output w(τ),(τ t 0 ) non sono determinati univocamente dal valore w(t 0 ) dell output valutato all istante di tempo t 0 e dai valori dell input u(t) valutato in istanti di tempo t compresi tra t 0 e τ (t 0 t τ), ma anche dai valori passati estremi dell input u max,min (s) con s t 0. La proprietà di indipendenza dal tasso di variazione dell input richiede che il diagramma di isteresi sia indipendente dalla velocità di applicazione della funzione u(t). Formalmente si ha: (u, w 0 ) Dom(W ), [t 1, t 2 ] (0, t f ] se φ : [0, t f ] [0, t f ] e una trasformazione ammissibile allora [W (u φ, w 0 )](t) = [W (u, w 0 )](φ(t)) (4.4) Una possibile trasformazione ammissibile φ : [0, t f ] [0, t f ] è una funzione continua e crescente che soddisfa le condizioni φ(0) = 0 e φ(t f ) = t f. Questo vuol dire che il valore dell output w(t) calcolato quando alla funzione u(t) è applicata una trasformazione φ(t) è uguale al valore assunto da w(t) quando l operatore di isteresi W viene valutato in un istante di tempo φ(t). Nelle applicazioni l indipendenza dell operatore di isteresi dal tasso di variazione della funzione di input u(t) è una proprietà che viene riscontrata osservando i grafici sperimentali di forza-spostamento che rappresentano la risposta dell isolatore soggetto ad una storia di spostamento ciclico. Uscendo da una definizione matematica generale e tornando a parlare in riferimento all isolatore elastomerico, l operatore di isteresi permette di definire correttamente la componente di forza che descrive il contributo d isteresi apportato al modello totale (componente F 2 ), a cui si devono aggiungere i contributi elastico non lineare e incrudente (componenti F 1 e F 2 ). Osserviamo che la definizione di indipendenza dalla velocità di applicazione dell input u(t) esclude la possibilità di descrivere qualsiasi sistema viscoso in cui nella relazione costitutiva la velocità di applicazione dei carichi gioca un ruolo fondamentale. Molto spesso però, anche in fenomeni come il ferromagnetismo, la plasticità e la ferroelettricità, il valore dell output w(t) non è puramente indipendente dalla velocità di applicazione dell input u(t), ma sono presenti anche effetti di tipo viscoso. 49

60 4 Isteresi Per modellare questo fenomeno è necessario suddividere l output w in due componenti, una isteretica e l altra viscosa: w(u) = w isteretico (u) + w viscoso (u). (4.5) Questo è uno dei metodi più veloci per considerare il contributo viscoso nel calcolo dell output w(u). Un altro metodo utilizzato per descrivere il contributo dipendente dalla velocità di applicazione dell input u(t) è quello che introduce un termine di rilassamento aggiuntivo a quello isteretico: w(u) = w + ɛ 1 dw dt. (4.6) dove ɛ 1 è un parametro di rilassamento. Il fenomeno dell isteresi è dominante per bassi valori della velocità di applicazione dell input u(t), mentre quando il tasso di variazione dell input aumenta il contributo predominante dell output w(t) è quello viscoso. Il parametro di rilassamento ɛ 1 deve essere tarato in modo tale che per basse velocità di applicazione sia dominante il contributo isteretico w mentre quando il tasso di variazione dell input aumenta allora il contributo predominante dell output w(t) deve essere quello viscoso. 4.2 Esempio di Modello di Isteresi: il Modello di Bouc-Wen Come esempio di modello di isteresi che contenga tutte le caratteristiche descritte qui sopra si cita il modello di Bouc-Wen, molto utilizzato nell ingegneria strutturale e meccanica. La schematizzazione del suo modello reologico può essere visualizzata nella figura 4.3. Questo modello ha una buona capacità di riprodurre accuratamente i dati sperimentali: scegliendo tramite metodi di ottimizzazione il valore dei parametri che caratterizzano il modello, è possibile ottenere in output una funzione w(t) che ricalca i grafici sperimentali ([8]). La componente di forza che descrive il contributo d isteresi secondo il modello di Bouc-Wen, a cui si devono aggiungere i contributi elastico non lineare e incrudente, è esprimibile nella seguente forma: dove F (t) = a F y u y u(t) + (1 a)f y z(t) (4.7) u(t) è la storia di spostamento, in questo caso applicata all isolatore; 50

61 4 Isteresi Figura 4.3. Forza resistente descritta dal modello di Bouc-Wen a = K f K i è il rapporto tra la rigidezza del grafico forza-spostamento successiva allo snervamento e quella precedente allo stesso; K i è la rigidezza del grafico forza-spostamento prima del raggiungimento dello snervamento, definita come Fy u y ; F y è la forza in corrispondenza dello snervamento; u y è lo spostamento valutato in corrispondenza dello snervamento; z(t) è una variabile isteretica, soluzione della seguente equazione differenziale: { ( } ż(t) = u(t) A [γ + β sgn u(t)z(t) )]( z(t) ) n. (4.8) I coefficienti dell equazione differenziale 4.8 sono quantità adimensionali che governano la forma dei cicli di isteresi. Un ruolo importante lo gioca il parametro n che descrive la transizione dalla fase elastica non lineare alla fase plastica: valori piccoli di questo parametro generano un passaggio regolare e liscio tra queste due fasi, mentre valori elevati determinano una transizione brusca nel grafico forza-spostamento. Questo parametro n che compare nell equazione di evoluzione della variabile isteretica z(t) è simile al parametro n che compare nell espressione della componente isteretica del modello di Abe et al. Entrambi i parametri hanno lo stesso ruolo di descrivere la transizione da fase elastica non lineare a fase plastica. La forza resistente F (t) indicata nell equazione (4.7) può essere decomposta in una parte elastica successiva allo snervamento sommata alla componente isteretica. Il primo termine a Fy u y u(t) è la componente elastica, mentre (1 a)f y z(t) è la componente isteretica. E possibile analizzare l effetto della variazione di ogni parametro del modello di 51

62 4 Isteresi Bouc-Wen sul grafico forza-deformazione che rappresenta la risposta dell isolatore elastomerico. Figura 4.4. Grafico forza-spostamento ottenuto con diversi valori di n Il parametro n governa la transizione dalla fase elastica alla fase plastica: valori piccoli di questo parametro generano un passaggio regolare e liscio tra queste due fasi, mentre valori elevati determinano una transizione brusca nel grafico forzaspostamento. Il cambiamento del grafico forza-spostamento che rappresenta la risposta dell isolatore al crescere del valore del parametro n può essere visualizzato in figura 4.4. Il parametro a rappresenta il rapporto tra la rigidezza del grafico forza-spostamento dopo la fase elastica e la rigidezza elastica. Se il valore di a è nullo il modello di Bouc-Wen è espresso soltanto dal contributo della molla isteretica. 52

63 4 Isteresi Figura 4.5. Grafico forza-spostamento ottenuto con diversi valori di a Nella figura 4.5 si nota come, al diminuire del valore del parametro a, la rigidezza del grafico forza-spostamento dopo la fase elastica non lineare diventa sempre più orizzontale fino ad annullarsi per a=0. A questo punto è possibile definire anche quello che viene detto tasso di dissipazione di energia dell isolatore elastomerico all istante t. Questo parametro viene definito in questo modello nel seguente modo: dove Ė t = (1 a)k iz(t) U. (4.9) E è l energia totale dissipata al tempo t; U è lo spostamento ciclico applicato all isolatore; z(t) è la variabile isteretica del modello di Bouc-Wen. 53

64 4 Isteresi L energia totale dissipata al tempo t è ottenuta integrando l espressione precedente: t E(t) = (1 a)k i z(t) U dτ. (4.10) Per calcolare l energia dissipata dall isolatore nel ciclo di isteresi è quindi necessario essere in grado di calcolare il valore della variabile isteretica z(t). Come abbiamo giù visto il suo valore si può ottenere dall equazione (4.8) Degradazione della Rigidezza Abbiamo visto come viene descritta la forza resistente sviluppata dall isolatore secondo il modello di Bouc-Wen; essa non tiene però conto di uno dei comportamenti che si osserva sperimentalmente, ossia la degradazione della rigidezza del grafico forza-spostamento che si ha per cicli di carico successivi al primo. Come abbiamo già detto questo comportamento è visualizzabile dal grafico 3.2 osservando come i cicli più ampi abbiano pendenze sempre minori dei cicli precedenti più piccoli, fino ad un valore di deformazione del %, dopodichè si assiste ad un irrigidimento della gomma con conseguente aumento di pendenza del grafico forza-spostamento ([33]). Per tenere conto della diminuzione della rigidezza che si osserva per valori di deformazione inferiori al 150% si può modificare il modello appena descritto: si assume che i rami di scarico del diagramma forza-spostamento siano tutti convergenti verso un unico punto sul ramo elastico iniziale a una distanza αf y, dove F y rappresenta la forza corrispondente allo snervamento e α è il parametro che descrive la degradazione della rigidezza. Nella figura 4.6 ([33]) viene riportato il grafico forza-spostamento: Figura 4.6. Rappresentazione della degradazione della rigidezza nel grafico Forza-spostamento 54

65 4 Isteresi nel nostro caso di studio M rappresenta la forza resistente sviluppata dall isolatore e φ rappresenta lo spostamento orizzontale imposto all isolatore. Il contributo isteretico della forza resistente sviluppata dall isolatore (secondo termine del secondo membro dell equazione (4.7)) deve essere modificato nel modo seguente: F isteretica (t) = (R k a)f y z(t) (4.11) dove si definisce una correzione della rigidezza tramite il coefficiente R k definito come R k = F u + αf y. (4.12) K 0 U + αf y I parametri che compaiono in questo caso sono: F u è la forza resistente sviluppata dall isolatore in corrispondenza dello spostamento u; α è il coefficiente che descrive la degradazione della rigidezza; F y è il valore della forza in corrispondenza dello snervamento; K 0 è la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare; U è lo spostamento ciclico applicato all isolatore. Osserviamo che in questo caso la correzione della rigidezza tramite il coefficiente R k interessa solamente il contributo isteretico: al posto del valore 1 a si sostituisce il valore R k a. Questo vuol dire che quando R k = 1 non si ha alcun contributo della degradazione della rigidezza. Data la definizione (4.12) di questo coefficiente si osserva che per grandi valori di α (in genere basta α > 10) la correzione della degradazione della rigidezza è molto piccola, mentre per piccoli valori di α si ha un contributo rilevante. 4.4 Modello di Isteresi di Ozdemir Il modello di Abe et al. usato per descrivere la risposta dell isolatore elastomerico con nucleo in piombo soggetto all azione combinata di forza di compressione e spostamento orizzontale utilizza come modello di isteresi quello proposto da Ozdemir nel 1973 ([21]). Questo modello è particolarmente adatto a rappresentare il comportamento dell isolatore nel caso di stato di carico biassiale ossia nel caso in cui l isolatore sia soggetto sia a uno spostamento orizzontale che a un carico verticale costante. Ozdemir nel 1973 propose un modello fenomenologico unidimensionale elasto-plastico che ha l importante proprietà di essere indipendente dalla velocità di applicazione del 55

66 4 Isteresi carico nella descrizione del comportamento dei dispositivi di dissipazione. Originariamente questo modello è stato sviluppato per poter calcolare computazionalmente il valore di forza resistente generato dagli isolatori elastomerici; essendo indipendente dalla velocità di applicazione del carico permette di catturare correttamente il comportamento degli isolatori (che come abbiamo già detto in precedenza sono poco sensibili a questa variabile). Dal punto di vista matematico il modello di Ozdemir si basa su due principali equazioni differenziali nelle incognite σ, β rispettivamente sforzo unidimensionale e sforzo unidimensionale di back-stress. Lo sforzo di back-stress è una variabile interna che rappresenta il centro della curva limite di snervamento. Nella figura 4.7 si trasla l origine degli assi nello spazio delle tensioni in cui è definita la funzione di snervamento f di uno stato di sforzo σ b detto back-stress, che rappresenta il nuovo centro della curva limite di snervamento. Figura 4.7. Curva limite di snervamento Le equazioni che governano il modello sono quindi descritte qui di seguito: [ ( ) n ] ( ) n σ β σ β σ = E ɛ ɛ sgn( ) ( Y) Y n (4.13) σ β β = αe ɛ Y dove E è il modulo di elasticità di Young; ɛ è la deformazione unidimensionale subita dall isolatore; σ= sforzo unidimensionale; 56

67 4 Isteresi β= sforzo unidimensionale di back-stress; Y è lo sforzo di snervamento in cui si iniziano ad avere delle deformazioni plastiche ; n è un parametro che regola la transizione da fase elastica a plastica; α è il parametro che controlla la pendenza della curva sforzo-deformazione. La prima equazione del modello di Ozdemir è stata scritta in (4.13) in funzione dello stress σ. Il contributo di questo sforzo si può scomporre in una parte elastica lineare (che quindi dipende in maniera lineare dalla deformazione ɛ) e in una parte elastoplastica in cui il ruolo chiave lo gioca la grandezza σ β che viene chiamata sforzo effettivo. Questa decomposizione in una parte elastica lineare e una elastoplastica si può meglio vedere se si inverte l equazione esprimendo tutto in funzione della deformazione. Si ottiene dunque: ɛ = σ ( ) n ( ) n σ β σ β E + ɛ sgn( ). (4.14) Y Y Il primo contributo ɛ = σ evidentemente indica la parte lineare della deformazione, E mentre la restante parte del secondo membro dell equazione (4.14) è quella che tiene conto del contributo elastoplastico. Come già anticipato poco fa, la vera variabile di questo termine non è tanto lo sforzo σ ma piuttosto la sua distanza dal valore dello sforzo di backstress. Un aspetto simile si evidenzia anche nella seconda equazione del modello di Ozdemir (4.13). In questo caso l incognita è la variabile di back-stress e la sua evoluzione è influenzata esclusivamente dallo sforzo effettivo. Anche in questa equazione è dunque evidente che nella descrizione del fenomeno isteretico non è tanto importante lo sforzo assoluto subito dal materiale ma piuttosto quanto questo materiale sia sollecitato in relazione allo sforzo di back-stress. In generale lo sforzo di back-stress dipende dalle proprietà meccaniche, chimiche e termodinamiche del materiale ma anche dalla storia di carico a cui viene sottoposta la struttura Riscrittura in Termini di Forza e Spostamento Il modello di Ozdemir presentato nella forma sforzo-deformazione (4.13) viene spesso anche riscritto esplicitando le stesse equazioni in termini di forza resistente e spostamento orizzontale applicato all isolatore (anzichè sforzo e deformazione). Questo ci permette di avvicinarci dunque un pò di più alla forma del termine F 2 (U) utilizzato 57

68 4 Isteresi nel nostro modello di Abe et al. per la modellazione dell isolatore studiato. La riscrittura del modello suggerisce quindi le seguenti relazioni: dove Ḟ = U ( ) n (( ) n ) U F S F S sgn Y t U t U t Y t Y Ṡ = α U ( ) n (4.15) S F Y t U t F è la forza resistente; U è lo spostamento orizzontale applicato all isolatore; Y t U t è il valore dello spostamento in corrispondenza dello snervamento; Y t è il valore della forza in corrispondenza dello snervamento; S è la forza di back-stress; n è lo stesso parametro presente nella (4.13) che regola la transizione da fase elastica a plastica; α come nel modello (4.13) è il parametro che controlla la pendenza della curva sforzo-deformazione Indipendenza dalla Velocità di Applicazione del Carico Una delle propreità fondamentali che soddisfano i valori di sforzo e deformazione ottenute tramite il modello di Ozdimir (4.13) e la seguente: Proposizione Lo sforzo e la deformazione calcolati secondo le equazioni (4.13) sono indipendenti dalla velocità di applicazione del carico. Dimostrazione. Iniziamo sottraendo l equazione che definisce la legge di evoluzione del back-stress (seconda equazione in (4.13)) da quella che definisce il legame tra sforzo e deformazione in forma differenziale del modello di Ozdemir (prima equazione in (4.13)). In fare questo supponiamo σ > β in modo da poter assegnare un valore alla funzione sgn presente nel modello di Ozdemir (procedimenti analoghi si possono fare anche nel caso di segno contrario). Si ottiene dunque σ β = E ɛ [ 1 (1 + α) 58 ( σ β Y ) n ]. (4.16)

69 4 Isteresi Questa equazione può essere riscritta esplicitando la deformazione infinitesima dɛ nel seguente modo: dɛ = 1 d(σ β) ( E σ β ) n. (4.17) 1 (1 + α) Y Procedendo con l integrazione di questa equazione si ottiene la seguente espressione per la deformazione: ɛ = σ β Y Y (1 ξ n ) dɛ. (4.18) E(1 + α) 1/n 0 Siccome E, α e Y sono tutti parametri del modello, l unica variabile a secondo membro è lo sforzo effettivo σ β. Questo vuol dire che il valore della deformazione calcolata tramite il modello di Ozdemir non è il alcun modo legata a nessuna velocità di applicazione del carico ma solo al valore dello sforzo effettivo subito. E possibile quindi raggiungere la tesi e affermare che il modello di Ozdemir è caratterizzato da un comportamento di sforzo e deformazioni indipendente dalla velocità di applicazione del carico. Se si pone il parametro n=1 si ottiene la seguente espressione: [ { σ = 1 exp Eα 1 + α ɛ + Y (1 + α) Contributo Elastoplastico E(1 + α) ɛ} ]. (4.19) Y Adesso ragioniamo di nuovo sul contributo elasto-plastico che compare all interno dell equazione che regola l evoluzione della deformazione (4.14): ( ) n ɛ in = ɛ σ β. (4.20) Y Questa espressione è molto simile alla legge di flusso per il modello viscoplastico di Kelvin-Voigt: 0, ( ) se σ < Y ɛ p = n 1 σ β, se σ Y. (4.21) µ t ɛ Per il modello di Kelvin-Voigt ɛ p rappresenta il tasso di variazione della deformazione plastica, t ɛ, µ e n sono delle costanti del materiale; al crescere di n la forma del ciclo di isteresi diventa sempre più spigolosa. Tornando al modello di Ozdemir, esso è in grado di riprodurre correttamente la 59

70 4 Isteresi pendenza delle porzioni di grafico sforzo-deformazione plastiche ed elastiche; la pendenza è ottenuta dividendo l equazione che caratterizza il modello in termini di sforzo e deformazione per ɛ: dσ dɛ = E 1 sgn( ɛ) σ β Y n 1 ( ) σ β. (4.22) Y Il modello di Abe et al. utilizzato per descrivere la risposta dell isolatore con nucleo in piombo prevede l assenza di hardening cinematico, il che comporta l annullarsi del valore di α. L equazione differenziale che governa il fenomeno isteretico nel modello di Abe et al. assume dunque questa forma: F = Y t U t { U U ( F Y t ) n} ( ) n F sgn( ). (4.23) Y t Gli esperimenti sugli isolatori soggetti a carico biassiale mostrano che, superato lo spostamento pari al 150 % dell altezza totale della gomma, si ha un aumento della rigidezza orizzontale e dell ampiezza dei cicli di isteresi. Per tenere conto dell aumento dell ampiezza dei cicli di isteresi,il parametro Y t viene fatto dipendere dal valore dello spostamento : Y t = Y 0 (1 + U p) (4.24) dove U H Y t =valore della forza di snervamento aggiornata; Y 0 =valore della forza allo snervamento iniziale; U H =spostamento a cui inizia l incrudimento; p= parametro che descrive la forma della curva di incrudimento. Questa equazione esprime il fatto che il valore del parametro Y t da usare all interno dell equazione differenziale aumenta con il crescere dello spostamento applicato all isolatore. Anche il parametro U t deve essere modificato per poter catturare l aumento dell ampiezza dei cicli di isteresi con il crescere in modulo del valore dello spostamento: ( U t = U U ) max (4.25) U S dove 60

71 4 Isteresi U t =valore dello spostamento in corrispondenza dello snervamento aggiornato; U 0 =valore dello spostamento allo snervamento iniziale; U max =spostamento massimo raggiunto fino al momento in cui si risolve l equazione differenziale; U S = parametro utilizzato per descrivere il degrado della rigidezza elastica della componente elasto-plastica. 61

72 Capitolo 5 Metodi di ottimizzazione Un problema di ottimizzazione matematica assume la forma: dove f : R n R è la funzione obiettivo; X R n è l insieme ammissibile delle soluzioni. min f(x) (5.1) x X Nei problemi vincolati risulta X R n mentre in quelli non vincolati si ha X = R n. Nel nostro caso la funzione da minimizzare è data dalla differenza tra il valore di forza resistente che è stato ottenuto sperimentalmente per ogni valore di forza assiale e il corrispondente valore di forza ottenuto con il modello di Abe et al.. All interno della definizione del modello di Fujino compaiono 13 parametri: essi devono essere identificati tramite un procedimento di ottimizzazione in modo da riprodurre la forza resistente degli isolatori elastomerici in piombo per i vari carichi assiali nel modo più accurato possibile. Per raggiungere questo obiettivo viene usato un algoritmo di ottimizzazione, che minimizza il seguente errore: n (F modello (u i, θ) F (u i )) 2 i=0 dove u i rappresenta lo spostamento i-esimo all interno della storia di spostamento orizzontale imposto all isolatore, θ è il vettore contenente i parametri da identificare, F modello (u i, θ) è il vettore contente i valori di forza ottenuti utilizzando il modello di Abe et al. e F ui è il vettore contenente i valori di forza sperimentali. La funzione obiettivo in questo caso non è completamente nota in quanto il termine F 2, che rappresenta la componente isteretica, si ricava dalla risoluzione di un equazione 62

73 5 Metodi di ottimizzazione differenziale e la sua espressione analitica non è facilmente identificabile. In questo caso non è possibile (o comunque richiede un costo troppo elevato) calcolare le derivate, anche quando i fenomeni fisici considerati potrebbero essere rappresentati per loro natura tramite funzioni smooth (in generale i fenomeni naturali sono continui). L interesse applicativo ha motivato quindi lo sviluppo di metodi di ottimizzazione che non richiedano la conoscenza delle derivate. Storicamente i primi metodi senza derivate sono stati introdotti già negli anni 50, ma sono poi stati abbandonati nei primi anni 70 per mancanza di un analisi teorica rigorosa e per la bassa velocità di convergenza dimostrata. Solo ultimamente l interesse della comunità scientifica si è risvegliato grazie ad una serie di articoli che dimostrano proprietà teoriche di convergenza globale per algoritmi senza derivate. Consideriamo problemi di ottimizzazione non vincolata, cioè problemi del tipo: min f(x) (5.2) x Rn e assumiamo che la funzione obiettivo f(x) sia continuamente differenziabile. In generale, gli algoritmi (con e senza derivate) proposti in letteratura consentono soltanto la determinazione di punti stazionari di f, cioè di punti che soddisfano le condizioni di ottimalità del primo ordine e che quindi appartengono all insieme: Ω = {x R n : f(x) = 0} Non avendo a disposizione le derivate non è possibile verificare direttamente l appartenenza di un punto all insieme tramite la valutazione del gradiente. Si deve quindi utilizzare un criterio diverso per stabilire se un punto appartenga all insieme Ω o meno. La potenza dei metodi senza derivate è quella di riuscire a garantire la convergenza a punti stazionari senza fare esplicitamente uso del valore del gradiente. Anche nel caso di algoritmi senza derivate lo schema generale di minimizzazione è il seguente: si fissa il punto iniziale x 0 R n ; se x k Ω mi fermo con la minimizzazione; si calcola una direzione di ricerca d k R n ; si calcola un passo α k R n lungo d k ; si determina un nuovo punto x k+1 = x k + α k d k. Per i metodi che utilizzano le derivate, la conoscenza del gradiente permette di: 63

74 5 Metodi di ottimizzazione calcolare la direzione d k in modo tale che sia una direzione di discesa in x k, cioè sia tale che f(x k ) T d k < 0 (5.3) scegliere un passo α k tale che: f(x k + α k d k ) < f(x k ) + γα k f(x k ) T d k. (5.4) Le condizioni (5.3) e (5.4) non sono ovviamente utilizzabili quando il gradiente della funzione obiettivo non è noto, e ciò evidenzia la difficoltà che caratterizza la definizione dei metodi senza derivate. Questi metodi possono essere raggruppati in quattro classi: metodi che fanno uso di approssimazioni alle differenze finite; metodi di ricerca diretta; metodi di modellazione; metodi euristici. 5.1 Algoritmi genetici Gli algoritmi genetici hanno ricevuto un attenzione considerevole data la loro potenza come tecniche di ottimizzazione per problemi complessi e sono stati applicati con successo nelle aree dell ingegneria industriale. Un algoritmo genetico è un algoritmo euristico di ottimizzazione globale ispirato al principio della selezione naturale ed evoluzione biologica teorizzato nel 1859 da Charles Darwin ([23]). In questo lavoro di tesi viene proposto l utilizzo dell algoritmo genetico come metodo di ottimizzazione dato che non richiede il calcolo del gradiente della funzione da minimizzare e, essendo un algoritmo di ottimizzazione globale, dovrebbe garantire la convergenza verso un vettore di parametri del modello di Abe et al. in grado di descrivere correttamente l andamento sperimentale per ogni valore di forza assiale di compressione che preme l isolatore. L aggettivo genetico deriva dal fatto che il modello evolutivo darwiniano trova spiegazioni nella branca della biologia detta genetica e dal fatto che gli algoritmi genetici attuano dei meccanismi concettualmente simili a quelli dei processi biochimici scoperti da questa scienza. Questo algoritmo inizia con un set casuale di soluzioni, chiamato popolazione. La popolazione rappresenta il vero proprio bacino, le fondamenta sulla quale agisce l algoritmo genetico. Essa è costituita dall insieme di tutti gli individui, quindi dei genotipi. Al contrario dell equivalente naturale dove la dimensione della popolazione 64

75 5 Metodi di ottimizzazione è dinamica e spesso è un parametro cardine che regola la pressione selettiva, nell algoritmo genetico si è optato per la stragrande maggioranza dei casi per popolazioni di dimensioni fissate. Occorre sottolineare che è proprio la popolazione, e non gli individui, il soggetto principale dell evoluzione: essa si modifica, evolve, migliora il fitness dei propri genotipi, migra verso massimi/minimi locali o globali; al contrario gli individui sono entità statiche che nascono e muoiono con determinate caratteristiche senza modificarle in alcun modo durante la propria esistenza. Ogni individuo nella popolazione è chiamato cromosoma e rappresenta la soluzione al problema di minimizzazione da risolvere: in questo lavoro di tesi il cromosoma rappresenta il set di 13 parametri che devono essere individuati per ogni valore della forza assiale in modo da poter riprodurre la risposta dell isolatore sotto varie condizioni di carico di compressione. Un cromosoma è una sequenza di simboli: di solito è rappresentato da una sequenza binaria. I cromosomi evolvono tramite iterazioni successive, chiamate generazioni. Durante ogni generazione, i cromosomi sono valutati utilizzando una misura di fitness. Nella nuova generazione i cromosomi, chiamati prole, sono formati o tramite la fusione di due cromosomi dalla generazione corrente utilizzando l operatore di cross-over oppure tramite la modifica del cromosoma usando l operatore di mutazione; vengono selezionati solo i migliori cromosomi che permettono di minimizzare la funzione obiettivo, dato che stiamo considerando un problema di minimizzazione per identificare un set di parametri. Dopo qualche generazione, l algoritmo converge al cromosoma migliore, che rappresenta la soluzione ottima del problema. Un tipico algoritmo genetico procede quindi secondo il seguente schema di base: 1. Generazione casuale della prima popolazione di soluzioni (cromosomi). 2. Applicazione della funzione di fitness alle soluzioni (cromosomi) appartenenti all attuale popolazione. 3. Selezione delle soluzioni considerate migliori in base al risultato della funzione di fitness e della logica di selezione scelta. 4. Procedimento di crossover per generare delle soluzioni ibride a partire dalle soluzioni scelte al punto Procedimento di mutazione per generare delle soluzioni ibride a partire dalle soluzioni scelte al punto Creazione di una nuova popolazione a partire dalle soluzioni identificate al punto 4 e 5. Riesecuzione della procedura. 65

76 5 Metodi di ottimizzazione Prima di poter applicare l algoritmo genetico al problema di ottimizzazione è essenziale definire la funzione fitness : in questo caso la funzione da minimizzare è n (F modello (u i, θ) F (u i )) 2 i=0 dove u i rappresenta lo spostamento i-esimo all interno della storia di spostamento orizzontale imposto all isolatore e θ è il vettore contenente i parametri da identificare. La funzione di fitness serve a dare una misura quantitativa dell idoneità di un individuo. La fitness, infatti, guida i processi di selezione degli individui, di modo che, di generazione in generazione, si tenderà a far sopravvivere gli individui con fitness maggiore (minore nel caso di problema di minimizzazione), cioè a passare da una generazione all altra il loro corredo genetico e quindi le caratteristiche. Un algoritmo genetico prevede la codifica delle variabili del problema in una forma adatta ad essere manipolata a livello di popolazione. Le variabili vengono infatti ricombinate e mutate ad ogni ciclo d iterazione dell algoritmo. L ottimo viene così raggiunto grazie alla ricombinazione e alla mutazione attraverso le quali si esplora lo spazio delle soluzioni e alla selezione, di volta in volta, dei migliori. L algoritmo funziona secondo i seguenti passi: 1. Inizializzazione: viene generata una popolazione di vettori iniziali x, ciascuno formato da D valori casuali, con D pari al numero di parametri da identificare; 2. Generazione di nuovi individui tramite ricombinazione: Per ogni figlio da generare, vengono scelti casualmente due genitori; I due genitori vengono ricombinati con l operatore genetico di crossover ; Mutazione: a questo punto i figli subiscono delle mutazioni casuali secondo un approccio a soglia: - se la fitness sta variando in maniera consistente, a ognuno dei D loci del figlio viene sommata una variabile casuale gaussiana con media zero e deviazione standard σ 1 =0.7 (un valore sufficientemente alto, in modo da favorire la discesa della fitness verso il minimo); - se la fitness non varia tra un passo e l altro (best fitness < 10 6 ), significa che: o l algoritmo è intrappolato in un minimo locale, oppure si è molto vicini alla soluzione ottima e quindi sono richieste variazioni minime della popolazione. Perciò, si applicano in questo caso delle mutazioni gaussiane con una σ 2 << σ 1 (il valore ottimale di σ 2 varia a seconda di D). Inoltre, per evitare di fermarsi in minimi locali, vengono effettuate al tempo stesso delle mutazioni usando la deviazione standard più grande σ 1 su un singolo locus scelto a caso tra i D. 66

77 5 Metodi di ottimizzazione 3. Selezione: viene adottata una strategia con elitismo, ovvero ogni nuova generazione è composta dai figli più il migliore della generazione precedente; 4. Ad ogni nuova generazione, viene salvata in una variabile a parte la migliore fitness raggiunta; 5. Il procedimento viene iterato finché non viene trovato un individuo con una fitness inferiore alla soglia prefissata di Codifica genetica Per codifica genetica ci si riferisce al tipo di rappresentazione che viene utilizzata per identificare le soluzioni del problema nei cromosomi artificiali. Un cromosoma artificiale è rappresentato da una sequenza di simboli che costituiscono le caratteristiche dell individuo: per questo motivo viene comunemente definito con il nome di stringa genetica. Un tipo di codice utilizzato molto frequentemente è quello binario: in questo caso il cromosoma di ciascun individuo della popolazione è una stringa di lunghezza finita di simboli binari (0,1). Vi sono molti altri tipi di codifica possibile: un cromosoma può essere anche composto da una serie di numeri reali oppure da una serie finita di simboli appartenente ad un qualsiasi alfabeto arbitrario. Il funzionamento dell algoritmo genetico non è compromesso dal tipo di rappresentazione in quanto gli operatori genetici si limitano a selezionare le stringhe corrispondenti ai fenotipi migliori e a ricombinarne i vari pezzi a prescindere dal materiale su cui essi lavorano. La scelta del tipo di codifica è però importante per il tipo di problema che si vuole risolvere: non esiste una codifica che vada bene per tutti i problemi, né esistono regole generali che permettano di fare delle scelte ottimali. Il problema della rappresentazione genetica e delle regole di decodificazione da genotipo a fenotipo è quindi molto importante per poter sfruttare al meglio le potenzialità di ricerca dell algoritmo genetico Operatore di selezione La selezione degli individui per creare le generazioni successive gioca un ruolo fondamentale all interno dell algoritmo genetico. Si effettua una selezione probabilistica basata sulla misura di fitness del singolo individuo così che gli individui scelti hanno una maggiore capacità di essere selezionati nel susseguirsi delle generazioni successive. Gli individui scelti utilizzando il criterio della selezione creeranno la popolazione della nuova generazione, chiamata mating pool. Gli individui del mating pool creeranno a loro volta una nuova generazione che subirà anch essa il processo di selezione; si procede cosi di generazione in generazione finché non si raggiunge la 67

78 5 Metodi di ottimizzazione soluzione ottima. La selezione sceglie gli individui che hanno maggiore capacità di adattarsi in analogia alla teoria dell evoluzione di Darwin, che prevedeva la sopravvivenza dei più forti. Nel seguito si tratteranno tre diversi tipi di metodi di selezione: il metodo della roulette, il metodo di classificazione e la selezione a torneo Metodo della roulette Il metodo della roulette, inventato da Holland nel 1975, è stato il primo metodo di selezione ([46]). Con questo metodo tutti i cromosomi della popolazione sono posizionati all interno della ruota della roulette in accordo con la loro misura di fitness: ad ogni individuo è assegnato un segmento. La lunghezza del segmento all interno della ruota della roulette è proporzionale al valore della funzione di fitness del singolo individuo: maggiore è il valore, più lungo è il segmento. Dopo aver assegnato ad ogni individuo la sua porzione, la ruota viene fatta girare. Viene selezionato l individuo corrispondente al segmento su cui si ferma la ruota della roulette. L operazione continua finché viene selezionato il numero desiderato di individui da formare una nuova popolazione. Gli individui con una maggiore misura di fitness hanno maggiore probabilità di essere selezionati. Occorre precisare che anche gli individui ritenuti non adatti avranno una possibilità ridotta, ma non nulla, di contribuire alla formazione della generazione successiva; questo perché è altresì importante che la popolazione conservi una sufficiente eterogeneità; non sappiamo infatti se un individuo ritenuto poco adatto in una generazione non possa, combinandosi con un individuo diverso, formarne uno totalmente nuovo e possibilmente migliore di tutti gli altri. A livello matematico questa caratteristica fornisce alcune garanzie per impedire che l algoritmo concentri la popolazione e si blocchi attorno ad un minimo locale; senza questi accorgimenti gli individui diverrebbero sempre più simili tra loro e si perderebbe la possibilità di esplorare l intero spazio dei parametri in cerca dell ottimo globale. La probabilità di selezione P i associata ad ogni individuo è definita nel seguente modo: P i = F i DimensioneP opolazione j=1 F j (5.5) dove F i rappresenta la misura di fitness di ogni individuo. L uso del metodo della ruota della roulette limita l applicazione dell algoritmo genetico ai soli problemi di massimizzazione di una funzione obiettivo, dato che la funzione di fitness deve mappare le soluzioni in un insieme ordinato di valori di R +. 68

79 5 Metodi di ottimizzazione Metodo di classificazione Per ovviare al problema dell applicabilità del metodo della roulette al solo problema di massimizzazione si può utilizzare il metodo della classificazione, il quale permette alla funzione di fitness di mappare le soluzioni in un insieme parzialmente ordinato, permettendo così la risoluzione dei problemi di minimizzazione. Il metodo di classificazione assegna una probabilità di selezione P i ad ogni individuo in base alla posizione della soluzione i quando tutte le soluzioni sono ordinate in ordine decrescente in base alla misura di fitness : dove: q=probabilità di selezionare l individuo migliore; P i = q (1 q) r 1 (5.6) r =posizione dell individuo all interno della popolazione, dove 1 è il migliore; P =dimensione della popolazione totale; q = q 1 (1 q) P Selezione a torneo La tournament selection simula un torneo eseguendo una selezione a gironi e prevede diverse varianti. Il metodo standard stabilisce con un opportuna funzione la dimensione di ciascun girone (k) in base alla dimensione della popolazione iniziale (n) ([23]). Ciascun girone viene creato scegliendo in modo casuale k individui dalla popolazione in oggetto. Successivamente viene individuato il miglior individuo del girone confrontando i valori di fitness di tutti gli individui interni al girone e inserito nel mating pool. Creando con questo procedimento n gironi si otterrà un bacino di accoppiamento di n individui, coerentemente col vincolo di mantenere inalterato il numero di invididui per l intero processo genetico. In questo caso è probabile la presenza di cloni all interno del mating pool, dato che gli individui con buoni valori di fitness possono risultare i vincitori di più gironi. Vale la pena notare che la rappresentatività dei gironi dipende dalla loro dimensione. In letteratura non ci sono formule che permettono di calcolare un ampiezza di girone ottimale. Questo parametro infatti è fortemente dipendente dalla numerosità della popolazione in esame e può variare di molto da problema a problema. Normalmente si implementa una tecnica che assegna opportune dimensioni di girone a diversi range di numerosità di popolazione. Se non si operasse in questo modo, infatti, si rischierebbe di ricadere in alcuni casi limite: gironi composti da un solo 69

80 5 Metodi di ottimizzazione individuo equivalgono a scegliere completamente a caso gli individui da inserire nel mating pool, non eseguendo così una buona selezione; viceversa, impostare una dimensione di girone pari a metà della dimensione della popolazione restituirebbe un bacino di riproduzione con troppe ripetizioni di pochi individui, perdendo così di variabilità genetica Crossover Dopo aver definito la funzione di fitness tramite la quale è possibile convergere verso la soluzione ottima del problema, è necessario discutere dei meccanismi che, in aggiunta al procedimento di selezione, vengono utilizzati per creare le nuove popolazioni nella successione delle generazioni ([29]). Ci sono due tipi di trasformazioni che possono subire gli individui della popolazione per migliorare la loro misura di fitness : il crossover o la mutazione. Nel crossover ad una solo punto si scelgono a caso due individui nel mating pool (genitori) e un punto di taglio (punto di crossover) su di essi. Le porzioni di genotipo alla destra del punto di crossover vengono scambiate generando due discendenti. L operatore di crossover è applicato, in accordo a una prefissata probabilità p c, n 2 volte in modo da ottenere n discendenti; nel caso in cui il crossover non sia applicato, i discendenti coincidono con i genitori. La modalità di crossover appena descritta, rappresentata in figura 5.1, è detta a un punto poiché lo scambio del materiale genetico avviene in seguito alla scelta di un punto di taglio. Esistono ulteriori modalità di crossover come quello a due punti che consiste nel considerare due soluzioni adatte all evoluzione e nel tagliare i loro vettori di codifica in due punti predefiniti o casuali al fine di ottenere una testa, una parte centrale ed una coda dalla prima e dalla seconda soluzione. La prima nuova soluzione sarà data dalla testa e della coda della prima soluzione e dalla parte centrale della seconda soluzione. La seconda nuova soluzione sarà data dalla parte centrale della prima soluzione e dalla testa e dalla coda della seconda soluzione. Esiste anche il crossover uniforme che consiste nello scambiare casualmente dei bit tra le soluzioni candidate all evoluzione. 70

81 5 Metodi di ottimizzazione Figura 5.1. Processo di crossover Il crossover è uno degli operatori principali che distingue gli algoritmi genetici dagli altri metodi stocastici, ma il suo ruolo deve ancora essere compreso pienamente. Sono in corso numerosi studi che cercano di trovare sotto quali condizioni il crossover consente di ricombinare sequenze di cromosoma per generare individui migliori e sotto quali altre condizioni il crossover rappresenta semplicemente una macro-mutazione, utile per spostarsi maggiormente all interno dello spazio delle soluzioni, rispetto ad una mutazione semplice. Negli anni sono state suggerite numerose altre tecniche di crossover, ottenute variando il numero dei tagli o assegnando distribuzioni di probabilità non uniformi per decidere in quale porzione del cromosoma effettuare il crossover. Il dibattito su quale sia la tecnica migliore è ancora in corso. Sono stati effettuati studi sull efficienza del crossover multipoint, arrivando a preferire in generale il crossover a due punti: infatti l aggiunta di molti punti di taglio distrugge le sottosequenze utili, però allo stesso tempo avere molti punti su cui fare crossover consente una ricerca più accurata nello spazio delle soluzioni. Sotto questo punto di vista il crossover uniforme sembra essere la tecnica più robusta. Il successo o il fallimento di un particolare tipo di crossover dipende comunque da vari fattori, come il particolare campo di utilizzo, la funzione di fitness, la codifica degli individui Mutazione Una volta che due discendenti sono stati generati per mezzo del crossover, in funzione di una piccola probabilità p m, il valore di alcuni bit dei nuovi individui sono cambiati da 0 in 1 o viceversa, come mostrato in figura 5.2. L operatore di mutazione modella il fenomeno genetico della rara variazione di elementi del genotipo negli esseri viventi durante la riproduzione. Il punto di vista tradizionale è che il crossover sia il più importante dei due operatori genetici perché responsabile di una rapida esplorazione dello spazio di ricerca. 71

82 5 Metodi di ottimizzazione Tuttavia la presenza della mutazione è ugualmente essenziale per quanto apparentemente piccola sia la sua incidenza sulla ricerca. Figura 5.2. Processo di mutazione Inizializzazione e Termine dell algoritmo L algoritmo genetico richiede la definizione di una popolazione iniziale. Nel caso in esame la popolazione iniziale viene generata casualmente utilizzando la soluzione x 0 che viene fornita nel codice di Matlab, la quale contiene il valore dei 13 parametri che sono stati scelti dopo un analisi ingegneristica del significato fisico di ogni singolo parametro. L algoritmo genetico si muove di generazione in generazione selezionando e riproducendo i genitori fino a quando viene incontrato un criterio di arresto. Il criterio di arresto più utilizzato è rappresentato dal numero massimo di generazioni possibili che possono essere create nell evoluzione dell algoritmo. Un altra strategia di arresto si basa invece su un criterio di convergenza della popolazione: l algoritmo genetico forza quasi tutta la popolazione a convergere a una soluzione unica. Quando la somma delle deviazioni tra gli individui è più piccola di una tolleranza fissata, l algoritmo può terminare. L algoritmo può anche terminare per una mancanza di miglioramento della soluzione migliore nel susseguirsi delle ultime generazioni considerate. Alternativamente si può definire una valore target per la funzione di fitness, basandosi su una tolleranza arbitrariamente scelta. La convergenza è la progressione verso la crescente uniformità. Si dice che un gene converge quando il 95 % della popolazione condivide lo stesso valore. La popolazione converge quando tutti i geni convergono. La parte dell algoritmo ispirata al principio della selezione naturale si occupa di classificare gli individui e selezionare le soluzioni migliori all interno della popolazione. Con queste operazioni viene sollecitata la riproduzione tra gli individui migliori e viene garantita la convergenza dell algoritmo verso una soluzione ottima che può essere locale o globale. Per ottenere una convergenza globale è importante che la popolazione sia composta da individui con un patrimonio genetico vario. Questo si traduce in un insieme eterogeneo di soluzioni 72

83 5 Metodi di ottimizzazione con una visione globale dello spazio di ricerca, capace di individuare la completa topologia del problema. Così grazie agli operatori dell algoritmo è possibile ottenere un esplorazione del campo di ricerca capace di generare da una generazione di partenza individui con caratteristiche via via migliori. La nuova popolazione di stringhe genetiche rimpiazza parzialmente o completamente le vecchie stringhe. Il processo di decodifica, valutazione, riproduzione selettiva, incrocio e mutazione si ripete ciclicamente per parecchie generazioni fino a quando viene ottenuta una stringa che codifica una soluzione soddisfacente Criticità Nonostante i numerosi vantaggi degli algoritmi genetici, essi presentano anche alcune criticità. Ad esempio gli algoritmi genetici sono soggetti ad un aumento della complessità al crescere delle dimensioni del problema. Questo problema è parzialmente limitato dalla scelta di valutazioni approssimate, spesso sufficienti, e dalla scelta di rappresentazioni il più semplici possibili. Un secondo problema è dato dal fatto che gli algoritmi genetici tendono a convergere verso ottimi locali piuttosto che globali. A questo problema si può far fronte utilizzando diverse funzioni di fitness, aumentando il rate di mutazione oppure aggiungendo una funzione di penalità alle soluzioni che appaiono simili tra loro. Infine, se è impostato un obiettivo di ottimizzazione gli algoritmi genetici troveranno una soluzione ottima ma non ci sono garanzie che questa sia effettivamente la migliore né che il tempo per trovarla sia limitato. Ad ogni modo poiché il tempo di esecuzione è generalmente breve può essere interessante utilizzarli per trovare una buona soluzione in tempi rapidi. 5.2 Altri metodi di minimizzazione Oltre agli algoritmi genetici sono state proposte molte altre tecniche per problemi di ricerca e ottimizzazione; come gli algoritmi genetici assumono che il problema sia definito da una funzione che deve essere massimizzata o minimizzata. Di seguito vengono riportati gli aspetti salienti di alcune di queste tecniche. Ricerca Casuale: con questo metodo si effettua una ricerca casuale o enumerata. I punti nello spazio di ricerca sono scelti a caso o in qualche maniera sistematica e viene calcolato il valore della funzione in corrispondenza di essi. E un metodo poco intelligente e di solito viene evitato. Metodo del gradiente: questo metodo funziona bene per l ottimizzazione di funzioni continue che si basano sull uso delle informazioni sul gradiente della 73

84 5 Metodi di ottimizzazione funzione per guidare la direzione della ricerca. Se però la derivata della funzione non può essere calcolata, per esempio perché la funzione è discontinua, spesso falliscono. Questi metodi sono generalmente detti hillclimb (scalata). Funzionano bene con funzioni che hanno un solo picco (unimodali), ma per funzioni con molti picchi (multimodali) possono convergere a massimi o minimi locali. Notevoli sono gli inconvenienti di questo approccio: anzitutto il metodo può essere applicato solo a funzioni da ottimizzare che siano prive di discontinuità come pure le loro derivate rispetto a tutte le variabili che rappresentano le coordinate nello spazio di ricerca. Inoltre se la funzione è multimodale quello che sarà agganciato non è il picco ottimale ma solo il picco locale più vicino al punto di partenza. Una volta agganciato il picco non sarà possibile nessun ulteriore miglioramento a meno di non ricominciare la ricerca a partire da un altro punto anche esso scelto a caso. È garantito che il picco agganciato è quello ottimale solo se è noto a priori che la funzione è unimodale, con un solo picco locale. Ciò è dovuto al fatto che l hillclimbing tratta solo una potenziale soluzione alla volta (a differenza del parallelismo implicito con cui lavorano gli algoritmi genetici). Ricerca Iterata: i metodi della ricerca casuale e quello del gradiente possono essere combinati per avere una scalata iterata. Una volta che un picco è stato trovato utilizzando le informazioni sul gradiente della funzione da ottimizzare, la scalata inizia nuovamente da un altro punto scelto a caso. La tecnica ha il vantaggio della semplicità e dà buoni risultati con funzioni che non abbiano molti massimi locali. Tuttavia, poiché ogni prova è isolata, non si ottiene una figura complessiva della forma del dominio e mentre la ricerca casuale progredisce, si continuano ad allocare lo stesso numero di prove sia in regioni dove sono stati trovati alti valori di fitness, sia in regioni con basso valore di fitness. Un algoritmo genetico, invece, inizia con una popolazione iniziale casuale, e assegna via via maggiori tentativi alle regioni con più alto fitness. Questo è uno svantaggio se il massimo si trova in una piccola regione circondata su tutti i lati da regioni con basso fitness, tuttavia tale tipologia di funzione è difficile da ottimizzare con qualsiasi metodo, e in questo caso si predilige il metodo della ricerca iterata per la sua semplicità. Simulated Annealing (temperatura simulata): la temperatura simulata è un algoritmo utilizzato per la risoluzione ottimizzata di problemi di ottimizzazione: una soluzione del problema è costituita dallo stato in cui si trova il materiale, il valore della funzione di valutazione per una particolare soluzione rappresenta l energia associata a quel particolare stato, ed infine la soluzione 74

85 5 Metodi di ottimizzazione ottimale corrisponde allo stato di energia minimo ([34]). L algoritmo di temperatura simulata è di tipo iterativo, ed inizia generando una soluzione iniziale (ottenuta casualmente o euristicamente) ed assegnando un valore al parametro t chiamato temperatura. Durante ogni iterazione la soluzione corrente verrà casualmente cambiata per creare una nuova soluzione in prossimità della precedente: se la nuova configurazione ha una valutazione inferiore della precedente, essa viene allora accettata e diventa la soluzione corrente. In caso contrario la nuova soluzione verrà accettata con probabilità exp( ), dove t è la differenza tra i valori delle due soluzioni e t è la temperatura corrente. Le funzioni oggetto di studio tendono ad avere un elevato numero di massimi e minimi locali. Noi non vogliamo che il nostro algoritmo si fermi troppo presto e si blocchi su un minimo locale: nel momento in cui la temperatura è alta, dunque, sarà più facile per l algoritmo uscire da un minimo locale, mentre quando la temperatura diminuirà la probabilità di fare altrettanto sarà nettamente inferiore per cui sarà più difficile uscire da un minimo profondo. In questa scelta entrano in gioco due fattori: la differenza tra il valore della soluzione appena ottenuta ed il valore della soluzione corrente: ad una stessa temperatura, maggiore sarà questa differenza minore sarà la probabilità di accettare la nuova soluzione trovata; il valore corrente di t: più t sarà elevato, più sarà probabile che venga accettato un movimento in salita. 5.3 Metodi di ricerca diretta convergenti: teoria generale Il primo passo per definire un metodo di minimizzazione è quello di definire un opportuno insieme di direzioni di ricerca {p i k }, i = 1...r associato al punto corrente x k. Questo insieme di direzioni deve essere tale da fornire un informazione comparabile a quella che sarebbe data dal gradiente se fosse calcolabile, cioè la conoscenza dell andamento della funzione lungo {p i k }, i = 1...r deve essere sufficiente a caratterizzare l andamento locale della funzione. Questa proprietà può essere formalizzata tramite la seguente proposizione: Proposizione Data una sequenza di punti x k, le sequenze di direzioni {p i k }, i = 1...r sono limitate e tali che: lim k f(x k ) = 0 se e solo se lim k r i=0 min(0, f(x k) p i k ) = 0 75

86 5 Metodi di ottimizzazione Questa condizione equivale a richiedere che le derivate direzionali della funzione obiettivo rispetto all insieme delle direzioni di ricerca tendano ad assumere valori non negativi se e soltanto se l algoritmo si sta avvicinando ad un punto stazionario. L interesse di insiemi di direzioni che soddisfino questa condizione è reso evidente dal seguente teorema: Teorema Sia x k una sequenza di punti limitata e siano {p i k }, i = 1...r delle sequenze di direzioni che soddisfano la condizione Per ogni η > 0, esistono due parametri γ > 0 e δ > 0 tali che, per k sufficientemente grande, se x k soddisfa f(x k ) η, allora esiste una direzione p i k k, i k = 1...r tale che f(x k + αp i k k ) f(x k ) γ f(x k ) p i k k, per ogni α (0, δ]. Il teorema precedente giustifica l interesse teorico della condizione 5.3.1, che garantisce sempre la presenza di una buona direzione di discesa. L interesse pratico di questa condizione deriva inoltre dal fatto che numerose classi di direzioni la soddisfano. In particolare, un esempio di classe di direzioni che soddisfa la condizione è data da direzioni che spannano positivamente R n, che soddisfano cioè la seguente definizione. Proposizione Le direzioni {p 1...p r } spannano positivamente R n se, dato un qualunque punto R n, questo può essere espresso come combinazione a coefficienti non negativi di {p 1...p r }, cioè y = r i=1 βi p i, β i 0, i = 1...r. Un insieme di direzioni {p 1...p r } è una base positiva se spanna positivamente R n e nessun suo sottoinsieme proprio spanna R n Metodo di pattern search I metodi di tipo pattern search appartengono alla classe dei metodi di ricerca diretta e procedono valutando la funzione obiettivo su punti appartenenti ad una griglia. Questa griglia è indipendente dalla funzione obiettivo ed è definita da un insieme di direzioni e da uno scalare che indica la distanza tra i punti della griglia. L idea è quella di esplorare la griglia centrata nel punto corrente alla ricerca di un punto con funzione obiettivo migliore del punto corrente ([39]). L algoritmo del metodo di pattern search può essere schematizzato nel modo seguente: Si considerino come dati iniziali x 0 R n, 0 > 0, D R nxp Si pone k=0 76

87 5 Metodi di ottimizzazione Si determina uno spostamento s k = k d k Se f(x k +s k ) < f(x k ) si deve porre x k+1 = x k +s k, in caso contrario x k+1 = x k Si devono aggiornare d k e k, che rappresentano rispettivamente le direzioni e il passo che definiscono la griglia all iterazione corrente. Le colonne della matrice D k rappresentano le direzioni di ricerca lungo le quali avviene il campionamento della funzione obiettivo. Affinché questo campionamento sia significativo, tali direzioni devono soddisfare opportuni requisiti. In particolare, la matrice D k è definita tramite una matrice di base B R nxn e e una matrice generatrice intera C k Z nxp, p > 2n, tale che : D k = BC k. La mossa esplorativa deve produrre uno spostamento di lunghezza k lungo una delle direzioni d k D k e deve garantire che se uno spostamento k produce un decremento della funzione obiettivo, allora la mossa deve avere successo, cioè deve produrre un decremento della funzione obiettivo. Per quanto riguarda l aggiornamento di k, tipicamente avviene secondo la regola: k+1 = θ K se s k = 0 o λ k altrimenti, dove θ (0,1) e λ 1. Quindi, se un iterazione ha successo, riesce cioè a produrre un nuovo punto migliore del precedente, è possibile aumentare il passo (o lasciarlo invariato), mentre, se un iterazione fallisce, il passo viene diminuito. La procedura esplorativa deve soddisfare la seguente condizione: lo spostamento s k deve essere un elemento di k D k. Con queste ipotesi sulla mossa esplorativa e con questa regola di aggiornamento del parametro k si può arrivare al seguente risultato: Teorema Se la procedura esplorativa e l aggiornamento del parametro k sono eseguiti rispettando le regole definite sopra, allora lim k k = 0. La prossima proposizione stabilisce le proprietà di convergenza dell algoritmo Pattern Search nella sua versione più debole. Teorema Sia x k la successione prodotta dall algoritmo Pattern Search. Supponiamo che le direzioni d k soddisfino la condizione Se la procedura esplorativa e l aggiornamento del parametro k sono eseguiti rispettando le regole definite sopra, allora esiste un insieme infinito di indici k tali che: lim f(x k) = 0. k Conviene adesso spiegare brevemente come funziona l algoritmo del Pattern Search implementato in Matlab. 77

88 5 Metodi di ottimizzazione La ricerca inizia ad un valore iniziale, quello assunto dalla funzione obiettivo in corrispondenza del vettore dei parametri da identificare iniziale x 0. I passi dell algoritmo possono essere schematizzati nel modo seguente: Si genera un insieme di punti, utilizzando un insieme di direzioni d k e uno scalare che rappresenta la dimensione della mesh da creare. L insieme di punti ha come centro il vettore corrente contenente i valori dei parametri da identificare. Si valuta la funzione obiettivo su ogni punto del pattern creato in precedenza. Se la funzione obiettivo in un punto del pattern è minore del valore che assume in corrispondenza del punto corrente x 0, la ricerca ha successo e si procede nel modo seguente: Il punto che corrisponde al minimo della funzione obiettivo diventa il punto corrente. La dimensione della mesh viene raddoppiata, diventando 2. L algoritmo riparte da capo. Se la ricerca non ha successo si procede in questo modo: La dimensione della mesh viene dimezzata, diventando 2. Se la dimensione della mesh è sotto ad una soglia, le iterazioni si interrompono. In caso contrario, il punto corrente viene mantenuto uguale e si riparte da capo con l algoritmo. 78

89 Parte II Analisi numerica e applicazioni

90 Capitolo 6 Analisi sperimentale 6.1 Caratteristiche meccaniche e geometriche dell isolatore Le caratteristiche geometriche dei dispositivi di isolamento in gomma ed acciaio di maggior interesse nella progettazione delle strutture isolate sono: D diametro o dimensione di lato (per isolatore circolare o quadrato) t e altezza totale della gomma t i spessore dell i-esimo strato di gomma (tra 5 e 10 mm) t s spessore dei piatti di acciaio interni vulcanizzati alla gomma (spessore minimo 2 mm) H altezza totale dell isolatore n numero strati di gomma s spessore dei piatti terminali. Si definiscono inoltre due fattori geometrici che caratterizzano il comportamento dei dispositivi: S 1 = A L = D è detto fattore di forma primario ed è definito come rapporto 4t tra la superficie A in comune tra il singolo strato di elastomero e la singola lamina di acciaio, e la superficie laterale libera L del singolo strato di elastomero. A parità di diametro e di altezza totale dell isolatore, S 1 aumenta al diminuire dello spessore degli strati di gomma; in genere, viene assunto non 80

91 6 Analisi sperimentale inferiore a 12. Si osservi che il fattore di forma primario è legato alla rigidezza verticale dell isolatore, quindi alla sua instabilità locale, nonché alle deformazioni tangenziali della gomma e alle tensioni di trazione nei lamierini di acciaio prodotte dal carico verticale; S 2 = D è detto fattore di forma secondario ed è definito come il rapporto t e tra la dimensione in pianta D della singola piastra di acciaio e lo spessore totale t e degli strati di elastomero. Gli isolatori più bassi e/o più larghi sono caratterizzati da valori più elevati di S 2 ; esso viene in genere assunto non inferiore a 3. Il fattore di forma regola la stabilità degli isolatori in relazione alla portanza del carico verticale. Si noti come in particolare la snellezza dell isolatore risulti inversamente proporzionale a S 2. In figura 6.1 vengono illustrate le caratteristiche degli isolatori elastomerici nel caso di aumento o diminuzione del valore dei fattori di forma primario e secondario. Figura 6.1. Fattori di forma S 1 e S 2 I fattori di forma primario e secondario (S 1 e S 2 ), controllano rispettivamente la rigidezza verticale (controllando il confinamento della gomma) e la stabilità del dispositivo (controllando il rapporto di forma). Nella figura 6.2 si possono identificare le caratteristiche geometriche definite qui sopra. Le principali caratteristiche 81

92 6 Analisi sperimentale Figura 6.2. Caratteristiche geometriche dell isolatore meccaniche dell isolatore sono le seguenti: G= modulo di taglio della gomma; tale caratteristica per deformazioni di taglio γ comprese tra il 100% e il % risulta essere quasi costante e assume valori (identificati come i valori nominali) tra 0.4 e 1.4 MPa a seconda del tipo di gomma utilizzato (morbida, media, dura). A piccole deformazioni di taglio, il modulo G risulta in genere elevato, anche il triplo del valore assunto per deformazioni di taglio comprese tra il 150% ed il 200%. Anche a grandi deformazioni di taglio (γ > 200%), per la cristallizzazione della gomma, si osserva un incremento del modulo di taglio. ξ = smorzamento viscoso equivalente, anch esso costante per deformazioni di taglio γ comprese tra 150 e 200 %, generalmente pari al 10 % dello smorzamento critico. γ= deformazione di taglio di del dispositivo che in fase di progetto è in genere assunta pari a %; P m = tensione di compressione media che in fase di progetto è in genere assunta variabile tra 3 e 9 MPa; 6.2 Test sperimentali Per poter valutare la bontà del modello di Abe et al. sono stati utilizzati come dati sperimentali quelli riportati nell articolo [47], dove vengono proposti i grafici forza-spostamento di un isolatore elastomerico con nucleo in piombo, soggetto a spostamento orizzontale e a diversi valori di carico assiale, ciascuno di essi costante 82

93 6 Analisi sperimentale in ogni prova sperimentale. L isolatore utilizzato per eseguire i test sperimentali è costituito da 24 strati di gomma, ognuno di spessore di 2 mm, e un diametro di 250 mm. L isolatore con nucleo in piombo utilizzato nei test sperimentali è visualizzabile in figura 6.3. Il fattore di forma primario è 31.3 mentre quello secondario è 5.2. All interno dell isolatore è posizionato un nucleo in piombo di 50 mm di diametro, connesso alle piastre di ancoraggio inferiore e superiore tramite bullonatura. Ciascuno dei test sperimentali condotti sull isolatore consiste nell applicazione di uno spostamento orizzontale sinusoidale, caratterizzato da 4 cicli con deformazioni di taglio crescenti, di ampiezza pari a 50%, 100%, 200%, 300% e 400% ( questa percentuale rappresenta il rapporto tra spostamento orizzontale applicato all isolatore e altezza totale degli strati di gomma), e carico assiale costante. I test sperimentali condotti sull isolatore con nucleo in piombo sono stati eseguiti con i seguenti valori di forza assiale di compressione: 0, 5, 10, 20, 30 Mpa. I cicli di Figura 6.3. Isolatore con nucleo in piombo usato per i test sperimentali isteresi ottenuti dai test sperimentali condotti sull isolatore elastomerico in piombo sono riportati in figura 6.4 ([47]). Come si può notare dai grafici forza-spostamento ottenuti nei test sperimentali, l isolatore esibisce un aumento della rigidezza di taglio (fenomeno detto incrudimento) per valori di deformazione maggiori del 200% solo nel caso di azioni assiali pari a 0, 5 e 10 Mpa; questo fenomeno non si osserva invece nei grafici corrispondenti alle azioni assiali di 20 e 30 Mpa, dove l isolatore esibisce un deterioramento della rigidezza con il crescere dello spostamento applicato. Da questa osservazione si può dedurre che l aumento del modulo dell azione assiale che comprime l isolatore influisce sulla rigidezza orizzontale: al crescere della forza di compressione diminuisce la rigidezza di taglio dato che l effetto del carico maggiore che agisce sull isolatore è quello di diminuire la capacità resistente dell isolatore stesso; addirittura nel grafico forza-spostamento relativo al valore di compressione di 30 Mpa si ha una rigidezza negativa per valori di deformazione maggiori del 300%. Lo studio della diminuzione della rigidezza orizzontale a conseguenza di un carico assiale crescente fu condotto da Gent (1964) ([20]) e Derham e Thomas (1981)([11]), 83

94 6 Analisi sperimentale Figura 6.4. Diagrammi forza-spostamento ottenuti per diversi valori di carico assiale: a) 0 Mpa; b) 5 Mpa; c) 10 Mpa; d) 20 Mpa ; e) 30 Mpa che si basarono sulla teoria di Haringx. Simo e Kelly (1984)([43]) utilizzarono una modellazione ad elementi finiti per studiare come varia la rigidezza di taglio con il crescere dell azione assiale agente sull isolatore. Stanton et al. (1990) ([44]) e Roeder et al.(1987)([41]) studiarono la stabilità degli isolatori elastomerici sia sperimentalmente che teoricamente, prestando attenzione alla diminuzione dell altezza dell isolatore con il crescere dell azione assiale. Buckle e Kelly (1986)([6]) studiarono la stabilità degli isolatori elastomerici applicati ai ponti per smorzare le loro oscillazioni in caso di terremoto. La relazione proposta da Buckle e Kelly (1986) che esprime la variazione della rigidezza orizzontale in funzione del carico assiale è la seguente: K orizzontale = K orizzontale [1 ( P P critico ) 2 ] (6.1) 84

95 6 Analisi sperimentale dove P è il carico assiale agente sull isolatore, P critico il carico critico e K orizzontale la rigidezza orizzontale dell isolatore modificata per tenere conto dell effetto del carico assiale. Koh e Kelly (1988)([28]) svilupparono un modello meccanico costituito da due molle in modo da poter tenere conto dell influenza del carico assiale sulla rigidezza orizzontale dell isolatore. Il modello proposto da Koh e Kelly (1988) tiene conto dell influenza del carico assiale sulla rigidezza orizzontale degli isolatori elastomerici; per poter dimostrare la validità del loro modello essi hanno condotto dei test sperimentali in cui all isolatore è stata imposta una storia di spostamento caratterizzata da un andamento sinusoidale con diverse ampiezze crescenti e un carico assiale costante. Dato che il modello è lineare la molla di taglio e quella rotazionale hanno rigidezza costante; la rigidezza dell isolatore è in realtà non lineare e dipendente dallo spostamento orizzontale imposto al sistema di isolamento. Nagarajaiah and Ferrell (1999) proposero un modello non lineare basandosi su quello sviluppato da Koh e Kelly: nel loro studio gli autori dimostrarono la capacità del modello analitico di catturare l andamento forza-spostamento sperimentale, nel caso in cui l isolatore è soggetto all azione combinata di spostamento di taglio e carico assiale crescente. Questi autori dimostrarono inoltre che il carico critico dell isolatore si riduceva all aumentare dello spostamento orizzontale e la rigidezza orizzontale diminuiva con il crescere dello spostamento di taglio e del carico assiale. Iizuka (2000) propose un modello macroscopico per predire la risposta dell isolatore elastomerico a grandi deformazioni: questo modello è una versione modificata del modello a due molle ipotizzato da Koh e Kelly (1988), dato che vengono sostituite le molle originali lineari con molle non lineari. E stato dimostrato sperimentalmente ([42]) che, al crescere del modulo dell azione assiale agente sull isolatore, si ha una variazione del valore della forza a cui inizia lo snervamento del piombo. Un equazione empirica che descrive la variazione della forza di snervamento in funzione del carico assiale di compressione agente sull isolatore è al seguente: F y (t) = F y,0 (1 exp( P P 0 )) (6.2) dove P è il carico compressivo agente sull isolatore, P 0 è il carico critico assiale, F y (t) è la forza di snervamento variabile a seconda del valore del carico assiale e F y,0 è la forza di snervamento nominale caratteristica del piombo che si ha quando sull isolatore non agisce nessun carico assiale. Si assume che l isolatore abbia un carico di snervamento nullo in condizione di tensione. Se non specificato P 0 = 0, il che significa che lo snervamento uguaglia la forza di 85

96 6 Analisi sperimentale snervamento nominale. In questo lavoro di tesi è stata studiata l influenza del carico assiale sul valore di rigidezza di taglio nel caso in cui la risposta dell isolatore in termini di forza resistente è calcolata tramite il modello di Abe et al. Verranno individuate le leggi di evoluzione di ogni parametro del modello che definiscono la variazione del valore dei parametri all aumentare del carico di compressione. 6.3 Analisi di sensitività dei singoli parametri del modello di Abe et al. Il modello di Abe et al. utilizzato per descrivere la risposta dell isolatore elastomerico con nucleo in piombo è composto da 3 componenti di forza: una componente elastica non lineare, una elasto-plastica e una componente incrudente. Queste tre componenti di forza permettono, al variare dei valori dei parametri che compaiono in esse, di descrivere la risposta dell isolatore soggetto all azione combinata di spostamento di taglio e forza di compressione costante durante la storia di carico orizzontale. L obiettivo del lavoro di tesi è quello di trovare una legge di variazione di ogni singolo parametro del modello di Abe et al. che permetta di descrivere la sua variazione al crescere del valore di forza assiale che agisce sull isolatore. Per trovare le leggi di variazione di ogni parametro si hanno a disposizione 5 grafici forza-spostamento che rappresentano la risposta di un isolatore elastomerico con nucleo in piombo soggetto a una storia di carico orizzontale e a 5 diversi valori di forza assiale di compressione, ciascuna costante per ogni prova sperimentale. Per adesso focalizziamo la nostra attenzione sul grafico forza-spostamento dell isolatore al quale non è applicata nessuna forza di compressione. E interessante fare un analisi di sensitività di ogni singolo parametro che compare nel modello di Abe et al.: si fissa il valore di tutti i parametri tranne uno in modo da vedere qual è l effetto di ogni singolo parametro sul grafico forza-spostamento. E interessante studiare quale sia la zona di influenza di ogni singolo parametro del modello per riuscire ad ottenere una prima calibrazione dei parametri che meglio riproducono i dati sperimentali per ogni valore di forza assiale di compressione. In figura 6.5 il grafico blu rappresenta l andamento sperimentale mentre quello rosso è quello ottenuto implementando il modello di Abe et al. in Matlab. I valori dei parametri del modello utilizzati per riprodurre l andamento sperimentale in figura 6.5 sono i seguenti: K 1 = 10 KN, α = 3 mm, β = 0.015, a = 10 KN, b = 0.05 mm 1 mm, n = 0.4, Y 0 = 15 KN, U H = 95 mm, p = 1.95, U 0 = 1.8 mm, U S = 36 mm, 86

97 6 Analisi sperimentale Figura 6.5. Grafico forza-spostamento per σ = 0 K 2 = 0.1 KN mm, r = 2. Adesso analizziamo l influenza della variazione di ogni singolo parametro sul grafico forza-spostamento che rappresenta la risposta dell isolatore elastomerico. Parametro K 1 Il primo parametro analizzato è la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare, cioè K 1. Questa componente controlla la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare. 87

98 6 Analisi sperimentale Figura 6.6. Confronto tra due diversi valori di K 1, che definisce la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Si nota dal grafico 6.6 che il parametro K 1 controlla la pendenza iniziale del grafico forza-spostamento: al crescere del suo valore si ha un aumento della rigidezza iniziale del grafico e un aumento del valore di forza raggiunto al termine della fase elastica non lineare. L aumento di forza al termine della fase elastica non lineare è dovuto al fatto che, aumentando il valore di K 1, cresce il contributo della componente di forza F 1 e di conseguenza si ha un maggiore peso di questa componente al valore di forza resistente totale sviluppata dall isolatore. L aumento del valore del coefficiente K 1 determina una variazione della componente elasto-plastica che costituisce il modello di Abe et al. ed è visibile graficamente: si ha infatti una diminuzione dell ampiezza dei cicli di isteresi, come è visibile anche osservando il solo ciclo corrispondente al massimo spostamento orizzontale imposto all isolatore. Si ha inoltre un aumento del valore dei picchi di forza raggiunti in corrispondenza dei massimi spostamenti orizzontali sia positivi che negativi e questo determina un maggiore contributo della componente incrudente F 3 al valore di forza resistente totale esercitata dall isolatore. Si nota dal grafico 6.6 che al diminuire del valore del parametro K 1 si ha un diminuzione della rigidezza iniziale del grafico e una diminuzione del valore di forza raggiunto al termine della fase elastica non lineare. Oltre a questo effetto si può notare anche una variazione della componente elasto-plastica a conseguenza dell aumento del valore di K 1 : si ha infatti un aumento dell ampiezza dei cicli di isteresi, come è visibile anche osservando il solo ciclo corrispondente al massimo spostamento 88

99 6 Analisi sperimentale orizzontale imposto all isolatore. Si ha inoltre una diminuzione del valore dei picchi di forza raggiunti in corrispondenza dei massimi spostamenti orizzontali sia positivi che negativi e questo determina un minore contributo della componente incrudente F 3 al valore di forza resistente totale esercitata dall isolatore. Parametro α Passiamo ad analizzare il contributo del parametro α, responsabile del controllo della degradazione della rigidezza della molla elastica non lineare. Figura 6.7. Confronto tra diversi valori di α, che regola l evoluzione della degradazione della rigidezza, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % La figura 6.7 mostra che, all aumentare del valore del parametro α, si ha una degradazione più lenta della rigidezza da quella iniziale fino a quella completamente degradata. La forza al termine della fase elastica non lineare subisce un aumento e la degradazione della rigidezza che permette di arrivare ad un valore di forza resistente più basso avviene lentamente: la rigidezza di taglio è completamente degradata dopo il terzo ciclo di spostamento orizzontale applicato all isolatore. Per valori piccoli di α si ha invece una rapido passaggio dal valore di rigidezza elastica non lineare iniziale fino a quella completamente degradata, come si può vedere in figura 6.7. Il valore di forza al termine della fase elastica non lineare non subisce aumenti e la rigidezza di taglio completamente degradata viene raggiunta subito al termine della fase elastica lineare. La diminuzione del valore del coefficiente α determina una variazione della componente elasto-plastica che costituisce il modello di Abe et al. ed è visibile nel grafico in cui viene riportato un solo ciclo di carico e scarico al massimo valore si spostamento orizzontale: si ha un leggero aumento 89

100 6 Analisi sperimentale dell ampiezza dei cicli di isteresi con conseguente aumento dell energia dissipata. Si ha inoltre una diminuzione del valore del picco di forza raggiunto in corrispondenza del massimo spostamento orizzontale imposto all isolatore e questo determina un minore contributo della componente incrudente F 3 al valore di forza resistente totale esercitata dall isolatore. Parametro β Ora ci concentriamo sull influenza del parametro β sul grafico forza-spostamento dell isolatore con nucleo in piombo. Figura 6.8. Confronto tra diversi valori di β, che definisce il rapporto della rigidezza completamente degradata rispetto a K 1, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Dal grafico 6.8 si può notare che al crescere del coefficiente β, che rappresenta il rapporto della rigidezza completamente degradata rispetto alla rigidezza iniziale della molla elastica non lineare, si ha un aumento della rigidezza completamente degradata raggiunta al termine della fase elastica non lineare. L aumento del valore del coefficiente β determina una variazione della componente elasto-plastica che costituisce il modello di Abe et al. ed è visibile nel grafico in cui viene riportato un solo ciclo di carico e scarico al massimo valore si spostamento orizzontale: si ha una diminuzione dell ampiezza dei cicli di isteresi dato che il massimo valore di forza resistente aumenta e il grafico si assottiglia. Inoltre si ha un aumento del valore del picco di forza resistente raggiunto in corrispondenza del valore massimo di spostamento imposto all isolatore. L aumento del valore del parametro β va quindi ad agire direttamente sulla componente di forza F 1 del modello di Abe et al. ma 90

101 6 Analisi sperimentale influisce anche sulla componente elasto-plastica determinando una minore ampiezza dei cicli di isteresi e sulla componente incrudente, andando ad aumentare il valore del picco di forza. Se si diminuisce il valore di β, come mostrato in figura 6.8, si ha una diminuzione del valore della rigidezza completamente degradata raggiunta al termine della fase elastica non lineare. La diminuzione del valore del coefficiente β, nonostante agisca direttamente sulla componente di forza F 1, determina una variazione della componente elasto-plastica che costituisce il modello di Abe et al. ed è visibile nel grafico in cui viene riportato un solo ciclo di carico e scarico al massimo valore si spostamento orizzontale: si ha un aumento dell ampiezza dei cicli di isteresi dato che il massimo valore di forza resistente diminuisce e il grafico si amplifica per valori di deformazioni > 50 %. Inoltre si ha una diminuzione del valore del picco di forza resistente raggiunto in corrispondenza del valore massimo di spostamento imposto all isolatore. La diminuzione del valore del parametro β va quindi ad agire direttamente sulla componente di forza F 1 del modello di Abe et al. ma influisce anche sulla componente elasto-plastica determinando una maggiore ampiezza dei cicli di isteresi e sulla componente incrudente, andando a diminuire il valore del picco di forza. Parametro a Ora andiamo ad esaminare l influenza del parametro a, che rappresenta il valore di forza del comportamento elastico non lineare in piccole deformazioni. 91

102 6 Analisi sperimentale Figura 6.9. Confronto tra diversi valori di a, che definisce il valore della forza del comportamento elastico non lineare in piccole deformazioni, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Come osservabile nel grafico 6.9, l aumento del valore del coefficiente a determina un assottigliamento della regione del grafico forza-spostamento per valori di deformazione inferiori al 50%, corrispondenti alla componente elastica non lineare della risposta dell isolatore, con conseguente aumento della non linearità di questa zona, e un leggero aumento del valore di forza resistente raggiunto al termine della fase elastica non lineare. L aumento del valore del coefficiente a, nonostante agisca direttamente sulla componente di forza F 1, determina una variazione della componente elasto-plastica che costituisce il modello di Abe et al. ed è visibile nel grafico in cui viene riportato un solo ciclo di carico e scarico al massimo valore si spostamento orizzontale: si ha una leggera diminuzione dell ampiezza dei cicli di isteresi dato che il massimo valore di forza resistente aumenta e il grafico si assottiglia, in particola modo nella regione elastico non lineare. Inoltre si ha un aumento del valore del picco di forza resistente raggiunto in corrispondenza del valore massimo di spostamento imposto all isolatore. L aumento del valore del parametro a va quindi ad agire direttamente sulla componente di forza F 1 del modello di Abe et al. ma influisce anche sulla componente elasto-plastica determinando una minore ampiezza dei cicli di isteresi e sulla componente incrudente, andando ad aumentare il valore del picco di forza. Una diminuzione del valore di a determina un ampliamento della regione del grafico forza-spostamento per valori di deformazione inferiori al 50%,determinando così una maggiore dissipazione in questa regione elastica non lineare del grafico forzaspostamento. Inoltre si ha una leggera diminuzione del valore di forza resistente 92

103 6 Analisi sperimentale raggiunto al termine della fase elastica non lineare. La diminuzione del valore del coefficiente a, nonostante agisca direttamente sulla componente di forza F 1, determina una variazione della componente elasto-plastica che costituisce il modello di Abe et al. ed è visibile nel grafico in cui viene riportato un solo ciclo di carico e scarico al massimo valore si spostamento orizzontale: si ha un aumento dell ampiezza dei cicli di isteresi dato che il massimo valore di forza resistente diminuisce e il grafico si amplifica per valori di deformazioni > 50 %. Inoltre si ha una diminuzione del valore del picco di forza resistente raggiunto in corrispondenza del valore massimo di spostamento imposto all isolatore. La diminuzione del valore del parametro a va quindi ad agire direttamente sulla componente di forza F 1 del modello di Abe et al. ma influisce anche sulla componente elasto-plastica determinando una maggiore ampiezza dei cicli di isteresi e sulla componente incrudente, andando a diminuire il valore del picco di forza. Parametro b Ora passiamo a discutere l effetto di b, l ultimo tra i parametri che permettono di descrivere il contributo elastico non lineare alla forza resistente totale; questo parametro descrive l evoluzione del comportamento elastico non lineare in piccole deformazioni. Un aumento del valore del parametro b determina un assottigliamento del grafico forza-spostamento nella regione elastica non lineare, cioè per deformazioni inferiori al 50 %, come si può osservare nell immagine 6.10, ed un aumento della non linearità di questa zona del grafico forza-spostamento. L aumento del valore del parametro b va ad agire soltanto sulla componente F 1 della forza resistente totale esercitata dall isolatore e questo può essere constatato anche graficamente, dato che l unico effetto della variazione del parametro si ha nella regione corrispondente a deformazioni di taglio inferiori al 50 %. 93

104 6 Analisi sperimentale Figura Confronto tra diversi valori di b, che regola l evoluzione del comportamento elastico non lineare in piccole deformazioni, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Una diminuzione del valore di b determina un ampliamento del grafico forzaspostamento nella zona elastica non lineare, con conseguente diminuzione della non linearità,un aumento della dissipazione di energia nella zona elastica non lineare corrispondente a deformazioni di taglio inferiori al 50 % e una diminuzione del valore di forza resitente raggiunta al termine della fase elastica non lineare. La diminuzione del valore del parametro b va ad agire direttamente sulla componente F 1 della forza resistente totale esercitata dall isolatore ma ha influenza anche sulla componente elasto-plastica F 2, determinando un leggero aumento dell ampiezza dei cicli di isteresi che si hanno per valori di deformazione di taglio > al 50 % come conseguenza dell ampliamento della zona elastica non lineare. Ora passiamo ad esaminare l influenza dei parametri della componente elastoplastica sul grafico-spostamento della risposta dell isolatore; essi andranno ad influire sull ampiezza dei cicli di isteresi, sul valore di forza allo snervamento e sul picco di forza resistente raggiunto in corrispondenza del massimo spostamento di taglio imposto all isolatore. Parametro n Il primo parametro da prendere in considerazione è n, che controlla il raccordo tra fase elastica e plastica. Un aumento del valore di questo parametro determina un aumento della pendenza dei rami di scarico elastico nella zona elasto-plastica per 94

105 6 Analisi sperimentale valori di deformazione superiori al 50 %. Si ha un effetto dell aumento del valore del parametro n anche sulla forma dei cicli di isteresi: essi si presentano più ampi e con profili più bruschi, determinando così un aumento della componente elasto-plastica al valore di forza resistente totale sviluppata dall isolatore. Figura Confronto tra due diversi valori di n, che controlla il raccordo tra fasae elastica e fase plasica, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Una diminuzione del valore del parametro n ha come effetto quello di rendere più fluido il raccordo tra rami di scarico e carico nella fase elasto-plastica e di causare una diminuzione dell ampiezza dei cicli di isteresi per valori di deformazione di taglio superiori al 50 %, come osservabile in figura I rami di scarico elastico della fase elasto-plastica sono meno ripidi e questo determina una minore ampiezza dei cicli, con conseguente diminuzione dell energia dissipata dal sistema di isolamento. La diminuzione del valore del parametro n va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente elastica non lineare del grafico forza-deformazione; si nota infatti una diminuzione dell ampiezza della zona del grafico corrispondente a valori di deformazione inferiore al 50 %. Parametro Y 0 Ora passiamo a studiare l influenza del parametro Y 0 sul grafico forza-spostamento che rappresenta la risposta dell isolatore con nucleo in piombo. Questo parametro rappresenta il valore di forza di snervamento iniziale che, come abbiamo già detto in precedenza, aumenta con il crescere del numero di cicli di spostamento applicati all isolatore. 95

106 6 Analisi sperimentale Figura Confronto tra diversi valori di Y 0, che definisce la forza di snervamento iniziale, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Un aumento del valore del parametro Y 0 determina un aumento del valore di forza che si ha in corrispondenza dello snervamento iniziale, come si può osservare nella figura L aumento del valore di forza allo snervamento determina un ampliamento dei cicli di isteresi, con conseguente aumento dell energia totale dissipata dall isolatore. L aumento del valore del parametro Y 0 va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente elastica non lineare del grafico forza-deformazione, andando ad amplificare la zona corrispondente a valori di deformazione inferiori al 50%. Inoltre, nonostante si vada ad agire sulla sola componente di forza F 2, si ha anche un aumento del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento imposto all isolatore, con conseguente aumento del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata dall isolatore. Una diminuzione del parametro Y 0 determina un abbassamento del valore di forza allo snervamento iniziale con conseguente riduzione dell ampiezza dei cicli di isteresi, come osservabile nella figura 6.12.La diminuzione del valore del parametro Y 0 va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente elastica non lineare del grafico forza-deformazione, dato che si ha un assottigliamento del grafico per valori di deformazione di taglio inferiori al 50 %. Inoltre, nonostante si vada ad agire sulla sola componente di forza F 2, si ha anche una diminuzione del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento imposto all isolatore, con conseguente diminuzione del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata dall isolatore. 96

107 6 Analisi sperimentale Parametro U 0 Ora passiamo ad esaminare l influenza del parametro U 0 sul grafico forza-spostamento che rappresenta la risposta dell isolatore. Questo parametro rappresenta il valore dello spostamento a cui inizia lo snervamento, cioè quando iniziano ad esserci delle deformazioni plastiche che non sono recuperabili. Figura Confronto tra diversi valori di U 0, che definisce il valore di spostamento a cui inizia lo snervamento, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Un aumento del valore del parametro U 0 determina un ritardo nell inizio della fase plastica: questo si traduce una diminuzione dell ampiezza dei cicli di isteresi con conseguente diminuzione dell energia dissipata dall isolatore e una minore pendenza dei rami di scarico elastico della fase elasto-plastica, come visibile in figura L aumento del valore del parametro U 0 va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente elastica non lineare del grafico forza-deformazione, dato che si può osservare graficamente un assottigliamento della zona elastica non lineare corrispondente a valori di deformazione inferiori al 50 %. Inoltre, nonostante si vada ad agire sulla sola componente di forza F 2, si ha anche una diminuzione del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento imposto all isolatore, con conseguente diminuzione del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata dall isolatore. Un valore del parametro U 0 molto basso, prossimo allo zero, determina un anticipo nell inizio della fase plastica; questo ha come conseguenze una maggiore ampiezza dei cicli di isteresi e quindi maggiore energia dissipata dall isolatore per smorzare gli effetti di un evento sismico. Dal 97

108 6 Analisi sperimentale grafico 6.13 si può notare che i rami di scarico elastico per spostamenti imposti all isolatore sia positivi che negativi sono più pendenti rispetto al caso con un valore di U 0 più grande: questo determina l aumento di ampiezze dei cicli di isteresi, e quindi un maggiore contributo della componente elasto-plastica al valore di forza resistente totale. La diminuzione del valore del parametro U 0 va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente elastica non lineare del grafico forza-deformazione, dato che si può osservare graficamente un ampliamento della zona elastica non lineare corrispondente a valori di deformazione inferiori al 50 %. Inoltre, nonostante si vada ad agire sulla sola componente di forza F 2, si ha anche un aumento del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento imposto all isolatore, con conseguente aumento del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata dall isolatore. Parametro U H Ora analizziamo l effetto di una variazione del parametro U H sul grafico forzaspostamento che rappresenta la risposta dell isolatore. Questo parametro rappresenta il valore dello spostamento a cui inizia la fase di incrudimento, cioè la fase in cui un aumento di rigidezza di taglio del grafico forza-spostamento. In genere questa fase inizia per deformazioni di taglio γ pari al %. Noteremo più avanti che, con l aumentare del valore dell azione assiale di compressione agente sull isolatore, si ha una variazione del valore di spostamento a cui inizia l incrudimento. Un aumento del valore del parametro U H determina un ritardo nell inizio della fase di incrudimento con conseguente diminuzione dell ampiezza dei cicli d isteresi per valori di deformazione di taglio superiori al 50 %, come si può osservare in figura L aumento del valore del parametro U H va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente di forza incrudente, dato che si può osservare graficamente una diminuzione del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento imposto all isolatore, con conseguente diminuzione del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata dall isolatore. 98

109 6 Analisi sperimentale Figura Confronto tra diversi valori di U H, che definisce lo spostamento a cui inizia l incrudimento, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Una diminuzione del valore del parametro U H determina un anticipo nell inizio della fase di incrudimento nel grafico forza-spostamento: questo causa una maggiore ampiezza dei cicli di isteresi per valori di deformazione di taglio superiori al 50 %, come si può osservare in figura La diminuzione del valore del parametro U H va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente di forza incrudente, dato che si può osservare graficamente un aumento del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento imposto all isolatore, con conseguente aumento del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata dall isolatore. Parametro p Ora passiamo a discutere l effetto di una variazione del parametro p sul grafico forzaspostamento che descrive la risposta dell isolatore. Questo parametro definisce la forma della curva di incrudimento. Un aumento del valore del parametro p determina un ampliamento dei cicli di isteresi per valori di deformazione di taglio γ > 150 %, corrispondenti a uno spostamento applicato all isolatore maggiore di 80 mm, come si può osservare in figura L aumento del valore del parametro p va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente di forza incrudente, dato che si può osservare graficamente un aumento del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento 99

110 6 Analisi sperimentale imposto all isolatore, con conseguente aumento del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata dall isolatore. Il grafico forza-spostamento ha una concavità maggiore per deformazioni di taglio superiori al 200 % e questo determina una crescita più rapida del valore di forza resistente esercitata dall isolatore. Figura Confronto tra diversi valori di p, che definisce la forma della curva di incrudimento, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Una diminuzione del valore del parametro p determina una diminuzione dell ampiezza dei cicli di isteresi per valori di deformazione di taglio > 150 %,corrispondenti a uno spostamento applicato all isolatore maggiore di 80 mm, come si può osservare in figura La diminuzione del valore del parametro p va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente di forza incrudente, dato che si può osservare graficamente una diminuzione del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento imposto all isolatore, con conseguente diminuzione del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata dall isolatore. Il grafico forza-spostamento è quasi lineare per deformazioni superiori al 200 % e questo determina una crescita più lenta del valore di forza resistente esercitata dall isolatore. Inoltre, nonostante la diminuzione del valore del coefficiente p vada a modificare direttamente il valore della componente di forza F 2, si ha un influenza anche sulla zona elastica non lineare con un aumento dell ampiezza del grafico per valori di deformazione < del 50 %. Parametro U S Ora passiamo ad esaminare l influenza dell ultimo parametro che va a definire la componente di forza isteretica F 2 del modello di Abe et al.: si tratta del parametro 100

111 6 Analisi sperimentale U S che controlla il degrado della rigidezza elastica della molla elasto-plastica. Un aumento del valore del parametro U S agisce a livello di rigidezza dei rami di scarico elastico, per spostamenti orizzontali sia positivi che negativi, e determina una maggiore pendenza dei rami di scarico elastici con conseguente aumento di ampiezza dei cicli di isteresi, quindi un maggiore contributo della componente elastoplastica al valore di forza resistente totale, come si può osservare in figura A conseguenza dell aumento della pendenza dei rami di scarico elastico si ha una degradazione più lenta della rigidezza elastica verso il valore di rigidezza che il grafico forza-spostamento assume nella fase di carico successiva allo scarico. Figura Confronto tra diversi valori di U S, che regola la degradazione della rigidezza elastica della molla elasto-plastica, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Una diminuzione del valore di U S determina una diminuzione di pendenza dei rami di scarico elastico per spostamenti imposti all isolatore sia positivi che negativi, determinando una degradazione della rigidezza elastica della molla elasto-plastica più rapida rispetto al grafico corrispondente ad un valore del parametro U S maggiore. A conseguenza della diminuzione della pendenza dei rami di scarico elastico si ha una degradazione più rapida della rigidezza elastica verso il valore di rigidezza che il grafico forza-spostamento assume nella fase di carico successiva allo scarico. La diminuzione del valore di U S determina anche una riduzione dell ampiezza dei cicli di isteresi, diminuendo così il contributo della componente elasto-plastica al valore di forza resistente totale. La diminuzione del valore del parametro U S va ad agire direttamente sul valore della componente elasto-plastica F 2 del modello di Abe et al. ma si ha un influenza anche sulla componente di forza incrudente, dato che si può osservare graficamente una diminuzione del valore di forza di picco corrispondente al massimo spostamento imposto all isolatore, con conseguente diminuzione del contributo della componente incrudente al valore di forza totale resistente sviluppata 101

112 6 Analisi sperimentale dall isolatore. Il grafico forza-spostamento è quasi lineare per deformazioni superiori al 200 % e questo determina una crescita più lenta del valore di forza resistente esercitata dall isolatore. Inoltre, nonostante la diminuzione del valore del coefficiente U s vada a modificare direttamente il valore della componente di forza F 2, si ha un influenza anche sulla zona elastica non lineare con una diminuzione dell ampiezza del grafico per valori di deformazione < del 50%. Ora passiamo a discutere l effetto della variazione dei due parametri che determinano il contributo incrudente alla forza resistente totale. La variazione di questi parametri va ad agire sul valore di picco di forza raggiunto in corrispondenza del massimo valore di spostamento orizzontale imposto all isolatore e sulla forma della curva di incrudimento, corrispondente al tratto di grafico forza-spostamento con valori di deformazione di taglio γ > 200%. Parametro K 2 Come primo parametro analizziamo K 2, che rappresenta il contributo della molla incrudente al valore di forza resistente totale calcolata con il modello di Abe et al. Un aumento del valore di questo parametro determina un maggiore contributo della componente incrudente alla forza totale resistente, che si traduce in un aumento della pendenza del grafico forza-spostamento per valori di deformazioni di taglio γ > 200%, un aumento della forza di picco raggiunto in corrispondenza del massimo valore di spostamento orizzontale imposto all isolatore, un leggero assottigliamento dei cicli di isteresi per valori di deformazioni γ > 200% a causa della maggiore pendenza del grafico. 102

113 6 Analisi sperimentale Figura Confronto tra diversi valori di K 2, che definisce il contributo della molla incrudente al valore di forza totale, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Una diminuzione del valore del parametro K 2 determina un minore contributo della componente incrudente alla forza totale resistente dell isolatore, che si traduce in una diminuzione del valore di picco di forza raggiunto in corrispondenza del massimo spostamento orizzontale imposto all isolatore, una diminuzione della pendenza del grafico forza-spostamento ed un leggero ampliamento dei cicli d isteresi per valori di deformazione di taglio γ > 200%. Il grafico forza-spostamento per valori di deformazioni di taglio γ > 200 % ha un andamento più lineare rispetto a quello del grafico corrispondente ad un valore di K 2 più elevato, in cui si ha un andamento parabolico con una crescita più rapida del valore di forza resistente, come si può osservare in figura Parametro r Ora analizziamo l influenza della variazione del parametro r sul grafico forza-spostamento che rappresenta la risposta dell isolatore elastomerico. Il parametro r definisce la forma della curva di incrudimento. Un aumento del valore di r determina un maggiore contributo della componente incrudente alla forza totale resistente esercitata dall isolatore, che si traduce in un aumento della pendenza del grafico forza-spostamento per valori di deformazioni di taglio γ > 200%, un aumento della forza di picco raggiunto in corrispondenza del massimo valore di spostamento orizzontale imposto all isolatore, un leggero assottigliamento dei cicli di isteresi per valori di deformazioni γ > 200% a causa della maggiore pendenza del grafico. 103

114 6 Analisi sperimentale Figura Confronto tra due diversi valori di r, che definisce la forma della curva di incrudimento, relativi ad un valore di deformazione massima γ del 400 % Una diminuzione del valore del parametro r determina un minore contributo della componente incrudente alla forza totale resistente dell isolatore, che si traduce in una diminuzione del valore di picco di forza raggiunto in corrispondenza del massimo spostamento orizzontale imposto all isolatore, una diminuzione della pendenza del grafico forza-spostamento ed un leggero ampliamento dei cicli d isteresi per valori di deformazione di taglio γ > 200%. Il grafico forza-spostamento per valori di deformazioni di taglio γ > 200 % ha un andamento più lineare rispetto a quello del grafico corrispondente ad un valore di r più elevato, in cui si ha un andamento parabolico con una crescita più rapida del valore di forza resistente, come si può osservare in figura

115 Capitolo 7 Risultati numerici 7.1 Risultati numerici senza ottimizzazione Dopo aver fatto un analisi di sensitività dei singoli parametri del modello di Abe et al. è possibile proporre i grafici che sono stati ottenuti utilizzando un codice implementato in Matlab, che ha come output il grafico forza-spostamento dell isolatore con nucleo in piombo testato in laboratorio ([47]) soggetto alla stessa storia di spostamento orizzontale ma a diversi carichi verticali. Tramite Matlab è stato possibile implementare il modello di Abe et al. per calcolare la risposta dell isolatore soggetto alla stessa storia di spostamento orizzontale e 5 diversi valori di azione assiale di compressione. Per trovare i valori dei parametri del modello di Abe et al. che meglio riproducessero l andamento sperimentale è stata fatta un analisi ingegneristica, ottenuta facendo variare i singoli parametri in accordo con i risultati dell analisi di sensitività: per esempio per passare dal grafico corrispondente ad un azione assiale nulla a quello corrispondente ad un azione di compressione pari a 5 MPa sono stati modificati i parametri che permettessero di avere un minore contributo della componente incrudente, un leggero ampliamento dei cicli di isteresi e una diminuzione del valore di picco di forza resistente. Si è proceduto in questo modo per ottenere gli altri grafici forza-spostamento in modo che ci fosse una buona riproduzione dei dati sperimentali. I parametri del modello di Abe et al. determinati per ogni valore di forza di compressione agente sull isolatore sono stati quindi identificati dall utente (human-driven), senza usufruire di alcun metodo di ottimizzazione. In seguito verranno riportati i valori dei parametri identificati tramite due diverse procedure di ottimizzazione. Qui sotto vengono riportati i grafici forza-spostamento relativi ai 5 valori di forza di compressione agente sull isolatore. Nelle figure 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 e 7.5 il grafico blu rappresenta la risposta sperimentale dell isolatore con nucleo in piombo soggetto alla stessa storia di spostamento 105

116 7 Risultati numerici Figura 7.1. Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 0 MPa Figura 7.2. Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 5 MPa 106

117 7 Risultati numerici Figura 7.3. Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 10 MPa Figura 7.4. Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 20 MPa 107

118 7 Risultati numerici Figura 7.5. Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa di taglio ma a diversi valori di forza assiale di compressione mentre il grafico rosso rappresenta la risposta dell isolatore calcolata utilizzando il modello di Abe et al. implementato in Matlab, con parametri identificati dall utente (human-driven) senza l ausilio di algoritmi di ottimizzazione. Nella tabella 7.1 sono riportati i valori dei parametri del modello di Abe et al. identificati senza l utilizzo di alcun algoritmo di ottimizzazione, ma soltanto basandosi sui risultati dell analisi di sensitività condotta per ogni parametro del modello. I parametri riportati in rosso sono quelli che vengono mantenuti costanti nell identificazione condotta senza l utilizzo di un algoritmo di ottimizzazione. Nell ultima riga della tabella vengono riportati i valori degli errori relativi, misurati come il rapporto tra la norma L 2 dello scarto tra la forza resistente numerica e quella sperimentale e il valore di forza resistente massima ottenuta nei cicli di carico. errore relativo = n i=0 (F modello(u i, θ) F (u i )) 2 F max dove F max è il massimo valore di forza resistente sperimentale. Osservando la tabella 7.1 si può notare che alcuni parametri rimangono invariati al crescere del valore dell azione assiale agente sull isolatore mentre altri subiscono un aumento o una diminuzione con il crescere della forza di compressione. La calibrazione effettuata senza l aiuto di alcun algoritmo di ottimizzazione stabilisce che 108

119 7 Risultati numerici Tabella 7.1. Valori dei parametri del modello di Abe et al. per diversi valori di azione assiale σ = 0 MPa σ = 5 MPa σ = 10 MPa σ = 20 MPa σ = 30 MPa K α β a b n Y U H p U U S K r errore relativo i seguenti parametri non subiscono variazioni al crescere del valore di forza assiale: la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare K 1, il parametro α che controlla l evoluzione della degradazione della rigidezza elastica non lineare, il valore della forza a del comportamento elastico non lineare che si osserva per piccoli valori di deformazione di taglio γ, il parametro b che controlla l evoluzione del comportamento elastico non lineare, il parametro n che controlla il raccordo tra fase elastica non lineare e plastica, il valore U 0 dello spostamento a cui inizia lo snervamento e il parametro U S che controlla la degradazione della rigidezza della molla elastoplastica. I parametri legati al comportamento elastico non lineare che si osserva per deformazioni di taglio inferiori al 50% rimangono inalterati in quanto l andamento del grafico forza-spostamento è pressoché uguale per tutti i valori di forza assiale di compressione agente sull isolatore; quello che varia con l aumentare del carico di compressione è il rapporto tra la rigidezza elastica non lineare iniziale e quella completamente degradata che si ha con l inizio della fase elasto-plastica e il valore di forza allo snervamento iniziale. Per quanto riguarda i parametri che descrivono la componente isteretica F 2 nel modello di Abe et al. si può notare che, in base a una prima analisi e identificazione dei parametri, il valore dello spostamento a cui inizia lo snervamento è uguale per tutti i valori di forza assiale agente sull isolatore mentre varia la forza Y 0 a cui inizia lo snervamento. Dato che il raccordo tra fase elastica non lineare e fase plastica rimane pressoché uguale all aumentare del valore del carico assiale, il valore di n non subisce variazione e rimane costante al variare della forza di compressione. E stato supposto che il parametro U S che controlla il 109

120 7 Risultati numerici degrado della rigidezza della molla elasto-plastica non variasse con l aumentare del carico assiale dato che i rami di scarico di tutti i grafici hanno più o meno la stessa pendenza, per spostamenti di taglio imposti all isolatore sia positivi che negativi. Adesso invece andiamo ad analizzare il motivo per cui gli altri parametri del modello di Abe et al. subiscono variazioni con il crescere della forza di compressione che agisce sull isolatore: Il valore β del rapporto della rigidezza completamente degradata rispetto a K 1 diminuisce all aumentare del carico assiale perché con il crescere del carico assiale si ha una diminuzione della rigidezza orizzontale; La rigidezza iniziale K 1 della molla elastica non lineare non varia al crescere della forza assiale in quanto questo valore non è influenzato dalla forza assiale; il comportamento elastico non lineare rimane pressoché invariato al crescere della forza assiale, sono le parti elasto-plastica e incrudente ad essere modificate; Lo spostamento a cui inizia l incrudimento U H aumenta con il crescere della forza assiale, come si può notare anche dai grafici sperimentali. Questo valore coincide con lo spostamento in cui si passa dall avere un grafico forzaspostamento di tipo lineare ad un grafico che ha un andamento circa parabolico corrispondente alla fase incrudente; questo fenomeno è giustificato dal fatto che le catene polimeriche della gomma che costituisce l isolatore elastomerico si ordinano con l applicazione della forza e diventano più rigide. Il valore di questo spostamento aumenta con il crescere del carico assiale perché la gomma diventa sempre più cedevole (come si nota dalla diminuzione del valore della rigidezza orizzontale degradata) e quindi si ha un peso sempre minore del contributo del tratto incrudente nel grafico forza-spostamento. Con il crescere del valore della forza di compressione la gomma si indebolisce e la forza resistente sviluppata dall isolatore diminuisce; questo fatto è in accordo con la diminuzione del contributo del tratto incrudente al valore di forza totale resistente. Per il carico assiale di 30 Mpa la rigidezza orizzontale diventa circa nulla: in questo caso non è presente il classico andamento incrudente del grafico ma si hanno cicli di isteresi che hanno una pancia rivolta verso il basso, con il ramo di scarico dei cicli al massimo spostamento orizzontale che passa dal primo al secondo quadrante, e dal terzo al quarto quadrante, del sistema di riferimento (Forza,spostamento); Il valore del parametro che prescrive la forma della curva di incrudimento p aumenta con il crescere del carico assiale perché, come si può notare dai grafici sperimentali, i cicli di isteresi diventano sempre più ampi; per tenere conto di questo comportamento bisogna aumentare il valore del parametro p; 110

121 7 Risultati numerici Il valore della costante K 2 che descrive il contributo della molla incrudente diminuisce con l aumentare del carico assiale perché, come già detto, con il crescere del valore della forza di compressione che preme sull isolatore la gomma perde la sua rigidezza e si ha una conseguente diminuzione della rigidezza orizzontale. La forma caratteristica del tratto incrudente può essere visualizzata nel grafico corrispondente a forza assiale nulla; man mano che aumenta il carico assiale il tratto incrudente inizia a valori di spostamento più elevati e la forza che viene raggiunta al termine di questa fase diminuisce progressivamente, finché, in corrispondenza del carico di 30 Mpa si ha una rigidezza orizzontale nulla; Il valore del parametro r che prescrive la forma della curva di incrudimento aumenta con l aumentare del carico assiale perché i cicli di isteresi diventano sempre più ampi con il crescere del valore della compressione. Il tratto incrudente inizia in corrispondenza di un valore di spostamento sempre maggiore; inoltre i cicli isteretici per spostamenti elevati (superiori ai 100 mm) sono sempre più ampi e in corrispondenza di essi viene raggiunto un valore di forza resistente sempre minore: ciò è giustificato dal fatto che la gomma diventa più cedevole e la sua struttura fatta di catene polimeriche è meno resistente. Il crescere del valore del parametro r permette di catturare l aumento dell ampiezza dei cicli che si osserva sperimentalmente per valori di forze assiali crescenti. L obiettivo di questo lavoro di tesi non è solo quello di identificare i valori dei parametri del modello di Abe e al. che permettono di riprodurre i grafici sperimentali per ogni valore di forza assiale, ma anche quello di individuare le leggi di evoluzione di ogni singolo parametro al variare del valore di forza di compressione che preme l isolatore. Una volta trovate le leggi di variazione di ogni singolo parametro del modello di Abe et al. è possibile trovare i valori dei parametri adatti a descrivere la risposta dell isolatore elastomerico quando è soggetto ad un qualsiasi valore di forza assiale costante oppure ad una storia di carico con azione assiale che varia istantaneamente. Dopo aver identificato i valori dei parametri del modello di Abe et al. dall utente (human-driven) e, successivamente, utilizzando due diversi algoritmi di ottimizzazione, le leggi di evoluzione di ognuno di essi sono state ricavate minimizzando l errore quadratico medio, dato dalla radice quadrata dello scarto tra il valore dei parametri ottenuti utilizzando le rispettiva legge di variazione e i 5 valori identificati al quadrato, e prevedendo la futura evoluzione del parametro per valori di azione assiale maggiori di 30 MPa errore relativo = 5 (y(σ i ) parametro i ) 2 i=0 111

122 7 Risultati numerici dove y è la legge di evoluzione di ogni singolo parametro. Avendo già osservato che alcuni parametri rimangono costanti al variare del valore dell azione di compressione, analizzeremo soltanto la legge di evoluzione di quelli che subiscono un aumento o diminuzione. Figura 7.6. Legge di variazione del parametro β Come si può notare dalla figura 7.6 il parametro β ha un andamento logaritmico decrescente al variare del valore della forza assiale di compressione che agisce sull isolatore. Nella figura 7.6 compare la legge di evoluzione del parametro beta al crescere del valore di forza assiale di compressione che preme l isolatore: y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Questo andamento indica che si ha una rapida diminuzione del valore del parametro al crescere del valore di forza che agisce sull isolatore. Per un azione assiale di 30 MPa la rigidezza di taglio completamente degradata è quasi nulla, dato che il grafico forza-spostamento ha un andamento orizzontale superata la fase elastica non lineare. Si ha quindi un rapido deterioramento della rigidezza orizzontale dato che l aumento della forza di compressione determina una minore resistenza della gomma che costituisce l isolatore elastomerico. 112

123 7 Risultati numerici Figura 7.7. Legge di variazione del parametro Y 0 Il parametro Y 0, che rappresenta il valore di forza in corrispondenza dello snervamento, aumenta con il crescere del valore di forza assiale che agisce sull isolatore. Il valore di questo parametro aumenta linearmente dato che, con il crescere del valore di forza assiale, la rigidezza completamente degradata alla fine della fase elastica non lineare diminuisce sempre di più fino a diventare nulla; di conseguenza il valore di forza in corrispondenza dello snervamento cresce in modo da poter adattarsi alla riduzione della rigidezza di taglio. In figura 7.7 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. 113

124 7 Risultati numerici Figura 7.8. Legge di variazione del parametro U H Il valore dello spostamento U H a cui inizia l incrudimento aumenta con il crescere del valore di forza assiale che preme l isolatore dato che, diminuendo la rigidezza di taglio, la gomma diventa più cedevole e diminuisce il valore di forza resistente esercitata dall isolatore: questo determina un minore contributo della componente incrudente al valore della forza resistente totale. Il valore del parametro U H aumenta in modo parabolico con il crescere dell azione di compressione proprio per tenere conto della diminuzione del contributo della componente incrudente F 3 al valore di forza totale resistente. Nella figura 7.8 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. 114

125 7 Risultati numerici Figura 7.9. Legge di variazione del parametro p Il valore del parametro p che descrive la forma della curva di incrudimento aumenta con il crescere dell azione assiale di compressione che preme l isolatore. Il valore del parametro aumenta in modo parabolico con il crescere della forza di compressione. Il parametro p governa la forma dei cicli di isteresi per deformazioni di taglio γ > 200 %: l aumento del suo valore è legato ad un aumento di ampiezza dei cicli di isteresi che si osserva nei grafici forza-spostamento con l aumentare della forza assiale. Nella figura 7.9 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. 115

126 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro k 2 Il valore del parametro K 2 diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Il parametro K 2 diminuisce perché con il crescere del valore della forza di compressione che preme sull isolatore la gomma perde la sua rigidezza e si ha una conseguente diminuzione della rigidezza orizzontale; si ha di quindi un minore contributo della componente incrudente al valore di forza resistente totale. Il parametro K 2 varia con una legge parabolica con il crescere della forza di compressione. Nella figura 7.10 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. 116

127 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro r Il valore del parametro r che prescrive la forma della curva di incrudimento aumenta con l aumentare del carico assiale perché i cicli di isteresi diventano sempre più ampi con il crescere del valore della compressione. Il parametro r ha una legge di evoluzione parabolica al crescere del valore di forza assiale. Il tratto incrudente inizia in corrispondenza di un valore di spostamento sempre maggiore; inoltre i cicli isteretici per spostamenti elevati(superiori ai 100 mm) sono sempre più ampi e in corrispondenza di essi viene raggiunto un valore di forza resistente sempre minore: cioè è giustificato dal fatto che la gomma diventa più cedevole e la sua struttura fatta di catene polimeriche è meno resistente. Il crescere del valore del parametro r permette di catturare l aumento dell ampiezza dei cicli che si osserva sperimentalmente per valori di forze assiali crescenti. Nella figura 7.11 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. 7.2 Risultati numerici con ottimizzazione Pattern Search Nella sezione precedente sono stati trovati i valori dei parametri del modello di Abe et al. per ogni valore di forza assiale senza fare uso di alcun algoritmo di ottimizzazione, ma basandosi sui risultati delle analisi di sensibilità di ogni singolo parametro. Ora 117

128 7 Risultati numerici faremo uso degli algoritmi di ottimizzazione Pattern Search e Algoritmo genetico per identificare i parametri del modello di Abe et al. in modo più rigoroso. E stato utilizzato l algoritmo Pattern Search dato che permette di calcolare il minimo di una funzione senza conoscerne la derivata. Tramite questo metodo è possibile minimizzare una funzione senza l uso della derivazione della funzione da minimizzare, quindi rinunciando all uso del gradiente e dei metodi di ricerca esatti basati sui punti stazionari delle derivate. Questi metodi hanno valenza particolare nel caso in cui la funzione non sia derivabile, oppure se la definizione di f rende difficoltoso, dal punto di vista computazionale, il calcolo delle derivate. Nel caso in esame la funzione da minimizzare è lo scarto tra i valori di forza sperimentali corrispondenti alla storia di spostamento orizzontale imposta all isolatore e i valori di forza resistente ottenuti numericamente implementando il modello di Abe et al. in Matlab. La minimizzazione deve essere effettuata per ogni valore di forza assiale che agisce sull isolatore. La forza resistente totale calcolata tramite il modello di Abe et al. contiene al suo interno la componente di forza isteretica F 2, la quale è rappresentata tramite un equazione differenziale non lineare; è dunque difficile ottenere l espressione analitica della componente di forza isteretica. L algoritmo di ottimizzazione Pattern Search si adatta bene all identificazione dei parametri del modello di Abe et al. dato che la componente di forza F 2 che compare in esso non ha un espressione analitica facilmente identificabile e quindi non è immediato il calcolo del suo gradiente. Il Pattern Search è un metodo per risolvere problemi di ottimizzazione che non richiede alcuna informazione circa il gradiente della funzione obiettivo. A differenza dei metodi di ottimizzazione tradizionali che utilizzano informazioni sul gradiente o più derivate per cercare un punto ottimale, un algoritmo di ricerca diretta cerca in un insieme di punti intorno al punto attuale, cercandone uno cui il valore della funzione obiettivo è inferiore al valore nel punto corrente. Per trovare i valori dei parametri del modello di Abe et al. tramite il metodo del Pattern Search è stata utilizzata la funzione patternsearch implementata in Matlab. Ad ogni passo, l algoritmo crea un insieme di punti, chiamato mesh, attorno al corrente punto, calcolato al passo precedente o al dato iniziale. La mesh è un insieme di punti generato utilizzando uno specifico insieme di direzioni di ricerca a partire dal punto corrente. Se l algoritmo trova un punto nella mesh che migliora la funzione obiettivo rispetto al punto corrente, il nuovo punto diventa il punto corrente al passaggio successivo dell algoritmo. Si crea così una successione di punti che convergerà ad un minimo. L interfaccia Matlab della funzione patternsearch è la seguente: [x, z, exitflag, output] = Gli inputs sono: patternsearch(objfunc(x), x 0, [], [], [], [], lb, ub, [], option) 118

129 7 Risultati numerici 1. objfunc(x): funzione obiettivo da minimizzare; 2. x 0 vettore contenente i valori iniziali dei parametri da identificare; 3. l b : limite superiore per x; 4. u b : limite inferiore per x; 5. opzioni varie per l algoritmo. Outputs: 1. x: valore del punto di minimo; 2. z: valore della funzione obiettivo nel punto di minimo; 3. exitflag: stato dell algoritmo all ultima iterazione; 4. output: informazioni varie sull algoritmo. Tramite le opzioni della funzione patternsearch è possibile impostare il massimo numero di iterazione dell algoritmo tramite la variabile MaxIter, la tolleranza sul valore del vettore x tramite la variabile T olx e la tolleranza sulla dimensione della mesh tramite la variabile T olmesh. Il modo in cui viene condotta la ricerca del punto x a cui, ad ogni iterazione, corrisponde un valore della funzione obiettivo più piccolo rispetto a quello valutato nel punto corrente, dipende dall impostazione delle Search options. Se si impone che il metodo Complete Search sia On l algoritmo confronta i valori della funzione obiettivo valutata nei punti della mesh creata attorno al punto corrente e seleziona quello con funzione obiettivo più piccola. Se si impone che il metodo Complete Search sia Off la ricerca si stoppa nel momento in cui viene trovato un punto in corrispondenza del quale la funzione obiettivo ha un valore più piccolo rispetto a quello calcolato in corrispondenza del punto corrente. Nelle figure 7.12, 7.13, 7.14, 7.15 e 7.16 il grafico blu rappresenta la risposta sperimentale dell isolatore con nucleo in piombo soggetto alla stessa storia di spostamento di taglio ma a diversi valori di forza assiale di compressione mentre il grafico rosso rappresenta la risposta dell isolatore calcolata utilizzando il modello di Abe et al. implementato in Matlab, con parametri identificati tramite l algoritmo di ottimizzazione Pattern Search. I parametri che erano stati mantenuti costanti nell identificazione fatta dall utente (human-driven) non sono stati fatti variare anche con questo algoritmo, a parte il valore del parametro U S e quello del parametro a. Si è scelto di non far variare i parametri che erano stati mantenuti costanti durante l identificazione fatta dall utente dato che, senza l utilizzo di un algoritmo di ottimizzazione per l identificazione dei parametri, sono stati ottenuti dei grafici forza-spostamento il cui andamento era in accordo con quello sperimentale 119

130 7 Risultati numerici in modo soddisfacente. Tramite l utilizzo dell algoritmo di ottimizzazione Pattern Search, per poter ottenere dei grafici forza-spostamento che riproducessero i risultati sperimentali per ogni valore di forza di compressione agente sull isolatore, è stato necessario far variare il valore del parametro U S, contrariamente a quanto stabilito tramite la prima identificazione dei parametri fatta basandosi sui risultati dell analisi di sensibilità di ogni parametro del modello di Abe et al.. La variazione di questo parametro è servita dato che, in caso di U S costante, i rami di scarico elastico dei grafici forza-spostamento associati ai diversi valori di forza assiale di compressione non avevano la giusta pendenza e non c era corrispondenza tra grafico numerico e curva sperimentale. E stato inoltre necessario far variare il valore del parametro a, contrariamente a quanto stabilito tramite l identificazione dei parametri eseguita dall utente (human-driven). La variazione di questo parametro è servita dato che, in caso di a costante, il valore di forza resistente raggiunta al termine della fase elastica non lineare non corrispondeva con quello sperimentale. La sua variazione ha permesso di cogliere il valore esatto di forza resistente al termine della fase elastica non lineare per ogni valore di azione assiale di compressione agente sull isolatore. Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 0 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search 120

131 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 5 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search 121

132 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 10 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search 122

133 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 20 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search 123

134 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa ottenuto con il metodo del Pattern Search 124

135 7 Risultati numerici Tabella 7.2. Valori dei parametri del modello di Abe et al. per diversi valori di azione assiale trovati con l algoritmo Pattern Search σ = 0 MPa σ = 5 MPa σ = 10 MPa σ = 20 MPa σ = 30 MPa K α β a b n Y U H p U U S K r errore relativo Nella tabella 7.2 vengono riportati i valori dei parametri del modello di Abe et al. identificati tramite l algoritmo di ottimizzazione Pattern Search. I parametri evidenziati in rosso sono quelli che vengono mantenuti costanti durante l identificazione dei parametri eseguita tramite il Pattern Search. Nell ultima riga della tabella vengono riportati i valori degli errori relativi, misurati come il rapporto tra la norma L 2 dello scarto tra la forza resistente numerica e quella sperimentale e il valore di forza resistente massima ottenuta nel ciclo di carico. errore relativo = n i=0 (F modello(u i, θ) F (u i )) 2 F max dove F max è il massimo valore di forza resistente sperimentale. 125

136 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro β Come si può notare dalla figura 7.6 il parametro β ha un andamento logaritmico decrescente al variare del valore della forza assiale di compressione che agisce sull isolatore. Questo andamento indica che si ha una rapida diminuzione del valore del parametro al crescere del valore di forza che agisce sull isolatore. Per un azione assiale di 30 MPa la rigidezza di taglio completamente degradata è quasi nulla, dato che il grafico forza-spostamento ha un andamento orizzontale superata la fase elastica non lineare. Si ha quindi un rapido deterioramento della rigidezza orizzontale dato che l aumento della forza di compressione determina una minore resistenza della gomma che costituisce l isolatore elastomerico. 126

137 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro Y 0 Il parametro Y 0, che rappresenta il valore di forza in corrispondenza dello snervamento, aumenta con il crescere del valore di forza assiale che agisce sull isolatore. Nella figura 7.18 la y è il valore del parametro Y 0 mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il valore del parametro aumenta linearmente dato che, con il crescere del valore di forza assiale, la rigidezza completamente degradata alla fine della fase elastica non lineare diminuisce sempre di più fino a diventare nulla; di conseguenza il valore di forza in corrispondenza dello snervamento cresce in modo da poter adattarsi alla riduzione della rigidezza di taglio. 127

138 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro U H Il valore dello spostamento U H a cui inizia l incrudimento aumenta con il crescere del valore di forza assiale che preme l isolatore dato che, diminuendo la rigidezza di taglio, la gomma diventa più cedevole e diminuisce il valore di forza resistente esercitata dall isolatore: questo determina un minore contributo della componente incrudente al valore della forza resistente totale.nella figura 7.19 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il valore del parametro U H aumenta in modo parabolico con il crescere dell azione di compressione proprio per tenere conto della diminuzione del contributo della componente incrudente F 3 al valore di forza totale resistente. 128

139 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro p Il valore del parametro p che descrive la forma della curva di incrudimento aumenta con il crescere dell azione assiale di compressione che preme l isolatore. Il valore del parametro aumenta in modo parabolico con il crescere della forza di compressione. Nella figura 7.20 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro p governa la forma dei cicli di isteresi per deformazioni di taglio γ > 200 %: l aumento del suo valore è legato ad un aumento di ampiezza dei cicli di isteresi che si osserva nei grafici forza-spostamento con l aumentare della forza assiale. 129

140 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro k 2 Il valore del parametro K 2 diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Nella figura 7.21 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro K 2 diminuisce perché con il crescere del valore della forza di compressione che preme sull isolatore la gomma perde la sua rigidezza e si ha una conseguente diminuzione della rigidezza orizzontale; si ha di quindi un minore contributo della componente incrudente al valore di forza resistente totale. Il parametro K 2 varia con una legge parabolica con il crescere della forza di compressione. 130

141 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro r Il valore del parametro r che prescrive la forma della curva di incrudimento aumenta con l aumentare del carico assiale perché i cicli di isteresi diventano sempre più ampi con il crescere del valore della compressione. Nella figura 7.22 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro r ha una legge di evoluzione lineare al crescere del valore di forza assiale. Il tratto incrudente inizia in corrispondenza di un valore di spostamento sempre maggiore; inoltre i cicli isteretici per spostamenti elevati (superiori ai 100 mm) sono sempre più ampi e in corrispondenza di essi viene raggiunto un valore di forza resistente sempre minore: cioè è giustificato dal fatto che la gomma diventa più cedevole e la sua struttura fatta di catene polimeriche è meno resistente. Il crescere del valore del parametro r permette di catturare l aumento dell ampiezza dei cicli che si osserva sperimentalmente per valori di forze assiali crescenti. Per poter ottenere dei grafici forza-spostamento che riproducessero i risultati sperimentali per ogni valore di forza di compressione agente sull isolatore è stato necessario far variare il valore del parametro U S, contrariamente a quanto stabilito tramite la prima identificazione dei parametri fatta basandosi sui risultati dell analisi di sensibilità di ogni parametro del modello di Abe et al.. La variazione di questo parametro è servita dato che, in caso di U S costante, i rami di scarico elastico dei grafici forza-spostamento associati ai diversi valori di forza assiale di compressione non avevano la giusta pendenza e non c era corrispondenza tra grafico numerico e curva sperimentale. Il parametro U S descrive il degrado della rigidezza elastica della molla elasto-plastica ed è inserito all interno della componente di forza F 2. In 131

142 7 Risultati numerici precedenza è stato supposto che questo parametro rimanesse costante al crescere del valore di forza di compressione dato che, essendo il responsabile della pendenza dei rami di scarico dei grafici per valori di deformazione di taglio compresi tra il 50 e 200 %, non era necessaria una sua variazione vista la non sensibile differenza tra le pendenze dei rami di scarico dei grafici relativi ad ogni valore di forza assiale. Con il metodo del Pattern Search è stato necessario far variare il valore di questo parametro al crescere della forza di compressione che preme l isolatore. Figura Legge di variazione del parametro U S Il parametro U S identificato con l algoritmo Pattern Search diminuisce linearmente al crescere del valore di forza assiale agente sull isolatore. 132

143 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro a Il valore del parametro a diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Nella figura 7.24 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Con l aumento del valore dell azione assiale agente sull isolatore si ha una diminuzione del valore del parametro a dato che, rispetto all identificazione eseguita dall utente (human-driven), si ha un maggiore aumento del valore di forza allo snervamento Y 0 e questo determina un valore più alto di forza resistente all inizio della fase elasto-plastica. Per compensare l aumento del parametro Y 0 il valore del parametro a, che rappresenta la forza resistente al termine della fase elastica non lineare, subisce un diminuzione con legge parabolica. Si può dire che per i primi 3 valori dell azione assiale σ i grafici forza-spostamento ottenuti inserendo all interno del modello di Abe et al. implementato in Matlab i valori dei coefficienti identificati con il Pattern Search colgono e riproducono in modo soddisfacente i dati sperimentali; vengono colti i picchi di forza raggiunti in corrispondenza dei massimi spostamenti orizzontali negativi, l andamento dei rami di scarico elastico per spostamenti sia positivi che negativi, la zona elastica non lineare, l ampiezza dei cicli d isteresi e l andamento della componente incrudente. L unico problema è stato riscontrato nel riprodurre il valore del picco di forza raggiunto per il massimo spostamento orizzontale positivo; questo deriva dal fatto che il grafico forza-spostamento sperimentale non è simmetrico e i picchi di forza resistente positivi e negativi hanno valore diverso mentre il modello di Abe et al. permette di riprodurre andamenti solo simmetrici. Per σ =20 e σ =30 MPa i grafici forza-spostamento 133

144 7 Risultati numerici ottenuti inserendo all interno del modello di Abe et al. implementato in Matlab i valori dei coefficienti identificati con il Pattern Search non riproducono esattamente i dati sperimentali; in particolare il metodo del Pattern Search non coglie con molta precisione l ampiezza dei cicli di isteresi al crescere dello spostamento orizzontale imposto all isolatore e non viene riprodotta esattamente la pendenza dei rami di scarico elastico della componente di forza elasto-plastica, cioè per deformazioni di taglio γ comprese tra 50 e 200 %. Avendo constatato la difficoltà dell algoritmo di ottimizzazione di cogliere i parametri esatti del modello per azioni assiali di 20 e 30 MPa, si è modificata la digitalizzazione dei relativi grafici sperimentali inserendo più punti in modo da aumentare la precisione dell algoritmo di ottimizzazione nel catturare gli andamenti esatti. Nonostante ciò i grafici ottenuti utilizzando i parametri ottenuti con la nuova identificazione non hanno subito miglioramenti. L algoritmo si arresta perché la dimensione della mesh è inferiore al valore stabilito tramite la variabile TolMesh. Questo potrebbe essere dovuto al fatto che il modello di Abe et al. utilizzato per riprodurre la risposta dell isolatore con nucleo in piombo non riesce a descrivere correttamente l andamento del grafico forza-spostamento per valori elevati di azione assiale; si potrebbe aggiungere un termine al modello già esistente che tenga conto della degradazione della rigidezza con l aumento del valore di azione assiale e che permetta di descrivere l aumento di ampiezza dei cicli di isteresi. L ottimizzazione quindi non sarà in grado di cogliere esattamente l andamento sperimentale per valori di forza assiale elevati. Un aspetto che non si riesce a cogliere con il modello di Abe et al. è la degradazione della rigidezza di taglio che si osserva sperimentalmente per spostamenti ciclici corrispondenti allo stesso valore di deformazione di taglio γ. Per esempio in figura 7.12 il grafico ottenuto numericamente implementando il modello in Matlab non coglie la diversa pendenza, cioè la diversa rigidezza, del grafico forza-spostamento che si osserva sperimentalmente quando all isolatore viene imposto uno spostamento di 200 mm Algoritmo genetico Nella variegata gamma di tool presenti nell ambiente di lavoro Matlab, ve n è uno che comprende ed usa gli algoritmi genetici. Come per la maggior parte dei pacchetti di ottimizzazione di Matlab è possibile usare gli algoritmi genetici direttamente dalla linea di comando usando la seguente sintassi: [x, fval, exitflag] = ga(fitnessfun, nvars, A, b,aeq, beq, lb, ub, options) dove i parametri di input sono: fitnessfun: riferimento alla fitness function; nvars: numero delle variabili indipendenti della fitness function; A: matrice per i vincoli lineari di disuguaglianza; 134

145 7 Risultati numerici b: vettore per i vincoli lineari di disuguaglianza; A eq : matrice per i vincoli lineari di uguaglianza; b eq : vettore per i vincoli lineari di uguaglianza; l b : lower bound, vettore che indica il limite inferiore per i valori di x; u b : upper bound, vettore che indica il limite superiore per i valori di x; options: è una struttura che serve per impostare diversi parametri relativi all algoritmo genetico, se questo parametro non viene dato in input allora viene utilizzato il set di impostazioni di default. I parametri standard di output sono: x: valore per cui si ferma l elaborazione del problema; fval: valore assunto dalla fitness function in x; exitflag: restituisce un intero che indica il motivo per cui l algoritmo si è fermato (ad esempio 0 se il numero di generazioni prodotte supera il massimo stabilito). Tramite le opzioni è possibile specificare come vengono scelti i genitori che daranno origine alla generazione successiva. Tramite l opzione di Selezione si può specificare la funzione che l algoritmo genetico utilizzerà per scegliere i genitori. La funzione di selezione è indicata dalla variabile SelectionFcn. In questo lavoro di tesi è stata utilizzata selezione a torneo (selectiontournament). La selezione a torneo sceglie i genitori che vanno a formare la generazione successiva scegliendo a caso i giocatori di ogni girone del torneo e selezionando l individuo migliore tra quell insieme di individui. Questo procedimento viene ripetuto finché non viene formato un mating pool di n individui, dove n è la dimensione della popolazione iniziale. Il numero di giocatori di ogni torneo deve essere al minimo 2. Inoltre è possibile specificare il modo in cui l algoritmo genetico opera piccoli cambiamenti negli individui tramite la mutazione in modo da creare i figli della generazione successiva. La mutazione garantisce la diversità negli individui con il susseguirsi delle generazioni e permette all algoritmo genetico di cercare la soluzione del problema di minimizzazione in uno spazio più ampio. E possibile specificare la funzione di mutazione tramite il comando MutationFcn. In questo lavoro di tesi è stato utilizzata la funzione gaussiana, la quale aggiunge aggiunge un numero preso da una distribuzione gaussiana con media nulla ad ogni valore del vettore di parametri che forma il genitore. Oltre al processo di mutazione è possibile definire la percentuale di ricombinazione tra i 135

146 7 Risultati numerici genitori per formare i figli della generazione successiva. L opzione di crossover specifica in che modo l algoritmo genetico combina due individui in modo da formare il figlio della generazione successiva. La funzione crossoversinglepoint sceglie un numero intero a caso compreso tra 1 e il numero dei parametri da identificare; successivamente seleziona i valori del vettore del primo genitore che hanno un indice inferiore al numero scelto e i valori del vettore del secondo genitore che hanno un indice maggiore del numero scelto. Infine vengono concatenati i valori selezionati in modo da formare il vettore del figlio della generazione successiva. Tramite la variabile CrossoverFraction è possibile specificare la frazione di individui della nuova generazione che vengono formati tramite l operato genetico di crossover. La frazione di crossover è un numero compreso tra 0 e 1: in questo lavoro di tesi è stato imposto pari a 0.9 in modo da garantire una certa variabilità genetica e permettere di superare i problemi di stagnazione dell algoritmo intorno ad un minimo locale. Nelle figure 7.25, 7.26, 7.27, 7.28 e 7.29 il grafico blu rappresenta la risposta sperimentale dell isolatore con nucleo in piombo soggetto alla stessa storia di spostamento di taglio ma a diversi valori di forza assiale di compressione mentre il grafico rosso rappresenta la risposta dell isolatore calcolata utilizzando il modello di Abe et al. implementato in Matlab, con parametri identificati tramite l algoritmo genetico. I parametri che erano stati mantenuti costanti nell identificazione fatta dall utente (human-driven) non sono stati fatti variare anche con questo algoritmo, a parte il valore del parametro U S, a e n. Si è scelto di non far variare i parametri che erano stati mantenuti costanti durante l identificazione fatta dall utente dato che, senza l utilizzo di un algoritmo di ottimizzazione per l identificazione dei parametri, sono stati ottenuti dei grafici forza-spostamento il cui andamento era in accordo con quello sperimentale in modo soddisfacente. Tramite l utilizzo dell algoritmo genetico, per poter ottenere dei grafici forza-spostamento che riproducessero i risultati sperimentali per ogni valore di forza di compressione agente sull isolatore, è stato necessario far variare il valore del parametro U S, contrariamente a quanto stabilito tramite la prima identificazione dei parametri fatta basandosi sui risultati dell analisi di sensibilità di ogni parametro del modello di Abe et al.. La variazione di questo parametro è servita dato che, in caso di U S costante, i rami di scarico elastico dei grafici forza-spostamento associati ai diversi valori di forza assiale di compressione non avevano la giusta pendenza e non c era corrispondenza tra grafico numerico e curva sperimentale. E stato inoltre necessario far variare il valore del parametro a, contrariamente a quanto stabilito tramite l identificazione dei parametri eseguita dall utente. La variazione di questo parametro è servita dato che, in caso di a costante, il valore di forza resistente raggiunta al termine della fase elastica non lineare non corrispondeva con quello sperimentale. La sua variazione ha permesso di cogliere il valore esatto di forza resistente al termine della fase elastica non lineare per ogni valore di azione assiale di compressione agente sull isolatore. 136

147 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 0 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico 137

148 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 5 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico 138

149 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 10 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico 139

150 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 20 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico 140

151 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico 141

152 7 Risultati numerici Tabella 7.3. Valori dei parametri del modello di Abe et al. per diversi valori di azione assiale trovati con l algoritmo genetico σ = 0 MPa σ = 5 MPa σ = 10 MPa σ = 20 MPa σ = 30 MPa K α β a b n Y U H p U U S K r errore relativo Nella tabella 7.3 vengono riportati i valori dei parametri del modello di Abe et al. identificati tramite l algoritmo di ottimizzazione genetico. I parametri evidenziati in rosso sono quelli che vengono mantenuti costanti durante l identificazione dei parametri eseguita tramite l algoritmo genetico. Nell ultima riga della tabella vengono riportati i valori degli errori relativi, misurati come il rapporto tra la norma L 2 dello scarto tra la forza resistente numerica e quella sperimentale e il valore di forza resistente massima ottenuta nel ciclo di carico. errore relativo = n i=0 (F modello(u i, θ) F (u i )) 2 F max dove F max è il massimo valore di forza resistente sperimentale. 142

153 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro β Come si può notare dalla figura 7.30 il parametro β ha un andamento esponenziale decrescente al variare del valore della forza assiale di compressione che agisce sull isolatore. L andamento esponenziale indica che si ha una rapida diminuzione del valore del parametro al crescere del valore di forza che agisce sull isolatore. Per un azione assiale di 30 MPa la rigidezza di taglio completamente degradata è quasi nulla, dato che il grafico forza-spostamento ha un andamento orizzontale superata la fase elastica non lineare. Si ha quindi un rapido deterioramento della rigidezza orizzontale dato che l aumento della forza di compressione determina una minore resistenza della gomma che costituisce l isolatore elastomerico. Il deterioramento della rigidezza di taglio si traduce in una diminuzione del valore del parametro β, in quanto questo rappresenta il rapporto tra la rigidezza completamente degradata all inizio della fase elasto-plastica e la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare. 143

154 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro Y 0 Il parametro Y 0, che rappresenta il valore di forza in corrispondenza dello snervamento, aumenta con il crescere del valore di forza assiale che agisce sull isolatore. Nella figura 7.31 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il valore di questo parametro aumenta quasi linearmente dato che, con il crescere del valore di forza assiale, la rigidezza completamente degradata alla fine della fase elastica non lineare diminuisce sempre di più fino a diventare nulla; di conseguenza il valore di forza in corrispondenza dello snervamento cresce in modo da poter adattarsi alla riduzione della rigidezza di taglio. 144

155 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro U H Il valore dello spostamento U H a cui inizia l incrudimento inizialmente subisce una leggera diminuzione e poi aumenta con il crescere del valore di forza assiale che preme l isolatore dato che, diminuendo la rigidezza di taglio, la gomma diventa più cedevole e diminuisce il valore di forza resistente esercitata dall isolatore: questo determina un minore contributo della componente incrudente al valore della forza resistente totale. Nella figura 7.32 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il valore del parametro U H varia in modo cubico con il crescere dell azione di compressione che preme l isolatore. Per un azione assiale di 30 MPa si ha una diminuzione del valore del parametro U H dato che, rispetto alle precedenti identificazioni dei parametri, si ha un valore elevato di rigidezza incrudente K 2 e, per compensare questo valore elevato, si ha una diminuzione del parametro che definisce lo spostamento a cui inizia l incrudimento. 145

156 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro p Nella figura 7.33 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il valore del parametro varia in modo cubico con il crescere della forza di compressione. Il parametro p governa la forma dei cicli di isteresi per deformazioni di taglio γ > 200 %: l aumento del suo valore è legato ad un aumento di ampiezza dei cicli di isteresi che si osserva nei grafici forza-spostamento con l aumentare della forza assiale. La leggera diminuzione che si osserva per i valori di forza assiale più bassi è dovuta al fatto che, tramite l identificazione eseguita con l algoritmo genetico, sono stati ottenuti dei valori elevati del parametro β rispetto alle identificazioni precedenti e, per compensare questo aumento, il parametro p subisce inizialmente una diminuzione. 146

157 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro k 2 Il valore del parametro K 2 diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Nella figura 7.34 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro K 2 diminuisce perché, come già detto, con il crescere del valore della forza di compressione che preme sull isolatore la gomma perde la sua rigidezza e si ha una conseguente diminuzione della rigidezza orizzontale; si ha di quindi un minore contributo della componente incrudente al valore di forza resistente totale. Il parametro K 2 diminuisce in modo cubico con il crescere della forza di compressione. 147

158 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro r Il valore del parametro r che prescrive la forma della curva di incrudimento diminuisce con l aumentare del carico assiale contrariamente a quanto succede nel caso dell utilizzo dell algoritmo Pattern Search e quando viene effettuata la calibrazione dei parametri dall utente (human-driven). Nella figura 7.35 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro r ha una legge di evoluzione cubica al crescere del valore di forza assiale. La diminuzione del valore del parametro r con il crescere della forza assiale che agisce sull isolatore può essere giustificato dal fatto che, tramite l identificazione dei parametri eseguita utilizzando l algoritmo genetico, i valori di Y 0 e di K 2 sono più alti rispetto a quelli determinati con il Pattern Search o senza nessun metodo di ottimizzazione. Valori più alti di Y 0 e di K 2 determinano una maggiore ampiezza dei cicli di isteresi per deformazioni di taglio > 50 % e questo ha come conseguenza una diminuzione dei valori di r: se ciò non accadesse si otterrebbe un grafico forzaspostamento diverso dall andamento sperimentale, con cicli troppo ampi e picchi di forza resistente troppo elevati. Anche con l algoritmo genetico, per poter ottenere dei grafico forza-spostamento che riproducessero i risultati sperimentali per ogni valore di forza di compressione agente sull isolatore, è stato necessario far variare il valore del parametro U S contrariamente a quanto stabilito tramite la prima identificazione dei parametri fatta basandosi sui risultati dell analisi di sensibilità di ogni parametro. La variazione di questo parametro è servita dato che, in caso di U S costante, i rami di scarico elastico 148

159 7 Risultati numerici dei grafici forza-spostamento associati ai diversi valori di forza assiale di compressione non avevano la giusta pendenza e non c era corrispondenza tra grafico numerico e curva sperimentale. Il parametro U S descrive il degrado della rigidezza elastica della molla elasto-plastica ed è inserito all interno della componente di forza F 2. In precedenza era stato supposto che questo parametro rimanesse costante al crescere del valore di forza di compressione dato che, essendo il responsabile della pendenza dei rami di scarico dei grafici per valori di deformazione di taglio compresi tra il 50 e 200 %, non era necessaria una sua variazione vista la non sensibile differenza tra le pendenze dei rami di scarico dei grafici relativi ad ogni valore di forza assiale. Con l algoritmo genetico è stato necessario far variare il valore di questo parametro al crescere della forza di compressione che preme l isolatore. Figura Legge di variazione del parametro U S Il parametro U S identificato con l algoritmo genetico diminuisce in modo cubico al crescere del valore di forza assiale agente sull isolatore, contrariamente a quello che succede nell identificazione dei parametri fatta con il metodo del Pattern Search. Nella figura 7.36 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. La diminuzione del valore del parametro U S è necessaria per cogliere esattamente la pendenza dei rami di scarico elastico della componente di forza elasto-plastica e incrudente. 149

160 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro a Il valore del parametro a diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Nella figura 7.37 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Con l aumento del valore dell azione assiale agente sull isolatore si ha una diminuzione del valore del parametro a dato che, rispetto all identificazione eseguita dall utente (human-driven), si ha un maggiore aumento del valore di forza allo snervamento Y 0 e questo determina un valore più alto di forza resistente all inizio della fase elasto-plastica. Per compensare l aumento del parametro Y 0 il valore del parametro a, che rappresenta la forza resistente al termine della fase elastica non lineare, subisce un diminuzione parabolica con l aumento del valore di forza assiale. 150

161 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro n Il valore del parametro n diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Nella figura 7.38 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro n varia in modo parabolico con il crescere dell azione assiale che preme l isolatore in modo da descrivere correttamente l accordo tra fase elastica non lineare ed elastoplastica dei grafici forza-spostamento e permettere così una buona riproduzione dei dati sperimentali. Per poter analizzare l importanza del processo di crossover all interno dell algoritmo genetico è stato imposto un valore basso della frazione di crossover in modo da vedere se questo operatore genetico influenza in modo significativo il valore dei parametri del modello di Abe et al. identificati e quindi se determina un diverso andamento del grafico forza-spostamento. Si è fatto riferimento al grafico relativo ad una valore di azione assiale pari a 30 Mpa. 151

162 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico impostando una frazione di crossover pari a 0.2 La diminuzione del valore di frazione di crossover, come visibile in figura 7.39, determina un cambiamento nell andamento del grafico forza-spostamento. Tutte e tre le componenti di forza subiscono una modifica: il valore di forza resistente al termine della fase elastica non lineare è più piccolo rispetto a quello sperimentale, l ampiezza dei cicli di isteresi che si osservano per valori di deformazioni di taglio γ > 50 % è minore rispetto a quella sperimentale, si ha un eccessivo deterioramento della rigidezza di taglio per valori di deformazioni > 50 % e non vengono colti i valori dei picchi di forza raggiunti per i massimi spostamenti positivi e negativi. Queste osservazioni permettono di dedurre che è necessario avere una sufficiente quantità di variabilità genetica determinata dall operatore di crossover per garantire la convergenza verso il minimo globale. Per poter analizzare l importanza della scelta del metodo di selezione degli individui che devono formare la generazione successiva, si è provato ad utilizzare il metodo della ruota di roulette, in modo da vedere se questo operatore genetico influenza in modo significativo il valore dei parametri del modello di Abe et al. identificati e quindi se determina un diverso andamento del grafico forza-spostamento. Si è fatto riferimento al grafico relativo ad una valore di azione assiale pari a 30 Mpa. 152

163 7 Risultati numerici Figura Grafico forza-spostamento per un azione assiale pari a 30 MPa ottenuto con l Algoritmo Genetico impostando il metodo della routa di roulette per effettuare la selezione La scelta del metodo di selezione della ruota di roulette, come visibile in figura 7.40, determina un cambiamento nell andamento del grafico forza-spostamento. Tutte e tre le componenti di forza subiscono una modifica: l ampiezza dei cicli di isteresi che si osservano per valori di deformazioni di taglio γ > 50 % è minore rispetto a quella sperimentale, si ha un eccessivo deterioramento della rigidezza di taglio per valori di deformazioni > 50 % e non vengono colti i valori dei picchi di forza raggiunti per i massimi spostamenti positivi e negativi. Queste osservazioni permettono di dedurre che è necessario utilizzare un corretto operatore genetico di selezione per garantire la convergenza verso il minimo globale; come avevamo sottolineato nella trattazione teorica riguardante l algoritmo genetico, il metodo di selezione a roulette è adatto a risolvere problemi di massimizzazione e no permette di studiare di studiare i problemi di ricerca di un minimo globale. Nella definizione delle opzioni dell algoritmo genetico è stato utilizzato come massimo numero di generazioni il valore 200. Si può dire che per i primi 3 valori dell azione assiale σ i grafici forza-spostamento ottenuti inserendo all interno del modello di Abe et al. implementato in Matlab i valori dei coefficienti identificati con l algoritmo genetico colgono e riproducono in modo molto buono i dati sperimentali; 153

164 7 Risultati numerici vengono colti i picchi di forza raggiunti in corrispondenza dei massimi spostamenti orizzontali negativi, l andamento dei rami di scarico elastico sia per spostamenti positivi che negativi, la zona elastica non lineare, l ampiezza dei cicli d isteresi e l andamento della componente incrudente. L unico problema è stato riscontrato nel riprodurre il valore del picco di forza raggiunto in corrispondenza del massimo spostamento orizzontale positivo; questo deriva dal fatto che il grafico forza-spostamento sperimentale non è simmetrico e i picchi di forza resistente positivi e negativi hanno valore diverso mentre il modello di Abe et al. permette di riprodurre andamenti solo simmetrici. Per σ =20 e σ =30 MPa i grafici forza-spostamento ottenuti inserendo all interno del modello di Abe et al. implementato in Matlab i valori dei coefficienti identificati con l algoritmo genetico non riproducono esattamente i dati sperimentali; in particolare l algoritmo genetico non coglie i picchi di forza raggiunti in corrispondenza dei massimi spostamenti positivi e negativi, l ampiezza dei cicli di isteresi al crescere dello spostamento orizzontale imposto all isolatore e non viene riprodotta esattamente la pendenza dei rami di scarico elastico della componente di forza elasto-plastica, cioè per deformazioni di taglio γ comprese tra 50 e 200 %. La cosa che si può notare però è che, per tutti i valori di forza di compressione, viene colto esattamente l andamento elastico non lineare che si osserva per deformazioni di taglio γ < 50%; si hanno invece dei problemi nell identificare correttamente i parametri che controllano le componenti di forza elasto-plastica F 2 e la forza incrudente F 3. L algoritmo genetico risulta meno performante rispetto al metodo Pattern Search dato che è necessario un tempo di esecuzione maggiore per avere un numero sufficiente di generazioni da garantire la convergenza verso il vettore ottimo dei parametri del modello di Abe et al. Per avere una discendenza costituita da 200 generazioni il tempo di esecuzione necessario è di 8 ore mentre il tempo impiegato dall algortimo di ottimizzazione Pattern Search per raggiungere l ottimo è pari a 2 ore. 7.3 Confronto tra i due metodi di ottimizzazione Nelle sezioni precedenti abbiamo mostrato i parametri del modello di Abe et al. identificati tramite il metodo del Pattern Search e l algoritmo genetico. Questi due metodi portano a risultati differenti in termini di grafici forza-spostamento ottenuti al variare del valore di forza assiale agente sull isolatore. L algoritmo Pattern Search ha permesso di riprodurre i grafici forza-spostamento sperimentali dato che è stato scelto, per ogni valore di forza assiale, il vettore con i parametri identificati dall utente (human-driven) come starting point per l ottimizzazione. Rispetto all algoritmo genetico, il Pattern Search ha il vantaggio di effettuare meno valutazioni della funzione obiettivo e quindi di avere un tempo di esecuzione minore, ma anche lo svantaggio di dover partire con un 154

165 7 Risultati numerici vettore iniziale vicino alla soluzione altrimenti si incorre nel rischio di cadere in un minimo locale, trattandosi di un algoritmo di ricerca locale diretta. Avendo effettuato un identificazione preliminare senza l utilizzo di algoritmi di ottimizzazione, è stato scelto come vettore di partenza quello contenente i valori dei parametri calibrati tramite l identificazione fatta dall utente (human-driven). Questo ha permesso di raggiungere un minimo della funzione obiettivo che garantisse di riprodurre in modo soddisfacente i grafici forza-spostamento sperimentali per ogni valore di forza assiale. Per i primi 3 valori dell azione assiale σ i grafici forza-spostamento ottenuti inserendo all interno del modello di Abe et al. implementato in Matlab i valori dei coefficienti identificati con il Pattern Search colgono e riproducono in modo soddisfacente i dati sperimentali; vengono colti i picchi di forza raggiunti in corrispondenza dei massimi spostamenti orizzontali negativi, l andamento dei rami di scarico elastico per spostamenti sia positivi che negativi, la zone elastica non lineare, l ampiezza dei cicli d isteresi e l andamento della componente incrudente. Per σ =20 e σ =30 MPa i grafici forza-spostamento ottenuti inserendo all interno del modello di Abe et al. implementato in Matlab i valori dei coefficienti identificati con il Pattern Search non riproducono esattamente i dati sperimentali; in particolare il metodo del Pattern Search non coglie con molta precisione l ampiezza dei cicli di isteresi al crescere dello spostamento orizzontale imposto all isolatore e non viene riprodotta esattamente la pendenza dei rami di scarico elastico della componente di forza elasto-plastica F 2, cioè per deformazioni di taglio γ comprese tra 50 e 200 %. Nel caso dell algoritmo genetico è stato riscontrato il problema che, impostando una popolazione iniziale casuale la convergenza era troppo lenta, impedendo di raggiungere risultati positivi in tempi ragionevoli. Inoltre spesso abbiamo notato la difficoltà da parte dell algoritmo di uscire da intorni di un minimo locale: di frequente infatti l algoritmo rimaneva fermo nello stesso intorno anche per diversi istanti. Problemi di stagnazione simili si sono presentati impostando come popolazione iniziale i valori dei parametri identificati dall utente (human-driven), cioè senza l utilizzo di alcun algoritmo di ottimizzazione. Un classico problema con l algoritmo genetico è che i geni provenienti da pochi individui con un valore di fitness basso (ma non ottimale) possono rapidamente dominare la popolazione, causando la convergenza a un minimo locale. Una volta che la popolazione converge, l abilità dell algoritmo genetico di continuare la ricerca per una soluzione migliore è effettivamente eliminata: il crossover di individui quasi identici può portare ben pochi miglioramenti. Solo la mutazione rimane per poter esplorare nuove zone, e questo semplicemente porta a una ricerca lenta e casuale. Tanto più piccola è la dimensione della popolazione considerata quanto maggiore sarà il rischio di non riuscire a replicare 155

166 7 Risultati numerici i dati oppure di non riuscire ad ottenere una soluzione soddisfacente. Il corretto funzionamento degli algoritmi genetici si basa, infatti, sulla diversità dei cromosomi della popolazione. La mancanza di diversità corrisponde ad una stagnazione non desiderabile né durante il processo evolutivo, né quando la fitness media e quella massima si sono stabilizzate. Inizialmente la diversità è assicurata dalla scelta casuale delle stringhe che compongono la prima popolazione di tentativo. Nel corso dell algoritmo il processo di riproduzione selettiva tende a ridurre la diversità facendo convergere tutti i cromosomi, fenomeno che prende il nome di deriva genetica. L operatore di crossover tende a contrastare la riduzione di della diversità creando nuove strutture dalla combinazione di parti delle stringhe esistenti ma non risulta sufficiente in tutti i casi. Per contrastare la prematura perdita di un allele in una determinata posizione si introduce l ultimo operatore ovvero la mutazione. Tuttavia poiché questo operatore agisce ciecamente si cerca di utilizzarlo con una probabilità molto bassa. Per i primi 3 valori dell azione assiale σ i grafici forza-spostamento ottenuti inserendo all interno del modello di Abe et al. implementato in Matlab i valori dei coefficienti identificati con l algoritmo genetico colgono e riproducono in modo molto buono i dati sperimentali; vengono colti i picchi di forza raggiunti in corrispondenza dei massimi spostamenti orizzontali negativi, l andamento dei rami di scarico elastico sia per spostamenti positivi che negativi, la zone elastica non lineare, l ampiezza dei cicli d isteresi e l andamento della componetne incrudente. Per σ =20 e σ =30 MPa i grafici forza-spostamento ottenuti inserendo all interno del modello di Abe et al. implementato in Matlab i valori dei coefficienti identificati con l algoritmo genetico non riproducono i dati sperimentali; in particolare l algoritmo genetico non coglie i picchi di forza raggiunti in corrispondenza dei massimi spostamenti positivi e negativi, l ampiezza dei cicli di isteresi al crescere dello spostamento orizzontale imposto all isolatore e non viene riprodotta esattamente la pendenza dei rami di scarico elastico della componente di forza elasto-plastica, cioè per deformazioni di taglio γ comprese tra 50 e 200 %. La cosa che si può notare però è che, per tutti i valori di forza di compressione, viene colto esattamente l andamento elastico non lineare che si osserva per deformazioni di taglio γ < 50 %. Il problema sorge nel momento in cui devono essere riprodotte le componenti elasto-plastica e incrudente della forza resistente sviluppata dall isolatore. 156

167 7 Risultati numerici 7.4 Minimizzazione dell errore nell identificazione dei parametri Dopo aver eseguito l identificazione dei valori dei parametri del modello di Abe et al. dall utente (human-driven) e tramite due algoritmi differenti di ottimizzazione, è possibile scegliere i valori dei parametri che, per un fissato valore di azione assiale, minimizzano l errore in norma L 2 e trovare così le leggi di evoluzione di ogni parametro che permettono di descrivere accuratamente la risposta sperimentale e prevedere il comportamento di un isolatore quando soggetto a un azione assiale di compressione variabile istantaneamente. Nella tabella 7.4 vengono riportati i valori Tabella 7.4. Valori dei parametri del modello di Abe et al. che minimizzano l errore in norma L 2 σ = 0 MPa σ = 5 MPa σ = 10 MPa σ = 20 MPa σ = 30 MPa K α β a b n Y U H p U U S K r errore relativo dei parametri del modello di Abe et al.che minimizzano l errore in norma L 2. I parametri evidenziati in rosso sono quelli che vengono mantenuti costanti durante l identificazione dei parametri eseguita tramite l algoritmo genetico. Nell ultima riga della tabella vengono riportati i valori degli errori relativi, misurati come il rapporto tra la norma L 2 dello scarto tra la forza resistente numerica e quella sperimentale e il valore di forza resistente massima ottenuta nel ciclo di carico. errore relativo = n i=0 (F modello(u i, θ) F (u i )) 2 F max dove F max è il massimo valore di forza resistente sperimentale. 157

168 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro β Come si può notare dalla figura 7.41 il parametro β ha un andamento esponenziale decrescente al variare del valore della forza assiale di compressione che agisce sull isolatore. L andamento esponenziale indica che si ha una rapida diminuzione del valore del parametro al crescere del valore di forza che agisce sull isolatore. Per un azione assiale di 30 MPa la rigidezza di taglio completamente degradata è quasi nulla, dato che il grafico forza-spostamento ha un andamento orizzontale superata la fase elastica non lineare. Si ha quindi un rapido deterioramento della rigidezza orizzontale dato che l aumento della forza di compressione determina una minore resistenza della gomma che costituisce l isolatore elastomerico. Il deterioramento della rigidezza di taglio si traduce in una diminuzione del valore del parametro β, in quanto questo rappresenta il rapporto tra la rigidezza completamente degradata all inizio della fase elasto-plastica e la rigidezza iniziale della molla elastica non lineare. 158

169 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro Y 0 Il parametro Y 0, che rappresenta il valore di forza in corrispondenza dello snervamento, aumenta con il crescere del valore di forza assiale che agisce sull isolatore. Nella figura 7.42 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il valore di questo parametro aumenta quasi linearmente dato che, con il crescere del valore di forza assiale, la rigidezza completamente degradata alla fine della fase elastica non lineare diminuisce sempre di più fino a diventare nulla; di conseguenza il valore di forza in corrispondenza dello snervamento cresce in modo da poter adattarsi alla riduzione della rigidezza di taglio e per avere la stessa quantità di deformazioni plastiche che si hanno per valori di forza assiali più bassi. 159

170 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro U H Il valore dello spostamento U H a cui inizia l incrudimento inizialmente subisce una leggera diminuzione e poi aumenta con il crescere del valore di forza assiale che preme l isolatore dato che, diminuendo la rigidezza di taglio, la gomma diventa più cedevole e diminuisce il valore di forza resistente esercitata dall isolatore: questo determina un minore contributo della componente incrudente al valore della forza resistente totale. Nella figura 7.43 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il valore del parametro U H varia in modo lineare con il crescere dell azione di compressione che preme l isolatore. Per un azione assiale di 30 MPa si ha una diminuzione del valore del parametro U H dato che si ha un valore elevato di rigidezza incrudente K 2 e, per compensare questo valore elevato, si ha una diminuzione del parametro che definisce lo spostamento a cui inizia l incrudimento. 160

171 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro p Nella figura 7.44 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il valore del parametro varia in modo cubico con il crescere della forza di compressione. Il parametro p governa la forma dei cicli di isteresi per deformazioni di taglio γ > 200 %: l aumento del suo valore è legato ad un aumento di ampiezza dei cicli di isteresi che si osserva nei grafici forza-spostamento con l aumentare della forza assiale. 161

172 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro k 2 Il valore del parametro K 2 diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Nella figura 7.45 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro K 2 diminuisce perché, come già detto, con il crescere del valore della forza di compressione che preme sull isolatore la gomma perde la sua rigidezza e si ha una conseguente diminuzione della rigidezza orizzontale; si ha di quindi un minore contributo della componente incrudente al valore di forza resistente totale. Il parametro K 2 diminuisce in modo parabolico con il crescere della forza di compressione. 162

173 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro r Nella figura 7.46 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro r, che descrive la forma della curva di incrudimento, ha una legge di evoluzione cubica al crescere del valore di forza assiale. Figura Legge di variazione del parametro U S Il parametro U S identificato con l algoritmo genetico diminuisce in modo cubico 163

174 7 Risultati numerici al crescere del valore di forza assiale agente sull isolatore, contrariamente a quello che succede nell identificazione dei parametri fatta con il metodo del Pattern Search. Nella figura 7.47 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore.la diminuzione del valore del parametro U S è necessaria per cogliere esattamente la pendenza dei rami di scarico elastico della componente di forza elasto-plastica e incrudente. Figura Legge di variazione del parametro a Il valore del parametro a diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Nella figura 7.48 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Con l aumento del valore dell azione assiale agente sull isolatore si ha una diminuzione del valore del parametro a dato che, rispetto all identificazione eseguita dall utente (HUMAN- DRIVEN ), si ha un maggiore aumento del valore di forza allo snervamento Y 0 e questo determina un valore più alto di forza resistente all inizio della fase elastoplastica. Per compensare l aumento del parametro Y 0 il valore del parametro a, che rappresenta la forza resistente al termine della fase elastica non lineare, subisce un diminuzione parabolica con l aumento del valore di forza assiale. 164

175 7 Risultati numerici Figura Legge di variazione del parametro n Il valore del parametro n diminuisce con l aumentare della forza assiale di compressione che preme l isolatore. Nella figura 7.49 la y è il valore del parametro mentre la x rappresenta il valore dell azione assiale agente sull isolatore. Il parametro n varia in modo parabolico con il crescere dell azione assiale che preme l isolatore in modo da descrivere correttamente l accordo tra fase elastica non lineare ed elastoplastica dei grafici forza-spostamento e permettere così una buona riproduzione dei dati sperimentali. 165

176 Capitolo 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Le leggi di evoluzione di ogni parametro del modello di Abe et al. al variare del valore di forza assiale di compressione che agisce sull isolatore possono essere utilizzate per riprodurre la risposta dei dispositivi di isolamento sismici in materiale elastomerico quando sono soggetti all azione combinata di spostamento orizzontale ciclico e forza assiale variabile istantaneamente. In particolare si vuole vedere se ci sono conseguenze notevoli dovute alla variazione dell azione assiale, con riferimento ad un caso studiato numericamente in passato. Si vuole, in particolare, riprodurre la risposta di un isolatore elastomerico con gomma ad alto smorzamento (HDRB) che andrà posizionato al di sotto di un edificio di importanza strategica, quale l edificio che ospita il reattore nucleare nell ambito del progetto internazionale SILER ([17]). L edificio oggetto di studio ospita un reattore tipo PWR di generazione III+ ed è dotato di un sistema di isolamento alla base della struttura. IRIS è un reattore nucleare modulare ad acqua leggera pressurizzata (PWR Pressurized Water Reactor) di ultima generazione destinato alla produzione di energia elettrica la cui progettazione rientra in un piano internazionale di sviluppo e ricerca. Le leggi di evoluzione dei parametri del modello di Abe et al. che verranno utilizzate per studiare la risposta dell isolatore elastomerico con nucleo in piombo descritto precedentemente sono quelle che minimizzano l errore in norma L 2 : β = exp(0.151x); n = x x ; U H = x ; p = x x x ; U S = 33.8 log(x) ; 166

177 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente K 2 = x x ; r = x x x ; a = log(x) ; Y 0 = x L isolatore elastomerico a piena scala progettato per proteggere la centrale nucleare ([14]), a cui viene applicata la storia di spostamento orizzontale ciclica e un azione assiale variabile istantaneamente, ha diametro esterno pari a 1 m, diametro degli strati di acciaio rinforzanti pari a 960 mm, 10 strati di materiale elastomerico, ciascuno con spessore di 10 mm, spessore totale della gomma pari a 100 mm, primo fattore di forma S 1 pari a 24 e secondo fattore di forma S 2 di valore 9.6. Le caratteristiche geometriche e meccaniche dell isolatore elastomerico utilizzato per proteggere la centrale nucleare sono riportate in figura 8.1. Figura 8.1. Caratteristiche geometriche e meccaniche dell isolatore HDRB 167

178 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Questo isolatore elastomerico si trova sul bordo dell edificio che ospita il reattore nucleare (8.2); viene studiata la risposta di un isolatore posto sul perimetro della sovrastruttura dato che risulta essere quello maggiormente sollecitato. Figura 8.2. Disposizione degli isolatori elastomerici al di sotto della centrale nucleare Per poter adattare la storia di spostamento orizzontale e carico assiale variabile all isolatore elastomerico con nucleo in piombo utilizzato per ricavare le leggi di evoluzione di ogni singolo parametro del modello analitico di Abe et al. in funzione dell azione assiale di compressione, è stato necessario scalare la storia di spostamento orizzontale e l azione assiale variabile proporzionalmente alle dimensioni dell isolatore utilizzato per le precedenti analisi. Lo spostamento orizzontale, essendo espresso in mm, deve essere moltiplicato per il rapporto tra l altezza totale degli strati di gomma dell isolatore con nucleo in piombo e quella dell isolatore previsto per la centrale nucleare. Il valore di azione assiale variabile deve essere trasformato in sforzo assiale dato che tutte le leggi di evoluzione dei parametri del modello di Abe et al. sono espresse in funzione dei valori di azione assiale calcolati in MPa. I valori di forza assiale sono quindi divisi per l area della sezione dell isolatore elastomerico 168

179 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente utilizzato nella centrale nucleare. I valori così ottenuti sono espressi in MPa e rappresentano la storia di carico di compressione variabile da applicare all isolatore con nucleo in piombo descritto nell articolo di Yamamoto et al. (2009) ([47]) Accelerazioni orizzontali e rotazionali in input Sono stati applicati 4 casi di storie di azione assiale - spostamento orizzontale sull isolatore con nucleo in piombo. Tali storie sono prese da analisi sismiche precedentemente ([14]) condotte su un edificio contenente il reattore nucleare e, opportunamente scalate sull isolatore in nucleo in piombo, rappresentano la sollecitazione sismica per testare numericamente il modello modificato di Abe et al. descritto in questo lavoro di tesi. 1. Storia 1: 0.35 g, componente sismica orizzontale e rotazionale 2. Storia 2: 0.35 g, solo componente sismica orizzontale 3. Storia 3: 0.7 g, componente sismica orizzontale e rotazionale 4. Storia 4: 0.7 g, solo componente sismica orizzontale Le componenti rotazionali degli accelerogrammi derivano dalle componenti di accelerazione verticale tramite il modello di Castellani riportato in [7]. Le time-histories di accelerazioni orizzontali e verticali sono state generate con la procedura descritta in [31]. Sono stati generate delle time-histories di accelerazione orizzontale e verticale, compatibili con gli spettri orizzontali e verticali per un suolo di tipo C della EN 1998, tramite la procedura descritta in [31]. Questa procedura di generazione delle timehistories si basa sull ottimizzazione dei parametri eseguita precedentemente sulla Densità spettrale di potenza d Kanai-Tajimi (MKT PSD). La Densità spettrale di potenza MKT PSD può essere vista come l effetto di un filtro, rappresentante il suolo, su un rumore bianco di intensità S 0 che rappresenta il moto del bedrock: S MKT = S 0 ω ξ 2 1 ω 2 1 ω 2 (ω 2 1 ω 2 ) ξ 2 1 ω 2 1 ω 2 ω 4 (ω 2 2 ω 2 ) ξ 2 1 ω 2 2 ω 2 (8.1) dove ω 1 e ξ 1 rappresentano i parametri del filtro di Kanai-Tajimi, essendo rispettivamente la frequenza naturale del suolo e il rapporto di smorzamento, mentre ω 2 e ξ 2 sono parametri aggiuntivi proposti da Clough e Penzien per modellare un filtro passa-alto in grado di garantire una potenza finita agli spostamenti. Una volta noti i parametri della Densità spettrale MKT-PSD sono state generate le time-histories 169

180 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente di accelerazione tramite la classica sovrapposizione di onde descritta in [35]. Nel modello proposto da Castellani et al. ([7]) la Densità dello spettro di potenza dell accelerazione rotazionale S φ (ω, d) è legata a quella dell accelerazione verticale S v (ω, d) in due punti che si trovano ad una distanza relativa d tramite la seguente relazione: [ 2 Sv (ω, d) ] S φ (ω, d) = (1 Re[γ d 2 v (ω, d)]) (8.2) dove ω è la frequenza circolare, Re[γ v (ω, d) è la parte reale della funzione di coerenza γ v. La distanza d è la distanza attraverso la quale viene calcolata la rotazione intesa come differenza istantanea tra le posizioni verticali. Nel calcolo dell accelerazione rotazionale sono state utilizzate due funzioni di coerenza γ v : una proposta da Luco e Wong nel 1986 e una più recente definita da Abrahamson et al. ([2]). La funzione di coerenza proposta da Luco e Wong nel 1986 assume la seguente forma: γ(ξ, ω) = exp( α ω ξ ) 2 exp(i ω ξ L ) (8.3) ν s ν app dove ξ rappresenta la distanza orizzontale tra le stazioni di misura, ω la frequenza circolare mentre il rapporto ν s contiene le proprietà meccaniche del suolo considerato. Nell equazione 8.3 il modulo decade esponenzialmente con la distanza ξ e α con la frequenza circolare ω ed inversamente con il rapporto meccanico ν s. La fase α dipende linearmente da ω, dalla distanza relativa tra le stazioni ξ L e dall inverso della velocità apparente delle onde sismiche registrata in superficie. La funzione di coerenza proposta recentemente da Abrahamson assume la seguente forma: tanh 1 γ(ξ, ω) = ( ξ) [exp ( ξ)f + f ] (8.4) 3 dove f è la frequenza espressa in Hz e x è la distanza tra le due stazioni di misura espressa in m. Nella generazione della componente rotazionale del terremoto per la funzione di coerenza definita da Luco e Wong la velocità delle onde di taglio è stata assunta come ν s = 2500ms 1. Un valore del fattore di incoerenza α piccolo conduce ad una maggiore correlazione mentre un aumento di α determina una correlazione moderata. La scelta della funzione di coerenza è di fondamentale importanza per la definizione della componente di accelerazione rotazionale, determinando a seconda del valore del parametro di incoerenza α situazioni che passano da valori trascurabili a valori dello stesso ordine di quelli delle componenti di accelerazione orizzontali del terremoto. 170

181 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Nel caso in esame sono stati generati due set di accelerazioni incorrelati tra di loro: il primo set è rappresentativo della componente orizzontale del terremoto che ha spettro di risposta compatibile con quello definito nella EN per la componente orizzontale di un suolo di tipo C e spettro di tipo 1; il secondo set è rappresentativo della componente verticale del terremoto ed è stato calcolato in 2 stazioni situate ad una distanza relativa d = 10 m, sia per la funzione di coerenza definita da Luco e Wing nel 1986 che per quella introdotta da Abrahamson et al. nel 1991 ([2]). A partire dalle accelerazioni in direzione orizzontale e verticale è stato possibile calcolare la componente rotazionale del terremoto. Le accelerazioni orizzontali e rotazionali sono state successivamente accoppiate e applicate al modello a 3 gradi di libertà definito per calcolare la risposta dell edificio ospitante il reattore nucleare IRIS, utilizzando come PGA (Peak Ground Acceleration) i valori 0.35 g e 0.7 g. L incoherence factor α=0.2 è stato adottato per ognuno dei casi analizzati. Valori di incoherence factor bassi ([0,1]) corrispondono ad correlazioni spaziali più alte (tra componenti sismiche verticali). Sono stati analizzati 4 casi di storie di spostamento orizzontale e corrispondente azione assiale variabile su un isolatore di una centrale per poter applicare l analisi dell evoluzione dei parametri del modello di Abe et al. allo studio della risposta ad una storia di carico con forza assiale variabile. Per determinare le leggi di evoluzione di ogni parametro del modello di Abe et al. al crescere del valore di forza assiale di compressione sono state utilizzate delle prove sperimentali ([47]) in cui ad un isolatore elastomerico con nucleo in piombo è stata applicata la stessa storia di carico orizzontale con 5 differenti valori di azione di compressione, ciascuno costante durante il test sperimentale. L applicazione delle leggi di evoluzione di ogni parametro del modello allo studio della risposta di un isolatore soggetto a una storia di spostamento orizzontale ciclica e ad azione assiale variabile permette di comprendere l utilità di quanto svolto in questo lavoro di tesi e di applicare l analisi svolta sui parametri del modello di Abe et al. allo studio della riposta di un isolatore soggetto a forza assiale non costante durante la prova sperimentale. Nella figura 8.3 vengono riportate le 4 storie di spostamento orizzontale imposto all isolatore in funzione del tempo: 171

182 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Figura 8.3. Storia degli spostamenti orizzontali in funzione del tempo Nella figura 8.4 vengono riportate le 4 storie di azione assiale imposto all isolatore in funzione del tempo: Figura 8.4. Storia delle azioni assiali in funzione del tempo 172

183 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Figura 8.5. Grafico forza-spostamento relativo alla prima storia di spostamento orizzontale e azione assiale variabile Figura 8.6. Grafico forza-spostamento relativo alla seconda storia di spostamento orizzontale e azione assiale variabile 173

184 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Figura 8.7. Grafico forza-spostamento relativo alla terza storia di spostamento orizzontale e azione assiale variabile Figura 8.8. Grafico forza-spostamento relativo alla quarta storia di spostamento orizzontale e azione assiale variabile Nei grafici forza orizzontale-spostamento orizzontale 8.5 e 8.6 viene raggiunto un valore di deformazione di taglio γ = 100% mentre nel caso delle applicazioni 3 e 4 174

185 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente viene imposta all isolatore elastomerico LRB una deformazione massima di taglio pari a γ = 200%. I grafici 8.7 e 8.8 mettono maggiormente in evidenza rispetto ai grafici 8.5 e 8.6 le fluttuazioni del valore di azione assiale di compressione attorno al valore medio dato dalla componente statica, ovvero il peso dell edifico sovrastante il sistema di isolamento sismico. Inoltre si può cogliere una degradazione della rigidezza di taglio per valori di deformazione superiori al 150 % dato che, a causa del valore più elevato dell azione assiale rispetto ai primi 2 casi, si ha un minore contributo della componente F 3 di incrudimento del modello di Abe et al, definita in modo dettagliato nel capitolo 3. Le figure 8.9, 8.10, 8.11 e 8.12 mostrano un confronto tra la risposta dell isolatore con nucleo in piombo soggetto ad azione assiale variabile istantaneamente, calcolata utilizzando le leggi di variazione dei parametri identificate in precedenza, e quella relativa al caso di azione assiale costante, pari alla metà del valore massimo di compressione che compare nella storia di azione assiale variabile. Figura 8.9. Prima storia di spostamento e azione assiale: a)risposta ad azione assiale variabile e b) risposta ad azione costante di 6.5 MPa 175

186 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Figura Seconda storia di spostamento e azione assiale: a) risposta ad azione assiale variabile e b)risposta ad azione costante di 6 MPa Figura Terza storia di spostamento e azione assiale: a) risposta ad azione assiale variabile e b) risposta ad azione costante di 10 MPa 176

187 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Figura Quarta storia di spostamento e azione assiale: a) risposta ad azione assiale variabile e b) risposta ad azione costante di 9.5 MPa Osservando le figure 8.9, 8.10, 8.11 e 8.12 si può notare come la risposta dell isolatore calcolata inserendo all interno del modello di Abe et al. le leggi di variazione dei parametri in funzione del valore di sforzo assiale di compressione σ c abbia un andamento realistico: i grafici forza-spostamento riescono a cogliere le fluttuazioni del valore di forza resistente che si ottengono con il cambiamento istantaneo del valore di forza di compressione. Se al posto di utilizzare il valore istantaneo di azione assiale di compressione viene calcolata la risposta dell isolatore con nucleo in piombo soggetto ad uno sforzo di compressione costante pari alla metà del valore massimo di compressione che compare nella storia di azione assiale variabile, l aspetto della curva diventa strettamente simmetrico. In particolare non vengono colti esattamente la rigidezza di taglio dei grafici forza-spostamento, l ampiezza dei cicli di isteresi che vengono a crearsi a seguito dell applicazione di uno spostamento orizzontale ciclico, l andamento del grafico forza-spostamento nel tratto incrudente, i picchi di forza resistente per spostamenti imposti all isolatore sia positivi che negativi e le fluttuazioni causate dalla variazione del valore di forza assiale. Queste differenze nella risposta dell isolatore LRB possono essere colte maggiormente nei grafici 8.11 e 8.12, mentre nelle prime due storie di sollecitazioni sismiche si ha una minore variazioni della forza assiale attorno al valore medio statico e vengono raggiunti picchi di azione di compressione più bassi. Nei grafici forza orizzontale-spostamento orizzontale 8.5 e 8.6 viene raggiunto un valore di deformazione di taglio γ = 100% mentre nel caso delle applicazioni 3 e 4 viene imposta all isolatore elastomerico LRB una deformazione massima di taglio pari a γ = 200%. Questo non permette di cogliere ed apprezzare l utilità della modifica del modello di Abe et al. dato che, nei grafici sperimentali riportati nel 177

188 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente capitolo 7, erano stati raggiunti valori di γ pari al 400 %; infatti era proprio per valori di deformazione elevata che si coglieva l ampliamento dei cicli di isteresi con il crescere del valore di azione assiale agente sull isolatore. Per poter osservare il cambiamento del comportamento dell isolatore elastomerico quando soggetto a stessa storia di spostamento orizzontale ma a due differenti carichi verticali(carico assiale costante e carico assiale variabile istantaneamente), vengono riportati i grafici forza-spostamento ottenuti applicando all isolatore elastomerico con nucleo in piombo le 4 storie di azione assiale variabili, ma amplificate di un fattore 3 e 4. Figura Terza storia di spostamento e azione assiale moltiplicata per un fattore pari a 3 Figura Quarta storia di spostamento e azione assiale moltiplicata per un fattore pari a 4 178

189 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente Figura Terza storia di spostamento e azione assiale moltiplicata per un fattore pari a 3 Figura Quarta storia di spostamento e azione assiale moltiplicata per un fattore pari a 4 Nelle figure 8.13, 8.14, 8.15 e 8.16 i grafici forza-spostamento riescono a cogliere le fluttuazioni del valore di forza resistente che si ottengono con il cambiamento istantaneo del valore di forza di compressione attorno al valore medio statico, dato dal peso della struttura sovrastante l isolatore. Nel grafico 8.16 si può evidenziare una brusca diminuzione della rigidezza orizzontale dell isolatore in corrispondenza dello spostamento negativo più elevato,dove l azione assiale assume valori negativi, cioè diventa di trazione. Questo è dovuto al fatto che le leggi di evoluzione identificate precedentemente non sono in grado di descrivere correttamente il comportamento dell isolatore elastomerico quando è soggetto a forza assiale di trazione, in quanto il procedimento di identificazione non comprendeva casi in cui l azione assiale fosse 179

190 8 Applicazioni a storie di azioni assiali variabili istantaneamente di trazione ma solo di compressione o nulla. Sarebbe necessario avere dei dati sperimentali relativi alla risposta dell isolatore elastomerico quando è soggetto ad un carico assiale di trazione per riuscire a riprodurre correttamente i grafici 8.7 e 8.8, nei quali, per valori di spostamento negativo massimo, i valori di forza resistente hanno un andamento inatteso. 180

191 Capitolo 9 Validazione del modello di Abe modificato 9.1 Caratteristiche geometriche e meccaniche dell isolatore testato Nel capitolo precedente è stata utilizzata la versione modificata del modello originale di Abe et al. per calcolare la risposta dell isolatore con nucleo in piombo descritto nel capitolo 6 soggetto ad una storia di spostamento orizzontale ciclica e ad azione assiale variabile istantaneamente, senza eseguire una vera e propria validazione della proposta del modello non essendo presente il grafico sperimentale con cui eseguire il confronto. In questo capitolo della tesi si vogliono utilizzare le leggi di evoluzione di ogni parametro del modello di Abe et al. al variare del valore di forza assiale di compressione per riprodurre la risposta orizzontale dei dispositivi di isolamento sismici in materiale elastomerico quando sono soggetti all azione combinata di spostamento orizzontale ciclico e forza assiale variabile istantaneamente e verificare la validità della proposta di modifica del modello originale tramite il confronto tra il grafico sperimentale e quello ottenuto numericamente. Si vuole, in particolare, riprodurre la risposta di un isolatore elastomerico con gomma ad alto smorzamento (HDRB) che andrà posizionato al di sotto di un edificio di importanza strategica, quale l edificio che ospita il reattore nucleare nell ambito del progetto internazionale SILER ([17]). L edificio oggetto di studio ospita un reattore tipo PWR di generazione III+ ed è dotato di un sistema di isolamento alla base della struttura. In questo contesto, si è fatto ricorso ad una modellazione non lineare degli isolatori elastomerici armati, interposti tra la fondazione e la struttura, basata 181

192 9 Validazione del modello di Abe modificato sull utilizzo di raffinate leggi costitutive in grado di cogliere, nel piano orizzontale, il comportamento isteretico dell isolatore. IRIS è un reattore nucleare modulare ad acqua leggera pressurizzata (PWR Pressurized Water Reactor) di ultima generazione destinato alla produzione di energia elettrica la cui progettazione rientra in un piano internazionale di sviluppo e ricerca. IRIS è stato principalmente concepito per presentare un progetto che avesse caratteristiche innovative di sicurezza e che consentisse di costruire e gestire un reattore in maniera più semplice. Si differenzia dai tradizionali impianti nucleari per la sua configurazione compatta e modulare che lo rende economicamente appetibile. La modellazione del comportamento degli isolatori avviene tenendo conto del comportamento isteretico nel piano orizzontale, descritto tramite il modello proposto da Abe, ma senza alcuna interazione con il moto verticale, direzione lungo la quale si assume un comportamento elastico lineare, caratterizzato da una molla elastica lineare dotata di rigidezza k v. In figura 9.1 vengono riportate le caratteristiche geometriche e meccaniche dell isolatore elastomerico posto al di sotto del reattore nucleare ed oggetto di studio. In figura 9.2 viene riportata una schematizzazione dell isolatore elastomerico HDRB oggetto di studio con tutte le sue parti componenti. In figura 9.3 viene riportata la posizione dell isolatore elastomerico oggetto di studio al di sotto dell edificio contenente il reattore nucleare IRIS. Figura 9.1. Caratteristiche meccaniche dell isolatore utilizzato l isolamento sismico del reattore nucleare IRIS 182

193 9 Validazione del modello di Abe modificato Figura 9.2. Isolatore utilizzato per l isolamento sismico del reattore nucleare IRIS Figura 9.3. Isolatore elastomerico oggetto di studio Gli ancoraggi meccanici dell isolatore appena introdotto sono stati progettati in modo ad resistere al 100 % del carico orizzontale, nonostante la norma EN consenta di ridurre questa percentuale al 75 % ne caso di analisi dinamiche non lineari. Per poter verificare la resistenza all instabilità sotto azioni sismiche dell isolatore 183

194 9 Validazione del modello di Abe modificato elastomerico non si è fatto solo riferimento alla normativa EN 15129, ma sono state anche sfruttate le seguenti formule: dove N cr N Ed,max 1.5 (9.1) N cr è il carico di instabilità definito da N cr = G A r S D T q ; G: modulo di taglio dinamico della gomma ad una deformazione di taglio del 100 %; D : diametro dei lamierini di acciaio rinforzanti posizionati tra gli strati di gomma; S: fattore di forma, definito dal rapporto tra l ara effettiva di ogni strato di gomma e la superficie laterale libera S = D 4 t r ; t r : spessore di ogni singolo strato di gomma dell isolatore elastomerico; A r : area piana effettiva ridotta dovuta al massimo spostamento in condizioni ϕ sin(ϕ) D DBE che, nel caso di isolatori circolari, assume l espressione A r = ; T q ϕ = arccos( d DBE D ) Gli isolatori elastomerici HDRBs sono molto rigidi in direzione verticale e, quando sottoposti al carico statico verticale, esibiscono effetti trascurabili di creep durante tutta la vita della struttura. In aggiunta, sono molto flessibili in direzione orizzontale ed esibiscono un comportamento elastico non lineare (iperelasticità) fino a modesti valori di deformazione, fornendo così la giusta rigidezza nel piano orizzontale e un adeguata forza di richiamo. Gli isolatori elastomerici sono dispositivi che, grazie alla bassa rigidezza orizzontale, garantiscono l aumento del periodo proprio di vibrazione della struttura e il disaccoppiamento del moto orizzontale della struttura da quello del terreno. La loro elevata rigidezza in direzione verticale limita la deformazione quando sottoposti al carico sismico. Il primo passo nel design del sistema di isolamento sismico di una struttura è quello di determinare la frequenza di isolamento: essa deve essere scelta raggiungendo un compromesso tra riduzione dell accelerazione della struttura e bassi spostamenti relativi tra struttura in elevazione e terreno. Una volta deciso il valore di accelerazione desiderata per la struttura, è possibile determinare il massimo spostamento relativo 184

195 9 Validazione del modello di Abe modificato tra struttura e terreno per quel particolare valore di accelerazione. Gli spettri sono definiti per un oscillatore ad un solo grado di libertà, ma la struttura isolata in esame si comporta in un modo simile, essendo molto più rigida del sistema di isolamento in direzione orizzontale. Le forze di richiamo degli isolatori sono modellate tenendo conto del comportamento isteretico e dissipativo esibito nel piano orizzontale, ma senza alcuna interazione con il moto in direzione verticale, per il quale viene riprodotta una risposta elastica lineare tramite l inserimento di una molla dotata di rigidezza K v. Per riprodurre il comportamento dissipativo ed isteretico caratterizzante la risposta sismica degli isolatori è stato utilizzato il modello di Abe et al. descritto nel capitolo Introduzione ai test sperimentali L isolatore elastomerico HDRB descritto nel paragrafo precedente è stato progettato e testato all interno del progetto internazionale SILER, per poter essere installato al di sotto dell edificio contenente il reattore nucleare ELSY. Uno dei prototipi è stato soggetto ad una serie di test sperimentali, non solo quelli previsti dal norme europee EN 15129, ma anche test con time-histories bidirezionali e tridirezionali. I test bidirezionali sono quelli in cui all isolatore elastomerico viene applicato un carico assiale costante e contemporaneamente vengono applicate delle time-histories di spostamento lungo i due assi orizzontali ortogonali. Le time-histories di spostamento orizzontale imposte all isolatore sono l output delle analisi non lineari condotte per calcolare la risposta dell edificio nucleare isolato. Nei test tridirezionali, oltre ad applicare delle time-histories di spostamento lungo i due assi orizzontali ortogonali, viene applicata una time-historie anche in direzione verticale; invece di mantenere costante il valore di azione assiale agente sull isolatore, viene considerata la variazione del carico verticale durante il terremoto, utilizzando gli output delle analisi non lineari condotte sull edificio nucleare isolato. In questo lavoro di tesi viene effettuata la validazione del modello di Abe modificato calcolando la risposta dell isolatore quando soggetto ad una time-historie di spostamento orizzontale in direzione x ed una time-historie di azione assiale, che permette di tenere in conto della variazione del carico verticale che si verifica durante un terremoto. 185

196 9 Validazione del modello di Abe modificato 9.3 Confronto tra output numerico e grafico sperimentale L isolatore elastomerico a piena scala progettato per proteggere la centrale nucleare ([14]), a cui viene applicata la storia di spostamento orizzontale ciclica e un azione assiale variabile, ha diametro esterno pari a 1.35 m, 16 strati di materiale elastomerico, ciascuno con spessore di 16 mm, spessore totale della gomma pari a 256 mm, primo fattore di forma S 1 pari a 19.7 e secondo fattore di forma S 2 di valore Per poter adattare la storia di spostamento orizzontale e carico assiale variabile all isolatore elastomerico con nucleo in piombo utilizzato per ricavare le leggi di evoluzione di ogni singolo parametro, è stato necessario scalare la storia di spostamento orizzontale e l azione assiale variabile proporzionalmente alle dimensioni dell isolatore utilizzato per le precedenti analisi. Lo spostamento orizzontale, essendo espresso in mm, deve essere moltiplicato per il rapporto tra l altezza totale degli strati di gomma dell isolatore con nucleo in piombo e quella dell isolatore previsto per la centrale nucleare. Il valore di azione assiale variabile deve essere trasformato in sforzo assiale dato che tutte le leggi di evoluzione dei parametri del modello di Abe et al. sono espresse in funzione dei valori di azione assiale calcolati in MPa. I valori di forza assiale sono quindi divisi per l area della sezione dell isolatore elastomerico utilizzato nella centrale nucleare. I valori così ottenuti sono espressi in MPa e rappresentano la storia di carico di compressione variabile da applicare all isolatore con nucleo in piombo descritto nell articolo di Yamamoto et al. (2009) ([47]). Una volta determinata la risposta dell isolatore con nucleo in piombo soggetto ad una storia di spostamento orizzontale ciclica e azione assiale variabile, lo spostamento orizzontale e forza resistente sono stati riscalati in modo proporzionale all isolatore elastomerico della centrale nucleare, così da effettuare un confronto tra la risposta numerica e quella sperimentale. Per poter validare la modifica del modello originario di Abe et al. con l inserimento delle leggi di ogni parametro è stato utilizzato come target il grafico forza orizzontale-spostamento sperimentale riportato in figura 9.4, dove viene riportato il grafico sperimentale forza orizzontale-spostamento ottenuto imponendo all isolatore elastomerico con gomma ad alto smorzamento descritto in precedenza la storia di spostamento orizzontale riportata in figura 9.5 e la storia di azione assiale definita nella figura 9.6. Si vuole così cercare di riprodurre la forza di richiamo dell isolatore tenendo conto del comportamento isteretico e dissipativo esibito nel piano orizzontale e considerando l effetto della variabilità dell azione assiale verticale sulla risposta nel piano orizzontale. 186

197 9 Validazione del modello di Abe modificato Figura 9.4. Diagramma forza-spostamento sperimentale ottenuto usando come accelerogramma la storia Polimi5. Figura 9.5. Storia di spostamento orizzontale applicata all isolatore. Le storie di spostamento orizzontale longitudinale e di forza assiale di compressione riportate nelle figure 9.5 e 9.6 sono l output dell analisi dinamica non lineare condotta al DBE con l utilizzo dell accelerogramma denominato Polimi5 come input orizzontale (questo accelerogramma appartiene al progetto SILER). Le suddette storie sono state applicate ad un isolatore di bordo sottostante l edificio che ospita il reattore nucleare. Esse rappresentano la sollecitazione sismica per testare numericamente il modello modificato di Abe et al. descritto in questo lavoro di tesi. ([17]) 187