Sistemi binari e accrescimento

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1 Sistemi binari e accrescimento

2 Le Stelle Binarie Finora abbiamo considerato le stelle come oggetti luminosi e isolati; le stelle sono alimentate da reazioni di fusione nucleare non interagiscono con il mezzo circostante o con altre stelle. In realtà sappiamo che oltre il 50% delle stelle sono in sistemi binari o multipli (è proprio nelle binarie che possiamo misurare la massa delle stelle). Nei sistemi binari avvengono due cose: l evoluzione delle due stelle del sistema binario è diversa da quella delle stelle singole con la stessa massa a causa degli scambi di massa; negli stadi finali in cui una delle due stelle è diventata un oggetto compatto (nana bianca, stella di neutroni, buco nero) si assiste alla formazione di sorgenti alimentate non da reazioni nucleari ma da accrescimento di materia. La fisica dell accrescimento è molto complessa e si applica alle stelle di presequenza principale, alle binarie interagenti, ai nuclei galattici attivi e, forse, ad alcuni tipi di supernovae e GRB. 2

3 Le Stelle Binarie In una binaria, le coppie di stelle con periodo orbitale inferiore a ~10 giorni sono in orbite circolari allineate (gli assi di rotazione delle due stelle e l asse del piano orbitale sono tra loro paralleli) sincronizzate (ogni stella ha un periodo di rotazione pari al periodo di rivoluzione attorno all altra stella per cui ogni stella vede sempre la stessa faccia dell altra). Queste caratteristiche dipendono dall esistenza di Forze Mareali che agiscono sull una e sull altra stella a piccole distanze. Le forze mareali non sono altro che un effetto dell attrazione gravitazionale su corpi che non si possono considerare puntiformi. 3

4 Le Forze Mareali La forza gravitazionale che la stella 1 esercita su un elemento di massa m sulla sua superficie, a distanza Δr dal centro, è F grav = GM 1m r 2 Ma m è soggetto all attrazione di M2. La forza mareale è la differenza tra la forza gravitazionale su m e quella che si avrebbe se m fosse al centro di M1. r M1 Questa forza esiste solo se la stella 1 non si può considerare puntiforme. Se Δr << r, il modulo della forza mareale è M2 m θ Δr F tide = GM 2m r 2 GM 2 m r 2 + r 2 2r r cos 2GM 2 r r 3 cos per cui il rapporto tra le due forze è F tide F grav = 2M 2 M 1 r r 3 cos 4

5 Limite di Roche La stella 1 può essere distrutta dall interazione con 2 se Ftide è superiore alla forza gravitazionale ovvero, dato cosθ = 1, per 2GM 2 r r 3 > GM 1 r 2 da cui la distruzione per effetti mareali di 1 si ha quando 1 è più vicina a 2 di r< r 2M2 M 1 1/3 questo è noto come limite di Roche. Qual è la distanza minima a cui può arrivare il Sole vicino ad un buco nero supermassivo (MBH ~10 8 M, come quelli al centro delle galassie vedi più avanti) senza essere distrutto? Dall espressione sopra il Sole è distrutto se la sua distanza dal buco nero è inferiore a r<r M M 1/3 = 584 R 5

6 Le Forze Mareali La presenza delle forze mareali induce delle distorsioni alla simmetria sferica delle stelle e tali distorsioni aumentano al crescere di Δr/r. Fino a che le stelle non sono legate marealmente (tidally locked, ovvero orbite sincronizzate e circolarizzate), viene persa continuamente energia per attrito; se le orbite sono ellittiche variano r e cosθ e quindi varia la forza mareale su una dato elemento di massa; le distorsioni si devono muovere rispetto al resto della stella causando attrito viscoso e quindi perdita di energia; solo quando si ha il tidal locking tutto appare stazionario nel riferimento corotante del CM ed il sistema raggiunge lo stato di energia minima. Questo fenomeno avviene anche nel sistema Terra-Luna-Sole; il tidal locking (parziale) è il motivo per cui la Luna mostra sempre la stessa faccia alla Terra. Questo sistema è però più complesso per la presenza del Sole. 6

7 Distorsioni Mareali Deformazione indotta dalle forze mareali

8 Il problema dei tre corpi Consideriamo adesso le due stelle binarie e mettiamoci nel sistema corotante del centro di massa in cui l asse X è quello che unisce le due stelle. Il sistema del centro di massa ruota con velocità angolare data dalla terza legge di Keplero (a è la distanza tra le masse) y m 2 = P 2 2 = G(M 1 + M 2 ) a 3 r1 r r2 θ M1 a1 a2 M2 x a 8

9 Il problema dei tre corpi Nel sistema di riferimento del CM (non inerziale) il potenziale efficace a cui è soggetta la massa test m è (r) = GM 1 [r 2 + a 2 1 2a 1 r cos( )] 1/2 GM 2 [r 2 + a 2 2 2a 2 r cos ] 1/2 1 2 (~ ~r) 2 dove l ultimo termine è il potenziale fittizio che descrive la forza centrifuga in un sistema non inerziale. Il vettore di Omega ha modulo Ω e direzione perpendicolare al piano dell orbita verso della rotazione antioraria. Questo potenziale ha delle superfici equipotenziali particolari. 9

10 Le Superfici Equipotenziali Esiste una particolare superficie equipotenziale le cui sezioni con piani passanti per la congiungente le due stelle sono delle figure a 8 : si intersecano nel primo punto di Lagrange (L1, in generale non è il centro di massa) ed i due lobi dell 8 sono detti Lobi di Roche ; in L1 le forze gravitazionali e centrifuga si annullano, pertanto è un punto di equilibrio, ma instabile (è una sella del potenziale). Il gas di una stella che raggiunge L1 può passare all altra stella, ovvero cadere nella buca di potenziale. In ogni stella le superfici di densità costante sono parallele alle superfici equipotenziali; pertanto se una stella cresce in raggio (es. diventa gigante) assumerà la forma di una goccia, fino a riempire il suo lobo di Roche. Lobi di Roche L1 Primo punto di Lagrange 10

11 I Lobi di Roche Rappresentazione 3D del potenziale di Roche per due stelle con rapporto di massa 2:1. La superficie in figura rappresenta il potenziale in funzione della posizione su un piano passante per le due stelle nel sistema di riferimento corotante. Potenziale Posizione X Posizione Y

12 Le Stelle Binarie Per accennare all evoluzione nei sistemi binari partiamo da un paradosso apparente: alcune binarie sono costituite da una stella massiccia di sequenza principale ed una compagna meno massiccia ma più evoluta. Siccome i sistemi binari dovrebbero essere costituiti da stelle della stessa età, questa è una chiara contraddizione, almeno in apparenza. Questa apparente contraddizione si spiega col fatto che, durante l evoluzione, la stella più massiccia diventa gigante, riempie il suo lobo di Roche e perde gran parte della sua massa a vantaggio della stella meno massiccia, come mostrato in figura. Alla fine le binarie si riconducono sempre ad essere costituite da: una stella gigante che riempie il suo lobo di Roche ed una compagna più evoluta. A seconda della compagna si hanno fenomeni diversi: nana bianca variabili cataclismiche, Novae, Supernovae tipo Ia stella di neutroni o buco nero binarie X. 12

13 Evoluzione di un sistema binario Esempio: stella di 5 M (B) con compagna di 1 M (A). B evolve più rapidamente di A (è più massiccia). B diventa una gigante rossa, riempiendo il suo Lobo di Roche. A riceve massa da B. A si accresce a spese di B che diventa sempre meno massiccia. La stella A diventa una gigante e perde ora massa verso B che ormai è diventata una nana bianca. La stella A è diventata un stella massiccia di sequenza principale con una compagna gigante di piccola massa più evoluta (vecchia), un apparente contraddizione! 13

14 I Dischi di Accrescimento Il gas di una stella che raggiunge il punto L1 può accrescere sull altra stella. Visto da un sistema di riferimento inerziale, il materiale in accrescimento ha momento angolare L con la stessa direzione di quello J del sistema. Perciò non raggiungerà direttamente l altra stella ma vi orbiterà attorno. Le particelle di gas si disporranno in orbite coplanari (piano perpendicolare a L), e formeranno un disco in rotazione circolare (disco di accrescimento). Il disco si forma con asse di rotazione parallelo a L, momento angolare del gas in accrescimento, a causa della componente parallela della forza gravitazionale. La rotazione su orbite circolari avviene in seguito all interazione viscosa tra i vari elementi di gas che portano ad una ridistribuzione dell energia: ogni elemento di gas si collocherà così nello stato di energia potenziale efficace minima che corrisponde all orbita circolare. E eff = L M F cent m Fgrav GMm R + L2 2mR 2 14

15 I Dischi di Accrescimento In seguito all interazione viscosa, le particelle rilasciano energia gravitazionale e si muovono su orbite circolari con raggi progressivamente più piccoli fino a raggiungere la superficie della stella (o l orizzonte degli eventi del buco nero). Il risultato finale è che un disco di accrescimento irraggia convertendo in radiazione parte dell energia gravitazionale del materiale in accrescimento. Consideriamo un elemento di massa dm nel disco di accrescimento che passa da r+dr a r; per il teorema del viriale (Etot = - Eth = 1/2 Egrav) la sua variazione di energia totale è de tot =E(r) dl = de tot dt = 1 2 E(r + dr) =E th (r + dr) E th (r) = 1 2 E grav(r) detot < 0 ed è proprio pari all inverso dell energia che deve essere irraggiata. Pertanto la luminosità è GM r dm dt 1 2 GM (r + dr) 1 2 E grav(r + dr) dm dt ' 1 2 GMṁdr r 2 15

16 I Dischi di Accrescimento La luminosità totale irraggiata dal disco è perciò L = Z rout r in dl = 1 2 GMṁ r out r in ' 1 2 GMṁ r in per rout >> rin condizione che si verifica quasi sempre; si noti anche che, nel caso stazionario, il tasso di accrescimento deve essere costante su tutto il disco, altrimenti si avrebbe accumulo di massa in qualche parte del disco. Quell espressione non esprime altro che la conservazione dell energia; la fonte primaria di energia è quella gravitazionale; a parità degli altri fattori, L cresce al decrescere di rin: più compatto è l oggetto, maggiore è la quantità di energia gravitazionale che riesco a estrarre. Qualsiasi sia il processo di produzione dell energia posso scrivere L in funzione del tasso di massa che viene processato e dell efficienza di conversione di materia in energia (ε), ovvero L = dm dt c2 = ṁc 2 16

17 Efficienza dell accrescimento Nel caso del disco di accrescimento si ha quindi = 1 2 GMṁ r in ṁc 2 = 1 2 GM c 2 r in Supponiamo che l oggetto su cui si accresce sia una stella di neutroni con M ' 1.4M ricordiamo che ovvero = 1 2 r ns ' 10 km r ns ' 2.5 r Sch =2.5 2 GM GM c 2 r in = 1 2 c 2 GM c GM c 2 = 1 10 cioè si ha un efficienza del 10% per accrescimento su un oggetto compatto come una stella di neutroni. Si ricordi come l efficienza delle reazioni di fusione nucleare è ~0.007 = 0.7%; pertanto l accrescimento su oggetti compatti è molto più efficiente per produrre energia delle reazioni di fusione nucleare. 17

18 La Temperatura del disco Abbiamo ottenuto la luminosità irraggiata localmente dal disco (ovvero dall anello tra r e r+dr); supponiamo che l anello sia all equilibrio termodinamico ed irraggi come un corpo nero dalle facce superiore e inferiore: dl = 1 2 GMṁdr =2 (2 rdr) T (r)4 r2 dove T(r) è la temperatura del disco al raggio r. Pertanto T (r) = 1/4 GMṁ r 3/4 8 2 e h kt (r in ) ovvero il disco è più caldo all interno, e proprio dall interno emerge gran parte della sua luminosità. Lo spettro emesso dal disco sarà una sovrapposizione di corpi neri, con il più caldo a temperatura T(rin). Questa temperatura definisce anche il taglio in frequenza dello spettro del disco. log ν F(ν) log ν [Hz] 18

19 Variabili Cataclismiche Nelle variabili cataclismiche l oggetto compatto è una nana bianca M ' 1M con accrescimento tipico L ' 1 2 T (r in )= GMṁ r in GMṁ 8 R ' 10 4 km ṁ 10 9 M yr 1 ' erg s 1 ' L il disco di accrescimento è più luminoso della nana bianca! La temperatura massima del disco è 1/4 r 3/4 in = K più calda della temperatura superficiale di una stella O! Queste temperature producono emissione nell UV kt = h ' 4.3 ev = hc kt ' 2880Å rin 10 9 cm 3/4 19

20 Variabili Cataclismiche & Novae Il nome Variabili Cataclismiche deriva dal fatto che l emissione (L) non è costate come nelle stelle ma varia molto a seguito della variazione di ṁ per turbolenze ed instabilità nel disco. "Nova" = stella nuova Una classe particolare di VC sono le Novae caratterizzate da improvvisi aumenti di L che durano circa 1 mese. Ogni yr il materiale che si accumula sulla superficie della nana bianca raggiunge le condizioni per l accensione di H+H; questo avviene in ambiente degenere per Nova Cygni 1975 cui si ha un flash nella produzione di energia come nel caso delle supernovae I; questo flash avviene sulla superficie della stella e non la distrugge. Tuttavia a seguito dell accrescimento la nana bianca può raggiungere una massa superiore alla massa di Chandrasekar con conseguente esplosione di supernova di Dopo la diminuzione di L tipo I e distruzione della stella. 20

21 Binarie X Quando il compagno è una stella di neutroni (o un BH) M ' 1.4M con accrescimento tipico L ' 1 2 GMṁ r in ' 1 R ' 10 km ' GM c 2 ṁ 10 9 M yr 1 10ṁc2 ' erg s 1 ' L inoltre la temperatura massima del disco è adesso T (r in ) = 10 7 K rin 10 km 3/4 per tale temperatura kt~ 1 kev ovvero si ha emissione principalmente nei raggi X (da cui il nome Binarie X). Cygnus X-1 è la prima binaria X scoperta negli anni 70 da Riccardo Giacconi (Premio Nobel nel 2005); l oggetto compatto risulta vare una massa di circa 10 M per cui non può trattarsi di una stella di neutroni (la cui massa limite è~3-4 M ); è pertanto la prima evidenza dell esistenza di un buco nero. 21

22 Ricostruzione di una binaria X

23 Il limite di Eddington Esiste un limite al tasso di accrescimento che vale per tutti i sistemi, binarie X a BH supermassivi inclusi. Questo limite è dovuto al fatto che la luminosità prodotta dall accrescimento eserciti una pressione di radiazione sul materiale stesso in accrescimento. Se la conseguente forza radiativa diviene più grande dell attrazione gravitazionale del buco nero, il materiale in accrescimento viene spazzato via e l accrescimento stesso si ferma. Il disco di accrescimento, soprattutto nelle regioni più interne, è ionizzato, ovvero esiste una plasma costituito prevalentemente da protoni ed elettroni liberi (il gas è costituito prevalentemente di H). Il materiale in accrescimento è irraggiato con un flusso di fotoni (prodotto dal disco di accrescimento stesso) pari a n ph = L 4 r 2 h con Lν luminosità per unità di banda del disco di accrescimento. 23

24 Il limite di Eddington Gli elettroni liberi hanno sezione d urto Thomson σt per interazione con la radiazione (vedi lezione sull opacità nelle strutture stellari), per cui il numero di fotoni intercettati da un elettrone nell unità di tempo sarà dn dt = n ph T = L T 4 r 2 h Ciascun fotone ha quantità di moto p = hν/c per cui l impulso trasmesso dai fotoni all elettrone è dp = h c dn dt dt ovvero, la forza radiativa diretta lungo la direzione radiale uscente (con il BH al centro) è f = dp dt = h c L T 4 r 2 h = L T 4 r 2 c 24

25 Il limite di Eddington Questo è il contributo dovuto ai fotoni di frequenza ν; la forza totale sull elettrone si otterrà integrando su ν ovvero F rad = L T 4 r 2 c la stessa forza repulsiva agisce ovviamente sui protoni ma è molto minore poiché la sezione d urto dipende da m -2, massa delle particelle. I protoni sono soggetti alla forza gravitazionale del BH che è molto maggiore rispetto agli elettroni. Nel plasma ionizzato protoni ed elettroni liberi sono comunque legati dall attrazione elettrostatica che si oppone a separazioni di carica; il plasma ionizzato sarà dunque soggetto ad una forza gravitazionale attrattiva che agisce sui protoni e ad una forza radiativa repulsiva che agisce sugli elettroni; l accrescimento si può avere quando la forza gravitazionale su un protone è superiore alla forza radiativa sull elettrone F grav,p F rad,e GM BH m p r 2 L T 4 r 2 c 25

26 Il limite di Eddington Infine si ha L apple L Eddington = 4 Gm pc T M BH = L MBH ovvero la luminosità massima per accrescimento su un BH di massa solare è ~33000 luminosità solari! Poichè la luminosità per accrescimento è L L Edd = ṁ ṁ Edd apple 1 ṁ Edd = 8 cm p T L = 1 2 ṁ Edd = 8 cm p T GMṁ r in r in r in = M yr 1 r in 10 4 km M si ha: Per una variabile cataclismica (nana bianca): M ' 1M R ' 10 4 km L Edd = L ṁ Edd = M yr 1 Per una binaria X (stella neutroni): M ' 1.4M R ' 10 km L Edd = L ṁ Edd = M yr 1 26

27 Massa massima di una stella LEdd è la luminosità limite per cui una massa sferica M che emette radiazione è legata gravitazionalmente, per cui anche per una stella si deve avere L? apple L Edd = 4 Gm pc M? = L T M? Ma le stelle di massa superiore alla massa solare, seguono una relazione massa luminosità L? = L M? M 3 per cui, sostituendo nell espressione precedente, si ottiene M? 3 apple M? M M M ovvero, la massa massima di una stella è M? apple 182M 27