Concetti fondamentali

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1 Accrescimento

2 Concetti fondamentali Una particella in un campo gravitazionale prodotto da una massa puntiforme, con una qualsiasi velocita e posizione iniziali (purche V 0 R 0 =0) NON cade sulla massa centrale (conservazione dell energia e del momento angolare) Se il corpo centrale ha raggio r, la massa non cade purche V 0 R 0 >V 0 r Se V0 = 0 si ha caduta libera. Energia gravitazionale perduta : E = GMm 1 r 1 R 0 Stima E/(mc 2 ) per: stelle? nane bianche? stelle di neutroni? (esercizio...) Buchi neri = lezioni precedenti 2

3 Concetti fondamentali Energia irradiata? - Particella neutra: E = 0 - Particella carica (es: elettrone)?...esercizio... Problema fondamentale: Conversione dell energia gravitazionale in radiazione (= perdita di momento angolare) --> Dischi di accrescimento 3

4 Luminosita di Eddington Limite opposto: Luminosita limite Pressione di radiazione: consideriamo accrescimento di materia totalmente ionizzata composta di solo idrogeno. Forza esercitata su un elettrone da un campo di radiazione centrale: F = L c Per un protone: T 4 R 2 T = cm 2 T m e m p 2 Accoppiamento elettroni-protoni: le forze elettrostatiche trascinano i protoni nel moto degli elettroni 4

5 Luminosita di Eddington Nota: Se la materia non e totalmente ionizzata, o se altri elementi sono presenti, la sezione d urto efficace e MAGGIORE. La forza esercitata dalla radiazione non puo eccedere la forza gravitazionale. In simmetria sferica: T L 4 R 2 c < GMm H R 2 L<L E = 4 GMm Hc T = M M Nota: per il Sole: L L E 5

6 Spettro emesso (approssimato) Assumiamo un emissione al limite di Eddington, e una emissione di radiazione di corpo nero. T (K) = r 1 2 (km) M M 1 4 Nana bianca: Stella di neutroni: Buco nero: r 3R G =9 r 10 4 km, M 1M T K M M r 10 km, M 1M T 10 7 K km, T M M 1 4 K 6

7 Dischi di accrescimento Scopi: - determinare la struttura dei dischi di accrescimento SOTTILI - determinare l eventuale emissione di radiazione Dischi SOTTILI: Assunzioni: Mdisc << MS H << r 7

8 Dischi di accrescimento sottili Equilibrio idrostatico: p z = GM S sin r 2 sin z r ; p z p H p H GM S r 3 H Assunzione: Moto quasi Kepleriano (tutte le ipotesi vanno verificate a posteriori) v 2 = GM r p v 2 H2 r 2 H r c s v Nota: = v r = GM R 3 Rotazione differenziale 8

9 Dischi di accrescimento: viscosita La differenza di velocita angolare fra anelli contigui nel disco di accrescimento introduce VISCOSITA fra gli elementi del disco. Modello di disco di accrescimento OTTICAMENTE SPESSO, geometricamente sottile: - condizione H << r - Conservazione della massa (equazione di continuita ) - Conservazione del momento angolare - Conservazione dell energia - Disco quasi-kepleriano - Viscosita : trasporto di momento angolare verso l esterno, perdita di energia gravitazionale, convertita in energia termica - Equazione di stato, interazione radiazione-materia 9

10 Dischi di accrescimento: viscosita Forza viscosa per unita di area: f xy = v x y + v y x In coordinate cilindriche: f = r r, = Coefficiente di viscosita dinamica Calcolo del momento sul bordo interno un anello del disco di spessore dr: G = r 2 (2 rh) r Momento sull anello successivo: G(r + dr) =G(r)+ G r dr 10

11 Dischi di accrescimento: struttura Momento angolare: L =2 r 2 H v dr Equazione di moto dell anello: L t = G r dr = r r 2 (2 rh) r dr r 2 v t = r r3 r v r v t = r 2 r r3 r v r, = Coefficiente di viscosita cinematica 11

12 Dischi di accrescimento: struttura Analisi: - La viscosita molecolare dovuta alle interazioni fra le particelle fluide e bassa. Numero di Reynolds=(inerzia)/(viscosita ) >> 1 --> Il fluido e in regime turbolento --> La turbolenza induce un nuovo tipo di viscosita che sostituisce quella molecolare, ma e difficile da trattare. Ipotesi (Shakura & Sunyaev 1973): = c s H a: parametro arbitrario, < 1. Questa ipotesi rende possibile la trattazione analitica del problema. Recentemente (Balbus & Haley 1991) e stata proposto un modello per la generazione di viscosita tramite campi magnetici associati al disco 12

13 Dischi di accrescimento: struttura Conservazione della massa: ṁ =2 rv r =costante, = dz Momento angolare trasferito al raggio r ed (r+dr): ṁv r =2 r 3 v r (ṁv r) r+ r =(2 r 3 L =2 d v r ) r+ r dr (r3 v r ) r Equazione di moto: dg dr =2 d dr (r3 v r ) G =2 r 3 v r +C 13

14 Dischi di accrescimento: struttura C = costante di integrazione, ottenuta imponendo l uguaglianza fra la velocita di rotazione del disco e quella del corpo centrale a RS (nota: il corpo centrale potrebbe essere piu lento...) Usando la definizione di G, la conservazione della massa, e assumendo velocita Kepleriana all orbita interna, si ha: C = 2 (r 3 v r ) = 2 [r 3/2 v rs r (GM) 1/2 ] = rs ṁ(gm S r S ) 1/2 da cui: = ṁ 3 1 r s r 1/2 14

15 Dischi di accrescimento: struttura Energia dissipata in un anello: G = G d r dr Energia dissipata per unita di area (tenendo conto delle due facce del disco): D(r) = G 2 2 r r = 1 2 r d dr 2 se = K = GM r 3 1/2 D(r) = 9 8 GM r 3 D(r) = 3GM Sṁ 8 r 3 1 r S r 1/2 15

16 Dischi di accrescimento:luminosita L energia dissipata (energia termica del disco) viene irradiata. Luminosita emessa fra due raggi r1 ed r2 L(r 1,r 2 )=2 = 3GMṀ r 1 r 2 r 1 D(r)2 rdr = 2 3 r S r 1 1/2 1 1 r r S r 2 1/2 r 1 = r S ; r 2 = L DISC = GMṁ 2R S = 1 2 L ACC 16

17 Dischi di accrescimento:luminosita Analisi della dissipazione all interno del disco: energia dissipata fra r e r+dr 2 2 rdrd(r) = 3GMṁ 2r 2 1 r s r 1/2 dr Di questa energia, una parte: GMṁ 2r 2 dr e il rilascio di energia gravitazionale; il resto: GMṁ r r s r 1/2 dr e trasportata nell anello di raggio r dall interno del disco 17

18 Dischi di accrescimento:luminosita GMṁ r r s r 1/2 dr e positivo per r>9rs/4, e negativo per r<9rs/4. Quindi l energia rilasciata e MAGGIORE dell energia gravitazionale perduta in anelli con r>9rs/4, e MINORE per quelli interni. Passo seguente: verifica della autoconsistenza del modello. Si dimostra facilmente che: - se la velocita Kepleriana locale e maggiore della velocita del suono, l ipotesi di disco sottile e verificata - se il disco e sottile, l ipotesi che la velocita locale sia Kepleriana e verificata. 18

19 Dischi di accrescimento: spettro Se il disco e otticamente spesso: T 4 (r) =D(r) T (r) = 3GM Sṁ 8 r 3 1 r S r 1/2 1/4 In prima approssimazione (trascurando l atmosfera del disco): F = 2 cos d 2 Spettro: se se r OUT r IN I rdr ; I = << kt(r OUT ) h >> kt(r IN) h F F 2h 3 c 2 (e h /kt (r) 1) 2 3 e h /kt (Rayleigh-Jeans) (Wien) 19

20 Dischi di accrescimento: spettro kt(r OUT ) Se << << kt(r IN) h h Sostituzione: x = h h kt(r) kt(r IN ) r r IN 3/4 F 1/3 0 x 5/3 e x 1 dx 20

21 Dischi di accrescimento: struttura Struttura locale: nell approssimazione di disco sottile, i gradienti di temperatura e pressione sono essenzialmente verticali (cioe le variazioni locali lungo la componente radiale sono trascurabili rispetto a quelle lungo la componente verticale). In queste condizioni, la struttura verticale e ~disaccoppiata da quella radiale. Equilibrio idrostatico in disco sottile: (r, z) = C e z2 2H 2 ; = H ; H = rc S v La pressione P e data dall equazione di stato: ; c2 s = P P = kt C µm P + 4 3c T 4 C 21

22 Dischi di accrescimento: struttura Per ottenere un sistema completo di equazioni, dobbiamo ottenere un equazione dell energia, eguagliando la dissipazione al flusso di energia radiante. Trasporto radiativo all interno del disco (direzione verticale:) di ds = I + J = (I S ) Considerando solo i gradienti lungo z, la variazione lungo un elemento ds dipendera solo dall angolo rispetto alla direzione verticale. E conveniente quindi esprimere l equazione di trasporto in funzione della variazione lungo z e di tale angolo: µ = cos ; ds = dz cos = dz µ µ I z = (I S ) 22

23 Dischi di accrescimento: struttura I (µ, z) =S µ I z Ordine zero: trascuro la derivata, e uso la condizione di emissione termica: I (0) (z,µ) B (T ) Primo ordine: I (1) (z,µ) B (T ) µ B z Integrando per ottenere il flusso monocromatico: F (z) = I (1) (z,µ) cos d = I (1) µ µdµ 23

24 Dischi di accrescimento: struttura L integrale del primo termine dell equazione e nullo. Si ha: F (z) = 2 F (z) = 0 B z +1 1 F (z)d = 4 3 µ 2 dµ = 4 T 3 z 0 B z = B B T T d 0 0 T z B T d B T d 0 B T d = T 0 B d = T T 4 F (z) = 16 T 3 3 R T z, R = B T d B T d 24

25 Dischi di accrescimento: struttura Sostituendo le derivate con le differenze finite, e considerando che TC>>Tz=H: F (z) 4 3 T 4 C, = H R Eguagliando il flusso di energia radiante con la potenza dissipata per unita di area: 4 3 T C 4 = D(R) = 3GMṁ 8 r 3 1 L opacita e principalmente dovuta alla diffusione free-free r S r 1/2 (alle alte temperature) e alle interazioni bound-free (a temperature basse, con il gas non del tutto ionizzato): R = T 7 2 C (cm 1 ) 25

26 Dischi di accrescimento: struttura A questo punto abbiamo tutte le equazioni necessarie per chiudere il problema: P = = H H = c Sr 3/2 (GM) 1/2 c 2 S = P kt C µm p + 4 3c T 4 C 4 T 4 C 3 = 3GMṁ 8 r 3 1 r S r 1/2 = H ( T 7 2 C ) = ṁ 3 1 r S r 1/2 = c S H Incognite :,,H,c S,P,T C,, ; parametri : ṁ, M, R, 26

27 Dischi di accrescimento: struttura Per la soluzione analitica e possibile distinguere tre zone: 1) zona interna: opacita dominata dal termine free-free, equazione di stato dominata dal termine radiativo; 2) zona intermedia: opacita dominata dal termine free-free, equazione di stato dominata dal termine termico 3) zona esterna: opacita dominata dal termine bound-free, equazione di stato dominata dal termine termico Esempio: alcune soluzini per la zona 3: H = /10 ṁ 3/10 26 M 3/8 8 R 9/8 14 f 3/5 (cm) = /10 ṁ 11/20 26 M 5/8 8 R 15/8 14 f 11/5 (g cm 3 ) T C = /5 ṁ 3/10 26 M 1/4 8 R 15/8 14 f 11/5 K 27

28 Dischi di accrescimento: struttura La temperatura efficace di emissione ( D(R)=sT 4 ) e : T = ṁ 1/4 26 M 1/4 R 3/ La soluzione completa delle equazione del disco permettono di verificare a posteriori l autoconsistenza con le ipotesi fatte 28

29 Dischi di accrescimento:osservazioni Confronto fra teoria e osservazioni: Spectral Energy Distribution (SED) dei nuclei galattivi attivi: Type 1 quasars, Elvis et al Radio band IR-bump UV-bump X-ray 29

30 Dischi di accrescimento:osservazioni Risultati generali: - La SED degli AGN ha un massimo nell UV - Le righe di emissione richiedono un forte continuo UV --> In accordo con il modello di disco - La SED si estende ai raggi X e all infrarosso - Non e osservata la pendenza n 1/3 prevista dal modello --> In disaccordo con il modello - Spiegazioni: 1) Complessa interazione con il mezzo circumnucleare 2) Modelli di disco alternativi 30

31 Dischi di accrescimento: ADAF Modelli alternativi: Ampia letteratura. Il filone piu studiato e quello degli Advection-Dominated Accretion Flows (ADAF). Concetto base: il disco NON e geometricamente sottile; la densita e bassa --> l interazione fra ioni ed elettroni e debole, quindi l energia gravitazionale perduta dagli ioni NON e efficacemente trasferita agli elettroni, e la riemissione non e efficiente --> la maggior parte dell energia gravitazionale perduta dagli ioni NON viene irraggiata e rimane imprigionata nelle particelle che accrescono sul buco nero centrale. Questo accade per tassi di accrescimento BASSI (inferiori a un limite eedd< ) Nota: nel modello SS l ipotesi di disco sottile viene meno anche per tassi di accrescimento molto alti. VERIFICARE 31

32 Dischi di accrescimento: ADAF Spettri teorici di ADAF 32

33 Evidenze osservative: deboli

34 Dischi di accrescimento:osservazioni Separazione della componente del disco dalla riemissione termica Esempio: osservazioni in luce polarizzata: (Kishimoto et al. 2008, Nature 454,