g 2h t 2 h) 2 LA LEZIONE

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1 LA LEZIONE Esperienze elementari sulla caduta dei gravi L esperienza virtuale della caduta della piuma e del martello sulla Luna o il tubo di Newton sono due classici esempi utilizzati per dimostrare che la caduta dei corpi nel vuoto non dipende dalla massa degli oggetti utilizzati, né dalla loro forma. In condizioni normali l aria, con i suoi attriti, è da considerarsi un ostacolo per ottenere l equazione del moto naturalmente accelerato; tuttavia la sua presenza può essere trascurata se i suoi effetti sono piccoli. In questo senso semplici esperienze qualitative possono convincere che, in taluni casi, la forma possa essere più importante della massa (foglio appallottolato e foglio integro) e che la caduta nell aria di due corpi di ugual forma, ma di massa differente sia in effetti molto difficile da distinguere. Misure del tempo di caduta di una slitta che scivola senza attrito lungo una guida a cuscino d aria inclinata (versione moderna dei piani inclinati di Galileo Galilei), ripetute con la slitta appesantita, portano, infatti, agli stessi risultati. L esperimento cruciale rimane comunque il confronto dei tempi della caduta verticale di due corpi (sferette d acciaio) di massa differente. Gli strumenti e l attrezzatura dei laboratori (fotocellule, elettromagnete per regolare l inizio del moto, cronometro centesimale) permettono in modo abbastanza agevole tale confronto. Inoltre lo studio del moto ha come possibile risultato la misura indiretta dell accelerazione di gravità g utilizzando l espressione del moto uniformemente accelerato: g 2h t 2 Il valore trovato, molte volte prossimo a 10 m/s 2, rappresenta una sorta di approssimazione zero dell accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre. Il passaggio all approssimazione successiva g = 9,8 m/s 2 può avvenire studiando il moto di un pendolo semplice assumendo valida l espressione di Huygens: l g 4 2 T 2 con l lunghezza del pendolo e T periodo delle piccole oscillazioni. Di nuovo un espressione indipendente dalla massa. La costruzione di nuove leggi per descrivere i fatti sperimentali Se Galilei trasforma il problema del perché i corpi cadono, a come i corpi cadono, Newton assume come causa la forza gravitazionale. In particolare considerando la Terra come una sfera di raggio R T, una piccola massa che si trova in prossimità della sua superficie a un altezza h viene attirata come se la massa della Terra M T fosse concentrata tutta nel suo centro. L accelerazione di gravità diviene allora: GM g T (R T h) 2 con G costante di gravitazione universale. Secondo l espressione, a un altezza h 1 di circa 100 km dalla superficie della Terra l accelerazione si riduce a 9,5 m/s 2, mentre 1 Si potrebbe pensare di misurare g all interno della Terra utilizzando la stessa espressione, ma con h negativi. Questo non è possibile. Immaginiamo un grave all interno di una galleria, i valori della forza del guscio sferico che si trovano a una distanza dalla superficie minore del corpo si bilanciano e ai fini della forza di gravità contano solo quelle inferiori. Si può dimostrare che indicando con r la

2 per h=0 g = 9,8 m/s 2. Spesso indicata nei testi come 9,81 m/s 2. La forma della Terra e la sua rotazione Togliamo alla Terra l atmosfera e gli oceani. La superficie terrestre ha piccoli rilievi o depressioni: irregolarità in proporzione, inferiori alla rugosità tipica di una buccia d arancia. Senza i rilievi topografici e le depressioni oceaniche trasformiamo la Terra in una ideale sfera rotante leggermente schiacciata ai poli, un ellissoide di rotazione, con il raggio equatoriale di 6378 km e il raggio polare di 6357 km. Il peso è, in prossimità della superficie, la risultante dell attrazione gravitazionale e della forza dovuta alla rotazione della Terra. L accelerazione centrifuga cambia con la latitudine ed è pari all equatore a 0,03 m/s 2, come non è difficile dimostrare 2. Si ha ai poli g = 9,83 m/s 2 e all equatore 9,78 m/s 2. Misure di precisione dell accelerazione di gravità Ipotizziamo per ora che la Terra sia un ellissoide con densità simmetrica e che non vi sia atmosfera. Si ammette quindi che l accelerazione di caduta dei corpi g vari soltanto con l altitudine e con la latitudine: il valore normale di riferimento 9,81 è riferito al livello del mare e a 45 di latitudine; a rigore per misure di precisione si dovrebbe assumere g=9,80665 m/s 2. La misura di g ha importanti applicazioni anche nel campo pratico della ricerca mineraria. Lo studio delle cosiddette anomalie locali della gravità, cioè delle divergenze locali dell accelerazione di gravità dai corrispondenti valori normali, permette di rilevare eventuali deficienze o eventuali eccessi di massa a piccole profondità sotto la superficie terrestre. Sono stati escogitati sistemi sempre più raffinati per ridurre le cause di errore; con i pendoli geodetici si arriva a misurare g con l approssimazione di m/s 2. I gravimetri a caduta libera raggiungono un approssimazione dell ordine di 10 9 del valore locale della gravità. In questo settore vi è un tributo a Galileo che non è normalmente menzionato nei testi di fisica. 1 Gal è l unità di misura scelta pari a 1 cm/s 2. In questo modo l accelerazione di gravità di riferimento in Italia diviene 981 Gal o più precisamente, utilizzando i sottomultipli, mgal. La forma fisico-matematica della Terra meno approssimata dell ellissoide Come si modella la superficie di un liquido in quiete racchiuso in un serbatoio di piccole dimensioni sotto l azione della gravità e della rotazione terrestre? Essa si dispone perpendicolarmente alla direzione individuata da un filo che sorregge un piccolo peso (filo a piombo). Pensiamo di ripetere lo stesso procedimento rispetto al livello medio del mare e otterremmo una forma semplificata della Terra, chiamata geoide, la cui superficie coincide con la superficie libera dei mari prolungata idealmente sotto i continenti. La figura differisce dall ellissoide finendo in parte al di sotto e in parte al di sopra di esso. Il geoide costituisce una mappa di riferimento di tutta la Terra come un solido, delimitato dalla superficie di livello zero. Le deformazioni del geoide rispetto all ellissoide (ondulazioni geodiche) si misurano in metri. distanza del punto dal centro della Terra al corpo, la forza sia di tipo elastico come aveva già capito Hooke. Per la dimostrazione si rimanda al volume di Fisica 1 a cura di Andrea Danani. 2 All equatore g GM T R T 2 2 R T che dipende dalla velocità angolare della rotazione terrestre.

3 Inoltre prendendo in considerazione i valori normali di gravità sull ellissoide si misurano in milligal le anomalie del campo gravitazionale. Queste possono avere origine sia da una distribuzione statica, non sfericamente simmetrica, delle densità delle Terra, sia da fenomeni dinamici ad esempio correnti convettive all interno della Terra nella zona chiamata mantello. Il secondo effetto è dominante nel produrre le anomalie su grande scala. Negli ultimi anni molti satelliti hanno permesso di affinare misure globali del geoide con una precisione sempre maggiore e nella pagina che segue sono rappresentate delle mappe (Earth Geopotential Model e Earth Gravity Field Model ) relative alle ondulazioni geoidiche e alle anomalie gravimetriche. 3 Il modello realizzato da National Imaginery and Mapping Agency, NASA e Ohio State University è di dominio pubblico e può essere consultato, a esempio inserendo i valori delle coordinate del luogo, all indirizzo 4 Il sito - t8 del GFZ (GeoForschungsZentrum) di Postam offre molte animazioni e dati sugli ultimi modelli realizzati con i dati dei satelliti GRACE.

4 Dall accelerazione di gravità al campo gravitazionale, dall energia potenziale al potenziale gravitazionale In accordo alla meccanica newtoniana, la causa della caduta è la forza gravitazionale che agisce a distanza e istantaneamente su tutti i corpi in prossimità della Terra. Proviamo ora ad adottare un punto di vista diverso. La distribuzione delle masse che compongono la Terra e la sua superficie, crea un campo gravitazionale che esiste indipendentemente dalla presenza o meno di oggetti nelle sue vicinanze. Se le masse degli oggetti di misura sono piccole rispetto a quelle che creano il campo (corpi in caduta libera, pendoli, satelliti) la perturbazione del campo si può trascurare e le masse di prova m che cadono con accelerazione g danno esattamente la misura del campo gravitazionale vettoriale. In altre parole g è il vettore campo gravitazionale, definito come: g = F/m Possiamo adottare un punto di vista analogo per l energia potenziale U associata ai corpi in caduta libera nelle vicinanze della superficie terrestre. Invece di centrare l attenzione sui gravi consideriamo la Terra capace di creare un potenziale gravitazionale (campo scalare) V g indipendente dalla massa di prova e tale che: V g = U/m Il geoide diviene allora una superficie equipotenziale passante per il livello medio del mare e il campo gravitazionale sarà in ogni punto sempre perpendicolare a tale superficie poiché il lavoro compiuto da una massa che si muove su una superficie equipotenziale deve valere zero. Solo approssimativamente le superfici equipotenziali della Terra sono degli ellissoidi (sino a una distanza di 5-6 volte il raggio terrestre 5 ). Non si deve pensare che le superfici equipotenziali siano tra di loro parallele perché ciò implicherebbe valori uguali di g sulla superficie del geoide, dove il valore del campo è maggiore si riduce la distanza tra due superfici equipotenziali. Come studiare il campo gravitazionale terrestre Come ricostruire allora il campo gravitazionale e il potenziale della Terra? 5 A questa distanza corrisponde all incirca la posizione dei satelliti geostazionari che descrivono un orbita quasi circolare sul piano dell equatore, viaggiando alla stessa velocità angolare della Terra.

5 Se la Terra fosse un ellissoide di rotazione perfetto, un satellite nelle sue vicinanze descriverebbe un orbita ellittica. 6 In realtà si osservano piccole perturbazioni nelle orbite, che indicano uno scostamento del geoide dalla forma dell ellissoide ideale. 7 Dunque il satellite, se sufficientemente lontano dalla Terra per evitare i problemi di attrito dovuti all atmosfera e sufficientemente vicino alla superficie terrestre, rispetto alla distanza già indicata di 6 raggi terrestri, seguirebbe una curva sulla superficie equipotenziale della Terra. 8 Studiando le diverse traiettorie del satellite e misurando con sofisticati gravimetri di bordo le anomalie della gravità si è arrivati a proporre modelli di geoidi più accurati. Nel 2012 sono principalmente tre i satelliti impegnati ancora nelle misure di gravimetria: i due satelliti GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment) della NASA e il satellite GOCE (Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer) dell ESA. Le ondulazioni del geoide rispetto all ellissoide sono rappresentate amplificate di un fattore di scala creando modelli globali come quello in figura e su di esso sono indicate anche le differenze del modulo del campo rispetto al valore normale in una scala di colori. Approfondimenti I possibili sviluppi della lezione possono implicare sia i risultati relativi ad altre scienze (mappe delle dimensioni della crosta terrestre) oppure approfondire aspetti specifici della fisica come l uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale conseguenza della proprietà del campo gravitazionale di dare a tutti i corpi la stessa accelerazione. 6 Soggetta a un moto uniforme di precessione. 7 L interpretazione del moto non è semplice perché bisogna tener conto di molti effetti perturbativi: i campi gravitazionali della Luna e del Sole, le forze di attrito dovute alle tracce di atmosfera, la pressione di radiazione solare. 8 Il satellite si troverebbe allo stesso potenziale solo mantenendo la velocità costante, come è facile capire dal principio di conservazione dell energia E K U, dove E è l energia meccanica e K l energia cinetica.

6 Riferimenti immagini 1 A model of Earth's gravity field made with data from ESA's GOCE satellite. Image courtesy ESA/HPF/DLR 2 martello e piuma link: 3 moto parabolico link: 4 zero g flight link: 5 sasso nel pozzo 6 caduta dei gravi 7 Galilei 8 Verifica A Immagine modificata da originale NASA Verifica B Composizione tra immagine Treccani e orologio di Galilei 10 confronto geoide ellissoide Immagine modificata tratta da ESRI 11 EGM96 gravità EGM96 geoide GFZ gravità GFZ geoid orbita satellite Immagine modificata tratta da filmato ESA 16 global gravity