Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Prova scritta 15/12/2008 Compito B

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1 Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Prova scritta 5/2/2008 Compito B Esercizio (20 punti. Una piccola azienda di Genova distribuisce un certo prodotto in tutta la regione, prodotto commerciato in piccoli numeri da moltissimi negozi della regione. i In un primo tempo, decide di servire direttamente le richieste dei singoli negozi, senza organizzarsi tramite magazzini decentrati (come invece descriveremo sotto. Nell arco di 8 ore lavorative, arrivano in media 0 richieste, separate da intertempi esponenziali. Trovare (se possibile rigorosamente l intertempo medio. ii L azienda ha 3 furgoni per effettuare le consegne. Appena arriva una richiesta (per telefono, se ha un furgone libero lo manda subito, altrimenti mette la richiesta in attesa, e servirà appena possibile le richieste messe in attesa, secondo il loro ordine di arrivo. Ogni furgone impiega in media 2 ore lavorative a completare una consegna ed essere disponibile per la successiva. Calcolare la probabilità che ci sia almeno un furgone fermo in azienda, in attesa di chiamate. iii In un periodo storico successivo l azienda si organizza diversamente. Apre due magazzini, uno a Levante ed uno a Ponente, a cui porta gli esemplari del prodotto, in quantità considerevoli, per mezzo di un grosso camion; ad essi attingono i distributori locali. Se in un magazzino ci sono meno di 0 esemplari, viene richiesto un rifornimento all azienda che provvede immediatamente ad una spedizione, se il camion è disponibile. Dopo un tempo medio di 6 ore lavorative il magazzino che ha richiesto il rifornimento ha i pezzi richiesti già utilizzabili, ed il camion è già rientrato e pronto per una nuova spedizione. Dal momento in cui il rifornimento è utilizzabile al momento in cui quel magazzino si troverà nuovamente con meno di 0 esemplari, passano in media 60 ore lavorative. Tracciare il grafo con i tassi ed indicare qual è la probabilità che il magazzino di Ponente sia sotto le 0 unità ma gli spedizionieri siano già impegnati in una spedizione a Levante. iv In un certo periodo dell anno Levante smercia più prodotto di Ponente. In quel periodo, cambia la strategia di rifornimento: ogni 40 ore lavorative (in media, viene inviato un rifornimento a Levante (che smette di inviare richieste, rifornimento che dura sempre 6 ore in media, mentre per Ponente

2 si continua ad operare su richiesta come sopra. Calcolare (esplicitamente la probabilità che il camion sia inattivo. v Nella situazione del punto precedente, su 00 volte che i rifornitori sono in sede, quante accadrà che saranno inviati a Levante piuttosto che a Ponente? Esercizio 2 (0 punti. Esaminiamo i dati, di 0 nazioni mondiali, relativi a 4 indicatori: due legati alla ricerca teorica, due al turismo. Chiamiamo X, X 2, X 3, X 4 le variabili aleatorie corrispondenti a questi indicatori. Supponiamo che i dati siano standardizzati. Sia A la matrice in R che contiene questi dati (4 colonne, 0 righe. i Supponiamo che le due variabili X, X 2 siano molto correlate tra loro, positivamente (dell ordine di 0.9, le due v.a. X 3, X 4 siano molto correlate tra loro, negativamente (dell ordine di -0.9, ma siano scorrelate le variabili X 3, X 4 dalle X, X 2 (nel senso che la covarianza sperimentale tra X e X 3 è molto piccola, e così via per X 2 con X 3 ecc.. Calcolare la matrice di covarianza e quella di correlazione dei dati sperimentali. Come ci aspettiamo che siano? ii Eseguite l analisi in componenti principali. Cosa vi aspettate di vedere nel piano principale? Come potete leggere la proporzione di varianza spiegata dal piano principale? Sapendo che la matrice di covarianza ha due coppie di autovalori uguali, come può essere fatta tale matrice, una volta diagonalizzata, se la varianza spiegata dal piano principale è il 95%? [Si intende che la risposta alle domande dev essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commentando la risoluzione.] Soluzioni Esercizio. Tutti i tempi saranno descritti in ore. i Detto N 8 il numero di richieste in 8 ore, esso è di Poisson di parametro λ 8, dove è il tempo λ medio tra una richiesta e l altra, espresso in ore. Vale quindi E [N 8 ] = λ 8. Ma per ipotesi, vale anche E [N 8 ] = 0. Quindi λ = 5, E [T ] = ii E una coda a 3 serventi. Vale λ = 5 (tasso di arrivo delle richieste, 4 2

3 µ = 2 Va calcolato λ (tasso di servizio, ρ = = 5. Pertanto si deve calcolare cµ 6 a = 2 k=0 = λ k µ k k! + λ3 µ 3 3! ρ = π 0 + π + π 2 = = a iii Gli stati (cinque sono: L + P + = entrambi i magazzini hanno 0 esemplari; L P + = Levante in rifornimento, Ponente con 0 esemplari; L + P = viceversa; L P a = Levante in rifornimento, Ponente in attesa con < 0 esemplari L a P = viceversa. Le transizioni ed i loro tassi sono L + P + /60 L P +, L + P + /60 L + P L P + /6 L + P +, L P + /60 L P a L + P /6 L + P +, L + P /60 L a P L P a /6 L + P, L a P /6 L P +. La probabilità richiesta è π L P a. L esercizio non chiede di calcolare questa probabilità. Facoltativamente il calcolo si può eseguire, usando in particolare una certa simmetria, trovando il risultato π L P a = iv Ora gli stati (solo quattro sono: 0 = camion a riposo LP + = rifornimento in corso a Levante, Ponente con 0 esemplari; LP a = rifornimento in corso a Levante, Ponente con < 0 esemplari, in attesa; P = Ponente in fase di rifornimento. Le transizioni ed i loro tassi sono 0 /40 LP +, 0 /60 P LP + /6 0, LP + /60 LP a P /6 0, LP a /6 P. 3

4 Le equazioni sono ( π π LP+ ( = π LP+ 6 + π P 6 = π 0 40 π LPa 6 = π LP + 60 π P 6 = π π LP a 6 di cui ad es. usiamo le ultime tre. Ricaviamo 40 π LP+ = π π LPa = = 0.36 π 0 0 π LP + = π 0 π P = π π LP a = ( π 0 = 0.36 π 0 quindi, dall equazione π 0 + π LP+ + π LPa + π P = ricaviamo ( π 0 = da cui π 0 = Questa è la probabilità che il camion sia inattivo. v La probabilità di andare a Levante è Quindi il 60% delle volte. /40 /40 + /60 = 0.6. Esercizio 2. i Le due matrici richieste sono cov(a e cor(a. Esse coincidono: la correlazione è la covarianza divisa per il prodotto delle deviazioni standard, che sono pari ad uno grazie alla standardizzazione. Inoltre, a livello teorico, La matrice di covarianza avrà la forma ρ 2 ρ 2 ρ 34 ρ 34 4

5 dove ρ 2 0.9, ρ ed al posto degli asterischi ci sono numeri vicini a zero. ii Poniamo PCA<-princomp(A. Possiamo visualizzare il piano principale con biplot(pca. Ci aspettiamo di vedere le frecce rosse relative ad X, X 2 abbastanza allineate, quelle relative ad X 3, X 4 sostanzialmente dirette in senso opposto, mentre le due di X, X 2 e le due di X 3, X 4 sostanzialmente ortogonali. Tramite il comando summary(pca possiamo leggere la proporzione di varianza spiegata da ciascuna componente e cumulativamente, quindi in particolare la proporzione spiegata dalle prime due componenti (il piano principale. Il comando plot(pca visualizza queste proporzioni con un diagramma a barre. Se la varianza spiegata dal piano principale è 0.95 e gli autivalori sono uguali a coppie, la matrice in forma diagonale deve essere del tipo con 2a 2a+2b a a b b = 0.95, da cui a = 9b. La forma diagonale è del tipo